一元二次方程

学 科 网 （ 北 京 ） 股 份 有 限 公 司一 元 二 次 方 程 专 题 训 练
一 、 单 选 题
2
1 ． （ 2 0 2 2 · 山 东 东 营 · 中 考 真 题 ） 一 元 二 次 方 程 x ? 4 x ? 8 ? 0 的 解 是 （ ）
A ． x ? 2 ? 2 3 , x ? 2 ? 2 3 B ． x ? 2 ? 2 2 , x ? 2 ? 2 2
1 2 1 2
C ． x ? ? 2 ? 2 2 , x ? ? 2 ? 2 2 D ． x ? ? 2 ? 2 3 , x ? ? 2 ? 2 3
1 2 1 2
2
2 2 0 2 0 · ·
． （ 山 东 临 沂 中 考 真 题 ） 一 元 二 次 方 程 x ? 4 x ? 8 ? 0 的 解 是 （ ）
A ． x ? ? 2 ? 2 3 ， x ? ? 2 ? 2 3 B ． x ? 2 ? 2 3 ， x ? 2 ? 2 3
1 2 1 2
C ． x ? 2 ? 2 2 ， x ? 2 ? 2 2 D ． x ? 2 3 ， x ? ? 2 3
1 2
1 2
2
2
3 ． （ 2 0 2 2 · 山 东 聊 城 · 中 考 真 题 ） 用 配 方 法 解 一 元 二 次 方 程 时 ， 将 它 化 为 x ? a ? b 的 形 式 ， 则 a ? b 的
3 x ? 6 x ? 1 ? 0 ? ?
值 为 （ ）
4
1 0 7
A ． B ． C ． 2 D ．
3 3
3
2
2
4 ． （ 2 0 2 0 · 山 东 泰 安 · 中 考 真 题 ） 将 一 元 二 次 方 程 化 成 ( x ? a ) ? b （ a ， b 为 常 数 ） 的 形 式 ， 则 a ， b 的 值
x ? 8 x ? 5 ? 0
分 别 是 （ ）
? 8
A ． ? 4 ， 2 1 B ． ? 4 ， 1 1 C ． 4 ， 2 1 D ． ， 6 9
2
5 ． （ 2 0 2 0 · 山 东 聊 城 · 中 考 真 题 ） 用 配 方 法 解 一 元 二 次 方 程 ， 配 方 正 确 的 是 （ ） ．
2 x ? 3 x ? 1 ? 0
2 2
3 17 3 1
? ? ? ?
A ． x ? ? B ． x ? ?
? ? ? ?
4 16 4 2
? ? ? ?
学 科 网 （ 北 京 ） 股 份 有 限 公 司2 2
3 13 3 1 1
? ? ? ?
C ． D ．
x ? ? x ? ?
? ?
? ?
2 4 2 4
? ? ? ?
2
6 2 0 2 2 · ·
． （ 山 东 临 沂 中 考 真 题 ） 方 程 x ? 2 x ? 24 ? 0 的 根 是 （ ）
x ? 6 x ? 4 x ? 6 x ? ? 4
A ． ， B ． ，
2
1 1 2
x ? ? 6 x ? 4 x ? ? 6 x ? ? 4
C ． ， D ． ，
1 2 1 2
2
7 ． （ 2 0 2 1 · 山 东 临 沂 · 中 考 真 题 ） 方 程 的 根 是 （ ）
x ? x ? 56
x ? 7 ， x ? 8 x ? 7 ， x ? ? 8 x ? ? 7 ， x ? 8 x ? ? 7 ， x ? ? 8
A ． B ． C ． D ．
1 2 1 2 1 2 1 2
2
8 ． （ 2 0 2 2 · 山 东 滨 州 · 中 考 真 题 ） 一 元 二 次 方 程 的 根 的 情 况 为 （ ）
2 x ? 5 x ? 6 ? 0
A B
． 无 实 数 根 ． 有 两 个 不 等 的 实 数 根
C ． 有 两 个 相 等 的 实 数 根 D ． 不 能 判 定
9 ． （ 2 0 2 1 · 山 东 滨 州 · 中 考 真 题 ） 下 列 一 元 二 次 方 程 中 ， 无 实 数 根 的 是 （ ）
2 2
A ． x ? 2 x ? 3 ? 0 B ． x ? 3 x ? 2 ? 0
2 2
C ． D ．
x ? 2 x ? 1 ? 0 x ? 2 x ? 3 ? 0
2
1 0 2 0 2 1 · ·
． （ 山 东 烟 台 中 考 真 题 ） 已 知 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x ? m n x ? m ? n ? 0 ， 其 中 m ， n 在 数 轴 上 的 对 应 点 如 图
所 示 ， 则 这 个 方 程 的 根 的 情 况 是 （ ）
A B
． 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ． 有 两 个 相 等 的 实 数 根
C ． 没 有 实 数 根 D ． 无 法 确 定
2
1 1 ． （ 2 0 2 0 · 山 东 潍 坊 · 中 考 真 题 ） 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x ? ( k ? 3 ) x ? 1 ? k ? 0 根 的 情 况 ， 下 列 说 法 正 确 的 是 （ ）
A B
． 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ． 有 两 个 相 等 的 实 数 根
C ． 无 实 数 根 D ． 无 法 确 定
1
2 2
1 2 ． （ 2 0 2 0 · 山 东 滨 州 · 中 考 真 题 ） 对 于 任 意 实 数 k ， 关 于 x 的 方 程 x ? ( k ? 5 ) x ? k ? 2 k ? 25 ? 0 的 根 的 情 况 为 （ ）
2
A B
． 有 两 个 相 等 的 实 数 根 ． 没 有 实 数 根
C ． 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 D ． 无 法 判 定
2
2
x
1 3 ． （ 2 0 2 1 · 山 东 菏 泽 · 中 考 真 题 ） 关 于 的 方 程 k ? 1 x ? 2 k ? 1 x ? 1 ? 0 有 实 数 根 ， 则 k 的 取 值 范 围 是 （ ）
? ? ? ?
1 1 1 1
A ． k ? 且 k ? 1 B ． k ? 且 k ? 1 C ． k ? D ． k ?
4 4 4 4
2
1 4 2 0 2 1 · · k x ? ? 2 k ? 1 ? x ? k ? 2 ? 0
． （ 山 东 泰 安 中 考 真 题 ） 已 知 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 标 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 则
实 数 k 的 取 值 范 围 是 （ ）
学 科 网 （ 北 京 ） 股 份 有 限 公 司1 1 1 1
A k ? ? B k ? C k ? ? k ? 0 D k ? k ? 0
． ． ． 且 ．
4 4 4 4
1 5 ． （ 2 0 2 2 · 山 东 枣 庄 · 中 考 真 题 ） 已 知 y 和 y 均 是 以 x 为 自 变 量 的 函 数 ， 当 x ＝ n 时 ， 函 数 值 分 别 是 N 和 N ， 若 存
1 2 1 2
在 实 数 n ， 使 得 N + N ＝ 1 ， 则 称 函 数 y 和 y 是 “ 和 谐 函 数 ” ． 则 下 列 函 数 y 和 y 不 是 “ 和 谐 函 数 ” 的 是 （ ）
1 2 1 2 1 2
1
2
A + 2 + 1 B + 1
． y 1 ＝ x x 和 y 2 ＝ ﹣ x ． y 1 ＝ 和 y 2 ＝ x
x
1
2
C ． y ＝ ﹣ 和 y ＝ ﹣ x ﹣ 1 D ． y ＝ x + 2 x 和 y ＝ ﹣ x ﹣ 1
1 2 1 2
x
1 6 ． （ 2 0 2 2 · 山 东 泰 安 · 中 考 真 题 ） 我 国 古 代 著 作 《 四 元 玉 鉴 》 记 载 “ 买 椽 多 少 ” 问 题 ： “ 六 贯 二 百 一 十 钱 ， 遣 人 去 买 几 株
” 6 2 1 0
椽 ． 每 株 脚 钱 三 文 足 ， 无 钱 准 与 一 株 椽 ． 其 大 意 为 ： 现 请 人 代 买 一 批 椽 ， 这 批 椽 的 价 钱 为 文 ． 如 果 每 株 椽 的
运 费 是 3 文 ， 那 么 少 拿 一 株 椽 后 ， 剩 下 的 椽 的 运 费 恰 好 等 于 一 株 椽 的 价 钱 ， 试 问 6 2 1 0 文 能 买 多 少 株 椽 ？ 设 这 批 椽
的 数 量 为 x 株 ， 则 符 合 题 意 的 方 程 是 （ ）
A 3 ? x ? 1 ? x ? 6 2 1 0 B 3 x ? 1 ? 6 2 1 0 C 3 x ? 1 x ? 6 2 1 0 D
． ． ? ? ． ? ? ． 3 x ? 6 2 1 0
2 2
1 7 ． （ 2 0 2 1 · 山 东 聊 城 · 中 考 真 题 ） 关 于 x 的 方 程 x ＋ 4 k x ＋ 2 k ＝ 4 的 一 个 解 是 ﹣ 2 ， 则 k 值 为 （ ）
A ． 2 或 4 B ． 0 或 4 C ． ﹣ 2 或 0 D ． ﹣ 2 或 2
2 2
m n
1 8 ． （ 2 0 2 1 · 山 东 济 宁 · 中 考 真 题 ） 已 知 ， 是 一 元 二 次 方 程 x ? x ? 2 0 2 1 ? 0 的 两 个 实 数 根 ， 则 代 数 式 的
m ? 2 m ? n
值 等 于 （ ）
A 2 0 1 9 B 2 0 2 0 C 2 0 2 1 D 2 0 2 2
． ． ． ．
二 、 填 空 题
2
1 9 ． （ 2 0 2 2 · 山 东 东 营 · 中 考 真 题 ） 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ( k ? 1 ) x ? 2 x ? 1 ? 0 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 则 k 的 取 值 范 围
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
是 ．
2
2 0 ． （ 2 0 2 2 · 山 东 威 海 · 中 考 真 题 ） 若 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 则 m 的 取 值 范
x ? 4 x ? m ? 1 ? 0
围 是 _ _ _ ．
2
( m - 1 ) x + 2 x + 1 = 0
2 1 ． （ 2 0 2 0 · 山 东 烟 台 · 中 考 真 题 ） 如 果 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 则 m 的 取 值
范 围 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
2
2 2 2 0 2 0 · · x x x + 2 m 0 m
． （ 山 东 淄 博 中 考 真 题 ） 已 知 关 于 的 一 元 二 次 方 程 ﹣ ＝ 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 则 实 数 的 取 值
范 围 是 _ _ _ _ _ ．
2
x m
2 3 ． （ 2 0 2 0 · 山 东 东 营 · 中 考 真 题 ） 如 果 关 于 的 一 元 二 次 方 程 有 实 数 根 ， 那 么 的 取 值 范 围 是 _ _ _ ．
x ? 6 x ? m ? 0
3
2 2
2
2 4 2 0 2 2 · · 2 + 4 + = 0 x ? x ?
． （ 山 东 日 照 中 考 真 题 ） 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x m x m 有 两 个 不 同 的 实 数 根 x 1 ， x 2 ， 且 ，
1 2
1 6
则 m = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
2
2 5 ． （ 2 0 2 1 · 山 东 德 州 · 中 考 真 题 ） 方 程 x ﹣ 4 x ＝ 0 的 解 为 _ _ _ _ _ _ ．
4 x ( x ? 2 ) ? x ? 2
2 6 ． （ 2 0 2 0 · 山 东 威 海 · 中 考 真 题 ） 一 元 二 次 方 程 的 解 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
2
x
2 7 ． （ 2 0 2 1 · 山 东 济 南 · 中 考 真 题 ） 关 于 的 一 元 二 次 方 程 的 一 个 根 是 2 ， 则 另 一 个 根 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
x ? x ? a ? 0
学 科 网 （ 北 京 ） 股 份 有 限 公 司2 2
2 8 ． （ 2 0 2 0 · 山 东 枣 庄 · 中 考 真 题 ） 已 知 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 （ a ﹣ 1 ） x ﹣ 2 x ＋ a ﹣ 1 ＝ 0 有 一 个 根 为 x ＝ 0 ， 则 a ＝ _ _ _ ．
2 9 ． （ 2 0 2 0 · 山 东 济 南 · 中 考 真 题 ） 如 图 ， 在 一 块 长 1 5 m 、 宽 1 0 m 的 矩 形 空 地 上 ， 修 建 两 条 同 样 宽 的 相 互 垂 直 的 道 路 ，
2
1 2 6 _ _ _ _ _
剩 余 分 栽 种 花 草 ， 要 使 绿 化 面 积 为 m ， 则 修 建 的 路 宽 应 为 米
三 、 解 答 题
3 0 ． （ 2 0 2 1 · 山 东 日 照 · 中 考 真 题 ） 某 药 店 新 进 一 批 桶 装 消 毒 液 ， 每 桶 进 价 3 5 元 ， 原 计 划 以 每 桶 5 5 元 的 价 格 销 售 ， 为
y
x
更 好 地 助 力 疫 情 防 控 ， 现 决 定 降 价 销 售 ． 已 知 这 种 消 毒 液 销 售 量 （ 桶 ） 与 每 桶 降 价 （ 元 ） （ 0 ? x ? 2 0 ） 之 间 满
足 一 次 函 数 关 系 ， 其 图 象 如 图 所 示 ：
y
x
1
（ ） 求 与 之 间 的 函 数 关 系 式 ；
（ 2 ） 在 这 次 助 力 疫 情 防 控 活 动 中 ， 该 药 店 仅 获 利 1 7 6 0 元 ． 这 种 消 毒 液 每 桶 实 际 售 价 多 少 元 ？
3 1 ． （ 2 0 2 1 · 山 东 滨 州 · 中 考 真 题 ） 某 商 品 原 来 每 件 的 售 价 为 6 0 元 ， 经 过 两 次 降 价 后 每 件 的 售 价 为 4 8 . 6 元 ， 并 且 每 次
降 价 的 百 分 率 相 同 ．
（ 1 ） 求 该 商 品 每 次 降 价 的 百 分 率 ；
（ 2 ） 若 该 商 品 每 件 的 进 价 为 4 0 元 ， 计 划 通 过 以 上 两 次 降 价 的 方 式 ， 将 库 存 的 该 商 品 2 0 件 全 部 售 出 ， 并 且 确 保 两
次 降 价 销 售 的 总 利 润 不 少 于 2 0 0 元 ， 那 么 第 一 次 降 价 至 少 售 出 多 少 件 后 ， 方 可 进 行 第 二 次 降 价 ？
3 2 ． （ 2 0 2 1 · 山 东 烟 台 · 中 考 真 题 ） 直 播 购 物 逐 渐 走 进 了 人 们 的 生 活 ． 某 电 商 在 抖 音 上 对 一 款 成 本 价 为 4 0 元 的 小 商 品
6 0 2 0 5
进 行 直 播 销 售 ， 如 果 按 每 件 元 销 售 ， 每 天 可 卖 出 件 ． 通 过 市 场 调 查 发 现 ， 每 件 小 商 品 售 价 每 降 低 元 ， 日 销
售 量 增 加 1 0 件 ．
（ 1 ） 若 日 利 润 保 持 不 变 ， 商 家 想 尽 快 销 售 完 该 款 商 品 ， 每 件 售 价 应 定 为 多 少 元 ？
（ 2 ） 小 明 的 线 下 实 体 商 店 也 销 售 同 款 小 商 品 ， 标 价 为 每 件 6 2 . 5 元 ． 为 提 高 市 场 竞 争 力 ， 促 进 线 下 销 售 ， 小 明 决 定
对 该 商 品 实 行 打 折 销 售 ， 使 其 销 售 价 格 不 超 过 （ 1 ） 中 的 售 价 ， 则 该 商 品 至 少 需 打 几 折 销 售 ？
学 科 网 （ 北 京 ） 股 份 有 限 公 司3 3 ． （ 2 0 2 1 · 山 东 东 营 · 中 考 真 题 ） “ 杂 交 水 稻 之 父 ” — — 袁 隆 平 先 生 所 率 领 的 科 研 团 队 在 增 产 攻 坚 第 一 阶 段 实 现 水 稻 亩
产 量 7 0 0 公 斤 的 目 标 ， 第 三 阶 段 实 现 水 稻 亩 产 量 1 0 0 8 公 斤 的 目 标 ．
1
（ ） 如 果 第 二 阶 段 、 第 三 阶 段 亩 产 量 的 增 长 率 相 同 ， 求 亩 产 量 的 平 均 增 长 率 ；
（ 2 ） 按 照 （ 1 ） 中 亩 产 量 增 长 率 ， 科 研 团 队 期 望 第 四 阶 段 水 稻 亩 产 量 达 到 1 2 0 0 公 斤 ， 请 通 过 计 算 说 明 他 们 的 目 标
能 否 实 现 ．
3 4 2 0 2 1 · ·
． （ 山 东 菏 泽 中 考 真 题 ） 列 方 程 （ 组 ） 解 应 用 题
端 午 节 期 间 ， 某 水 果 超 市 调 查 某 种 水 果 的 销 售 情 况 ， 下 面 是 调 查 员 的 对 话 ：
小 王 ： 该 水 果 的 进 价 是 每 千 克 2 2 元 ；
小 李 ： 当 销 售 价 为 每 千 克 3 8 元 时 ， 每 天 可 售 出 1 6 0 千 克 ； 若 每 千 克 降 低 3 元 ， 每 天 的 销 售 量 将 增 加 1 2 0 千 克 ．
根 据 他 们 的 对 话 ， 解 决 下 面 所 给 问 题 ： 超 市 每 天 要 获 得 销 售 利 润 3 6 4 0 元 ， 又 要 尽 可 能 让 顾 客 得 到 实 惠 ， 求 这 种 水
果 的 销 售 价 为 每 千 克 多 少 元 ？
3 5 ． （ 2 0 2 0 · 山 东 滨 州 · 中 考 真 题 ） 某 水 果 商 店 销 售 一 种 进 价 为 4 0 元 / 千 克 的 优 质 水 果 ， 若 售 价 为 5 0 元 / 千 克 ， 则 一 个
月 可 售 出 5 0 0 千 克 ； 若 售 价 在 5 0 元 / 千 克 的 基 础 上 每 涨 价 1 元 ， 则 月 销 售 量 就 减 少 1 0 千 克 ．
1 5 5 /
（ ） 当 售 价 为 元 千 克 时 ， 每 月 销 售 水 果 多 少 千 克 ？
（ 2 ） 当 月 利 润 为 8 7 5 0 元 时 ， 每 千 克 水 果 售 价 为 多 少 元 ?
（ 3 ） 当 每 千 克 水 果 售 价 为 多 少 元 时 ， 获 得 的 月 利 润 最 大 ？
学 科 网 （ 北 京 ） 股 份 有 限 公 司