绝密★启用前名校联盟·2023届高三5月冲刺压轴大联考数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．1．已知集合，则集合中元素个数为（ ）A．1B．2C．2023D．20242．已知复数是纯虚数，则实数
的值为（ ）A．B．C．D．3．阅读下列材料：有理数都能表示成（，且与互质）的形式，从而有理数集，任何有理数都可以化为有限小
数或无限循环小数；反之，任一有限小数或者无限循环小数也可以化为的形式，从而是有理数．例如：．循环小数化成分数为（ ）A．B．
C．D．4．在中，已知，向量在向量上的投影向量为，点是边上靠近的三等分点，则（ ）A．3B．6C．7D．95．已知是直线的倾
斜角，则的值为（ ）A．B．C．D．6．学校校园从教室到寝室的一排路灯共12盏，按照规定，如果两端有坏了的路灯或者中间同时坏
了相邻的两盏或两盏以上的路灯，就必须马上维修，已知这排路灯坏了3盏，则这排路灯必须马上维修的概率为（ ）A．B．C．D．7．
定义：与圆锥的底面和各母线均相切的球，称为圆锥的内切球，此圆锥称为球的外切圆锥．已知某圆锥的内切球半径等于1，则该圆锥体积的最小值
为（ ）A．B．C．D．8．如图，是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的左、右两支于两点，且，则双曲线的离心率为（
）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，
部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系式是，则下列命
题正确的是（ ）A．该简谐运动的初相为B．该简谐运动的频率为C．前6秒该质点的位移为D．当时，位移随着时间的增大而增大10．
下列说法中正确的是（ ）A．已知离散型随机变量，则B．一组数据148，149，154，155，155，156，157，158
，159，161的第75百分位数为158C．若，则事件与相互独立D．根据分类变量与的观测数据，计算得到，依据的独立性检验可得：变量
与独立，这个结论错误的概率不超过0.05附：独立性检验中几个常用的概率值与相应的临界值0.10.050.012.7063.8416
.63511．已知圆，直线，则（ ）A．直线恒过定点B．直线能表示平面直角坐标系内每一条直线C．对任意实数，直线都与圆相交D
．直线被圆截得的弦长的最小值为12．在棱长为1的正方体中，为正方体表面上的动点，为线段上的动点，若直线与的夹角为，则下列说法正确的
是（ ）A．点的轨迹确定的图形是平面图形B．点的轨迹长度为C．的最小值为D．当点在侧面上时，的最小值为1三、填空题：本题共4
小题，每小题5分，共20分．13．2023年5月湖南省部分高三学生参加高三第一次模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体
密度函数为：，且．若参加此次联考的学生共有80000人，则数学成绩超过100分的人数大约为__________．14．若函数是奇函
数，则曲线在点处的切线方程为__________．15．已知抛物线的焦点为，过点且斜率为正的直线与抛物线相交于两点，且．若过点的圆
与直线相切于第一象限的点，则的值为__________．16．已知函数，对于任意，都有，则实数的取值范围为__________．四
、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（本小题满分10分）已知数列的首项，且满足．
（1）求证：数列是等差数列；（2）若数列满足，求数列的前项和．18．（本小题满分12分）在中，分别是角所对的边，向量，且．（1）求
角的大小；（2）若，求外接圆半径的最小值．19．（本小题满分12分）如图，在三棱台中，，．（1）证明：平面平面；（2）设是的中点，
求平面与平面夹角的余弦值．20．（本小题满分12分）华为云服务是华为公司在ICT领域通过30多年的技术攻坚和经验积累，将产品解决方
案开放给用户，为用户提供集个人数据同步、云相册、手机找回等多种基础云功能，旨在为消费者提供一站式易用、快捷、智能、安全的个人数据管
理服务．华为云服务采用按需使用、按需付费的一站式IT计算资源租用服务．据调查，在某一地区自2016年至2022年以来，7年的使用用
户数如下表所示：（x表示年度，2016年度记为1，2017年度记为2，…，依次类推，2022年度记为7；y表示该年度使用的用户数，
单位：千户）．x1234567y79213666100198根据以上数据，绘制了如图所示的散点图．（1）根据散点图判断，在这7年内
，与（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为该地区华为云用户数（千户）关于年度的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；并根
据表中数据，求关于的经验回归方程，估计2023年度用户数（保留到千户位）；（2）该地区按用户使用华为云服务的时间，从高到低评为三个
等第的星级，其中连续使用华为云5年以上的用户评为“五星用户”，三年以上五年以下的用户评为“三星用户”，其它用户评为“星级用户”，每
位用户年服务费按星级从高到低依次为50元、70元、90元．为了拓展用户数量，该地区今年推出一项用户星级升级的抽奖活动，每位用户可抽
奖两次，每次抽奖有的概率升两级，有的概率升一级，还有的概率不升级，最高升为“五星用户”．现某家庭有2位华为云用户，其中甲是“三星用
户”，乙是“星级用户”，求今年该家庭支付华为云服务费的分布列与数学期望．参考数据：62.431.54254850.123.47其中
．参考公式：经验回归直线方程中斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为．21．（本小题满分12分）已知双曲线的一个焦点到其一条渐近线的
距离等于其离心率．（1）求双曲线的方程；（2）若直线与椭圆相切，且与双曲线的左、右支分别交于两点，与双曲线的渐近线分别交于两点．为
坐标原点，记的面积分别为，当时，求直线的方程．22．（本小题满分12分）已知函数与分别是与的导函数．（1）证明：当时，方程在上有且
仅有一个实数根；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．天壹名校联盟·2023届高三5月冲刺压轴大联考·数学参考答案、提
示及评分细则1．【答案】A【解析】集合，∴，元素个数为1．故选A．【命题意图】本题考查简单的对数不等式的解法及集合的交集运算，考查
数学运算的核心素养．【难度】容易．2．【答案】B【解析】，所以要使为纯虚数，则，解得：．故选B．【命题意图】本题考查复数的概念及复
数的运算，考查数学运算与数学抽象的核心素养．【难度】容易．3．【答案】D【解析】．故选D．【命题意图】本题是选用教材《选择性必修第
二册》第57页第14题改编，考查等比数列的求和，渗透数列的极限，等比数列各项和，考查数学运算与数学抽象的核心素养，提醒学生回归教材
，重视基础，适度延展．【难度】容易．4．【答案】C【解析】∵向量在向量上的投影向量为，∴又，∴．故选C．【命题意图】本题考查平面向
量的基本运算，线性运算，数量积运算，投影向量的概念，考查逻辑推理与数学运算的核心素养．【难度】容易．5．【答案】B【解析】法一：由
题意可知，（为锐角），∴，．故选B．法二：由题意可知，（为锐角）∴，．故选B．【命题意图】本题考查直线的倾斜角与斜率，同角三角函数
的基本关系，三角恒等变换，考查数学运算的核心素养．【难度】容易．6．【答案】A【解析】设必须马上维修记为事件，则不需要马上维修为，
而表示9盏灯正常，且在9盏的中间有任意2盏都不相邻的3盏已坏的灯，∴，∴．故选A．【命题意图】本题考查古典概型概率的计算，对立事件
概率之间的关系，考查逻辑推理与数学运算的核心素养．【难度】容易7．【答案】C【解析】如图，作出该几何体的轴截面得到如图所示的平面图
形，设该圆锥的内切球球心为，底面圆的圆心为点，底面半径为，高为，法一：由等面积法可得：，化简得：，又：，∴，当且仅当，即时取等号．
故选C．法二：如图：，∴，∴，∵，∴，∴，当且仅当，即时取等号．【命题意图】本题考查球与几何体的切接，基本不等式，考查直观想象与逻
辑推理以及数学运算的核心素养．【难度】中等偏难8．【答案】B【解析】由平面几何知识可知：，连接．设，则，在中，由勾股定理有，解得，
∴，在中，由，得，解得．故选B．【命题意图】本题考查双曲线的定义，几何性质，考查逻辑推理与数学运算的核心素养．【难度】较难9．【答
案】AD【解析】由图可知，∴，且在内，随着的增大而增大，∴，∴对于A：∵，∴A正确；对于B：∵，∴，∴，∴B错误；对于C：当时，，
∴C错误；对于D：时，，∴当时，位移随着时间的增大而增大，∴D正确．故选AD．【命题意图】本题考查三角函数的图象、性质以及实际应用
，考查直观想象与数学建模以及数学运算的核心素养．【难度】容易10．【答案】BC【解析】对于A：根据二项分布的方差公式可得：，∴，∴
A错误；对于B：，∴这组数据的第75百分位数为第8个数158，∴B正确；对于C：∵，∴，∴，根据事件独立性的定义可知：事件与相互独
立，∴C正确；对于D：根据的值以及常用的概率值与相应临界值可知：依据的独立性检验可得：变量与相互独立，这个结论错误的概率不超过0.
1．∴D错误．故选BC【命题意图】本题考查概率与统计的一些基本概念与基础知识，考查数学抽象与数据分析以及数学运算的核心素养．【难度
】容易11．【答案】ACD【解析】对于A：直线的方程可化为，联立解得所以直线恒过定点，∴A正确；对于B：直线不能表示直线，也不能表
示不过点的直线，∴B错误；对于C，直线恒过圆内一点，所以直线与圆相交，∴C正确；对于D，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，所以最短
弦长为，∴D正确．故选ACD．【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系，考查数学直观与逻辑推理以及数学运算的核心素养．【难度】容易1
2．【答案】BCD【解析】如图建立空间直角坐标系，则∵直线与的夹角为，当点在侧面上时，，不合题意；当点在底面和侧面上时，点到直线的
距离大于的长度，此时，与的夹角大于；当点在侧面和底面上时，可知线段满足题意；当点在侧面上时，由，可知，此时弧为所求．∴点的轨迹为线
段，弧，显然线段，弧不共面，∴A错误；对于B：点的轨迹长度为，∴B正确；对于C：若在线段上，则的最小值为1；同理：若在线段上，则的
最小值也为1；若在弧上，则的最小值为；∴C正确；对于D：，且，由题意设，则，等号当且仅当，且，即时成立．∴D正确．故选BCD．【命
题意图】本题考查空间两点间距离公式，空间几何体与平面解析几何结合问题，考查数学直观与逻辑推理以及数学运算的核心素养．【难度】较难1
3．【答案】12000【解析】∵总体密度函数为：，∴，由，得，∴超过100分的人数大约为．【命题意图】本题考查正态分布的概念以及概
率计算，考查数学建模、逻辑推理以及数学运算的核心素养．【难度】容易14．【答案】【解析】∵是奇函数，∴对恒成立，即对恒成立，∴．，
∴曲线在点处的切线方程为，化简得．【命题意图】本题考查函数奇偶性的定义、基本求导公式以及导数的几何意义，考查逻辑推理以及数学运算的
核心素养．【难度】容易15．【答案】【解析】∵过点且斜率为正的直线与拋物线相交于两点，设联立可得，∴，∴，由，可得，∴，∴的方程为
，∴由在圆上，可知圆心的横坐标为，设圆心为，则半径，∴圆的方程为，∵该圆与相切，，解得或（舍去），此时圆的方程为，联立方程可求得，
又由，三点的坐标易知．【命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系，考查逻辑推理以及数学运算的核心素养．【难度】
中档16．【答案】【解析】当时，，符合题意；当时，令，则，可化为，令，则，时，单调递减，时，单调递增，所以的最小值为，对于任意，都
有等价于即对于①：由在上单调递增，且，可知，即且．在且的条件下，对②：由时，单调递减，可得，②成立．综上可知：实数的取值范围为．【
命题意图】本题考查导数与单调性，不等式恒成立问题，考查逻辑推理以及数学运算的核心素养．【难度】较难17．【答案】（1）略 （2）【
解析】（1）证明：由，可得，∴是以3为首项，2为公差的等差数列；（2）由（1）知：，∴∴∴．【命题意图】本题考查等差数列的定义，通
项公式，裂项求和法求简单数列的和，考查数学运算的核心素养．【难度】容易18．【答案】（1） （2）【解析】（1）∵，且，∴，由正弦
定理知：（是外接圆半径），∴，∴，即，而是的三内角，∴，∴；（2）∵，∴，，∴，，即外接圆半径的最小值为．【命题意图】本题考查正、
余弦定理，简单的三角恒等变换，考查逻辑推理及数学运算的核心素养．【难度】容易19．【答案】（1）略 （2）【解析】（1）证明：由三
棱台知：，在梯形中，取的中点，连接，则四边形是平行四边形，∴，，，∴，∴，又∵，∴，∵，∴平面，∴平面平面；（2）解：由（1）知：
平面平面；取的中点的中点，连接，由条件知：四边形是等腰梯形，∴，∴平面，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图，则在等
腰梯形中，由平面几何知识可得：，∴，设平面的法向量，则由得令，得，∴，又平面的法向量，设平面与平面的夹角为，则．【命题意图】本题考
查直线与平面、平面与平面的位置关系，平面与平面的夹角，空间向量的坐标运算，考查直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养．【
难度】容易20．【答案】（1）时，千户（2）甲服务费为70元的概率是，50元的概率是；乙服务费为90元的概率是，70元的概率是，5
0元的概率是．服务费的分布列为：160140120100元【解析】（1）由散点图可知：比较适宜，由得：，即，是的一次函数关系，，，
当时，千户；（2）由题意可知：抽奖后，甲服务费为70元的概率是，50元的概率是；乙服务费为90元的概率是，70元的概率是，50元的
概率是．∴今年该家庭支付的服务费的分布列为：160140120100元．【命题意图】本题考查最小二乘法求非线性经验回归方程，离散型
随机变量的分布列与数学期望，考查数学抽象、数学建模、数据分析、逻辑推理、数学运算的核心素养．【难度】中档21．【答案】（1） （2
）【解析】（1）由题意，设双曲线的半焦距为，左焦点为，斜率为正的渐近线方程为，则，解得，∴双曲线的方程为；（2）由题意可得的斜率一
定存在且，设，由可得，即．∵直线与椭圆相切，∴，化简得，由可得，即．设，∴，∴，，到的距离；由可得，由可得．；由可得，∴，∴，化简得，解得或（舍去），此时．∴的方程为，即．【命题意图】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查逻辑推理、数学运算的核心素养．【难度】较难22．【答案】（1）略 （2）【解析】（1）证明：．当时，．令，令，则，显然在上是单调递增函数，且，∴在上有唯一零点，且时，单调递减，时，单调递增．又，，∴在上有唯一的根，∴在上有唯一零点，即在上有且仅有一个实数根；（2）∵，令，则，等价于：，，令，则，令，则，故在上单调递增，，故即在上单调递增，．（1）当时，，∴在上单调递增，∴；（2）当时，，取，则，∴，∴，使得，时，单调递减，此时，不符合题意．综上可知：的取值范围为．【命题意图】本题考查导数在研究函数性质、不等式中的应用，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．【难度】难 |
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