九年级数学上册《第一章 矩形的性质与判定》同步练习题及答案（北师大版）1．如图，点E为矩形ABCD内一点，且EA＝EB．求证：∠ECD＝∠E
DC．2．如图，在矩形ABCD中，点M在CD上，AM＝AB，BN⊥AM，垂足为N．（1）求证：△ABN≌△MAD；（2）若AD＝3
，MN＝1，求AB的长．3．如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC分别交AD，BC于点E，F．（1）求证
：△AOE≌△COF；（2）若AB＝8，BC＝16，求CF的长．4．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在
边CD上，且FC＝AE，连接AF、BF．（1）求证：四边形DEBF是矩形；（2）若AF平分∠DAB，FC＝3，DF＝5，求BF的长
．5．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝DA，连接BF，CF．（1）求证：四边形BCEF是
矩形；（2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长．6．如图，在?ABCD中，点E、F在AD边上，且BF＝CE，AE＝DF．（
1）求证：△ABF≌△DCE；（2）求证：四边形ABCD是矩形．7．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD交AD的延长
线于点E，CE＝AC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝4，AD＝3，求四边形BCED的周长．8．如图，在四边形AB
CD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．（1）求证：四边
形ABCD是矩形；（2）若∠BDE＝15°，求∠DOE；（3）在（2）的条件下，若AB＝2，求△BOE的面积．9．如图，在四边形A
BCD中，AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB．（1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形；（2）如图2
，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，若AD＝12，AB＝5，求PE+PF的值．10．如图，在矩形AB
CD中，E为DC边的中点，连接AB，AE的延长线和BC的延长线相交于点F．（1）求证：△ADE≌△FCE；（2）连接AC，与BE相
交于点G，若△GEC的面积为2，求矩形ABCD的面积．11．如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O作直线分别与矩形的
边AB，CD交于E，F两点，连接BF，DE．（1）求证：四边形BEDF为平行四边形；（2）若AD＝1，AB＝3，且EF⊥BD，求A
E的长．12．已知：如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AB和CD的中点．（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；（2）当△A
BC的边AC、BC满足什么数量关系时，四边形AMCN是矩形，请说明理由．13．如图，过△ABC边AC的中点O，作OE⊥AC，交AB
于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD，CE，若CE平分∠ACB，CE⊥BO于点F．（1）求证：OC＝BC．
（2）四边形ABCD是矩形．14．已知，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为BC的中点，连接AC，DE交于点F，AB＝AC，AF
＝CF．（1）如图1，求证：四边形AECD是矩形；（2）如图2，连接BF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与△BEF面
积相等的三角形．15．如图，AD是?ABDE的对角线，∠ADE＝90°，延长ED至点C，使DC＝ED，连接AC交BD于点O，连接B
C．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）连接OE，若AD＝4，AB＝2，求OE的长．16．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC
＝5，E、P分别在AD、BC上，且DE＝BP＝1（1）判断△BEC的形状，并说明理由；（2）求证：四边形EFPH是矩形．17．如图
△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证
：OE＝OF；（2）若CE＝4，CF＝3，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．1
8．如图，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC、BD相交于点O，若E、F是AC上两动点，分别从A、C两点以相同的速度1cm/s向
点O运动．（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是否是平行四边形？请说明理由；（2）若AC＝16cm，BD＝12cm，点E，F在运
动过程中，四边形DEBF能否为矩形？如能，求出此时的运动时间t的值，如不能，请说明理由．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，A
D＝3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．（1）当△CDQ≌△CPQ时，
求AQ的长；（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，MD⊥MP，求AQ的长．20．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AB与AC满足什么数
量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．21．如图，在长方形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发
沿AD、BC、CB、DA方向在长方形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时即停止，已知在相同时间内，若BQ＝xc
m（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm．（1）当x为何值时，点的运动停止？（2）点P与点N可能相遇吗？点Q
与点M呢？请通过计算说明理由．（3）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形？22．如图，AC为矩形ABCD的对角
线，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：△ABE≌△CDF．（2）求证：四边形BFDE是平行四边形．23．如图，矩形A
BCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，动点M从点D出发，按折线D→C→B→A→D方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折
线DABCD方向以1cm/s的速度运动．（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？（2）若点E在线段BC上，且BE＝3cm，
若动点M、N同时出发，相遇时停止运动，经过几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形？24．如图，长方形ABCD中，AB＝4cm，BC
＝6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A﹣B﹣C﹣D回到点A，设点P运动的时间为t秒．（1）当t＝3秒时，求
△ABP的面积；（2）当t为何值时，点P与点A的距离为5cm？（3）当t为何值时（2＜t＜5），以线段AD、CP、AP的长度为三边
长的三角形是直角三角形，且AP是斜边．参考答案1．证明：∵EA＝EB∴∠EAB＝∠EBA在矩形ABCD中，∠DAB＝∠CBA＝90
°，AD＝BC∴∠DAB﹣∠EAB＝∠CBA﹣∠EBA即∠EAD＝∠EBC在△ADE和△BCE中∴△ADE≌△BCE（SAS）．∴
ED＝EC∴∠ECD＝∠EDC．2．（1）证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB∴∠BAN＝∠AMD∵BN⊥AM∴∠BN
A＝90°在△ABN和△MAD中∴△ABN≌△MAD（AAS）；（2）解：∵△ABN≌△MAD∴BN＝AD＝3∵AB2＝AN2+B
N2∴AB2＝（AB﹣1）2+9∴AB＝53．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC∴∠DAC＝∠BCA∵点O是AC的中点
∴AO＝CO在△AEO和△CFO中∴△AEO≌△CFO（ASA）；（2）解：如图，连接AF∵AO＝CO，EF⊥AC∴AF＝FC∵A
F2＝AB2+BF2∴CF2＝（16﹣CF）2+64∴CF＝10．4．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴DC∥AB，DC＝
AB∵FC＝AE∴CD﹣FC＝AB﹣AE即DF＝BE∴四边形DEBF是平行四边形又∵DE⊥AB∴∠DEB＝90°∴平行四边形DEB
F是矩形；（2）解：∵AF平分∠DAB∴∠DAF＝∠BAF∵DC∥AB∴∠DFA＝∠BAF∴∠DFA＝∠DAF∴AD＝DF＝5 在
Rt△AED中，由勾股定理得：DE4由（1）得：四边形DEBF是矩形∴BF＝DE＝4．5．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AD＝BC∵EF＝DA∴EF＝BC，EF∥BC∴四边形BCEF是平行四边形又∵CE⊥AD∴∠CEF＝90°∴平行四边
形BCEF是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形∴CD＝AB＝3∵CF＝4，DF＝5∴CD2+CF2＝DF2∴△CDF是直
角三角形，∠DCF＝90°∴△CDF的面积DF×CECF×CD∴CE由（1）得：EF＝BC，四边形BCEF是矩形∴∠FBC＝90°
，BF＝CE∴BC∴EF．6．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD，AB∥CD∵AE＝FD∴AE+EF＝FD+EF
即AF＝DE在△ABF和△DCE中∴△ABF≌△DCE（SSS）；（2）由（1）可知：△ABF≌△DCE∴∠A＝∠D∵AB∥CD∴
∠A+∠D＝180°∴2∠A＝180°∴∠A＝90°∴?ABCD为矩形．7．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AE∥BC∵
CE∥BD∴四边形BCED是平行四边形∴CE＝BD．∵CE＝AC∴AC＝BD．∴?ABCD是矩形；（2）解：∵AB＝4，AD＝3，
∠DAB＝90°∴．∵四边形BCED是平行四边形∴四边形BCED的周长为2（BC+BD）＝2×（3+5）＝16．8．（1）证明：∵
AD∥BC∴∠ABC+∠BAD＝180°∵∠ABC＝90°∴∠BAD＝90°∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°∴四边形ABCD
是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC∴∠CDE＝∠CED＝45°∴EC＝DC又∵∠BDE＝15°∴∠CDO＝
60°又∵矩形的对角线互相平分且相等∴OD＝OC∴△OCD是等边三角形∴∠DOC＝∠OCD＝60°∴∠OCB＝90°﹣∠DCO＝3
0°∵CO＝CE∴∠COE＝（180°﹣30°）÷2＝75°∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝60°+75°＝135°；（3）解：作
OF⊥BC于F．∵四边形ABCD是矩形∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD∴AO＝BO＝CO＝D
O∴BF＝FC∴OFCD＝1∵∠OCB＝30°，AB＝2∴BC＝2∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°∴∠EDC＝45°在Rt△E
DC中，EC＝CD＝2∴△BOE的面积?EB?OF（22）×11．9．证明：（1）∵AD∥BC∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠A
DC+∠BCD＝180°∵∠ABC＝∠ADC∴∠BAD＝∠BCD∴四边形ABCD是平行四边形∴OA＝OCAC，OB＝ODBD∵OA
＝OB∴AC＝BD∴四边形ABCD是矩形；（2）如图，连接OP∵AD＝12，AB＝5∴BD13∴BO＝OD＝AO＝CO∵S△AOD
S矩形ABCD12×5＝15∴S△AOP+S△POD＝15∴FPEP＝15∴PE+PF．10．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形∴
AD∥CB，AD＝BC∴∠D＝∠FCE；∵E为DC中点∴ED＝EC在△ADE与△FCE中∴△ADE≌△FCE（ASA）；（2）解：
∵四边形ABCD是矩形∴AB∥CD，AB＝DC∴，（）2∵DE＝CE∴AB＝2CE∴2，（）2＝4∵△GEC的面积为2∴S△BGC
＝2S△CEG＝4，S△ABG＝4S△CEG＝8∴S△ABC＝S△BGC+S△ABG＝4+8＝12∴矩形ABCD的面积＝2S△AB
C＝24．11．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形∴AB∥CD∴∠OBE＝∠ODF∵O为对角线BD的中点∴OB＝OD在△OBE和△
ODF中∴△OBE≌△ODF（ASA）∴BE＝DF又∵BE∥DF∴四边形BEDF为平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形∴∠
A＝90°由（1）得：四边形BEDF为平行四边形∵EF⊥BD∴平行四边形BEDF为菱形∴BE＝DE设AE＝x，则DE＝BE＝3﹣x
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2＝DE2即12+x2＝（3﹣x）2解得：x即AE的长为．12．（1）证明∵四边形AB
CD是平行四边形∴AB＝CD，AB∥CD∵M，N分别为AB和CD的中点∴AMAB，CNCD∴AM＝CN∵AB∥CD∴四边形AMCN
是平行四边形；（2）解：AC＝BC时，四边形AMCN是矩形证明∵AC＝BC，且M是BC的中点∴CM⊥AB即∠AMC＝90°∴四边形
AMCN是矩形．13．证明：（1）∵CE平分∠ACB∴∠OCE＝∠BCE∵BO⊥CE∴∠CFO＝∠CFB＝90°在△OCF与△BC
F中△OCF≌△BCF（ASA）∴OC＝BC；（2）∵点O是AC的中点∴OA＝OC∵AD∥BC∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠C
BO在△OAD与△OCB中∴△OAD≌△OCB（ASA）∴AD＝BC∵AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形∵OE⊥AC∴∠EOC
＝90°在△OCE与△BCE中∴△OCE≌△BCE（SAS）∴∠EBC＝∠EOC＝90°∴四边形ABCD是矩形．14．（1）证明：
∵AD∥BC∴∠FAD＝∠FCE，∠FDA＝∠FEC在△ADF和△CEF中∴△ADF≌△CEF（AAS）∴AD＝CE∵AD∥CE∴
四边形AECD为平行四边形∵AB＝AC，点E为BC的中点∴AE⊥BC∴∠AEC＝90°∴平行四边形AECD为矩形；（2）解：图2中
与△BEF面积相等的三角形为△AEF，△ADF，△CDF，△CEF．理由如下：∵点E为BC的中点∴S△CEF＝S△BEF∵AF＝C
F∴S△AEF＝S△CEF，S△ADF＝S△CDF由（1）可知，四边形AECD是矩形∴EF＝DF∴S△AEF＝S△ADF∴S△CE
F＝S△BEF＝S△AEF＝S△ADF＝S△CDF即与△BEF面积相等的三角形为△AEF，△ADF，△CDF，△CEF．15．（1
）证明：∵四边形ABDE是平行四边形∴AB∥DE，AB＝ED∵DC＝ED∴DC＝AB，DC∥AB∴四边形ABCD是平行四边形∵DE
⊥AD∴∠ADC＝90°∴四边形ABCD是矩形；（2）解：过O作OF⊥CD于F∵四边形ABCD是矩形，AD＝4，AB＝2∴DE＝C
D＝AB＝2，AD＝BC＝4，AC＝BD，AO＝OC，BO＝DO∴OD＝OC∵OF⊥CD∴DF＝CFCD1∴OFBC2，EF＝DE
+DF＝2+1＝3∴OE．16．解：（1）△BEC是直角三角形：理由是：∵矩形ABCD∴∠ADC＝∠ABP＝90°，AD＝BC＝5
，AB＝CD＝2由勾股定理得：CE同理BE＝2∴CE2+BE2＝5+20＝25∵BC2＝52＝25∴BE2+CE2＝BC2∴∠BE
C＝90°∴△BEC是直角三角形．（2）∵矩形ABCD∴AD＝BC，AD∥BC∵DE＝BP∴四边形DEBP是平行四边形∴BE∥DP
∵AD＝BC，AD∥BC，DE＝BP∴AE＝CP∴四边形AECP是平行四边形∴AP∥CE∴四边形EFPH是平行四边形∵∠BEC＝9
0°∴平行四边形EFPH是矩形．17．（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F∴∠2＝∠5，∠4＝
∠6∵MN∥BC∴∠1＝∠5，∠3＝∠6∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∴EO＝CO，FO＝CO∴OE＝OF；（2）解：∵∠2＝∠5，∠4
＝∠6∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°∵CE＝4，CF＝3∴EF5∴OCEF；（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AEC
F是矩形．证明：当O为AC的中点时，AO＝CO∵EO＝FO∴四边形AECF是平行四边形∵∠ECF＝90°∴平行四边形AECF是矩形
．18．解：（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形．理由：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA＝OC，OB＝OD；∵E、
F两动点，分别从A、C两点以相同的速度向点O运动∴AE＝CF；∴OE＝OF；∴BD、EF互相平分；∴四边形DEBF是平行四边形；（
2）四边形DEBF能是矩形．理由：∵四边形DEBF是平行四边形∴当BD＝EF时，四边形DEBF是矩形；∵BD＝12cm∴EF＝12
cm；∴OE＝OF＝6cm；∵AC＝16cm；∴OA＝OC＝8cm；∴AE＝2cm由于动点的速度都是1cm/s所以t＝2（s）故当
运动时间t＝2s时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形．19．解：（1）∵△CDQ≌△CPQ∴DQ＝PQ，PC＝DC∵AB＝DC
＝5，AD＝BC＝3∴PC＝5在Rt△PBC中，PB4∴PA＝AB﹣PB＝5﹣4＝1设AQ＝x，则DQ＝PQ＝3﹣x在Rt△PAQ
中，（3﹣x）2＝x2+12解得x∴AQ．（2）方法1，如图2，过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB∵MD⊥MP∴∠PMD＝90°∴
∠PME+∠DMF＝90°∵∠FDM+∠DMF＝90°∴∠MDF＝∠PME∵M是QC的中点∴DMQC，PMQC∴DM＝PM在△MD
F和△PME中∴△MDF≌△PME（AAS）∴ME＝DF，PE＝MF∵EF⊥CD，AD⊥CD∴EF∥AD∵QM＝MC∴DF＝CFD
C∴ME∵ME是梯形ABCQ的中位线∴2ME＝AQ+BC，即5＝AQ+3∴AQ＝2．方法2、∵点M是Rt△CDQ的斜边CQ中点∴D
M＝CM∴∠DMQ＝2∠DCQ∵点M是Rt△CPQ的斜边的中点∴MP＝CM∴∠PMQ＝2∠PCQ∵∠DMP＝90°∴2∠DCQ+2
∠PCQ＝90°∴∠PCD＝45°，°∠BCP＝90°﹣45°＝45°∴∠BPC＝45°＝∠BCP，∴BP＝BC＝3∵∠CPQ＝9
0°∴∠APQ＝180°﹣90°﹣45°＝45°∴∠AQP＝90°﹣45°＝45°＝∠APQ∴AQ＝AP＝2．20．（1）证明：∵
四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC∴∠ABE＝∠CDF∵点E，F分别为OB，OD的中点∴B
EOB，DFOD∴BE＝DF在△ABE和△CDF中∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形
；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB∴AB＝OA∵E是OB的中点∴AG⊥OB∴∠OEG＝90°同理：CF⊥OD∴AG∥CF∴E
G∥CF由（1）得：△ABE≌△CDF∴AE＝CF∵EG＝AE∴EG＝CF∴四边形EGCF是平行四边形∵∠OEG＝90°∴四边形E
GCF是矩形．21．解：（1）由题意得x2＝20∴x＝2∴当x为2时，点的运动停止；（2）当点P与点N相遇时，2x+x2＝20解得
x＝21或﹣1﹣2（舍去）当点Q与点M相遇时，x+3x＝20解得x＝5当x＝5时，x2＝25＞20∴点Q与点M不能相遇；（3）∵当
点N到达A点时，x2＝20∴x＝2∴BQ＝2cm，CM＝6cm∵BQ+CM＝820∴此时M点与Q点还未相遇∴点Q只能在点M的左侧①
如图，当点P在点N的左侧时20﹣（x+3x）＝20﹣（2x+x2）解得x＝0（舍去）或x＝2∴当x＝2时，以P、Q、M、N为顶点的
四边形是平行四边形；②如图，当点P在点N的右侧时20﹣（x+3x）＝（2x+x2）﹣20解得x＝4或﹣10（舍去）∴当x＝4时，以
P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形综上，当x＝2或4时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．22．证明：（1）∵四边
形ABCD是矩形∴AB＝CD，AB∥CD∴∠BAE＝∠DCF又∵BE⊥AC，DF⊥AC∴∠AEB＝∠CFD＝90°在△ABE和△C
DF中∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）由（1）得：△ABE≌△CDF∴BE＝DF又∵BE⊥AC，DF⊥AC∴BE∥DF∴四边
形BFDE是平行四边形．23．解：（1）设t秒时两点相遇根据题意得，t+2t＝2（4+8）解得t＝8答：经过8秒两点相遇；（2）观察图象可知，点M不可能在AB或DC上．①如图1，点M在E点右侧时，当AN＝ME时，四边形AEMN为平行四边形得：8﹣t＝9﹣2t解得t＝1∵t＝1时，点M还在DC上∴t＝1舍去；②如图2，点M在E点左侧时，当AN＝ME时，四边形AEMN为平行四边形得：8﹣t＝2t﹣9解得t．所以，经过秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形．24．解：（1）当t＝3时，点P的路程为2×3＝6cm∵AB＝4cm，BC＝6cm∴点P在BC上∴（cm2）．（2）（Ⅰ）若点P在BC上∵在Rt△ABP中，AP＝5，AB＝4∴BP＝2t﹣4＝3∴；（Ⅱ）若点P在DC上则在Rt△ADP中，AP是斜边∵AD＝6∴AP＞6∴AP≠5；（Ⅲ）若点P在AD上AP＝5则点P的路程为20﹣5＝15∴综上，当秒或时，AP＝5cm．（3）当2＜t＜5时，点P在BC边上∵BP＝2t﹣4，CP＝10﹣2t∴AP2＝AB2+BP2＝42+（2t﹣4）2由题意，有AD2+CP2＝AP2∴62+（10﹣2t）2＝42+（2t﹣4）2∴t5即t．学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 共 26 页zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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