2023年天津市十二区重点学校高三毕业班联考（二）考前模拟检测
数学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
一、单选题（本大题共9小题，共45分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．已知全集，集合，则（????）
A． B． C． D．
2．设，则“”是“”的（???）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．的图像大致是
A． B．
C． D．
4．已知，，，则的大小关系是（????）
A． B． C． D．
5．党的二十大报告提出全面推进乡村振兴．为振兴乡村经济，某市一知名电商平台决定为乡村的特色产品开设直播带货专场．该特色产品的热卖黄金时段为2023年2月1至4月1日，为了解直播的效果和关注度，该电商平台统计了已直播的2023年2月1日至2月5日时段的相关数据，这5天的第天到该电商平台专营店购物人数（单位：万人）的数据如下表：
日期 2月1日 2月2日 2月3日 2月4日 2月5日 第x天 1 2 3 4 5 人数y（单位：万人） 75 84 93 98 100 依据表中的统计数据，该电商平台直播黄金时间的天数与到该电商平台专营店购物的人数（单位：万人）具有较强的线性相关关系，经计算得，到该电商平台专营店购物人数与直播天数的线性回归方程为．请预测从2023年2月1日起的第38天到该专营店购物的人数（单位：万人）为（????）
A．312 B．313 C．314 D．315
6．已知函数，则不等式的解集是（????）
A． B． C． D．
7．粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米?泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰，粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同，某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为，则其内可包裹的蛋黄的最大体积约为（????）
(参考数据：)
A． B． C． D．
8．已知，分别是双曲线的左、右焦点，焦距为4，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的左、右支分别交于，两点，，则该双曲线的离心率为（????）
A． B． C． D．
9．将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，再将图象上的所有点的横坐标变成原来的，得到的图象，则下列说法正确的个数是（????）
①函数的最小正周期为；②是函数图象的一个对称中心；
③函数图象的一个对称轴方程为；④函数在区间上单调递增
A．1 B．2 C．3 D．4
注意事项：
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共11小题，共105分。
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.
10．若复数为纯虚数，则=___________.
．二项式的展开式中，常数项为______（用数值表示）.
．圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程为______.
．接种疫苗是预防控制新冠疫情最有效的方法．我国自年月日起实施全民免费接种新冠疫苗．截止到年月底，国家已推出了三种新冠疫苗（腺病毒载体疫苗、新冠病毒灭活疫苗、重组新冠病毒疫苗）供接种者选择，每位接种者任选其中一种．若人去接种新冠疫苗，恰有人接种同一种疫苗的概率为______．
窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形ABCDEFGH中，若，则的值为________ ；若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的最小值为______.
1．已知，函数,当时，函数的最大值是_____；若函数的图象上有且只有两对点关于轴对称，则的取值范围是______．
三、解答题（本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
．在非等腰中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，，.
(1)求的值；(2)求b的值；
(3)求的值.
．已知正三棱柱中，侧棱长为，底面边长为2，D为AB的中点.
(1)证明：；
(2)求二面角的大小；
(3)求直线CA与平面所成角的正弦值.
．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线、的斜率分别为、，且．
①求证：直线经过定点．②设和的面积分别为、，求的最大值．
．已知数列的前项和为，，数列为等比数列，且，分别为数列第二项和第三项．
(1)求数列与数列的通项公式；
(2)若数列，求数列的前项和；
(3)求证：．
．已知函数，，
（1）求函数的单调区间；
（2）若，，使成立，求m的取值范围.
（3）当时，若关于x的方程有两个实数根，，且，求实数k的取值范围，并且证明：.
9小题，共45分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. ? 2. ? 3. C 4.A? 5.?
6. ? 7. C? 8. ? 9. B
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.
10. ? 11. 1120 12. ? 13. 14. ? 15. ??
?三、解答题（本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 解：（1）在中，由正弦定理，，，
可得，
因为，所以，即，
解得．
（2）在中，由余弦定理，
得，解得或．
由已知互不相等，所以 ．
（3）因为，所以，
所以，，
所以
17. 解：（1）由为正三棱柱可知，平面，
又平面，所以，
由底面是边长为2的正三角形，D为AB的中点，所以；
又，平面，所以平面；
又平面，所以；
（2）取线段的中点分别为，连接，
易知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示;
由侧棱长为，底面边长为2可得，
，
由D为AB的中点可得，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，可得；
即；
易得即为平面的一个法向量，
所以，
设二面角的平面角为，由图可知为锐角，
所以，即；
即二面角的大小为.
（3）由（2）可知，平面的一个法向量为，
设直线CA与平面所成的角为，
所以，
即直线CA与平面所成角的正弦值为.
18. 解：（1）解：当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值，
且最大值为，
由题意可得，解得，
所以，椭圆的标准方程为.
（2）解：①设点、.
若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，则，不合乎题意.
设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右焦点，则，
联立可得，
，可得，
由韦达定理可得，，则，
所以，
，解得，
即直线的方程为，故直线过定点.
②由韦达定理可得，，
所以，
，
，则，
因为函数在上单调递增，故，
所以，，当且仅当时，等号成立，
因此，的最大值为.
19. 解：（1）因为数列的前项和为，且，
当时，；
当时，，当时也满足；
所以；
又因为数列为等比数列，且，分别为数列第二项和第三项，
所以，则，则.
（2）由（1）可得，，
令①
所以②
②可得，
所以
令，
即，
令，
则
则
（3）设，则，
则
20. 解：（1），
令f′（x）＞0，得x＞，
令f′（x）＜0，得0＜x＜，
所以f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．
（2）由（1）知，f（x）min＝f（）＝ln＝1﹣lnm，
令h（x）＝＝＝，x∈（0，3），
h′（x）＝＝，
在x∈（2，3）上，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
在x∈（0，2）上，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
所以h（x）min＝h（2）＝＝，
所以1﹣lnm＞，
所以0＜m＜，
所以m的取值范围是（0，）．
（3）当m＝2时，f（x）＝lnx+，
由（1）可知f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
f（x）min＝f（）＝ln＝1﹣ln2＞0，
若f（x）＝k有两个实数根x1，x2，且0＜x1＜＜x2，
则k＞1﹣ln2，
所以lnx1+＝k①，lnx2+＝k②，
得lnx1+＝lnx2+，
所以lnx1＝lnx2+﹣，
f（x1）﹣f（1﹣x2）＝lnx1+﹣ln（1﹣x2）﹣
＝（lnx2+﹣）+﹣ln（1﹣x2）﹣
＝lnx2+﹣ln（1﹣x2）﹣
令F（x）＝lnx+﹣ln（1﹣x）﹣，x＞，
＝，
因为x＞，
所以﹣4x2+4x﹣1＜0，即F′（x）＜0，
所以F（x）在（，+∞）单调递减，
所以F（x）＜F（）＝
所以f（x1）＜f（1﹣x2），
因为0＜x1＜＜x2，
所以﹣＞﹣x2，即1﹣＞1﹣x2，
所以0＜1﹣x2＜，
因为f（x）在（0，）上单调递减，
所以x1＞1﹣x2，
所以x1+x2＞1，得证．
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