不等式组

【典 型例 题】
【 考 点 一 一 元 一 次 不 等 式 组 的 定 义 】
例 题 ： （ 2 0 2 3 春 · 广 东 佛 山 · 八 年 级 佛 山 六 中 校 考 阶 段 练 习 ） 下 列 不 是 一 元 一 次 不 等 式 组 的 是 （ ）
x ? 3 3 x ? 7 x ? 2 ? 3 5 x ? 7 ? 3
? ? ? ?
A ． B ． C ． D ．
? ? ? ?
x ? 1 2 x ? 1 ? 5 y ? 2 ? 0 2 x ? 1
? ? ? ?
【 变 式 训 练 】
1 ． （ 2 0 2 3 春 · 七 年 级 单 元 测 试 ） 下 列 选 项 中 是 一 元 一 次 不 等 式 组 的 是 （ ）
2
x ? y ? 0 ? y ? 2 ? 0 2 x ? 3 ? 0
? x ? x ? 0 ? ?
A ． B ． C ． D ．
? ? ? ?
y ? z ? 0 x ? y ? 0 x ? 0
x ? 1 ? 0
? ? ? ?
学 科 网 （ 北 京 ） 股 份 有 限 公 司【 考 点 二 求 一 元 一 次 不 等 式 组 的 解 集 】
2 x ? 4 ? 6
?
?
例 题 ： （ 2 0 2 3 · 江 苏 淮 安 · 统 考 一 模 ） 解 不 等 式 组 ： ， 并 把 它 的 解 集 在 数 轴 上 表 示 出 来 ．
? 2 x ? 1 x ? 1
?
?
? 3 2
【 变 式 训 练 】
? 2 1 ? x ? 4
? ?
?
· ·
1 ． （ 2 0 2 3 春 安 徽 合 肥 七 年 级 合 肥 市 第 四 十 五 中 学 校 考 期 中 ） 解 不 等 式 组 ? ， 并 在 数 轴 上 画 出 该
x 2 x ? 1
? ? 1
?
? 2 3
不 等 式 组 的 解 集
2 ． （ 2 0 2 3 春 · 广 东 清 远 · 八 年 级 校 联 考 期 中 ） 解 下 列 不 等 式 ， 并 把 解 集 在 数 轴 上 表 示 出 来 ：
? 2 x ? 2 ? 3 x ? 3
? ?
? 2 x ? 1 ? 4 ? x
? ?
? ?
( 1 ) ? ； ( 2 ) ．
? x x ? 1
3 ? x ? 1 ? ? 5 x ? 7
?
?
?
?
? 3 4
学 科 网 （ 北 京 ） 股 份 有 限 公 司【 考 点 三 求 一 元 一 次 不 等 式 组 的 整 数 解 】
1
?
x ? 2 ? 0
?
例 题 ： （ 2 0 2 3 · 河 南 开 封 · 统 考 一 模 ） 不 等 式 组 2 的 最 小 整 数 解 是 _ _ _ _ _ _ ．
?
?
1 ? x ? 0
?
【 变 式 训 练 】
x ? 1 ? 1
?
?
· · _ _ _ _ _ _
1 ． （ 2 0 2 3 黑 龙 江 哈 尔 滨 统 考 一 模 ） 不 等 式 组 ? ? 1 ? 1 的 整 数 解 为 ．
? 2 x ? ?
? ?
?
4 2
? ?
?
1 5 ? 9 x ? 1 0 ? 4 x
?
?
2 ． （ 2 0 2 3 春 · 安 徽 合 肥 · 七 年 级 合 肥 市 五 十 中 学 西 校 校 考 期 中 ） 解 不 等 式 组 ， 并 将 其 解 集
? x ? 1 x ? 2 x
? ? ? 2
?
? 3 6 2
在 数 轴 上 表 示 出 来 ， 并 写 出 这 个 不 等 式 组 的 整 数 解 ．
【 考 点 四 由 一 元 一 次 不 等 式 组 的 解 集 求 参 数 】
2 x ? 1 ＜ 3
?
例 题 ： （ 2 0 2 3 春 · 江 苏 扬 州 · 九 年 级 仪 征 市 第 三 中 学 校 考 阶 段 练 习 ） 若 关 于 x 的 一 元 一 次 不 等 式 组 的
?
x ? a ? 0
?
解 集 为 x ? 2 ， 则 a 的 取 值 范 围 是 _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【 变 式 训 练 】
4 ? 2 x ? 0
?
1 ． （ 2 0 2 3 春 · 全 国 · 八 年 级 期 中 ） 若 关 于 x 的 不 等 式 组 只 有 3 个 整 数 解 ， 则 m 的 取 值 范 围 是
?
3 x ? m ? 5 ? x
? ?
?
_ _ _ _ _ _ _ _
．
2 x ? 3 ? x ? m
?
? 1
2 ． （ 2 0 2 3 春 · 七 年 级 课 时 练 习 ） 已 知 关 于 x 的 不 等 式 组 无 解 ， 则 的 取 值 范 围 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
? 2 x ? 5
? 3 ? 2 ? x m
?
? 3
【 考 点 五 不 等 式 组 和 方 程 结 合 的 问 题 】
3 x ? y ? k ? 3
?
x y
x ? y ? 4
例 题 ： （ 2 0 2 3 春 · 江 苏 · 七 年 级 专 题 练 习 ） 关 于 ， 的 方 程 组 的 解 ， 满 足 ， 则 k 的 取
?
x ? 3 y ? 3 k ? 1
?
( )
值 范 围 是
． k ? 5 ． k ? 5 ． k ? 5 ． k ? 5
A B C D
【 变 式 训 练 】
2 x ? y ? 1 ? m
?
x ? y ? 0
1 ． （ 2 0 2 3 春 · 七 年 级 课 时 练 习 ） 在 方 程 组 中 ， 若 未 知 数 x 、 y 满 足 ， 则 m 的 取 值 范 围 应
?
x ? 2 y ? 2
?
为 （ ）
学 科 网 （ 北 京 ） 股 份 有 限 公 司A ． m ? 2 B ． m ? 3 C ． m ? 3 D ． m > 2
x ? 5 y ? 4 ? a
?
2 ． （ 2 0 2 3 春 · 全 国 · 七 年 级 专 题 练 习 ） 已 知 关 于 x ， y 的 方 程 组 ， 给 出 下 列 结 论 ， 其 中 错 误 的 个
?
x ? y ? 3 a
?
数 是 （ ）
① 当 a ＝ 1 时 ， 方 程 组 的 解 也 是 方 程 x + y ＝ 4 ﹣ a 的 解
②
当 a ＝ ﹣ 2 时 ， x 、 y 的 值 互 为 相 反 数 ；
③ 不 论 a 取 什 么 数 ， 2 x + 7 y 的 值 始 终 不 变 ；
4
④ 若 x ≤ 1 ， 则 y ≥ ；
7
A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个
【 考 点 六 列 一 元 一 次 不 等 式 组 】
1 3℃
例 题 ： （ 2 0 2 3 春 · 山 西 运 城 · 八 年 级 山 西 省 运 城 市 实 验 中 学 校 考 阶 段 练 习 ） 盐 湖 区 今 天 的 最 高 气 温 是 ， 最
2℃
低 气 温 是 ， 当 天 盐 湖 区 气 温（ t ℃） 的 变 化 范 围 用 不 等 式 表 示 为 _ _ _ _ _ _ _ ．
【 变 式 训 练 】
1 ． （ 2 0 2 3 · 全 国 · 七 年 级 专 题 练 习 ） 把 一 筐 梨 分 给 几 个 学 生 ， 若 每 人 4 个 ， 则 剩 下 3 个 ； 若 每 人 6 个 ， 则 最 后
一 个 同 学 最 多 分 得 3 个 ， 求 学 生 人 数 和 梨 的 个 数 ． 设 有 a 个 学 生 ， 依 题 意 可 列 不 等 式 组 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
2 ． （ 2 0 2 3 春 · 全 国 · 七 年 级 专 题 练 习 ） 七 年 级 下 册 数 学 课 本 有 如 下 6 章 ： 《 相 交 线 与 平 行 线 》 、 《 实 数 》 、 《 平 面
直 角 坐 标 系 》 、 《 二 元 一 次 方 程 组 》 、 《 不 等 式 与 不 等 式 组 》 、 《 数 据 的 收 集 、 整 理 与 描 述 》 ． 期 末 试 卷 编 题 要 求 ，
x x
每 章 至 少 有 3 个 题 ， 全 卷 总 题 数 不 超 过 2 6 题 ， 若 本 次 期 末 试 卷 的 全 卷 总 题 数 为 ， 则 的 取 值 范 围 是 _ _ _ _ _ _ ．
【 考 点 七 一 元 一 次 不 等 式 组 的 应 用 】
例 题 ： （ 2 0 2 3 · 山 东 东 营 · 统 考 一 模 ） 党 的 二 十 大 报 告 ， 深 刻 阐 述 了 推 动 绿 色 发 展 ， 促 进 人 与 自 然 和 谐 共 生 的
理 念 ， 尊 重 自 然 、 顺 应 自 然 、 保 护 自 然 ， 是 全 面 建 设 社 会 主 义 现 代 化 国 家 的 内 在 要 求 ． 为 响 应 党 的 号 召 ，
东 营 市 政 府 欲 购 进 一 批 风 景 树 进 行 绿 化 ， 已 知 购 进 A 种 风 景 树 4 万 棵 ， B 种 风 景 树 3 万 棵 ， 共 需 要 3 8 0 万
元 ； 购 进 A 种 风 景 树 8 万 棵 ， B 种 风 景 树 5 万 棵 ， 共 需 要 7 0 0 万 元 ．
( 1 ) 问 A ， B 两 种 风 景 树 每 棵 的 进 价 分 别 是 多 少 元 ？
( )
2 东 营 市 政 府 计 划 用 不 超 过 5 4 6 0 万 元 购 进 A ， B 两 种 风 景 树 共 1 0 0 万 棵 ， 其 中 要 求 A 风 景 树 的 数 量 不 多 于
万 棵 ， 则 共 有 几 种 购 买 方 案 ？
5 8
学 科 网 （ 北 京 ） 股 份 有 限 公 司【 变 式 训 练 】
1 ． （ 2 0 2 3 · 湖 北 恩 施 · 统 考 一 模 ） 我 县 在 创 建 全 国 文 明 城 市 过 程 中 ， 决 定 购 买 A ， B 两 种 树 苗 对 某 路 段 道 路 进
行 绿 化 改 造 ， 已 知 购 买 A 种 树 苗 8 棵 ， B 种 树 苗 3 棵 ， 要 9 5 0 元 ； 若 购 买 A 种 树 苗 5 棵 ， B 种 树 苗 6 棵 ，
则 需 要 8 0 0 元 ．
( 1 ) 求 购 买 A ， B 两 种 树 苗 每 棵 各 需 多 少 元 ？
( )
2 考 虑 到 绿 化 效 果 和 资 金 周 转 ， 购 进 A 种 树 苗 要 多 于 B 种 树 苗 ， 且 用 于 购 买 这 两 种 树 苗 的 资 金 不 能 超 过 7 6 5 0
元 ， 若 购 进 这 两 种 树 苗 共 1 0 0 棵 ， 则 有 哪 几 种 购 买 方 案 ？
( 3 ) 在 （ 2 ） 的 条 件 下 ， 哪 种 方 案 最 省 钱 ？ 最 少 费 用 是 多 少 ？
2 ． （ 2 0 2 3 春 · 全 国 · 七 年 级 专 题 练 习 ） 为 了 丰 富 学 生 的 课 外 活 动 ， 学 校 决 定 购 进 5 副 羽 毛 球 拍 和 m 只 羽 毛 球 ，
已 知 一 副 羽 毛 球 拍 的 价 格 是 一 只 羽 毛 球 的 价 格 的 1 5 倍 ， 用 5 0 元 可 以 买 一 副 羽 毛 球 拍 和 1 0 只 羽 毛 球 ：
( ) 一 副 羽 毛 球 拍 和 一 只 羽 毛 球 的 价 格 各 是 多 少 元 ？
1
( 2 ) 甲 乙 两 商 店 举 行 促 销 活 动 ， 甲 商 店 给 出 的 优 惠 是 ： 所 有 商 品 打 八 折 ： 乙 商 店 的 优 惠 是 ： 买 一 副 羽 毛 球 拍
送 n 只 羽 毛 球 ， 通 过 调 查 发 现 ， 如 果 只 到 一 个 商 店 购 买 5 副 羽 毛 球 拍 和 2 6 只 羽 毛 球 时 ， 到 甲 商 店 更 划 算 ：
若 只 购 买 一 副 羽 毛 球 拍 和 n 只 羽 毛 球 ， 则 乙 商 店 更 划 算 ． 求 n 的 值 ．
( 3 ) 在 （ 2 ） 的 条 件 下 ， 当 m ? 3 0 时 ， 学 校 如 何 购 买 羽 毛 球 拍 和 羽 毛 球 最 划 算 ， 请 说 明 理 由 ．
学 科 网 （ 北 京 ） 股 份 有 限 公 司【典 型例 题】
【 类 型 一 根 据 不 等 式 的 定 义 求 参 数 】
2
| m | ? 3
? m ? 4 ? x ? 6 ? 0
例 题 ： （ 2 0 2 3 春 · 四 川 达 州 · 八 年 级 达 州 市 通 川 区 第 八 中 学 校 考 阶 段 练 习 ） 已 知 是 关 于 x 的
3
m ?
一 元 一 次 不 等 式 ， 则 _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【 变 式 训 练 】
a ? 3
． （ 春 · 重 庆 南 岸 · 八 年 级 重 庆 市 广 益 中 学 校 校 考 阶 段 练 习 ） 关 于 的 不 等 式 a ? 4 x ? 1 ? 0 是 一 元 一
1 2 0 2 3 x ? ?
次 不 等 式 ， 则 不 等 式 的 解 集 为 _ _ _ _ _ _ ．
b ? 1
b ? 1 x ? ? 3
2 ． （ 2 0 2 3 春 · 全 国 · 八 年 级 专 题 练 习 ） 已 知 ? ? 是 关 于 x 的 一 元 一 次 不 等 式 ， 试 求 b 的 值 ， 并 解 这
个 一 元 一 次 不 等 式 ．
【 类 型 二 根 据 不 等 式 的 解 集 求 参 数 】
例 题 ： （ 2 0 2 3 春 · 七 年 级 课 时 练 习 ） 不 等 式 2 x ﹣ a ＜ 1 的 解 集 如 图 所 示 ， 则 a 的 值 是 _ _ _ _ _ ．
【 变 式 训 练 】
· · - ≤ - ≤
1 ． （ 2 0 2 3 春 重 庆 南 岸 八 年 级 重 庆 市 南 坪 中 学 校 校 考 阶 段 练 习 ） 关 于 x 的 不 等 式 2 x a 1 的 解 集 为 x 1 ， 则 a
的 值 是 ( )
A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1
2 a ? 1 x ? 1 ? 2 a
2 ． （ 2 0 2 3 春 · 安 徽 合 肥 · 七 年 级 合 肥 市 第 四 十 五 中 学 校 考 期 中 ） 如 果 关 于 x 的 不 等 式 ? ? 的 解 集 为
x ? ? 1 ， 那 么 a 的 取 值 范 围 为 （ ）
1 1
a ? 1 a ? a ?
A ． B ． a ? 1 C ． D ．
2
2
13
x x
? 2 m ? n ? x ? m ? 5 n x ?
3 ． （ 2 0 2 3 春 · 全 国 · 七 年 级 专 题 练 习 ） 若 关 于 的 不 等 式 的 解 集 为 ， 则 关 于 的 不 等
4
m ? n x ? m ? n
式 ? ? 的 解 集 为 _ _ ．
【 类 型 三 根 据 不 等 式 组 的 解 集 的 情 况 求 参 数 的 取 值 范 围 】
x ? a
?
例 题 ： （ 2 0 2 3 春 · 黑 龙 江 大 庆 · 九 年 级 大 庆 市 第 六 十 九 中 学 校 考 阶 段 练 习 ） 已 知 不 等 式 的 解 集 是 x ? 2 ，
?
x ? 2
?
学 科 网 （ 北 京 ） 股 份 有 限 公 司则 a 的 取 值 范 围 是 _ _ _ _ _ _ _ ．
【 变 式 训 练 】
x ? a
?
x ? a a
1 ． （ 2 0 2 3 春 · 全 国 · 八 年 级 阶 段 练 习 ） 若 不 等 式 组 的 解 集 为 ， 则 的 取 值 范 围 是 （ ）
?
x ? ? 3
?
a ? 3 a ? ? 3
A ． B ． a ? 3 C ． a ? ? 3 D ．
1
?
x ? a > 0
?
． （ 春 · 七 年 级 课 时 练 习 ） 若 关 于 的 不 等 式 组 2 无 解 ， 则 的 取 值 范 围 是 （ ）
2 2 0 2 3 x ? a
?
4 ? 2 x ? 0
?
a ? 1
A ． B ． a ? 1 C ． a ? 1 D ． a ? 1
x > a ? 1
?
a ?
3 ． （ 2 0 2 3 春 · 全 国 · 八 年 级 专 题 练 习 ） 若 不 等 式 组 的 解 集 为 1 ? x ? 3 ， 则 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
?
6 ? 2 x > 0
?
x ? m ? 2
?
4 ． （ 2 0 2 3 春 · 全 国 · 七 年 级 专 题 练 习 ） 若 关 于 x 的 不 等 式 组 无 解 ， 则 m 的 取 值 范 围 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
?
x ? 2 m ? ? 1
?
2 x ? 5 ? 17
?
· · _ _ _
5 ． （ 2 0 2 3 全 国 九 年 级 专 题 练 习 ） 若 关 于 x 的 不 等 式 组 ? 有 解 ， 则 m 的 取 值 范 围 是 ．
x ? 1 ? 4 m
?
【 类 型 三 利 用 不 等 式 整 数 解 求 参 数 的 取 值 范 围 】
例 题 ： （ 2 0 2 3 春 · 黑 龙 江 哈 尔 滨 · 七 年 级 哈 尔 滨 市 第 十 七 中 学 校 校 考 阶 段 练 习 ） 若 关 于 x 的 不 等 式 3 x ? 2 m ? x ? m
只 有 3 个 正 整 数 解 ， 则 m 的 取 值 范 围 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【 变 式 训 练 】
1 ． （ 2 0 2 3 春 · 山 东 菏 泽 · 八 年 级 牡 丹 区 实 验 中 学 校 考 阶 段 练 习 ） 关 于 x 的 不 等 式 x ? a ? 0 恰 好 有 4 个 正 整 数 解 ，
_ _ _ _ _ _
则 a 的 取 值 范 围 是 ．
x a
（ 春 · 安 徽 亳 州 · 七 年 级 校 考 阶 段 练 习 ） 关 于 的 不 等 式 x ? 3 a ? ? 2 a （ 其 中 为 正 整 数 ） 正 整 数 解 为 ，
2 2 0 2 3 1
a
， 3 ， 则 的 值 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
2
【 类 型 四 利 用 不 等 式 组 整 数 解 求 参 数 的 取 值 范 围 】
x ? 1 x ? 2
?
? ? 1
?
例 题 ： （ 2 0 2 3 · 内 蒙 古 包 头 · 校 联 考 一 模 ） 若 关 于 x 的 不 等 式 组 2 3 只 有 3 个 整 数 解 ， 则 a 的 取 值 范
?
?
x ? a ? 2
?
围 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【 变 式 训 练 】
? x ? 9 ? 2 x ? 3
? ?
?
x
． （ 春 · 安 徽 马 鞍 山 · 七 年 级 马 鞍 山 八 中 校 考 期 中 ） 若 关 于 的 不 等 式 组 只 有 个 整 数 解 ，
1 2 0 2 3 ? 4
2 ? x ? 1 ?
? x ? a
?
? 3
a
则 的 取 值 范 围 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
学 科 网 （ 北 京 ） 股 份 有 限 公 司3 x ? a ? x ? 1
?
?
2 ． （ 2 0 2 3 春 · 陕 西 西 安 · 八 年 级 交 大 附 中 分 校 校 考 阶 段 练 习 ） 若 关 于 x 的 不 等 式 组 只 有 3 个 整 数
? 3 x ? 2
? 1 ? x
?
? 2
解 ， 则 a 的 取 值 范 围 为 _ _ _ _ _ _ ．
【 类 型 五 方 程 组 与 不 等 式 ( 组 ) 结 合 求 参 数 】
2 x ? y ? 1 ? 2 a
?
· ·
例 题 ： （ 2 0 2 3 春 黑 龙 江 哈 尔 滨 八 年 级 哈 尔 滨 市 虹 桥 初 级 中 学 校 校 考 阶 段 练 习 ） 若 方 程 组 ? 的
x ? 2 y ? 4 a ? 5
?
x ? y ? 0 a
解 满 足 ， 则 的 取 值 范 围 是 （ ） .
A ． a ? 3 B ． a ? ? 3 C ． a ? 3 D ． a ? ? 3
【 变 式 训 练 】
x ? 3
? x ? m
1 ． （ 2 0 2 3 春 · 安 徽 合 肥 · 七 年 级 合 肥 市 庐 阳 中 学 校 考 期 中 ） 若 方 程 的 解 是 负 数 ， 则 m 的 取 值 范 围
2
是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
3 x ? y ? a ? 1
?
· · x ? y ? 5
2 ． （ 2 0 2 3 春 江 苏 七 年 级 专 题 练 习 ） 若 方 程 组 ? 的 解 x 、 y 满 足 ， 则 a 的 取 值 范 围 为
x ? 3 y ? 3
?
_ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
3 x ? 2 y ? m ? 1
?
x ? y
3 ． （ 2 0 2 3 春 · 江 苏 · 七 年 级 专 题 练 习 ） 若 方 程 组 的 解 满 足 ， 求 满 足 条 件 的 正 整 数 m 的 值 ．
?
2 x ? y ? m ? 1
?
2 x ? y ? 3 k
?
x y
4 ． （ 2 0 2 3 春 · 江 苏 · 七 年 级 专 题 练 习 ） 已 知 关 于 、 的 二 元 一 次 方 程 组 （ k 为 常 数 ） .
?
x ? y ? 6
?
x y
4 x ? y ? 4
( 1 ) 若 该 方 程 组 的 解 、 满 足 ， 求 k 的 取 值 范 围 ；
y
x
( ) .
2 若 该 方 程 组 的 解 、 均 为 正 整 数 ， 且 k ? 6 ， 直 接 写 出 该 方 程 组 的 解
学 科 网 （ 北 京 ） 股 份 有 限 公 司【过 关检 测】
一 、 选 择 题
2 x ? x ? 1
?
?
． （ · 湖 南 长 沙 · 统 考 模 拟 预 测 ） 不 等 式 组 ， 的 所 有 整 数 解 的 和 为 （ ）
1 2 0 2 3 ? x
? x ? 2
?
? 2
A ． 4 B ． 6 C ． 8 D ． 1 0
2 ． （ 2 0 2 3 春 · 全 国 · 七 年 级 专 题 练 习 ） 下 列 不 等 式 组 中 ， 属 于 一 元 一 次 不 等 式 组 的 有 ( )
2 ? x ? 5
?
2
x ? 2 x ? 5 ? x ? 2 y ? 1
? ? x ? x ? 5 ?
?
① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ? ．
? ? ? ? x ? 1
x ? ? 1 y ? 2 x ? 1 ? 1 ? 2
x ? 2
? ? ?
? ?
? 2
A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个
1
?
? x ? 3 ? x
?
?
2
3 ． （ 2 0 2 3 春 · 全 国 · 七 年 级 专 题 练 习 ） 不 等 式 组 的 解 集 在 数 轴 上 表 示 正 确 的 是 （ ）
?
x ? 2 x ? 1 x
?
? ? ? 1
?
? 3 4 6
A ． B ．
C ． D ．
? x ? 3 x ? 2 ? 2
? ?
?
4 ． （ 2 0 2 3 · 四 川 内 江 · 校 考 一 模 ） 若 关 于 x 的 不 等 式 组 恰 有 三 个 整 数 解 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围
?
a ? 2 x
? x
?
? 4
是 （ ）
A ． 4 ? a ? 5 B ． 8 ? a ? 1 0 C ． 8 ? a ? 1 0 D ． a ? 8 或 a ? 1 0
5 ． （ 2 0 2 3 春 · 江 苏 · 七 年 级 专 题 练 习 ） 如 图 ， 是 一 个 运 算 流 程 ， 若 需 要 经 过 两 次 运 算 ， 才 能 运 算 出 结 果 ， 则 输
x
入 的 整 数 有 （ ） 种 情 况 ．
A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1
二 、 填 空 题
3 x ? 2 ? x
?
?
6 ． （ 2 0 2 3 · 上 海 金 山 · 统 考 二 模 ） 不 等 式 组 的 解 集 是 _ _ _ _ _ _ _ _ ．
? x
? x ? 1
?
? 2
学 科 网 （ 北 京 ） 股 份 有 限 公 司? 2 x ? 3 ? 1
?
?
x a
7 ． （ 2 0 2 3 春 · 江 苏 · 七 年 级 专 题 练 习 ） 已 知 关 于 的 不 等 式 组 无 解 ， 则 的 取 值 范 围 是 _ _ _ _ _ _ ．
? x a ? 1
? 1 ?
?
? 4 2
8 ． （ 2 0 2 3 春 · 全 国 · 八 年 级 专 题 练 习 ） 把 一 些 书 分 给 n 名 同 学 ， 如 果 每 人 分 3 本 ， 那 么 余 8 本 ； 如 果 前 面 的 每
n ?
名 同 学 分 5 本 ， 那 么 最 后 一 人 就 分 不 到 4 本 ， 则 _ _ _ _ _ _ _ ．
9 ． （ 2 0 2 3 · 广 东 深 圳 · 深 圳 市 高 级 中 学 校 联 考 二 模 ） 定 义 新 运 算 “ ? ” ， 规 定 ： a ? b ? a ? 2 b ， 若 关 于 x 的 不 等
? x ? 3 ? 0
式 组 的 解 集 为 x ? 6 ， 则 a 的 取 值 范 围 是 _ _ _ _ _ _ _ _ ．
?
x ? a ? a
?
a x ? b y
?
1 0 ． （ 2 0 2 3 春 · 七 年 级 单 元 测 试 ） 对 x 、 y 定 义 一 种 新 运 算 T ， 规 定 ： T （ x ， y ） （ 其 中 a 、 b 均 为 非
2 x ? y
a ? 0 ? b ? 1
? ?
零 常 数 ） ， 这 里 等 式 右 边 是 通 常 的 四 则 运 算 ， 例 如 ： T （ 0 ， 1 ） b ， 已 知 T （ 1 ， － 1 ） ＝ － 2 ， T
2 ? 0 ? 1
T （ 2 m ， 5 ? 4 m ） ? 4
?
（ 4 ， 2 ） ＝ 1 ， 若 关 于 m 的 不 等 式 组 恰 好 有 3 个 整 数 解 ， 则 实 数 P 的 取 值 范 围 是 _ _ _ _ _ ．
?
T （ m ， 3 ? 2 m ） ＞ P
?
三 、 解 答 题
? 2 x ? 5 ? 0 ①
?
· ·
1 1 ． （ 2 0 2 3 山 东 济 南 统 考 一 模 ） 解 不 等 式 组 ： ? ， 并 写 出 它 的 正 整 数 解 ．
2 x ? 4 5 ? x
1 ? ? ②
?
3 2
?
? 4 x ? 1 ? 3 x ? 1
? ?
?
1 2 ． （ 2 0 2 3 · 广 东 广 州 · 广 州 市 第 二 中 学 校 考 一 模 ） 解 不 等 式 组 ， 并 把 解 集 在 数 轴 上 表 示 出 来 ．
?
3 x ? 2
? x ? 1
?
? 2
1 3 ． （ 2 0 2 3 · 湖 北 黄 冈 · 校 考 一 模 ） 某 出 租 汽 车 公 司 计 划 购 买 A 型 和 B 型 两 种 节 能 汽 车 ， 若 购 买 A 型 汽 车 4 辆 ，
B 型 汽 车 7 辆 ， 共 需 3 1 0 万 元 ； 若 购 买 A 型 汽 车 1 0 辆 ， B 型 汽 车 1 5 辆 ， 共 需 7 0 0 万 元 ．
( 1 ) A 型 和 B 型 汽 车 每 辆 的 价 格 分 别 是 多 少 万 元 ?
学 科 网 （ 北 京 ） 股 份 有 限 公 司( 2 ) 该 公 司 计 划 购 买 A 型 和 B 型 两 种 汽 车 共 1 0 辆 ， 费 用 不 超 过 2 8 5 万 元 ， 且 A 型 汽 车 的 数 量 少 于 B 型 汽 车
的 数 量 ， 请 你 给 出 费 用 最 省 的 方 案 ， 并 求 出 该 方 案 所 需 费 用 ．
2 x ? y ? a ? 4
?
1 4 ． （ 2 0 2 3 春 · 重 庆 北 碚 · 七 年 级 西 南 大 学 附 中 校 考 期 中 ） 关 于 x ， y 的 方 程 组 的 解 满 足 x 为 非 正
?
x ? y ? 2 a ? 1
?
数 ， y 为 正 数 ．
( )
1 求 a 的 取 值 范 围 ；
( ) 已 知 不 等 式 a x ? x ? a ? 1 的 解 集 为 ， 请 求 出 所 有 满 足 条 件 的 整 数 的 值 ．
2 x ? 1 a
1 5 ． （ 2 0 2 3 春 · 江 苏 · 七 年 级 专 题 练 习 ） 如 图 ， 是 一 个 运 算 流 程 ．
( 1 ) 分 别 计 算 ： 当 x ? 1 5 0 时 ， 输 出 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ， 当 x ? 2 7 时 ， 输 出 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
( 2 ) 若 需 要 经 过 两 次 运 算 ， 才 能 运 算 出 y ， 求 x 的 取 值 范 围 ；
( )
3 请 给 出 一 个 x 的 值 ， 使 之 无 论 运 算 多 少 次 都 不 能 输 出 ， 并 请 说 明 理 由 ．
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