《高等数学 2-1》模拟试题二
一．填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20）
1 当 x ? x0 时 , f (x) 是 比 g(x) 高 阶 的 无 穷 小 , 则 当 x ? x0 时 , 无 穷 小
f (x)? g(x)f(x)+g(x) 与无穷小 g(x) 的关系是 ___________________.
2. 若 f (x) 为可导的奇函数 ,且 f ''?x0?? 5,则 f ''
?? x
0
??
__________.
a2x ?1lim ? _______________.?a ? 0,a ?1?.
x?0 4x 3.
? secx?secx?tan x?dx ? 4. ____________________.
二 .选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分。每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
1. 极限 x?0
lim 2?2cos x .x
的结果是
(A)1, (B) 2 , (C)2, (D)极限不存在 . 答 : (）
2. 已知 a 是大于零的常数 f (x) ? ln 1? a?2x
? ?
,,则 f''( 0)的值应是 :
(A)?lna
1(C) lna
2
3. 设 f ''''(u)连续 ,已知
(B)lna
1(D)
2
1
答 : (）
2n?xf ''''(2x)dx ? ?tf ''''(t)dt
0 0 则 n 应是
1
(A)2, (B)1, (C)4, (D)4 答 : (）
4. 曲线 y ? sin x 在 [??,?]上与 x 轴所围成的图形的面积为
(A)2 , (B)0, (C)4, (D)6.
三 .计算题（本题共 7 小题，每小题 7 分，满分 49 分。 ）
1? x2f (x) ? ?ln 2x
2 ? x ,x
1. 设 求 f (x) 的定义域
? ?
2．设函数f (x)具有二阶导数，且f (0) ? 0, f ''(0) ?1, f '''' (0) ? 2求x?0
2? ?2 tan x ?3cot x dx
3．求?
lim f (x)? x .x
2
4.求
?
? arctan xdx.
sin xcos xdx.?
45.求
0
1?sin x
2
2?x ? f (t) d y? .
2 2y ? f t f (t) ? 0,f (t)? dx6.设其中三阶可导且求? ?
y xx ? y ? 3所确定求y'' (1) y ? y(x)7.设由方程
四、证明题： （本题 11 分）证明当 x ? 0时有不等式 xe
?x ? ln?1? x?.
《高等数学》
1lna.
f (?x )?5 2
0一、1.等价无穷小． 2. . 3. 4. tanx-secx+c .
''
二、1。D. 2. A. 3. C. 4. C
1?x?1??1
x
?
?
x
0
?0 ??
x?0?
2x2x?0
?
x?0或x?1? 2 三、1．?解得?
2
?1 ?1 ???1,0 ?? ,1
?? x ?1 ?2 ?公共解为?1? x ?0或2所求定义域为
?1 f''(x)? f (0)? 1
"
f(x)?x f (x)?1lim ?lim ?lim
? ? ? ? f (0)?12
x?0 x?0 x?0 2x 2x x?0? ? 22．
f (x)?1 f "(x) f "(0)lim ?lim ? ,.
x?? x??2x 2 2注:若用罗必法则求则本段不给分，本题给5分
2? ?2tanx?3cotx dx ???4?tan2 x?1??9(cot2 x?1)?1?dx?
3．
?4?sec2 xdx?9?csc2 xdx??dx ?4tanx?9cotx? x?c.
4．原式=
xarctanx?? x 1 2dx ? xarctanx? ln(1? x )?c
2 21? x
?? ? ?1
2
dsin2 x 1?
2 2? ?arctan(sin x)
0 ?
? .2?
0 1?(sin2 x)2 2? ? 8 5．原式=
dy 2tf ''(t2)?
"dx f (t) 6．
d2y d ?2tf ''(t2)? 1 2? ?
? ?dx2 dt ? f "(t) ? f "(t) f
"(t)? ?3
?f ''(t2)f "(t)?2t2 f "(t2)f "(t)?tf ''(t2 f ''''''(t)?
y xx
y( ? y''lnx)? yx( y'' ?lny)?0,当x ?1时,y ?2.x y
7．
?x
y''(1)? ?2(1?ln2)
x2 ?ex ?1xe , f (x)?
(1? x)ex , f(x)在?0,???连续，且在?0,???上四、设f(x)?ln(1? x)?
f ''(x)?0,所以f(x)在?0,???单调增，
即当x ?0时，f(x)?ln(1? x)? xe
?x ? f(0)?0.
07-08-1学期《高等数学A1》A卷参考答案及评分标准
一、单项选择题（每小题3分，共18分）
1、A；2、B； 3、B； 4、B； 5、C； 6、C
二、填空题（每小题3分，共18分）
17、；8、2 2；9、(0,1)；10、y ?ex；11、2arctan x ?C；12、k ?1.
273
三、解下列各题（每小题6分，共48分）
13解：因为lim sin x (cosx ?b) ? 5，且lim sin x?(cosx ?b) ? 0，所以x
x?0 e ? a x?0
x?0
lim(ex ? a) ? 0，得a = 1.————3分
极限化为
sin x x(cosx ?b) ? lim (cosx ?b) ?1?b ? 5，得b = ?4.————3分
x?0 ex ? a x?0 x
lim
因此，a = 1，b = ?4.
14证明：双曲线xy ?1上任何一点(x, y)的切线方程为
Y ? y ? ? 1 (X ? x)
2x 2分
1 切线与x轴、y轴的交点为(0, y ? ), (2x,0) 2分
x
故切线与OX,OY二个坐标轴所围成的三角形的面积为
1 s ? x(y ? ) ? 2
x 2分
15、解：x ? 2时y ?1,t ? 0 1分
1?sint 1分
1?cost
1y?
t?0
? 1分2
sint ?cost ?1y?? ?
3?1?cost?
y? ?
2分
? ? 14 1分y??
x?2
? sin0?cos0 ?1?
1?cos0?3
16解: ?[ln(ln x)? 1 1]dx ? ?ln(ln x)dx?? dx 1分 ln x ln x
1 1? xln(ln x)?? dx ?? dx 4分
ln x ln x
? xln(ln x) ?C 1分
1分 1 1 1sin x 2 2 2 2 sin x17解：? x2( ? 1? x )dx ? (x 1? x )dx? x?
?1
?
?1 1? x4
dx
?1 1? x4
? ? (x2 1? x2 )dx?0
?1
1 2分
? 2? 2 sin2 tcos2 tdt
0
x?sint ? 1分
? ?8 2分
?(a?3b)?(7a?5b) ?018解：由题意?
?(a?4b)?(7a?2b) ?0
1展开求得:a?b ? , b ?1 2分,
2
? a?b 1cos(a, b) ? ? 1分,
a b 2
2分,
所以 (a,b) ?? ?3 1分
i j k
19、解：所求平面的法向量：n ? 1 0 ?2 ??2i?2 j?k
2 ?1 ?2
所求平面的方程为：2(x?2)?2(y?1)?(z?2) ?0
即：2x?2y? z ? 4
2
3分
2分
1分
20解：方程两边对x求导得
6y y''?4yy''?2xy''?2y?2x ?0……………（）
即 y''? x? y3y2?2y? x 2分
1分。令y''?0得x ? y，将x ? y代入原方程得唯一驻点x ?1
（）式两边对x求导得
(3y ?2y ? x)y"?y''(6yy''?2y''?1) ?1? y''2
将x ?1，y ?1，y''?0代入上式得
y''''(1)? 1 ?02 2分
因此，x ?1为y ? y(x)的极小点.――――1分
四、综合题（每小题8分，共16分）
21解：设切点坐标为(t,
线方程为
y ? t ? 12 t
t)，由y ? 12 t，可知曲线y ? x在(t, t)处的切
?x?t?，或y ? 1
2 t
?x?t? 2分．
因此所求旋转体的体积为
2? 1? ??
V ??? ?? ?x?t?? ?
?0 ???2 t
2 ? ?? ? ? 8? ?x
?dx ? ? ?4?2t?4 ?3t ?
??
2 2分
所以，dV ? ? 8 2 2?? ?? 2 ?2??0．得驻点t ??，舍去t ??dt 4
? 3t 3 3?
2分．
d 2V由于
2dt
?
2t?
3
? 16
4 3t2?
t? 23
? 0，因而函数V在t ?
3 1x?
4 2
2处达到极小值，而且也是最
3
小值．因此所求切线方程为y ? 2分．
22证明：由拉格朗日定理：设f (x) ? x ,则
其中0 ?? (x) ?1
解出? (x) ?
2分，
x?1? x ? 1 ,2 x?
? (x)
1 1? [ x
2 ? x ? x]4 2
x?
1分，
1
1 2 ?1]? 0 ,? ''(x) ? [
2 x2? x
1(因(x ? )
2 ? x2 ? x )2
所以? (x)单增，--------2分
x???
lim ?(x) ? 1 1 2 ?1 1 (或?(1)? ? ? )2 4 2 2 1分，
1 1（或?(0)=）
x?0 4 4
1 1从而?? (x) ? 1分
4 2
lim?(x) ?
?
1分，
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