2023年高考数学真题完全解读（全国甲卷文科）

2023年高考数学真题完全解读（全国甲卷文科）适用省份四川、广西、贵州、西藏2023年高考数学全国卷全面考查了数学抽象、逻辑推理、数学建模、
直观想象、数学运算和数据分析等学科核心素养，体现基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，突出理性思维，发挥出数学学科在人才选拔中
的重要作用。一、题型与分值分布题型：（1）单选题12道，每题5分共60分；（2）填空题4道，每题5分共20分；（3）解答题5道，每
题12分共60分；（4）选做题2道，每题10分。二、题目难度和复杂度难度级别具体试题总分值整体评价★☆☆☆☆第1题、第2题、第4题
、第13题、第15题25分整体试卷难度偏易，整体复杂度不高，综合知识点大多都是2个左右★★☆☆☆第3题、第5题、第6题、第14题、
第17题、第22题、第23题42分★★★☆☆第7题、第8题、第9题、第10题、第18题、第19题44分★★★★☆第11题、第20题
、第21题29分★★★★★第12题、第16题10分三、知识点覆盖详细情况说明知识点题型题目数量总分值整体评价集合单选题1个15分主
干知识考查全面，题目数量设置均衡；与课程标准保持了一致性。复数单选题1个15分平面向量单选题1个15分程序框图单选题1个15分数列
单选题1个填空题1个210分三角函数单选题1个解答题1个217分概率与统计单选题1个解答题1个217分立体几何单选题1个填空题1个
解答题1个322分圆锥曲线单选题2个解答题1个322分函数与导数单选题2个填空题1个解答题1个427分极坐标与参数方程选做题1个1
10分不等式填空题1个（线性规划问题）选做题1个215分四、高考试卷命题探究2023年高考数学全国卷在命制情境化试题过程中，通过对
阅读题的分析，可以发现今年的高考命题在素材使用方面，对文字数量加以控制，阅读理解难度也有所降低；在抽象数学问题方面，力图设置合理的
思维强度和抽象程度；在解决问题方面，通过设置合适的运算过程和运算量，力求使情境化试题达到试题要求层次与考生认知水平的契合与贴切。一
是创设现实生活情境。数学试题情境取材于学生生活中的真实问题，贴近学生实际，具有现实意义，具备研究价值。如第4题，取材于学校文艺活动
，贴近考生，贴近生活，意在引导学生积极参加文艺活动，全面发展。二是设置科学研究情境。科学研究情境的设置不仅考查数学的必备知识和关键
能力，而且引导考生树立理想信念，热爱科学，为我国社会主义事业的建设作出贡献。如第19题，研究臭氧环境对小白鼠生长的影响，将小白鼠随
机分配到试验组和对照组，利用成对数据制成列联表，进行独立性检验。五、高考复习建议高考数学复习应突出强调对基础知识和基本概念的深入理
解和灵活掌握，注重考查学科知识的综合应用能力，在日常试题训练中应合理控制难度，力图促进高中教学与义务教育阶段学习的有效衔接，促进考
教衔接，引导学生提高在校学习效率，避免机械、无效的学习。针对高三新一轮的复习，主要有以下几点建议。一是突出基础性要求。高考数学试卷
在选择题和填空题部分均设置多个知识点，全面考查集合、复数、平面向量、排列组合、三角函数的图像和性质、几何体的体积、直线和圆等内容，
实现对基础知识的全方位覆盖。同时，在解答题部分深入考查基础，集中体现在考查考生对基础知识、基本方法的深刻理解和融会贯通的应用。如第
5题，全面考查等差数列的概念与性质，以主干知识考查理性思维素养和运算求解能力。如第13题，全面考查等比数列的概念与性质，以主干知识
考查理性思维素养和运算求解能力。二是彰显综合性要求。如第14题，是函数、三角函数的综合题，深入考查函数的奇偶性、三角函数的奇偶性，
可通过函数、三角函数奇偶性的定义求解。三是体现创新性要求。如第12题，将三角函数的图像和直线方程相结合，考查两者交点的个数，展示函
数图象在解决问题过程中的重要作用。2023年高考数学全国卷全面贯彻党的二十大报告精神，落实高考内容改革的要求，严格依据高中课程标准
，深化基础性和综合性，聚焦学科核心素养，精选试题情境，加强关键能力考查，促进学生提升科学素养，引导全面发展，助推高中育人方式改革。
题号分值题型考查内容考查点15单选题集合有限集合中，求补集，求并集25单选题复数复数的四则运算35单选题平面向量平面向量坐标运算，
向量的加、减法、数量积的坐标运算，求向量的夹角45单选题概率古典概率的概率公式，组合问题55单选题等差数列等差数列的通项公式，前n
项和公式65单选题算法与程序框图程序框图模拟运行75单选题圆锥曲线椭圆的焦点三角形面积公式85单选题导函数导数的切线问题95单选题
圆锥曲线双曲线的离心率与渐近线的关系，圆心到直线的距离及圆半径，求弦长105单选题立体几何证明平面找高，分割体积法求体积115单选
题函数指数函数的单调性及二次函数的性质，利用作差法比较自变量的大小125单选题三角函数与函数三角函数平移的性质，画图，判断三角函数
与一次函数交点数量135填空题等比数列等比数列的前n项和公式，通项公式145填空题函数与三角函数函数的奇偶性判断，三角函数的奇偶性
155填空题线性规划线性规划“截距”型最值问题165填空题立体几何正方体的外接球、球的内接正方形1712解答题三角函数（1）余弦定
理；（2）面积公式以及恒等变换.1812解答题立体几何（1）线面、面面垂直问题（2）体积问题1912解答题概率与统计（1）直接根据
均值定义求解；（2）（i）列联表；（ii）独立性检验的卡方计算进行检验2012解答题函数与导数（1）判断单调性；（2）隐零点问题2
112解答题圆锥曲线（1）求抛物线方程（2）直线与抛物线相交，最值问题.2210选做题极坐标与参数方程（1）直线参数方程的几何意义
；（2）直角坐标方程与极坐标方程的转化.2310选做题不等式（1）解含参的绝对值不等式，分类讨论（2）将绝对值函数写成分段函数，画
草图，根据面积列式，求参.强调对基础知识和基本概念的深入理解和灵活掌握，引导学生提高在校学习效率，避免机械、无效的学习。2、学生应
认识到低效的学习方式只会带来无效的压力和负担，讲究备考复习时效性，不断巩固阶段性复习成果。3、合理控制试题难度，科学引导中学教学，
力图促进高中教学与义务教育阶段学习的有效衔接。4、不管命题方向趋势如何，重视对基础概念的理解和掌握永远是最重要的。不论题型、题量、
难度如何，透彻、全面地理解基础概念，能够用最基础、朴素的方式使用基础概念分析解决问题是一切的基础，是能做对所有送分的基础题的基础，
是能着手分析难题的基础，也是未来学习大学的专业知识和高等知识的基础。5、不管命题方向趋势如何，逻辑分析推理能力也是非常重要的。现在
的难题几乎根本不会出现非常套路化、模板化的陈年旧题，总是在想方设法地推陈出新。就算有旧题型，往往也都是简单的题目，不需要什么特殊的
方法也能做出来。2023年高考全国甲卷数学（文）真题一、单选题1．设全集，集合，则（?? ??）A．B．C．D．【命题意图】本题考
察有限集合中，求补集，求并集，难度：容易【答案】A【详解】因为全集，集合，所以，又，所以【知识链接】1、集合的表示方法：列举法、描
述法、Venn图等；2、集合的类型：有限集、无限集；3、根据元素的特征判断集合所表示的含义；4、应用数形结合进行交、并、补等运算，
常用的数形结合形式有数轴、坐标系及Venn图．2．（???? ）A．B．1C．D．【命题意图】本题考察复数的四则运算，难度：容易【
答案】C【详解】【知识链接】复数的四则运算设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),我们规定:z1+z2=(a+bi
)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;z2-z1=(c+di)-(a+bi)=(c-a)+(d-b)i.z1·z2=(a+b
i)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i; = = = +i(c+di≠0).3．已知向量，则（????）A．B．C
．D．【命题意图】本题考察平面向量坐标运算，向量的加、减法、数量积的坐标运算，求向量的夹角，难度：较易【答案】B【详解】因为，所以
，则，，所以.【知识链接】1、平面向量的坐标运算设，，则，，.?2、平面向量的数量积（1）定义:已知两个非零向量与，它们的夹角为，
则数量叫作与的数量积(或内积),记作，即.规定零向量与任一向量的数量积为,即（2）向量的夹角①定义:已知两个非零向量和，如右图,作
=，=，则∠AOB=(0°≤≤180°)叫作与的夹角,记作.②当θ=0°时，与　同向　;?当θ=180°时，与　反向　;?当θ=9
0°时，与　垂直3、平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量，，为向量与的夹角,则(1)?；(2)4．某校文艺部有4名学生，其中高一
、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（????）A．B．C．D．【命题意图】
本题考察古典概率的概率公式，组合问题，难度：容易【答案】D【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件
，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有，所以这2名学生来自不同年级的概率为.【知识链接】1、古典概型具有以下特征的试验叫作古典概
型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个;?(2)等可能性:每个样本点发生的可能
性相等.?2、古典概型的概率公式一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概
率P(A)=?=.?其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.3、概率的性质性质1:对任意的事件A,都有
0≤P(A)≤1.性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(?)=0.性质3:如果事件A与事件B互斥,
那么P(A∪B)=　P(A)+P(B)　.?性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=　1-P
(B)　.?性质5:如果A?B,那么P(A)≤P(B),由该性质可得,对于任意事件A,因为??A?Ω,所以0≤P(A)≤1.性质6
:设A,B是一个随机试验中的两个事件,有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).4、排列与组合名称定义排列从n个不同元素中
取出m(m≤n)个元素并按照　一定的顺序　排成一列,叫作从n个元素中取出m个元素的一个排列?组合作为一组,叫作从n个不同元素中取出
m个元素的一个组合①从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号表
示.?②从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号表示.?5．记
为等差数列的前项和．若，则（????）A．25B．22C．20D．15【命题意图】本题考察等差数列的通项公式，前n项和公式，难度：
较易【答案】C【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，，即,又，解得：，所以．【知识链接】等差数列的基本问题1.定
义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫作等差数列,这个常数叫作等差数列的公差,公差通常
用字母d表示,定义的表达式为an+1-an=d.?2.通项公式:如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么通项公式为an=a
1+(n-1)d=am+(n-m)d.推导方法(累加法):an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a
1.3.等差中项:如果a,A,b成等差数列,那么A叫作a与b的等差中项,且A=.4.前n项和公式为Sn=na1+d=?.推导方法:
倒序相加法.?5.用函数观点认识等差数列:(1)an=dn+(a1-d)(类似于一次函数);(2)Sn=n2+n(类似于常数项为零
的二次函数).6．执行下边的程序框图，则输出的（????）A．21B．34C．55D．89【命题意图】本题考察程序框图模拟运行，难
度：较易【答案】B【详解】当时，判断框条件满足，第一次执行循环体，，，；当时，判断框条件满足，第二次执行循环体，，，；当时，判断框
条件满足，第三次执行循环体，，，；当时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出．【知识链接】1、程序框图基本概念：程序构图的概念：程序
框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。2、构成程序框的图形符号及其作用程序框名称功能起
止框表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不可少的。输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置
。处理框赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口
处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”。3、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构7．设为椭圆的两个焦点，
点在上，若，则（????）A．1B．2C．4D．5【命题意图】本题考察椭圆的焦点三角形面积公式，求出的面积，难度：一般【答案】B【
详解】方法一：因为，所以，从而，所以．方法二：因为，所以，由椭圆方程可知，，所以，又，平方得：，所以．【知识链接】1、椭圆的标准方
程和几何性质标准方程+=1(a>b>0)+=1(a>b>0)图形性质范围-a≤x≤a;-b≤y≤b-b≤x≤b;-a≤y≤a对称性
对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点坐标A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0
,a),B1(-b,0),B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a;?短轴B1B2的长为2b　?焦距|F1F2|=2c　?离心率e=
∈(0,1)a,b,c的关系　a2=b2+c2?2、与椭圆的焦点三角形相关的结论(含焦半径公式)椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形
称为焦点三角形.解决焦点三角形的问题常利用椭圆的定义、正弦定理和余弦定理.在以椭圆+=1(a>b>0)上一点P(x0,y0)(y0
≠0)和焦点F1(-c,0),F2(c,0)为顶点的△PF1F2中,若∠F1PF2=θ,则(1)|PF1|=a+ex0,|PF2|
=a-ex0((焦半径公式,e为椭圆的离心率),|PF1|+|PF2|=2a;(2)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1
|·|PF2|·cos θ;(3)=|PF1||PF2|·sin θ=c|y0|=b2tan,当|y0|=b,即P为短轴端点时,取
得最大值,最大值为bc;(4)焦点三角形的周长为2(a+c).3、中线的向量公式：若P为线段AB的中点,O为平面内任一点,则=(+
).8．曲线在点处的切线方程为（????）A．B．C．D．【命题意图】本题考察导数的切线问题，难度：一般【答案】C【详解】设曲线在
点处的切线方程为，因为，所以，所以所以所以曲线在点处的切线方程为.【知识链接】求解过曲线外某点处的切线问题的步骤第一步:设出切点坐
标P''(x1,f(x1)).第二步:写出过点P''(x1,f(x1))的切线方程y-f(x1)=f''(x1)(x-x1).第三步:将
点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1.第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f''(x1)·(x-x1),可得过点P(x
0,y0)的切线方程.9．已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（????）A．B．C．D．【命题意图】本题考
察双曲线的离心率与渐近线的关系，圆心到直线的距离及圆半径，求弦长，难度：一般【答案】D【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由
圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由，则，解得，所以双曲线的一条渐近线不妨取，则圆心到渐近线的距离，所以弦长.【知识链接】
1、圆的定义和圆的方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)圆心:(a
,b),半径:r一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,即+=(D2+E2-4F>0)圆心:,半径:2、直线被圆截得的弦长弦心距d
,弦长l的一半l及圆的半径r构成一直角三角形,且有r2=d2+l2.3、双曲线的标准方程和几何性质标准方程-=1(a>0,b>0)
-=1(a>0,b>0)图形性质范围x≥a或x≤-a,y∈Rx∈R,y≤-a或y≥a对称性对称轴:　坐标轴　,对称中心:　原点?顶
点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)渐近线y=±xy=±x离心率,e∈　(1,+∞)　,其中c=?轴
线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=　2a　;线段B1B2叫作双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=　2b　.a叫作双曲
线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长?a,b,c的关系c2=　a2+b2　(c>a>0,c>b>0)?10．在三棱锥中，是边长为2
的等边三角形，，则该棱锥的体积为（? ???）A．1B．C．2D．3【命题意图】本题考察证明平面找高，分割体积法求体积，难度：一
般【答案】A【详解】取中点，连接，如图，是边长为2的等边三角形，，，又平面，，平面，又，，故，即，所以【知识链接】一、直线与平面垂
直1.定义:如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,那么直线l与平面α垂直.?2.判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言一条
直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直??l⊥α垂直于同一个平面的两条直线平行??a∥b二、柱体、锥体、台体、
球的表面积和体积几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积=S侧+2S底V=S底h锥体(棱锥和圆锥)S表面积=S侧+S底V=?S底
h?台体(棱台和圆台)S表面积=S侧+S上+S下V=(S上+S下+)h球S=　4πR2?V=?πR3?11．已知函数．记，则（??
??）A．B．C．D．【命题意图】本题考察指数函数的单调性及二次函数的性质，利用作差法比较自变量的大小，难度：较难【答案】A【详解
】令，则开口向下，对称轴为，因为，而，所以，即由二次函数性质知，因为，而，即，所以，综上，，又为增函数，故，即.【知识链接】1、比
较大小的常用方法(1)作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论.(2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出结论
.(3)构造函数,利用函数的单调性比较大小.2、指数函数的图象与性质函数y=ax(a>0,且a≠1)a>10 x轴　上方　,过定点　(0,1)?当x逐渐增大时,图象逐渐上升当x逐渐增大时,图象逐渐下降性质定义域R值域　(0,+∞)?单调性　
单调递增?　单调递减?函数值变化规律当x=0时,　y=1?当x<0时,00时,y>1当x<0时,y>1　;?当x
>0时,0 【命题意图】本题考察三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，难度：困难【答案】C【
详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，而显然过与两点，作出与的部分大致图像如下，??考虑，即处与的大小关系，当时，，；当时，，
；当时，，；所以由图可知，与的交点个数为.【知识链接】函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)
的图象的步骤如下:二、填空题13．记为等比数列的前项和．若，则的公比为________．【命题意图】本题考察等比数列的前n项和的计
算，先分析，再由等比数列的前项和公式和平方差公式化简即可求出公比，难度：较易【答案】【详解】若，则由得，则，不合题意.所以.当时，
因为，所以，即，即，即，解得.【知识链接】1、等比数列的有关概念一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),
那么这个数列就叫作等比数列.这个常数叫作等比数列的公比,通常用字母q(q≠0)表示,定义的表达式为=q(q≠0).?2、等比数列的
有关公式（1）.通项公式:an=a1qn-1.?（2）.前n项和公式:Sn=14．若为偶函数，则________．【命题意图】本题
考察函数的奇偶性判断，三角函数的奇偶性，难度：容易【答案】2【详解】为偶函数，定义域为，根据偶+偶=偶，因为余弦函数为偶，所以二次
函数为偶所以【知识链接】1、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有　f(-x)=f(x
)　,那么函数f(x)就叫作偶函数?关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有　f(-x)=-f(x)　,那
么函数f(x)就叫作奇函数?关于原点对称2、函数奇偶性的几个重要结论(1)f(x)为奇函数?f(x)的图象关于原点对称;f(x)为
偶函数?f(x)的图象关于y轴对称.(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(3)既是奇函数又是偶函数的函数只
有一种类型,即f(x)=0,x∈D,其中定义域D是关于原点对称的非空数集.(4)奇函数在两个对称的单调区间上具有相同的单调性,偶函
数在两个对称的单调区间上具有相反的单调性.(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自变量互为相反数;奇函
数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数.(6)设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在
它们的公共定义域上:奇+奇=奇，奇×奇=偶　，偶+偶=偶　，偶×偶=偶　，奇×偶=奇　.?(7)复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇
,一偶则偶”.提醒:①(6)中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的.②判断分段函数的奇偶性应分别对每段函数证明f(-x)与f(
x)的关系,只有当各段上的x都满足相同关系时,才能判断其奇偶性.15．若x，y满足约束条件，则的最大值为________．【命题意
图】本题考察线性规划“截距”型问题，由约束条件作出可行域，求目标函数最值，难度：容易【答案】15【详解】作出可行域，如图，由图可知
，当目标函数过点时，有最大值，由可得，即,所以.【知识链接】1、线性规划问题⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域
法：由于直线的同一侧的所有点的坐标代入后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点（如原点），由的
正负即可判断出或表示直线哪一侧的平面区域.即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.法二：根据或，观察的符号与不等式开口的符
号，若同号，或表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同号上方，异号下方.⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式
组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.⑶利用线性规划求目标函数为常数）的最值：法一：角点法：如果目标函数 （即为
公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应值，
最大的那个数为目标函数的最大值，最小的那个数为目标函数的最小值法二：画——移——定——求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第
二步，作直线 ，平移直线（据可行域，将直线平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解；第四步，将最优解代入目标函数即可求出最大值或最
小值 .第二步中最优解的确定方法：利用的几何意义：,为直线的纵截距.①若则使目标函数所表示直线的纵截距最大的角点处，取得最大值，使
直线的纵截距最小的角点处，取得最小值；②若则使目标函数所表示直线的纵截距最大的角点处，取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，取得
最大值.⑷常见的目标函数的类型：①“截距”型：②“斜率”型：或③“距离”型：或或在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与
代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.16．在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是___
_____．【命题意图】本题考察当球是正方体的外接球时半径最大，当边长为的正方形是球的大圆的内接正方形时半径达到最小，难度：困难【
答案】【详解】设球的半径为.当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，
导致球面和棱没有交点，正方体的外接球直径为体对角线长，即，故；?分别取侧棱的中点，显然四边形是边长为的正方形，且为正方形的对角线交
点，连接，则，当球的一个大圆恰好是四边形的外接圆，球的半径达到最小，即的最小值为.综上，.【知识链接】正方体的内切球、外接球、棱切
球：三、解答题17．记的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若，求面积．【命题意图】（1）根据余弦定理即可解出；（2）由（1）
可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．难度：较易【答案】(1) (2)【详解】（1）因为，所以，解得：．（2
）由正弦定理可得，变形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面积为．【知识链接】正弦定理、余弦定理在△ABC中,若角A,B,C所对的
边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆的半径,则定理正弦定理余弦定理内容===2Ra2=b2+c2-2bccos A;b2=c2+
a2-2cacos B;c2=a2+b2-2abcos C变形(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;(
2)sin A=,sin B=,sin C=;(3)a∶b∶c=　sin A∶sin B∶sin C　;?(4)a sin B=b
sin A，b sin C=c sin B,A sin C=c sin Acos A=?　;?cos B=?　;?cos C=?
?18．如图，在三棱柱中，平面．?(1)证明：平面平面；(2)设，求四棱锥的高．【命题意图】(1)由平面得，又因为，可证平面，从而
证得平面平面；(2) 过点作，可证四棱锥的高为,由三角形全等可证，从而证得为中点，设，由勾股定理可求出，再由勾股定理即可求.难度：
一般【答案】(1)证明见解析. (2)【详解】（1）证明：因为平面，平面,所以,又因为，即，平面，,所以平面，又因为平面,所
以平面平面.（2）如图，?过点作，垂足为.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以四棱锥的高为.因为平面，平面,所以,,又因为
，为公共边，所以与全等，所以.设，则，所以为中点，,又因为,所以,即，解得，所以，所以四棱锥的高为．【知识链接】一、直线与平面垂直
1.定义:如果直线l与平面α内的　任意一条　直线都垂直,那么直线l与平面α垂直.?2.判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言一
条直线与一个平面内的两条相交直线　都垂直,则该直线与此平面垂直??l⊥α垂直于同一个平面的两条直线　平行??a∥b3.距离(1)过
一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段叫作这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫作这个点到该平面的距离.?(2)一条直线
与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫作这条直线到这个平面的距离.?(3)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的
任意一点　到另一个平面的距离都相等,我们把它叫作这两个平行平面间的距离.?二、平面与平面垂直1.定义:如果两个平面所成的二面角是直
二面角,就说这两个平面互相垂直.?2.判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言一个平面过另一个平面的　垂线　,则这两个平面垂直?
?α⊥β两个平面垂直,则一个平面内垂直于　交线　的直线与另一个平面垂直??l⊥α三、柱体、锥体、台体、球的表面积和体积几何体表面积
体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积=S侧+2S底V=S底h锥体(棱锥和圆锥)S表面积=S侧+S底V=?S底h?台体(棱台和圆台)S表面
积=S侧+S上+S下V=(S上+S下+)h球S=　4πR2?V=?πR3?19．一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小
白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一
段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.2??18.8??20
.2??21.3??22.5??23.2??25.8??26.5??27.5??30.132.6??34.3??34.8??35.
6??35.6??35.8??36.2??37.3??40.5??43.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.8??9.2
??11.4??12.4??13.2??15.5??16.5??18.0??18.8??19.219.8??20.2??21.6?
?22.8??23.6??23.9??25.1??28.2??32.3??36.5(1)计算试验组的样本平均数；(2)（ⅰ）求40
只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表对照组试验组（ⅱ）根据（i）中的列联
表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：，0.1000.0500.0102.706
3.8416.635【命题意图】（1）直接根据均值定义求解；（2）（i）根据中位数的定义即可求得，从而求得列联表；（ii）利用独立
性检验的卡方计算进行检验，即可得解.难度：一般【答案】(1) (2)（i）；列联表见解析，（ii）能【详解】（1）试验组样本平均数
为：（2）（i）依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，由原数据可得
第11位数据为，后续依次为，故第20位为，第21位数据为，所以，故列联表为：合计对照组61420试验组14620合计202040（
ii）由（i）可得，，所以能有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.【知识链接】一、总体均值一般地,
总体中有N(N∈N)个个体,它们的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,则==Yi为总体均值,又称总体平均数.二、独立性检验1.列联
表(2×2列联表)一般地,假设有两个分类变量X和Y,它们的取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},这种形式的数据统计表称为2×2
列联表.　YX　　y1y2合计x1aba+bx2cdc+d合计a+cb+da+b+c+d2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分
类频数.χ2的计算公式:χ2=,其中n=a+b+c+d为样本容量.2.独立性检验基于小概率值α的检验规则:当χ2≥xα时,我们就推
断H0不成立,即认为X和Y不独立,该推断犯错误的概率不超过α;当χ2 这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验,读作“卡方独立性检验”,简称独立性检验.?3.结论（1）在2
×2列联表中,如果两个变量没有关系,则应满足ad-bc≈0.|ad-bc|越小,说明两个变量之间关系越弱;|ad-bc|越大,说明
两个变量之间关系越强.（2）解决独立性检验的应用问题,一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤:①根据样本数据制成
2×2列联表.②根据公式χ2=计算χ2.③通过比较χ2与临界值的大小关系来作统计推断.20．已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(
2)若，求的取值范围．【命题意图】（1）代入后，再对求导，同时利用三角函数的平方关系化简，再利用换元法判断得其分子与分母的正负情况
，从而得解；（2）法一：构造函数，从而得到，注意到，从而得到，进而得到，再分类讨论与两种情况即可得解；法二：先化简并判断得恒成立，
再分类讨论，与三种情况，利用零点存在定理与隐零点的知识判断得时不满足题意，从而得解.难度：偏难【答案】(1)在上单调递减
(2)【详解】（1）因为，所以，则，令，由于，所以，所以，因为，，，所以在上恒成立，所以在上单调递减.（2）法一：构建，则，若，
且，则，解得，当时，因为，又，所以，，则，所以，满足题意；当时，由于，显然，所以，满足题意；综上所述：若，等价于，所以的取值范围为
.法二：因为，因为，所以，，故在上恒成立，所以当时，，满足题意；当时，由于，显然，所以，满足题意；当时，因为，令，则，注意到，若，
，则在上单调递增，注意到，所以，即，不满足题意；若，，则，所以在上最靠近处必存在零点，使得，此时在上有，所以在上单调递增，则在上有
，即，不满足题意；综上：.【知识链接】　1.求复合函数的导数的步骤2.求复合函数的导数的注意点:①分解的函数通常为基本初等函数;②
求导时分清是对哪个变量求导;③计算结果尽量简洁.一、函数的单调性与导数的关系条件结论函数y=f(x)在区间(a,b)上可导f''(x
)>0f(x)在(a,b)内　单调递增?f''(x)<0f(x)在(a,b)内　单调递减?f''(x)=0f(x)在(a,b)内是　常
数函数?　可导函数f(x)在(a,b)上单调递增(减)的充要条件是?x∈(a,b),都有f''(x)≥0(f''(x)≤0)且f''(x
)在(a,b)上的任何子区间内都不恒为零.二、函数的极值若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函
数值都小,f''(a)=0,而且在点x=a附近的左侧　f''(x)<0　,右侧　f''(x)>0　,则点a叫作函数y=f(x)的极小值点
,f(a)叫作函数y=f(x)的极小值.?若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f''(
b)=0,而且在点x=b附近的左侧　f''(x)>0　,右侧　f''(x)<0　,则点b叫作函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫作函
数y=f(x)的极大值.?极大值点、极小值点统称为极值点,极大值、极小值统称为极值.三、函数的最值1.在闭区间[a,b]上连续的函
数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.2.若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最
大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.?　1.若函数f(x)的图象连续不断
,则f(x)在[a,b]上一定有最值.2.若函数f(x)在[a,b]上是单调函数,则f(x)一定在区间端点处取得最值.3.若函数f
(x)在区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点.21．已知直线与抛物线交于两点，．(1)求；(2)设为的
焦点，为上两点，且，求面积的最小值．【命题意图】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出；（2）设直
线：，利用，找到的关系，以及的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．难度：偏难【答案】(1) (2)【详解】（1）设，由可
得，，所以，所以，即，因为，解得：．（2）因为，显然直线的斜率不可能为零，设直线：，，由可得，，所以，，，因为，所以，即，亦即，将
代入得，，，所以，且，解得或．设点到直线的距离为，所以，，所以的面积，而或，所以，当时，的面积．【知识链接】一、抛物线的定义1.平
面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点,直线l叫作抛物线的准线　.?2.其数
学表达式:{M||MF|=d}(d为点M到准线l的距离).二、抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2=2px (p>0)y2=-2
px (p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py (p>0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离图形顶点　O(0,0)?对称轴直
线y=0直线x=0焦点F,0F-,0F0,F0,-离心率e=1准线方程x=-x=y=-y=范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,
x∈Ry≤0,x∈R焦半径(其P(x0,y0))|PF|=x0+|PF|=-x0+|PF|=y0+|PF|=-y0+如图,设AB是
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则(1)x1x2=,y1y2=-p2.(2)弦长
|AB|=x1+x2+p=(α为弦AB的倾斜角).(3)以弦AB为直径的圆与准线相切.(4)通径:过焦点且垂直于对称轴的弦,长度等
于2p,通径是过焦点最短的弦.(5)+=.1.求解直线与抛物线的问题时,一般利用方程法,但当涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时,
要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用.2.有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物
线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上),可直接使用公式|AB|=x1+x2+p;若不过焦点,则可用弦长公式.22．已知点，直线（为参数
），为的倾斜角，与轴正半轴、轴正半轴分别交于，且．(1)求；(2)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程．【
命题意图】（1）根据的几何意义即可解出；（2）求出直线的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可解出．难度：较易【答案】(1)
(2)【详解】（1）因为与轴，轴正半轴交于两点，所以，令，，令，，所以，所以，即，解得，因为，所以．（2）由（1）可知，直线的斜率
为，且过点，所以直线的普通方程为：，即，由可得直线的极坐标方程为．【知识链接】1．坐标系：① 理解坐标系的作用.　② 了解在平面直
角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区
别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形
在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义.
② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.二、知识归纳总结：1．伸缩变换：设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作
用下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点，叫做极点；自极点引一条
射线叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。3．点的极坐
标：设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的叫做点的极角，记为。有序数对叫做点的极坐标，记为.
极坐标与表示同一个点。极点的坐标为.4.若,则,规定点与点关于极点对称，即与表示同一点。如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯
一的极坐标表示；同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。 5．极坐标与直角坐标的互化：6。圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，
为半径的圆的极坐标方程是 ； 在极坐标系中，以 为圆心， 为半径的圆的极坐标方程是 ；在极坐标系中，以 为圆心，为半径的圆的极坐标
方程是；7.在极坐标系中，表示以极点为起点的一条射线；表示过极点的一条直线.在极坐标系中，过点，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是
.8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数 并且对于的每一个允许值，由这个方程所确定的点
都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。9．圆的参数方程可表示为. 椭圆的参数方程可表示为. 抛物线的参数方程可表示为. 经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数）.10．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致.23．已知．(1)求不等式的解集；(2)若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求．【命题意图】（1）分和讨论即可;（2）写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可.难度：较易【答案】(1) (2)【详解】（1）若,则,即,解得,即,若,则,解得,即,综上,不等式的解集为.（2）.画出的草图,则与坐标轴围成与的高为,所以所以,解得【知识链接】1、不等式的基本性质①（对称性）②（传递性）③（可加性）（同向可加性）（异向可减性）④（可积性）⑤（同向正数可乘性）（异向正数可除性）⑥（平方法则）⑦（开方法则）⑧（倒数法则）2、几个重要不等式①,（当且仅当时取号）. 变形公式：②（基本不等式） ,（当且仅当时取到等号）.变形公式： 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）（当且仅当时取到等号）.④（当且仅当时取到等号）.⑤（当且仅当时取到等号）.⑥（当仅当a=b时取等号）（当仅当a=b时取等号）⑦，（其中规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.⑧⑨绝对值三角不等式3、几个著名不等式①平均不等式：，，当且仅当时取号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）. 变形公式： ②幂平均不等式：③二维形式的三角不等式：④二维形式的柯西不等式： 当且仅当时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：⑥一般形式的柯西不等式：⑦向量形式的柯西不等式：设是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设为两组实数.是的任一排列，则（反序和乱序和顺序和），当且仅当或时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数,对于定义域中任意两点有则称f(x)为凸（或凹）函数.本套试卷的浅析：本套试卷的难度整体偏易，多以主干知识直接命题，学生平时学习基本功扎实即可，知识点全面覆盖了考试范围，高中数学的十个大单元都有涉及，其中考试大纲强调的重点知识、核心知识，三角函数、立体几何、圆锥曲线、函数与导数分值达到了17分以上。本套试卷的复杂度整体偏易，要求学生综合2-3个知识点即可，对学生的创新思维有所涉及，解决问题的能力有所涉及，更加注重记忆和应用知识；在答题过程中需要注重灵活应用解题技巧和解题策略。本套试卷整体质量高、公平，不存在错误和不合理的地方，不存在歧视性和偏见。