直线
直线方程的五种形式及其局限性
⑴直线的点斜式或斜截式不能表示斜率不存在的直线，如果写成就可以表示斜率不存在的直线。
⑵两点式不能表示斜率不存在或斜率为0时的直线，写成表示任意直线
⑶截距式不能表示截距为0与截距不存在的直线，所以要注意设成截距式时出现丢根问题，
相等与截距绝对值相等是两个不同的概念(截距是直线与坐标轴交点的坐标,可正、负、0)
下列命题中的真命题是 ( )
经过定点的直线都可以用方程表示
B.经过任意两个不同的点的直线都可以用方程 表示
C.不经过原点的直线都可以用方程表示
D.经过定点的直线都可以用方程表示
【解析】A答案不能表示斜率不存在的直线，C答案不表示平行于轴与平行于轴的直线，
D答案不表示斜率不存在的直线，选B
三点共线
⑴利用两边之和等于第三边
⑵利用斜率相同且过同一点
⑶利用两点求出直线方程，把第三点代入加以验证
⑷利用向量
若三点、、共线,则=
【解析】由、两点确定的直线方程为：，代入，得
两直线平行
⑴斜率相等，但截距不等。
⑵在一般式中：直线。
，平行：；重合：。
⑶平行直线系方程：，与之平行的直线可设为:。
设,则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选A
两直线垂直
⑴利用斜率乘积等于－1。
⑵一般式中：直线,，垂直的充要条件是：。
⑶垂直直线系方程：，与之垂直的直线可设为：。
已知点,,，若为直角三角形，则必有( )
A. B.C. .
【解析】若A为直角,A、B纵坐标相等，；若B为直角，由，得,选C
距离
⑴点到直线的距离：
⑵平行直线;间的距离：
若直线被两平行线，所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是 ①；②；③；④；⑤。其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）
【解析】间的距离为，而直线被两平行线截得的线段长为，可知直线与两平行线的夹角为，直线的倾斜角为，的倾斜角为：，选①⑤
点距离的最大值为 ( )
A.1 B. C. D.2
【解析】选B
对称
⑴点关于点对称：点关于点(中点)的对称点的坐标为。
⑵点关于线对称：利用中、垂两条件建立方程组,(注意特殊点的对称)点关于直线
的对称点：。
⑶线关于点对称：关于点对称的直线方程为：。
⑷线关于线对称：(转化为特殊点对称)在直线上取一个特殊点，求这个点关于直线的对称点，再求两条直
线的交点，利用两点式可求对称线的方程。
特例：角的两边关于角分线对称，线关于特殊线(轴、轴、、)对称，直接交换坐标即可。
⑸反射问题均转化为对称问题解决。
已知直线，若直线关于直线对称，则的方程为 ( )
A. B. C. D.
【解析】因为对称轴的斜率为1，由，得，选B
如果那么直线不通过 ( )
A.第一象限 B.第二角限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】选B
已知两条直线和都过点,求过两点的直线的方程.
【解析】
圆
圆的方程
⑴标准方程：，圆心，半径。
⑵一般方程：圆心，。
(2016年全国卷II)圆的圆心到直线的距离为1，则__________
【解析】
已知，方程表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 。
【解析】，5
(2019年新高考浙江卷)已知圆的圆心坐标是半径长是若直线与圆C相切于点，则=___________，=___________．
，
(2020 II)若过点(2,1)圆与两坐标轴都相切，圆心到直线2x-y-3=0距离为（ ）
A. B. C. D.
【解析】选B
求由曲线围成的图形的面积。
【解析】
方程表示什么曲线?
【解析】上半圆
画出方程表示的曲线?
【解析】右半圆
点与圆、线与圆、圆与圆位置关系
⑴点与圆：点到圆心距离为：
ⅰ.，在圆上；ⅱ.，在圆外；ⅲ.，在圆内。
⑵线与圆：圆心到直线的距离为：
ⅰ.，相切； ⅱ.，相离； ⅲ.，相交。
⑶圆与圆：两圆圆心距为，半径分别为：
ⅰ.，相离； ⅱ.，外切； ⅲ.，相交；iv.，内切； v.，内含。
(2014年全国卷II)设点M（,1），若在圆O:上存在点N，使得∠OMN=45°,则的取值范围是 。
【解析】点在圆的切线上，当时，恰好存在圆上(0,1),(1,0)两个点满足，由图象应向左移动，由对称性可得。
2.若直线与圆有公共点，则 ( )
A. B. C. D.
【解析】利用圆心到直线的距离，选D。
3.已知直线与圆相切，则三条边长分别为的三角形为 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不存在
【解析】选B。
4.若直线与曲线有公共点，则的范围是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C。
5.若曲线与曲线有四个不同的交点，则实数的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B。
6.过点引直线与曲线相交于两点,为坐标原点,当的面积取最大值时,直线的斜率等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】曲线为上半圆，，当时面积最大，，选B。
7.与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是 。
【解析】配方得：，半径最小的圆是过已知圆圆心向直线作垂线与直线与圆有两交点，以两交点为直径的圆，即。
8.集合=其中若中有且只有一个元素,则的值是 。
【解析】3或7。
9.圆与圆的位置关系为 ( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
【解析】选B。
圆上的点到直线距离为定值的点的个数
到直线距离为定值的点的轨迹是与已知直线平行的两条直线，这两条直线与圆的交点的个数即所求点的个数，即最多四个交点，可能是0、1、2、3、4，首先计算圆心到直线的距离，再考虑这个距离与半径的关系，从直观上得到答案。
1.圆上到直线的距离等于的点有 个。
【解析】配方得：，圆心到直线的距离为，而半径为，可知两条直线一条过圆心，一条与圆相切，即满足条件的点有3个。
2.已知圆:，直线:()，设圆上到直线的距离等于1的点的个数为，则 。
【解析】4。
3.已知圆直线，当为何值时，圆上恰有3个点到直线的距离都等于1。
【解析】。
圆中弦中点性质
⑴弦中点与圆心连线与弦垂直；
⑵弦的中垂线过圆心。
1.直线与圆相交于两点，弦的中点为，则直线的方程为 。
【解析】圆心为，圆心与中点确定直线与垂直，即，直线方程为
2设直线和圆相交于点，则弦的垂直平分线方程是 。
【解析】。
圆的切线
过圆上一点的切线方程：
⑴圆心在坐标原点:；
⑵圆心不在坐标原点的标准方程：；
⑶一般方程:。
※圆，点，则方程表示的直线与圆的位置关系：
，利用圆心到直线的距离可判断。
几何意义：
⑴点在圆外，则表示过作圆两条切线，两切点确定直线方程；⑵点在圆内，则表示过作圆割线(无数条)与圆有两交点，过两交点作圆的切线，两切线交点在一条直线上。
过圆外一点引圆的切线(两条)：方法：设斜率，利用点斜式设出直线方程，然后利用圆心到直线的距离等于可确定，如果求出一条，存在丢根问题，一定要补上斜率不存在直线。
1.过点P(2,2)的直线与圆相切，且与垂直，则 ( )
A. B.1 C.2 D.
【解析】选C。
2.已知点在圆外，则直线与圆的位置关系是 ( )
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
【解析】选B。
3.过点作圆的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB方程为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A。
4.过原点作圆的两条切线，设切点分别为，则线段的长为 。
【解析】两切点确定的直线方程为：求出圆心距为1，半径为，弦长为4。
5.(2020年全国卷I11)已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为 ( )
A. B. C. D.
【解析】当时，取到最小值，求得，选D。
6.若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是 ( )
A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.不能确定
解析】选B。
切线长、弦长。
⑴过圆外一点作圆的切线，切点为，
则；
⑵弦长=2。
1.已知圆的方程是，圆的方程是，由动点向圆和圆所引的切线长相等，则动点的轨迹方程是 。
【解析】设，因为切线长相等，即，得。
2.(2015年新课标全国卷II7)过三点,,的圆交轴于两点，则= ( )
A.2 B.8 C.4 D.10
【解析】得圆心为，选C。
3.(2020年新高考天津卷12)已知直线和圆相交于两点．若，则的值为 。
【解析】5。
4.(2016年新课标全国卷III16)已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点,若,则=_______.
【解析】代入弦长公式得，直线的倾斜角为，。
5.(2018年全国卷I)直线与圆交于两点，则 。
【解析】。
6.在平面直角坐标系中,直线与圆相交于两点，则弦的长等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B。
7.在平面直角坐标系中,直线被圆截得的弦长为 。
【解析】。
8.已知直线与圆心为的圆相交于两点,且为等边三角形,则实数________.
【解析】。
9.已知圆截直线所得线段的长度是,则圆与圆的位置关系是 ( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
【解析】选B。
最值问题
⑴定点与圆上点距离最值问题：
点的确定：点与圆心连线与圆有两交点，靠近为最小值点，远离为最大值点；
最值确定：定点与圆心距离。
1.已知则最小值为 。
【解析】
2.(2020年北京卷)已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【解析】选A
⑵线与圆距离最值问题：
点的确定：
①圆心作线的垂线交圆于两点，靠近为最小值点，远离为最大值点；
②平行移动直线与圆有两切点；
最值确定：
圆心到直线距离。
1.(2018年北京卷)在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当变化时，的最大值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】P为单位圆上一点，而直线恒过点A（2,0），几何意义是d的最大值为OA+1=3。
2.圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是( )
A.36 B.18 C. D.
【解析】选C。
3.(2018年新课标全国卷III)直线分别与轴，轴交于,两点，点在圆上,则面积的取值范围是( )
A. B. C. D.
【解析】选A
4.在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为
【解析】直线恒过定点，当点与的距离为半径时半径最大，,
5.在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】动圆恒过原点，当原点到直线距离为直径时面积最小，选A
⑶构造斜率求最值：
形如最值的求法，可看作是圆上的点的斜率的范围
1.如果实数满足:则的最大值为
【解析】
⑷构造截距求范围
形如:范围，可设可看作是直线平行移动的截距
1.若直线与曲线恰有一个公共点，求实数的取值范围。
【解析】或
⑸切线长最值：
圆心到动点距离最小或最大时切线长最小或最大。
1.由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为 ( )
A.1 B. C. D.
【解析】选C
⑹弦长最值：
转化为弦心距最值。
1.已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和,则四边形的面积为 ( )
A. B. C. D.
【解析】最长弦为过圆心的弦即直径，最短弦与最长弦垂直，而，选B
2.过点的直线，将圆形区域分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A
3.过点作圆的弦，其中最短的弦长为 。
【解析】
4.设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于, 则的最大值是
【解析】可知P的轨迹是以，为直径的圆，当PA=PB时最大为5
5.(2020年新课标全国卷I6)已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B。
6.已知圆直线:。
（1）求证：直线恒过定点。
（2）判断直线被圆截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短长度。
【解析】（1）恒过定点(3,1)；（2）；。
对称问题
⑴自身对称：
①圆自身关于圆心成中心对称；
②圆关于任意一条直径成轴对称。
1.已知圆(为实数)上任意一点关于直线的对称点都在圆上，则 。
【解析】-2。
2.已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则= ( )
A.2 B. C.6 D.
【解析】选C。
⑵圆关于点(或线)的对称
只对称圆心即可，转化为点关于点(或点关于线)对称。
1.已知圆:=1，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ）
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
【解析】只对称圆心，圆圆心为，关于对称点坐标为，选B
2.圆关于原点对称的圆的方程为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A。
3.已知圆，圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】其中一个圆关于轴对称，两圆心连线与轴的交点为所求点，连线距离减去两圆半径之和为最小值，选A。
4.一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为 ( )
A.或 B.或 C.或 D.或
【解析】选D。
圆锥曲线方程
椭圆：表示焦点在x轴的椭圆标准方程；表
示焦点在y轴的椭圆标准方程。
判断焦点所在轴秒杀方法：分母大的为焦点所在轴。
几何性质：①关于x轴、y轴成轴对称图形，关于原点成中心对称图形。
②，下图中对应的特征直角三角形。
应用：作图法找椭圆的焦点：以短轴的两个端点为圆心，以半长轴为半径作圆，与长轴的两个交点为椭圆的焦点。
双曲线：表示焦点在x轴上双曲线的标准方程；表示焦点在y轴的双曲线标准方程。
判断焦点所在轴秒杀方法：系数为正的为焦点所在轴。
几何性质：
①关于x轴、y轴成轴对称图形，关于原点成中心对称图形。
②，特征三角形：原点、虚轴端点、实轴端点构成的直角三角形；
抛物线：①焦点在轴上：;
②焦点在轴上：，表示焦点到准线的距离。
判断焦点所在轴秒杀方法：一次对应焦点所在轴。
③焦点坐标:或。
④准线方程:或。
确定圆锥曲线的形状
1.“”是“方程”表示焦点在轴上的椭圆”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】椭圆方程可化为：，如焦点在轴上，只需，即，所以是充要条件，选C。
2.若，则“”是“方程表示双曲线”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】方程表示双曲线只需，即或，所以是充分不必要条件，选A。
3.(2016年全国卷I5)已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
【解析】可知焦点在轴上，，需，选A。
4.(2020年全国卷9)已知曲线 ( )
A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B.若m=n>0，则C是圆，其半径为
C.若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D.若m=0，n>0，则C是两条直线
【解析】选A、C、D。
求圆锥曲线方程
1.(2017年全国卷III)已知双曲线：()的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则的方程为 ( )
A. B. C. D.
【解析】由椭圆方程得，由渐近线得，，选B。
2.已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 。
【解析】由椭圆方程得，，所以双曲线的离心率为，，由双曲线的方程为：。
3.已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为 。
【解析】抛物线的准线为，所以双曲线中，由离心率为2得，焦点在轴上，所以双曲线的方程为。
4.下图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米。
【解析】设拱桥所在抛物线的方程为，将点代入得，转化为求点中的，将点代入抛物线中可得，即水面宽为米。
求圆锥曲线方程中的量
1.(2019年全国卷II)若抛物线焦点是椭圆一个焦点，则= ( )
A.2 B.3 C.4 D.8
【解析】，，选D。
2.(2012年全国卷8)已知等轴双曲线C的中心在原点，焦点在轴上，C与抛物线的准线交于A、B两点，，则C的实轴长为 ( )
A. B. C.4 D.8
【解析】设等轴双曲线方程为，抛物线准线方程为，解得，选C。
3.设是椭圆的长轴，点在椭圆上，且，若，则椭圆的两个焦点之间的距离为 。
【解析】由得，由与得，代入椭圆得，，=。
4.曲线与曲线的 ( )
A.焦距相等 B.离心率相等 C.焦点相同 D.准线相同
【解析】表示焦点在轴上的椭圆，表示焦点在轴上的双曲线
化简为，可知焦距相等，选A。
5.，则双曲线与的 ( )
A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等
【解析】由方程得，，选D。
6.若实数满足，则曲线与曲线的 ( )
A.焦距相等 B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等 D.离心率相等
【解析】表示焦点在轴上的双曲线，表示焦点在轴上的双曲线，可知焦距相等，选A。
7.曲线与曲线 的 ( )
A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等
【解析】当时，表示焦点在轴上的椭圆，两曲线焦距相等；当时，可化为，表示焦点在轴上的双曲线，两曲线焦距相等，选D。
8.(2020年全国卷II)设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C：=l(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为 ( )
A.4 B.8 C.16 D.32
【解析】,,，选B。
圆锥曲线定义
利用椭圆定义解题
动点到两定点(距离为)距离之和为定值()的点的轨迹
①，椭圆；
②，两定点确定的线段；
③，无轨迹。
焦半径公式：，(左加右减)
二级结论：
过抛圆的一个焦点作弦AB,与另一个焦点F构造三角形FAB，则FAB周长等于4
1.设是椭圆上点，若是椭圆两个焦点，则等于( )
A.4 B.5 C.8 D.10
【解析】利用椭圆的定义得=，选D。
2.(2014年辽宁卷)已知椭圆：，点M与C的焦点不重合，若关于的焦点的对称点分别为，线段的中点在上，则 。
【解析】如图,，，。
3.(2019年全国卷III15)设、为椭圆C：的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则M的坐标为 。
【解析】，，代入得M
4.(2011年全国卷14)在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为，过直线交于两点，且周长为16，那么方程为
【解析】，得方程为：
5.已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，,则=
【解析】
6.已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是 ( )
A. B.6 C. D.12
【解析】周长为：，选C
7.已知椭圆:的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交于两点，若的周长为，则的方程为 ( )
A. B. C. D.
【解析】，，，选A
8.已知经过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线，交椭圆于两点，是椭圆的左焦点。（1）求的周长；
（2）如果不垂直于轴，的周长有变化吗？为什么？
【解析】（1）20；（2）不变。
利用双曲线定义解题
1.双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值是常数。
2.注意定义中两个加强条件：①绝对值； ②。
3.加绝对值表示两支(或两条),不加绝对值表示一支(或一条)。
4.①当时，表示双曲线；②当时，表示以两定点为端点向两侧的射线；③当时，无轨迹。
5.当时，表示两定点的中垂线。
1.(2012年辽宁卷)已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则的值为 。
【解析】得=。
2.设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为 ( )
A. B. C. D.
【解析】由双曲线定义得，，，选A。
3.双曲线离心率为2，焦点为、，点在上，若，则( )
A. B. C. D.
【解析】由双曲线定义得：，，，，由余弦定理得：，选A。
4.若双曲线 的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，且，则等于( )
A.11 B.9 C.5 D.3
【解析】由双曲线定义得：，选B。
5.(2020年浙江卷8)已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数图象上的点，则|OP|= ( )
A. B. C. D.
【解析】利用定义知P是双曲线右支与椭圆的交点，
联立得选D
二级结论：过双曲线的一个焦点作弦AB（交到同一支上），与另一个焦点F构造三角形FAB，则FAB的周长等于4+2AB。
1.(2013年辽宁卷)已知为双曲线的左焦点，为上的点，若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为 。
【解析】
2.过双曲线左焦点的直线交双曲线的左支于两点，为其右焦点，则的值为 。
【解析】①，②
①+②可得=，而，等于8
3.已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与左支相交于两点，如果，那么= 。
【解析】
利用抛物线定义解题
抛物线：到定点(焦点)距离等于到定直线(准线)距离
图形 标准方程 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦半径 几何意义 参数表示焦点到准线的距离，越大，开口越开阔。 1.(2016年新课标全国卷I10)以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点，已知=，=，则的焦点到准线的距离为 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】，，=，，选B。
2.抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标是 ( )
A. B. C. D.0
【解析】由抛物线定义可知：，选B。
3.设抛物线上一点到轴的距离是4，则点到该抛物线焦点的距离是( )
A.4 B.6 C.8 D.12
【解析】选B。
4.已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为 ( )
A. B.1 C. D.
【解析】由抛物线定义可知：，选C。
5.(2020年全国卷I4)已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p= ( )
A.2 B.3 C.6 D.9
【解析】12=9+，，选C。
6.(2020年北京卷7)设抛物线的顶点为O，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线 ( )
A.经过点 B.经过点 C.平行于直线 D.垂直于直线
【解析】选B。
7.(2020年全国卷II)椭圆C1：(a>b>0)右焦点F与抛物线C2焦点重合，C1中心与C2的顶点重合．过F且与x轴重直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|．
（1）求C1的离心率；
（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．
【解析】（1）由已知可设的方程为，其中.
不妨设在第一象限，由题设得的纵坐标分别为，；的纵坐标分别为，，，.由得，即，解得（舍去），.所以的离心率为.
（2）由（1）知，，故，所以的四个顶点坐标分别为，，，，的准线为.由已知得，即.所以的标准方程为，的标准方程为.
8.(2020年全国卷II)已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且．
（1）求C1的离心率；
（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程．
【解析】（1）由已知可设的方程为，其中.不妨设在第一象限，由题设得的纵坐标分别为，；的纵坐标分别为，，故，.由得，即，解得（舍去），.所以的离心率为.
（2）由（1）知，，故，设，则，，故.①由于的准线为，所以，而，故，代入①得，即，解得（舍去），.所以的标准方程为，的标准方程为.
二级结论：焦点在轴上的圆锥曲线,曲线上的点到同一个焦点的距离成等差数列，则横坐标成等差数列，反过来亦成立。
1.(2007年全国卷6)已知抛物线的焦点为，点,,在抛物线上,且,则有 ( )
A. B.
C. D.
【解析】可知焦半径成等差数列，选C.
二级结论：一般情况下，抛物线中已知到焦点的距离需转化为到准线的距离，已知到准线的距离需转化为到焦点的距离。
1.(2014年全国卷I10)已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则= ( )
A. B. C.3 D.2
【解析】利用相似成比例与抛物线上的点到焦点的距离等于到准线距离，得=3，选C。
2.(2017年全国卷II)已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点，若为的中点，则= 。
【解析】则，焦点为，准线，如图，为、中点，知线段为梯形的中位线，∵，，∴，又由定义知，且，。
二级结论：作过抛物线焦点且倾斜角为60°或120°弦，两段焦半径分别为：。
1.(2017年全国卷II)的焦点，且斜率为直线交于点(在轴上方)，为准线，点在上且，则到直线距离为 ( )
A. B. C. D.
【解析】斜率为可知为边长为4的等边三角形，则=，选C
2.设抛物线的焦点为，准线为,为抛物线上一点，，为垂足，如果直线的斜率为，那么= ( )
A. B.8 C. D.16
【解析】由二级结论知选B
3.设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为 。
【解析】由二级结论得
4.抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是 ( )
A.4 B. C. D.
【解析】由二级结论得
5.(2020年新高考全国卷13)斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A、B两点，则= 。
【解析】
焦点三角形
椭圆上任意一点与两焦点、构成的三角形：
焦点三角形周长及顶角的范围
①焦点三角形周长为定值：。
②当点靠近短轴端点时增大，当点靠近长轴端点时减小；与短轴端点重合时最大。
注：椭圆中端点三角形(长轴两端点与椭圆上一点构成)当P在短轴端点时顶角最大。
1.(2017年全国卷I)设、是椭圆长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
【解析】当时，椭圆的焦点在轴上，
要使C上存在点M满足，则需，即，得；
当时，椭圆的焦点在轴上，
要使C上存在点M满足，则，即，得。
故m的取值范围为,选A。
焦点三角形面积
焦点三角形面积：（求坐标范围或到坐标轴距离的范围时。）=求或时。），即与短轴端点重合时面积最大。
1.已知,是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，,若的面积为9，则= 。
【解析】由椭圆焦点三角形面积公式得：，。
焦点直角三角形个数
焦点直角三角形：底角为，有四个(四个全等，点为通径端点。)；
顶角为，即以为直径的圆与椭圆交点为点：。
1.、是椭圆的焦点，在上满足的点的个数为 。
【解析】，P点的个数是2个。
2.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若是一个直角三角形的三个顶点，则点到轴的距离为 ( )
A. B.3 C. D.
【解析】，所以顶角为直角的不存在；而底角为直角时，P到x轴的距离为通径的一半，即：，选D。
3.设、为椭圆的两个焦点,为椭圆上的一点，已知,,是一个直角三角形的三个顶点，且，求的值。
【解析】，所以顶角为直角与底角为直角的均存在；
①如果底角为直角，，，=；
②如果顶角为直角，，，，=2。
双曲线中的焦点三角形
焦点直角三角形的个数：一定为八个，顶角为直角与底角为直角的各为四个。
焦点三角形面积：为焦点三角形的顶角)=（求坐标范围或到坐标轴距离的范围时。）=（求或时。）。等面积思想在解题时非常重要。
1.(2015年新课标全国卷I5)已知是双曲线上的一点,是的两个焦点,若,则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
【解析】当时，由等面积：，选A。
2.已知、为双曲线:的左、右焦点，点在上，，则 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】由等面积得：，选B。
4.设为双曲线上的一点,是该双曲线的两个焦点,若则的面积为
【解析】设，则，由双曲线的定义得：，，，,所以由勾股定理得为焦点直角三角形，所以
5.设分别是双曲线的左、右焦点,若点在双曲线上,且,则
【解析】由向量中线定理得：=
6.(2020年全国卷I11)设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为 ( )
A. B.3 C. D.2
【解析】由，得，选B。
8.已知双曲线的左,右焦点分别为,为的右支上一点,且,则的面积等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】=10，由双曲线定义得：，是等腰三角形，底边上的高为6，所以面积为48，选C。
9.(2020年新课标全国卷III11)设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P是C上一点，且F1P⊥F2P，若△PF1F2的面积为4，则a= ( )
A.1 B.2 C.4 D.8
【解析】=，，选A。
离心率
利用焦点三角形求离心率
利用定义，求出
椭圆结论：设椭圆焦点三角形两底角分别为、，(正弦定理)
双曲线结论：利用焦点三角形两底角来表示：
1.在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则 。
【解析】由二级结论得：。
2.(2013年新课标全国卷II)设椭圆的左、右焦点分别为，是上的点，，，则的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】设，，则，即，，，
由二级结论得：，选D。
3.双曲线(,)的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】设，，则，即，，，
由二级结论得：，选B。
4.设椭圆的两个焦点分别为,过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点,若为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是 ( )
A. B. C. D.
【解析】，，则，即，，选D。
由二级结论得：，选D。
5.(2016年新课标全国卷II11)已知是双曲线的左、右焦点，点在上,与轴垂直,,则的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】设，则，，，，
由二级结论得：，选A。
6.(2018年新课标全国卷II)已知,是椭圆的两个焦点，是上的一点，若,且,则的离心率为 ( ) A. B. C. D.
【解析】设，则，，选D。
由二级结论得：，选D。
7.(2018年北京卷)已知椭圆，双曲线，若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为 ；双曲线N的离心率为 。
【解析】设其中一个交点为，则为焦点直角三角形，设，则有，椭圆的离心率为，双曲线渐近线的倾斜角为，双曲线的离心率为2。
8.已知是双曲线的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】设中点为P(右），，，，，，选D。
由二级结论得：，选D。
9.设分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线上存在点,使且,则双曲线的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】设，则，，，，选B。
10.在中,,.若以为焦点的椭圆经过点,则该椭圆的离心率 。
【解析】设，则，，，。
由二级结论得：。
11.已知双曲线，若矩形的四个顶点在上, 的中点为的两个焦点，且，则的离心率是 。
【解析】取一个焦点三角形，设，则，，，，，。
12.设是等腰三角形,,则以为焦点且过点的双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【解析】，，，，选B
13.在中，，，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ．
【解析】，由余弦定理得：，，，。
14.设圆锥曲线的两个焦点分别为,若曲线上存在点满足=4:3:2,则曲线的离心率等于 ( )
A. B.或2 C.2 D.
【解析】设，，，
当曲线为椭圆时，，，；
当曲线为双曲线时，，，，选A。
15.设是双曲线：的两个焦点，是上一点，若且的最小内角为，则的离心率为 。
【解析】设P在双曲线右支上，由双曲线定义得，，，，且，最小，，由余弦定理：,，。
16.设，分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为 ( )
A. B. C. D.3
【解析】设P在双曲线右支上，由双曲线定义得，，，，或（舍去），，选B。
17.椭圆为定值,且的左焦点为,直线与椭圆相交于点、,的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是 。
【解析】设右焦点为，由椭圆定义得：，
由，的周长的最大值是，，，。
18.设是双曲线:的一个焦点，若上存在点，使线段的中点恰为其虚轴的一个端点，则的离心率为 。
【解析】法一：设F是双曲线的左焦点，可得P，代入得
法二：F是双曲线左焦点，是双曲线右焦点，则，，，
寻找a、b、c的关系求离心率
如果建立或或的关系，一般情况要通过平方消去化简为关系求离心率
19.(2019年新课标全国卷I)已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若，，则C的离心率为 。
【解析】，，设，，则，。
20.(2019年高考题天津卷)已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为 ( )
A. B. C.2 D.
【解析】将代入渐近线，得，令，则，，选D。
21.(2012年新课标全国卷4)设是椭圆的左,右焦点,为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】，得，选C。
22.(2019年全国卷II11)设为双曲线C：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于、两点，若|，则C离心率为( )
A. B. C. D.
【解析】、是互相垂直的直径，，，选A。
23.(2016年全国卷III)已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为的左、右顶点，为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点，与轴交于点，若直线经过的中点，则的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】由线段成比例得：，，得，选A。
24.(2017年新课标全国卷I15)已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于、两点，若，则的离心率为 。
【解析】可得为等边三角形，到渐近线的距离为，得，。
秒杀方法：由可得(利用焦点到渐近线的距离为)。
25.(2017年全国卷III)已知椭圆:()的左、右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】因为圆与直线相切，即圆心到直线距离等于得：，，，选A。
26.过双曲线的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于 。
【解析】设右顶点为，左焦点为，为等腰直角三角形，可得，即，得，，（舍去）。
27.如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】在双曲线中，可得，在椭圆中，利用焦点三角形面积公式得，在双曲线中，，， ，，选D。
28.(2020年新课标全国卷I15)已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为 。
【解析】，得。
29.(2020年新高考江苏卷6)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是 。
【解析】。
黄金椭圆
成等比数列，即，椭圆:，叫优美椭圆；类比：双曲线：
求离心率的范围
建立不等式，求出范围
30.(2017年全国卷II)若，则双曲线的离心率的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
【解析】，选C。
31.已知双曲线的左右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】由得，即，。
双曲线的渐近线
由双曲线的方程求渐近线
①已知双曲线方程求渐近线方程：
②若焦点在x轴上，渐近线为；若焦点在y轴上，渐近线为
1.(2019年新高考江苏卷)在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3,4)，则该双曲线的渐近线方程是 。
【解析】代入得，渐近线方程是：。
2.双曲线的对称轴为坐标轴，一条渐近线为，则双曲线的离心率为 ( )
A.5或 B.或 C.或 D.5或
【解析】焦点在x轴上，则，；焦点在y轴上，则，；选B。
3.(2018年新课标全国卷II5)双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 ( )
A. B. C. D.
【解析】秒杀方法：设，则，选A。
4.已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为 ( )
A. B. C. D.
【解析】，得，选A。
有共同渐近线双曲线方程的设法
1.求与双曲线有公共的渐近线，且经过点A的双曲线的方程。
【解析】设双曲线方程为：，代入点A得，双曲线方程为：。
2.设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为 ；渐近线方程为 。
【解析】设双曲线方程为：，代入点得=-3，双曲线的方程为：，渐近线方程为。
已知渐近线方程设双曲线方程
1.(2015年全国卷II)已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 。
【解析】设双曲线，将点代入得，所以双曲线方程为。
2.若双曲线渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是 。
【解析】设双曲线方程为：，因为焦点在x轴上，化简为，得，双曲线方程为：。
3.(2020年天津卷7)设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为，若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为 ( )
A. B. C. D.
【解析】渐近线垂直可知为等轴双曲线，设方程为：，可知，选D。
双曲线的焦点到渐近线的距离
双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长
二级结论：焦点到渐近线的距离与顶点到渐近线的距离之比等于双曲线的离心率
1.已知双曲线:，以的右焦点为圆心且与的渐近线相切的圆的半径是 ( )
A. B. C. D.
【解析】以的右焦点为圆心且与的浙近线相切的圆的半径等于右焦点到渐近线的距离，选D。
2.双曲线的渐近线与圆相切，则= ( )
A. B.2 C.3 D.6
【解析】因为圆心恰为双曲线的右焦点，所以r=b=，选A。
3.已知双曲线的两条渐近线均和圆:相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为 ( )
A. B. C. D.
【解析】c=3，r=b=2，a=，选A。
4.(2007年新课标全国卷13)已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 。
【解析】 由相似成比例可得：。或由上面的二级结论直接得到答案。
5.(2014年新课标全国卷I4)已知是双曲线:的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为 ( )
A. B.3 C. D.
【解析】由二级结论得，选A。
6.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 ( )
A. B. C.3 D.5
【解析】抛物线与双曲线的焦点为，则b=，所以双曲线焦点到其渐近线距离等于，选A。
7.(2018年新高考江苏卷)在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是 。
【解析】，设，所以离心率为2。
8.已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，设到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为 ( )
A. B. C. D.
【解析】秒杀方法：由梯形中位线知,焦点到此渐近线的距离为3，即，选C。
9.(2018年新课标全国卷I11)已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点,过的直线与的两条渐近线的交点分别为，若为直角三角形，则= ( )
A. B.3 C. D.4
【解析】渐近线方程为，∵为直角三角形，
假设，,
∴，∴，选B。
10.(2018年新课标全国卷III11)设是双曲线的左，右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的离心率为 ( )
A. B.2 C. D.
【解析】,，又因为，所以，
在中，，
∵在中，，
∴
。
11.(2020年新高考北京卷12)已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是 。
【解析】，。
直线与圆锥曲线
答题步骤:
步骤1：设直线方程：注意设直线的技巧。
①当斜率不存在的直线不满足，斜率为零的直线满足时，一般设为；
②当斜率为零的直线不满足，斜率不存在的直线满足时，一般设为；
③两类直线均满足或均不满足时，两种设法均可，但两类直线均满足时，注意要对取不到的直线补充验证。)。
步骤2：直线与曲线联立，整理成关于x(或y)的一元二次方程。
步骤3：写出根与系数的关系（如果求范围或直线与曲线不是恒有公共点，则写出）。
步骤4：转化已知条件，转化为两根的关系。
步骤5：把根与系数的关系代入转化的条件中。
※注：若题目中不涉及根与系数，则步骤4\步骤5可省略。
弦长公式：弦长：直线与曲线相交中两交点的距离。
弦长公式：直线与曲线联立，若消y，转化为关于x一元二次方程，则弦长=；若消x，则转化为关于y一元二次方程:弦长=
直线与椭圆的位置关系
直线，椭圆:；
判定方法：法：
直线与椭圆方程联立：。
1.已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点。
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在平行于OA的直线，使得直线与椭圆C有公共点，且直线OA与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。
【解析】(1)c=2，设椭圆方程为：，代入点A得椭圆方程为。
法二：（最佳方法）左焦点为(-2,0)，则A到两焦点距离分别为：3、5；所以2a=8，a=4，所以椭圆方程为。
步骤1：设直线：假设存在符合题意的直线，其方程为；
步骤2：直线方程与椭圆方程联立：由，得；
步骤3：判别式：直线与椭圆有公共点，有，解得
步骤4：利用已知条件：由直线OA与的距离4得：，，
由于，所以符合题意的直线不存在。
2. (2007年新课标全国卷)在平面直角坐标系中,经过点且斜率为的直线与椭圆 有两个不同的交点和。
（1）求的取值范围；
（2）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为、,是否存在常数,使得向量与共线？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由。
【解析】（1）)步骤1：设直线：直线；
步骤2：直线方程与椭圆方程联立：由得；
步骤3：判别式：由得。
步骤4：：转化已知条件：,
,；
步骤5：把根与系数的关系代入转化的条件中：
利用共线可得，因为，故不存在。
3.(2010年新课标全国卷)设分别是椭圆: 的左、右焦点，过斜率为1的直线与相交于两点，且，，成等差数列。
（1）求的离心率；
（2）设点满足，求的方程。
【解析】（1），,；
步骤1：设直线：:；
步骤2：直线方程与椭圆方程联立：由,化简后得；
步骤3：韦达定理：；
步骤4：代公式：直线斜率1，，得
，的离心率；
（2）利用的中垂线过点，得椭圆方程为：。
直线与双曲线的位置关系
①第一角度:;
②第二角度:(从交点个数);
如交到同一支上条件的限定：
右支： ；左支：，与双曲线C：的右支交于不同的两点A、B。
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。
【解析】步骤1：直线方程与双曲线方程联立：得：；
步骤2：判别式：由得；
步骤3：条件转化：以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F，等价于FAFB，即，代入坐标得：；
步骤4：把根与系数关系代入条件：，得或（舍）
直线与抛物线的位置关系第一角度:位置关系
②第二角度:交点个数
1.抛物线线关于x轴对称，顶点在坐标原点,点P(1,2)、A()、B均在抛物线上。
（1）写出该抛物线的方程及其准线方程；
（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值及直线AB的斜率。
【解析】（1）设抛物线方程，代入点P得抛物线的方程为：，准线为：;
（2）法一：步骤1：设直线：：；
步骤2：直线方程与抛物线方程联立：，得；
步骤3：韦达定理：，；
步骤4：转化已知条件：，得；
步骤5：代入根与系为关系：。
法二：抛物线特有方法（绕开直线与抛物线联立，设点的技巧。）：设A，B，，则有，得，
圆锥曲线直角弦
直角弦定义：直线与圆锥曲线相交于A、B两点，若存在点P，使得PAPB，则弦AB叫做相对于点P的直角弦。
直角弦有三种考法：
①PAPB以AB为直径的圆过点P；
②APB是钝角点P在以AB为直径的圆内；
③APB是锐角点P在以AB为直径的圆外；
椭圆中的直角弦。
方法一答题规范模板：
步骤1：设直线的方程；
步骤2：直线与曲线联立，整理成关于x(或y)的一元二次方程；
步骤3：写出根与系数的关系；
步骤4：利用，把根与系数的关系代入。
方法二答题规范模板：
步骤1：设直线的方程；
步骤2：直线与曲线联立，整理成关于x(或y)的一元二次方程；
步骤3：利用根与系数的关系求出点的坐标，把点的坐标中的换为得到点的坐标；
步骤4：由两点式求出的方程，进而求出直线的特点。
相对于椭圆中心的直角弦
直线与曲线交于两点，若(为曲线中心)，则称为相对于中心的直角弦，由，得二级结论：中心到直线的距离为定值：。
1.(2008年新课标全国卷20)在直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为、，也是抛物线的焦点，点为与在第一象限的交点，且。
（1）求的方程；
（2）平面上的点满足直线，且与交于、两点，若，求直线的方程。
【解析】（1），代入抛物线得，M到距离之和为，得:。
由，所以，
步骤1：设直线方程：设:;
步骤2：直线与曲线联立：直线与椭圆联立：，化简得：；
步骤3：写出根与系数的关系：设交点A、B，由韦达定理得：，；
步骤4：利用：由，，得。
秒杀方法：由点到直线的距离，得。
相对于其它点的直角弦
利用。
二级结论 ：上一点，过作互相垂直的两条直线，与椭圆交于两点，则恒过定点。
秒杀方法：一般情况，直线AB（设直线AB方程为：y=kx+m。)与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，使，会出现一个固定型关系式：（记住，因运算较繁琐.)，
即，AB恒过定点（舍去），
注意：若条件中以或以AB为直径的圆过点P的形式给出，则不能舍去，答案有两个值。或，AB恒过定点。
1.(2020年新高考全国卷22)已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．
（1）求C的方程：
（2）点M、N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值。
【解析】（1）代入点A得，另，得，，C的方程为。
（2）步骤1：两类特殊直线均满足，两种设法均可，最后补回不能表示的直线：当斜率存在时，设直线MN的方程为：；
步骤2：直线与曲线联立：直线与椭圆联立得；
步骤3：写出根与系数的关系：设M，N，则有：，；
步骤4:转化关系：,，得，
A不在直线MN上，，，的方程为，过点；
当直线与轴垂直时，可得，由得，又，可得，解得（舍去），，此时直线亦过点。
令为的中点，即，若与不重合，则由题设知是的斜边，，若与重合，则，综上，存在点，使得为定值。
秒杀方法：利用前面秒杀方法很快可以做出。
2.(2014年辽宁卷)圆的切线与轴正半轴、轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为(如图)，双曲线过点且离心率为。
（1）求的方程；
（2）椭圆过点且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于两点，若以线段为直径的圆过点，求的方程。
【解析】（1）设，则切线方程为：，，，当且仅当时等号成立，即，代入双曲线方程中，可得，的方程为。
（2)可得椭圆方程为：；
步骤1：设直线方程：斜率为0的直线不满足，设;
步骤2：直线与曲线联立：直线与曲线联立得：，设交点A、B；
步骤3：写出根与系数的关系：由韦达定理得：，；
步骤4：利用：代入得或，为:或。
秒杀方法：直线与曲线联立，利用，代入根与系数的关系，得一固定关系式：，即或。
抛物线中的直角弦。
相对于原点的直角弦
抛物线中相对于曲线中心的直角弦：直线交于()，()两点(注意设点技巧），为原点，若，把叫做相对于的直角弦，
得秒杀结论：
①直线l恒过定点（），反之亦然。
推导过程：设直线AB：，与抛物线联立得：，
设A、B，
由，得，，
恒过定点。
②△AOB面积的最小值为
推导过程：
先证明恒过定点，
，
当时，即时，。
③点的轨迹为：
推导过程：先证明恒过定点，设，则有，
即，化简即得。
④弦的中点的轨迹方程为：
推导过程：先证明恒过定点，利用点差法可得，
即，化简即得。
1.(2017年新课标全国卷III20)已知抛物线,过点的直线交于,两点，圆是以线段为直径的圆。
（1）证明：坐标原点在圆上；
（2）设圆过点，求直线与圆的方程。
【解析】（1）设直线方程：当斜率为时，直线与抛物线交于一点，不符合，设
直线与曲线联立：联立：，得;
根与系数的关系：，，，;
代入条件验证：，，即在圆上。
（2）若圆过点，，，得或
则圆或。
秒杀方法：由（1）知圆过两点，的中垂线的方程为：，圆心为的中点,
代入得或。
相对于其它点的直角弦
利用。
二级结论 ：上一点，过作互相垂直的两条直线，与抛物线交于两点，则恒过定点
秒杀方法：一般情况，直线AB（设直线AB方程为：y=kx+m。)与抛物线方程联立，利用根与系数的关系，使，会出现一个固定型关系式：（记住，因运算较繁琐.)，即AB恒过定点
圆锥曲线焦点弦
焦点弦定义：过焦点的直线与曲线相交于两点A、B，弦AB叫做曲线的焦点弦。
椭圆与双曲线焦点弦中常考的二级结论。
焦点弦长公式
焦点弦长公式：(为直线与焦点所在轴的夹角)，
通径：(最短焦点弦)。
1.(2017年新课标全国卷I)已知是双曲线的右焦点，是上一点，且与轴垂直，点的坐标是，则的面积为 ( )
A. B. C. D.
【解析】，而P（2，0），，选D。
2.(2008年新课标全国卷)过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，则的面积为 。
【法一】利用弦长公式（一般弦长公式）求出，再利用到直线距离求出高，可求出三角形的面积.
【法二】由焦点弦长公式得：，，。
【法三】直线方程为：，与椭圆联立可得两个交点的坐标,，从图中可直观得到。
焦点弦中的定值
焦点弦被焦点分成两部分，则(定值)(取通径即可)。
1.设分别是椭圆的左、右焦点,过点的直线交椭圆于两点，若轴，则椭圆的方程为 。
【解析】设，则有,，=，得。
2.(2019年新课标全国卷I10)已知椭圆C的焦点为，过的直线与C交于A、B两点，若，，则C的方程为 ( )
A. B. C. D.
【法一】设，则，,
利用椭圆定义得：，，则有，，
而，选B。
【法二】由法一可知，A为椭圆的顶点，
设，则，
在中，由余弦定理得，得，
选B。
离心率与焦点弦的关系
焦点弦被焦点分为两段、,，则有(为直线与焦点所在轴的夹角)。
过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，则：，
。(焦点在y轴上的性质对比给出。)
引伸：在抛物线的对称轴上，过的直线交抛物线于两点。，=(定值)。
焦点弦长
(是直线与焦点所在轴的夹角)（小题或简答题用于验证答案。）=(焦点在轴正半轴上)(其它三种同理可以推导。)（简答题常用。），焦点弦中通径(垂直于对称轴的焦点弦，长为)最短。
焦点弦被焦点分成两段焦半径的关系及焦半径公式
，则有：(定值)。，，(为直线与焦点所在轴的夹角。)
1.(2013年新课标全国卷II)设抛物线的焦点为，直线过且与交于，两点，若，则的方程为 ( )
A.或 B.或
C.或 D.或
【解析】法一：由，得，得，或，选C。
秒杀方法：，或，选C。
由焦点弦围成图形的面积
面积：，过A、B分别向准线作垂线，垂足分别为M、N。(是直线与焦点所在轴的夹角。)。
1.(2014年新课标全国卷II10)设为抛物线:的焦点,过且倾斜角为30°的直线交于两点,为坐标原点,则的面积为 ( )
A. B. C. D.
【解析】代入公式中，得，选D。
以焦点弦为直径的圆的性质
过A、B分别向准线作垂线，垂足分别为M、N。以为直径的圆与准线相切，切点为中点，分别是抛物线的切线，并且分别是的角平分线。
1.(2018年全国卷III16)已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于,两点.若,则= 。
【解析】依题意得，抛物线的焦点为，设直线AB：x=my+1，与抛物线联立：，得，设A、B，，，由，代入根与系数的关系，得，即。
或由性质知AB中点的纵坐标为1，即，得，即。
秒杀方法：以为直径的圆与准线相切，而在准线上，是切，知AB中点的纵坐标为1，由点差法得，。
2.(2018年新课标全国卷II)设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于,两点，。
（1）求的方程；
（2）求过点、且与的准线相切的圆的方程。
【解析】（1）由题意得，的方程为，设，，由,得,，故，
所以，由题设知，解得(舍去)，，因此的方程为。
秒杀方法：AB=，得，。
（2）由(1)得AB中点坐标为，所以AB垂直平分线方程为，即
设所求圆的圆心坐标为，r=圆心到准线的距离=，=+圆心到直线AB距离的平方，，解得或，
因此所求圆的方程为或。
如图两圆的性质
以为直径的圆与相切，切点为焦点。以焦半径为直径的圆与轴相切。
【解析】可知M的横坐标为，纵坐标为：，(0,2)是切点，
即=4，得或，选C。
圆锥曲线中点弦
圆、椭圆、双曲线的中点弦问题注：方程：，①当且时，表示椭圆；②当且时，表示圆；③当异号时，表示双曲线。
点差法：步骤1：设直线与曲线 ：设直线与曲线：交于两点、，中点为，则有既在直线上又在曲线上，设,步骤2：代入点坐标：即;步骤3：作差得出结论：（1）-（2）得：。
求值 2.(2010年新课标全国卷12)已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于两点，且的中点为，则的方程为 ( )
A. B. C. D.
【解析】由结论可得：，得，，选B。
3.已知倾斜角为的直线过点和点，在第一象限，。
（1）求点的坐标；
（2）若直线与双曲线相交于、两点，且线段的中点坐标为，求的值。
【解析】(1)4，，点B的坐标为。
(2)点差法：步骤1：设直线与曲线 ：设直线与曲线交于两点E、F，EF中点为（4，1），则有E、F既在直线上又在曲线上；
步骤2：代入点坐标：即；；
步骤3：作差得出结论：（1）-（2）得：，代入点，得。
4.(2015年新课标全国卷II20)已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴， 与有两个交点，线段的中点为。
（1）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
（2）若过点，延长线段与交于点，四边形能否平行四边行？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由。
【解析】:（1）点差法：步骤1：设直线与曲线 ：设直线与曲线交于两点、，中点为，则有既在直线上又在曲线上，设,；
步骤2：代入点坐标：即；；
步骤3：作差得出结论：（1）-（2）得：；
（2）设的斜率为，由①，②，联立得，得，代入椭圆中得：，
，，即存在。
5.(2013年新课标卷II)平面直角坐标系中，过椭圆M:()右焦点的直线交M于A、B两点，且P为AB的中点，OP的斜率为。
（1）求M的方程；
（2）C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值。
【解析】(1)代入右焦点可得，仿照前面步骤，由点差法得，，椭圆的方程为：。
(2)设CD方程：，AB、CD方程与椭圆联立，由弦长公式得：，，，，
当时，。结论：平行直线系，过椭圆中心（原点）时弦长最大。
求当为定值时，平行弦中点轨迹
法一：直线与曲线联立，利用根与系数的关系，求出中点坐标的参数方程，消参数即得中点弦轨迹方程。
法二：利用点差法得：，即（过原点的直线在曲线内部的部分）。
【解析】(1)法一：设椭圆标准方程为：，，即
∵ 点()在椭圆上，∴ ，解得或(舍)，得，即椭圆的方程为：。
法二：利用椭圆的定义，点到两焦点、距离之和为=，，。
（2）步骤1：设直线与曲线：设直线的方程为，与椭圆交于()，()两点；
步骤2：直线与曲线联立：，得；
步骤3：由韦达定理写出根与系数的关系：∵ ，∴ ，即
，则；
步骤4：代入得出结论：∴中点的坐标为，即线段的中点在过原点的直线上。
法二：利用点差法可得（步骤同上）：，即，即在过原点的定直线上。
如图，作两条平行直线分别交椭圆于、和，并分别取、的中点，连接直线；再作两条平行直线(与前两条直线不平行)分别交椭圆于、和，并分别取、的中点，连接直线，那么直线和的交点即为椭圆中心。
当直线恒过定点时，得定点弦中点轨迹：用消去
法一：直线与曲线联立，利用根与系数的关系，求出中点坐标的参数方程，消参数即得中点弦轨迹方程。
法二：利用点差法得：，即。
1.设椭圆方程为:，过点的直线交椭圆于点，是坐标原点，点满足，点的坐标为，当绕点旋转时。
求:（1）动点的轨迹方程；（2）求的最值。
【解析】（1）法一：步骤1：设直线方程：当k存在时，设的方程为
直线与曲线联立：，得；
由韦达定理写出根与系数的关系：；
代入关系式：，设点的坐标为则，消去参数得；
当k不存在时，得P(0,0)，满足，即P点的轨迹为：。
法二：利用点差法可得（步骤同上）：，化简得：。
（2），，
当时，取最小值，最小值为时，取得最大值，最大值为。
抛物线中点弦问题。
抛物线：①。
简答题步骤规范模板：
方法一：
①设直线的方程；
②直线与曲线联立，整理成关于(或)的一元二次方程；
③写出根与系数的关系；
④利用，把根与系数的关系代入。
方法二：点差法：
步骤1：设直线与曲线 ：设直线与曲线：交于两点、，中点为，则有既在直线上又在曲线上，设,；
步骤2：代入点坐标：即，；
步骤3：作差得出结论：（1）-（2）得：。
同理可推出其余三类方程的中点弦结论：
②。
③。
④。
求值(求k或p)
1.(2009年新课标全国卷13)已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为，直线与抛物线相交于两点，若的中点为(2,2)，则直线的方程为 。
【解析】抛物线方程为：，由结论得：，，直线方程为。
2.已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于、两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ( )
A. B. C. D.
【解析】由结论得：2×k=p，k=1，p=2，抛物线方程为：，选B。
3.已知是抛物线的焦点，是上的两个点，线段的中点为，则的面积等于 。
【解析】由结论得：，，直线AB方程为，A(0,0)，B(4,4)，S=2。
4.设为抛物线:的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点为线段的中点，若，则直线的斜率等于 。
【解析】设，，代入直线得，代入，得。
圆锥曲线中最值
定点与椭圆上动点的距离的最值问题。
定点与椭圆上动点的距离的最值：写出定点与椭圆上动点的距离表示，利用点在椭圆上可
消去x或y，然后转化为关于y或x的二次函数，利用椭圆的有界性确定最值；或设椭圆的参数方程，利用三角函数的有界性去限定。
椭圆上的点到两焦点距离最大、最小值的点为长轴两端点：。
1.设分别为圆和椭圆上的点，则两点间的最大距离是( )
A. B. C. D.
【解析】法一：转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加（半径）,,转化为二次函数，，
当时，取到最大值，选D。
法二：参数法，设，代入转化为关于（或）的二次函数。
2.设椭圆方程为:，过点的直线交椭圆于点，是坐标原点，点满足，点的坐标为，当绕点旋转时。
求:（1）动点的轨迹方程； （2）求的最值。
【解析】（1）法一：设直线方程：当k存在时，设的方程为；
直线与曲线联立：，得；
由韦达定理写出根与系数的关系：；
代入关系式：，设点的坐标为则，消去参数得；
当k不存在时，得P(0,0)，满足，即P点的轨迹为：。
法二：利用点差法可得（步骤同上）：，化简得：。
（2），
，
当时，取最小值，最小值为时，取得最大值，最大值为。
椭圆或双曲线上的动点到一个定点与一个焦点的距离的和或差的最值问题。
椭圆或双曲线上一点M与一定点P，最大或最小，转化为椭圆(或双曲线)上点M到另一个焦点的距离，连线与椭圆(或双曲线)的交点为所求的点。
2. (2015年新课标全国卷I)已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为 。
【解析】到右焦点的距离转化为到左焦点的距离，设左焦点为，则有
=，当A、P、F1三点共线时周长最小为32，可求得P，则。
3.已知点，而且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，求的最小值和最大值。
【解析】，A、F2与椭圆的两个交点为所求的P点。
抛物线上的动点到定点(定直线)与焦点（或准线或y轴）的距离之和的最值问题。
抛物线上的点到焦点的距离到准线（或y轴）的距离(转化后连线与抛物线的交点为所求的点。)。
1.(2008年新课标全国卷11)已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物 线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为 ( )
A. B. C. D.
【解析】点P到焦点的距离转化为到准线的距离，即点P到准线的距离与到点Q的距离之和最小，即Q到准线的距离最小，选A。
2.已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为
【解析】点P到准线的距离转化为到焦点的距离，即焦点与点（0，2）两点之间距离最小，
3.已知直线和直线,抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是 ( )
A.2 B.3 C. D.
【解析】是抛物线的准线，点到直线的距离等于点到焦点的距离，即在抛物线上找一点到焦点的距离与到的距离之和最小，只需过焦点向作垂线，与抛物线的交点为所求的点，最小值为到直线的距离，即最小值为2，选A。
抛物线上的动点到定点或定直线的距离的最值问题。
设出抛物线上的点的坐标，利用距离公式表示，然后转化为二次函数的最值问题。到定直线的距离可以利用切线（导数）。
1.对于抛物线上任意一点，点都满足，则的范围是( )
A. B. C. D.
【解析】法一：设Q(x,y)，
，平方得：
因为，即，只需，即，选B。
或分离参数：只需，即，选B。
法二：同上，转化为抛物线的顶点是抛物线上到点P(a,0)的距离最近的点，即，选B。
2.抛物线上到直线的距离最小的点的坐标是
【解析】法一：设P，则，当时最小，选B。
法二：设P，当过点P的切线与已知直线平行时，切点为所求的点，，，即P(1,1)
3.(2011年新课标全国卷20)在平面直角坐标系中，已知点，B点在直线上，点满足:，，M点的轨迹为曲线C。
（1）求的方程；
（2）为上的动点，为在点处得切线，求点到距离的最小值。
【解析】:（1）设M(x,y)，B(x0,3)，代入向量关系得：x=x0，C的方程为：;
（2）转化为关于的函数，利用基本不等式求最值：设点P，利用导数求切线斜率，k==，得切线方程为：，(或设点P)，则O点到的距离，又，
(仅当=0取等号，点到距离最小为2。)。
弦长或面积最值问题。
答题步骤：
步骤1：设直线的方程；
步骤2：直线与曲线联立，整理成关于x(或y)的一元二次方程；
步骤3：写出根与系数的关系；
步骤4：写出面积(或弦长)的几何表示(在求面积时最好选底或高其中一个为定值。)，把根与系数的关系
代入。
步骤5：转化为某个变量的函数，根据函数的特点求最值(一般利用基本不等式或二次函数或导数求最值。)。
二级结论：
①在椭圆中，过焦点作互相垂直的两条弦，构成四边形的面积与两条弦长度之和的最值为：当斜率不存在与斜率为0时面积与长度和最大；当斜率为时面积与长度和最小。
②在抛物线中，过焦点作互相垂直的两条弦，构成四边形的面积与两条弦长度之和最值为：当斜率为时面积与长度和最小，无最大值。
1.(2017年新课标全国卷I10)已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为 ( )
A.16 B.14 C.12 D.10
【解析】设，与抛物线联立得：，，
将，得，=，仅当时取等号。
秒杀方法：设的倾斜角为，
则=。
2.(2014年新课标全国卷I20)已知点，椭圆E：的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点。
（1）求E的方程；
（2）设过点A的动直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程。
【解析】（1）由，得，由离心率得，椭圆E的方程为：;
法一：步骤1：设直线方程 ：i.当不存在时，不符合题意；ii.当存在时，设；
步骤2：直线与曲线联立：将直线与椭圆联立得：，
由，得，，
点到直线的距离；
步骤3：写出面积关于k的函数关系式：S==，设，
；
步骤4：利用基本不等式求最值：则基本不等式得，当且仅当，即时等号成立，即。
法二：S==，同上。
3.(2020年新高考全国卷21)已知椭圆点点其左顶点，且斜率为.
的方程
（2）点为椭圆上任意一点，求面积的最大值
【解析】（1）根据题意，把点代入椭圆得到①，设，又，∴，代入①式，求得，∴椭圆的方程为.
（2）法一：转化为椭圆上的点到直线AM距离的最值，
由题意，可知的直线方程为，
设与之平行的直线：，
当与椭圆相切时，切点为所求的点N，切点到直线的距离为最大距离，
直线与椭圆联立，得，，得，
由题意知当时，面积最大，
两条平行直线与的距离，，∴。
法二：参数法，设N，
则，，同上。
圆锥曲线中定值与定点
圆锥曲线中的定值与定点。
解析几何中证明(求)直线(曲线)过定点，一般是先选择一个参数建立直线(曲线)系方程，再
根据直线(曲线)系过定点时与参数没有关系，得到一个关于的方程组，以这个方程组的解为坐标的点为所求定点；定值问题是通过已知条件(主要利用根与系数的关系)，化简为与参数没有关系的常数。
简答题步骤规范模板：
步骤1：设直线的方程；
步骤2：直线与曲线联立，整理成关于(或)的一元二次方程；
步骤3：写出根与系数的关系；
步骤4：把根与系数的关系代入已知条件；
步骤5：如果直线中两量有一定关系，则恒过定点；如果消去参数，则为定值。
【二级结论1】
过椭圆或抛物线上一点作两条弦，与曲线交于A，B，PA，PB的斜率互为相反数(倾斜角互补或与轴围成等腰三角形。)。则AB的斜率为定值。
抛物线：，椭圆：，亦可理解为过作曲线切线斜率的相反数。
方法一答题规范模板：
步骤1：设直线的方程；
步骤2：直线与曲线联立，整理成关于x(或y)的一元二次方程；
步骤3：写出根与系数的关系；
步骤4：利用，把根与系数的关系代入。
方法二答题规范模板：
步骤1：设直线的方程；
步骤2：直线与曲线联立，整理成关于x(或y)的一元二次方程；
步骤3：利用根与系数的关系求出点的坐标，把点的坐标中的k换为-k得到点坐标；
步骤4：由两点式求出的方程，进而求出斜率为定值。
1.(2009年辽宁卷)已知椭圆过点，两个焦点为，。
（1）求椭圆的方程；
（2）是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率
为定值，并求出这个定值。
【解析】（1）方法一：待定系数法，由题意知，，设椭圆方程为：，代入点A得：，解得，(舍去)，所以椭圆方程为。
方法二：定义法，A到两焦点距离之和分别是、，则，c=1，椭圆方程为。
方法二：步骤1：设直线方程：设直线的方程为：；
步骤2：直线与曲线联立：代入得；
步骤3：利用根与系数的关系求点E、F的坐标：设E，F，因为点在椭圆上，所以，，又直线的斜率与的斜率互为相反数，在上式中以代，可得，；
步骤4：求出直线EF的斜率：(定值)。
秒杀方法：由k==。
【二级结论2】
①直线与抛物线交于A、B，在x轴上存在定点P（-n,0），使PA、PB的斜率互为相反数(倾斜角互补或斜率和为0或对称轴是APB的平分线。)。逆过来亦成立。即AB恒过定点（n,0）。
②过椭圆焦点的直线与椭圆交于A、B，存在定点P(对应准线与焦点所在轴的交点.)，使PA、PB的斜率互为相反数(倾斜角互补或与斜率和为0或x轴是APB的平分线。)。逆过来亦成立。即AB恒过定点焦点。
方法一答题规范模板：
步骤1：设直线AB的方程；
步骤2：直线与曲线联立，整理成关于x(或y)的一元二次方程；
步骤3：写出根与系数的关系；
步骤4：利用，把根与系数的关系代入。
方法二答题规范模板：
步骤1：设直线PA的方程；
步骤2：直线与曲线联立，整理成关于x(或y)的一元二次方程；
步骤3：利用根与系数的关系求出点A的坐标，把点A的坐标中的k换为-k得到点B的坐标；
步骤4：由两点式求出AB的方程，进而求出恒过的定点。
1.(2015卷I)直角坐标系中，曲线与直线()交于M、N两点
（1）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
（2）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有？说明理由。
【解析】 （1），交点坐标为，，切线方程分别为、；
（2）设点（抛物线特有思路）：设；
代入关系：，设，则有，化简得：=0；
直线与曲线联立：直线与抛物线联立得：，由根与系数的关系代入得：，，即，即存在点，使得。
2.(2018年卷I)设椭圆右焦点为F，过F的直线与C交于A、B两点，点M
的坐标为。
（1）当与轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：。
【解析】（1）将代入椭圆方程得：，，∴，∴，∴直线AM的方程为：。
（2）证明：设直线方程：当斜率不存在时，由（1）可知，结论成立；当斜率存在时，设其方程为，设；
直线与曲线联立：直线与椭圆联立，即；
写出根与系数的关系：∴，；
将根与系数的关系代入：
，∴，∴。
秒杀方法：=(2,0)。 4.(2020年新高考北京卷20)已知椭圆过点，且。
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点的直线交椭圆C于点M、N，直线分别交直线于点，求的值。
【解析】（1）椭圆方程可设为：，将点A代入，得，椭圆的方程为：。
（2）步骤1：设直线方程：设直线MN的方程为：；
步骤2：直线与曲线联立：将直线MN与椭圆联立得：；
步骤3：写出根与系数的关系：设M、N，则有：，；
步骤4：将根与系数的关系代入：设P、Q，由M、A、P三点共线得：，同理由N、A、Q三点共线得：。，
。
5.(2020年新课标全国卷I21)已知A、B分别为椭圆E：（）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D。
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点。
【解析】（1）G，A，B，，，由得，椭圆的方程为：。
（2）方法一：设直线方程：设直线CD方程为：x=my+n；
直线与曲线联立：直线CD与椭圆联立得：，；
写出根与系数的关系：设C、D，则有：，；
将根与系数的关系代入：设P(6,t)，当t0时，由P、A、C三点共线得：，同理由P、B、D三点共线得：，消去t得：，
由于①，得②，
①②得：=，
，代入得：n=-3(舍去)，n=,即过
当t=0时，CD的方程为y=0，亦过定点，
即直线CD过定点
方法二：设直线PA的方程为：，与椭圆联立，求出点C的坐标，同理求出点D的坐标，由两点式求出CD的方程，再求定点
圆锥曲线中切线
当抛物线开口向上或开口向下时（此时抛物线可看作函数），主要利用导数解决，当抛物线
开口向左或开口向右时利用解决。椭圆利用解决。
过曲线上一点作曲线的切线
二级结论：
①过椭圆上一点作切线，则切线方程为：。
证明：（此步骤必须牢记，在大题中要体现）设过的切线方程为：，与椭圆方程联立，利用。
②过抛物线上一点作切线，则切线方程为：。
证明：（此步骤必须牢记，在大题中要体现）设过的切线方程为：，与抛物线方程联立，利用。若为开口向上或开口向下的抛物线，求导，代点，求出切线的斜率，利用点斜式求出切线的方程 。
1.抛物线上到直线的距离最小的点的坐标是 ( )
A. B. C. D.
【解析】法一：设P，则，当时最小，选B。
法二：设切点为，则切线方程为：，，即切点为，由点到直线的距离可求得，选B。
法三：设P，过P的切线与直线平行，切点为所求的点，，，选B。
过曲线外一点作曲线的切线
设过的切线方程为：，与曲线方程联立，利用。
二级结论：
①过椭圆外一点作椭圆的两条切线，则两切点连线方程为：。
证明：（此步骤必须牢记，在大题中要体现）设两切点为、，则切线PA：；同理，切线PB：；点P在两切线上，则有：①，②，构造直线：，则由①②可知点A、B均在直线上，即直线AB的方程为。
②过外一点作抛物线的两条切线，则两切点连线方程为：。
蒙日圆。
过椭圆外一点作椭圆的两条互相垂直的切线，则P点的轨迹为圆，方程为：。
证明：（此步骤必须牢记，在大题中要体现）
步骤1：设过的直线为步骤2：直线与椭圆联立步骤3：由韦达定理，（利用相切），得到关于的一元二次方程步骤4：由韦达定理，，得的关系，即轨迹方程。
1.已知椭圆的一个焦点为，离心率为。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。
【解析】（1）。
步骤1：设直线方程为：当k存在时，设过P点的直线方程为：；
步骤2：直线与椭圆联立得：；
步骤3：由得：；
步骤4：当时，，得，当k不存在时，即，亦满足。
圆锥曲线中轨迹
题型一：定义法求轨迹
【二级结论1】
一般涉及到动圆与两定圆相切问题(包括内切、外切)，利用定义求圆心轨迹，轨迹为椭圆或双曲线，主要确定和还是差能消去动圆半径r。
1.与两圆都外切的圆的圆心在 ( )
A.一个椭圆上 B.双曲线的一支上 C.一条抛物线上 D.一个圆上
【解析】选B
2.(2013年新课标全国卷I20)已知圆，圆，动圆P与圆M外切并 且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C。 （1）求C的方程；
（2）是与圆P，圆M都相切的一条直线，与曲线C交于A、B两点，当圆P的半径最长时，求
【解析】（1）设圆P的半径为r，，，，动点P到两定点M、N距离之和等于定值4，所以P的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，，，C的方程为：。
（2）从图得半径最长时圆的方程为：，公切线有三条：，与椭圆联立，代入弦长公式得弦长分别为：，
【二级结论2】
如图，圆的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上的动点，线段AP的垂直平分线和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是以O、A为焦点，r为长轴长的椭圆。
1.已知，B是圆(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为 。
【解析】关于原点对称，，，，点P到两定点A、F距离之和为定值2，动点p的轨迹是以A、F为焦点，以为的椭圆，即，所以椭圆方程为：。
【二级结论3】
如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆上的动点，线段AP的垂直平
分线和直线OP交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是以O、A为焦点，r为实轴长的双曲线。
【二级结论4】
已知定点F和定直线，F不在直线上，动圆M过F且与直线相切，则圆心M的轨迹是一条抛物线。
1.点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小2，求点M的轨迹方程。
【解析】转化为点M到定点(4,0)的距离等于到定直线x=-4的距离，即。
2.设圆与圆外切,与直线相切,则的圆心轨迹为 ( )
A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆
【解析】方法一：设圆心为(x,y)，半径为r，则有，，消去r，选A。
方法二：转化为圆心到定点(0,3)的距离等于到定直线y=-1的距离，选A。
题型二：直接法求轨迹。
设动点坐标（x，y），写出动点的几何关系，转化为方程，建立x、y的关系。
1.两个顶点A、B的坐标分别是，AC、BC所在直线的斜率之积等于，求顶点C的轨迹方程。
【解析】。
2.已知的两个顶点A、B的坐标分别是，且AC，BC所在直线的斜率之积等于，试探求顶点C的轨迹。
【解析】当时，点C的轨迹是椭圆、或者圆，并除去两点；当
时，点C的轨迹是双曲线，并除去两点。
二级结论：
是曲线上关于原点对称的两点，曲线上任意一点满足：。
两类型题：
①求轨迹，代入关系化简，但一定要注意挖去两定点。
②求定值(直接利用结论)。
1.(2009年新课标全国卷20)已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1。
（1）求椭圆C的方程；、
（2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
【解析】（1）a+c=7，a-c=1，得a=4，c=3，所以椭圆的方程为：。
（2）设,，由已知及点P在椭圆C上得，整理得：，(ⅰ)当时，，轨迹是两条平行于x轴的线段；
(ⅱ)当时，方程变形为，当时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足的部分；当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足的部分，当时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆。
题型三
已知点的轨迹确定，所求点与已知点有相关关系，用代换法求轨迹。
步骤
步骤1：设点：设所求点坐标（x，y），已知点坐标（x0，y0）；
步骤2：建立坐标关系：建立x、y与x0、y0的关系；
步骤3：代换：把已知点方程中的x0、y0代换为x、y。
题型四：参数法求轨迹
步骤
步骤1：选中间变量t作为参数；
步骤2：与t建立关系：；
微专题全套27讲见：
数学微专题27之1-高考热点之证明数列不等式
数学微专题27之2-高考数学微专题 立体几何中关于折叠的所有问题
数学微专题27之3-关于三角函数最大值问题
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数学微专题27之5-函数视角下数列的单调性与最值
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数学微专题27之8-解析策略-解析几何中的数与形
数学微专题27之9-精准培优专练 圆锥曲线离心率
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数学微专题27之12-平面解析几何：易错点与二级结论
数学微专题27之13-求数列通项公式的11种方法
数学微专题27之14-三次函数的图像与性质
数学微专题27之15-数列求和的8种常用方法(最全)
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数学微专题27之18-同构思想在指对型函数中的应用
数学微专题27之19-外接球的几种求法
数学微专题27之20-阿波罗尼斯圆专题经典讲解
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数学微专题27之25-向量极化恒等式
数学微专题27之26-指对同构解决不等式恒成立问题
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