数学-导数大题练习30题原题

一．解答题（共30小题）1．已知函数f（x）＝lnx+a2x（a∈R）．（Ⅰ）当a＝﹣2时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有
两个不同零点x1，x2（x1＜x2），（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：x1?x22．2．已知函数f（x），g（x）＝2ax2
+ax+1．（Ⅰ）若函数f（x）没有极值点，求实数k的取值范围；（Ⅱ）若g（x）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，求实数k和a所满足
的关系式，并求实数k的取值范围．3．已知函数f（x）＝（x+1）lnx﹣x+1．（Ⅰ）若xf′（x）≤x2+ax+1，求a的取值范
围；（Ⅱ）证明：（x﹣1）f（x）≥0．4．已知a＞1，函数f（x）＝exx2﹣ax﹣1，其中e＝2.71828…为自然对数的底数
．（Ⅰ）证明：函数y＝f（x）在（0，+∞）上有唯一零点；（Ⅱ）记x0为函数y＝f（x）在（0，+∞）上的零点，证明：x0＜a．（
参考数值：ln4.6≈1.53）5．已知函数f（x）＝34ln，g（x）＝x4+mx3+nx2+mx+10，m，n∈R．（Ⅰ）求函
数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x1∈（0，+∞），总存在x2∈R，使得f（x1）＝g（x2），求m2+n2的最小值．6．已知
函数f（x）（x＞0），其中a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若e2[（x﹣1）2（x+1）+lnx]＜e2xlnx，
求x的取值范围；（Ⅲ）当a＝3e4时，若x1，x2为函数g（x）＝f（x）﹣m（m∈R）的两个零点，试证明：m（x1+x2）．7．
已知函数f（x）＝ax2+lnx（a∈R）．（1）当a时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；（2）如果函数g（x），f
1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称g（x）为f1（x），f2（x）的“活动函数
“．已知函数，f2（x）2ax．若在区间（1，+∞）上函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数“，求a的取值范围8．设函数
f（x）＝xlnx（x＞0）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）设F（x）＝ax2+f′（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调
性；（3）斜率为k的直线与曲线y＝f′（x）交于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2）两点，求证：．9．已知函数f（x）
＝xalnx，a∈R．（1）讨论y＝f（x）在区间[1，e]上的单调性；（2）若对任意的x∈[1，e]，都有f（x）≤2e恒成立，
求实数a的取值范围．10．已知函数f（x）＝x﹣alnx．（Ⅰ）若f（x）≥1恒成立，求a的取值范围：（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，f（
x）＝m有两个不同的根x1，x2，求证：x1+x2＞m+1．11．已知函数f（x）ax2+（1﹣2a）x﹣2lnx，a∈R；（1）
讨论f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）在（0，1）上恒成立，求实数a的取值范围．12．已知函数．（1）求函数f（x）的单调区
间和极值；（2）若函数y＝g（x）对任意x满足g（x）＝f（4﹣x），求证：当x＞2，f（x）＞g（x）；（3）若x1≠x2，且f
（x1）＝f（x2），求证：x1+x2＞4．13．已知函数．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y＝x+2
垂直，求函数y＝f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；（Ⅲ）记g（x
）＝f（x）+x﹣b（b∈R）．当a＝1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．14．设函数f（x）
＝x3﹣6x+5，x∈R（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）＝a有3个不同实根，求实数a的取值范围．15
．函数，g（x）＝ax+b．（1）若函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若直线g（
x）＝ax+b是函数图象的切线，求a+b的最小值；（3）当b＝0时，若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1，y1），B（x2
，y2），试比较x1x2与2e2的大小．（取e为2.8，取ln2为0.7，取为1.4）16．设函数f（x）＝lnxax2﹣bx．（
Ⅰ）当a＝b时，求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）令F（x）＝f（x）x2+bx（0＜x≤3）若其图象上的任意点P（x0，y0）处切线
的斜率k恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a＝0，b＝﹣1时，方程x2＝2mf（x）（其中m＞0）有唯一实数解，求m的值．17．
已知函数f（x）＝（x3﹣6x2+3x+t）ex，t∈R．（1）若函数y＝f（x）依次在x＝a，x＝b，x＝c（a＜b＜c）处取到
极值．①求t的取值范围；②若a+c＝2b2，求t的值．（2）若存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x
恒成立．求正整数m的最大值．18．已知函数f（x）＝ln（2ax+1）x2﹣2ax（a∈R）．（1）若x＝2为f（x）的极值点，求
实数a的值；（2）若y＝f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（3）当a时，方程f（1﹣x）有实根，求实数b的最大
值．19．已知函数．（a为常数，a＞0）（Ⅰ）若是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（Ⅱ）求证：当0＜a≤2时，f（x）在上是增
函数；（Ⅲ）若对任意的a∈（1，2），总存在 ，使不等式f（x0）＞m（1﹣a2）成立，求实数m的取值范围．20．已知a为常数，a
∈R，函数f（x）＝x2+ax﹣lnx，g（x）＝ex．（其中e是自然对数的底数）（Ⅰ）过坐标原点O作曲线y＝f（x）的切线，设切
点为P（x0，y0），求证：x0＝1；（Ⅱ）令，若函数F（x）在区间（0，1]上是单调函数，求a的取值范围．21．设f（x）＝px
2lnx．（Ⅰ）若f（x）在其定义域内为单调递增函数，求实数p的取值范围；（Ⅱ）设g（x），且p＞0，若在[1，e]上至少存在一点
x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．22．已知函数f（x）＝alnx+x2（a为实常数）．（1）若a＝﹣2，
求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）若存在x∈[1，e]，使
得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．23．已知函数f（x）＝2lnx﹣x2．（Ⅰ）求函数y＝f（x）在上的最大值．（
Ⅱ）如果函数g（x）＝f（x）﹣ax的图象与x轴交于两点A（x1，0）、B（x2，0），且0＜x1＜x2．y＝g′（x）是y＝g（
x）的导函数，若正常数p，q满足p+q＝1，q≥p．求证：g′（px1+qx2）＜0．24．已知函数f（x）x3+bx2+cx+d
，设曲线y＝f（x）在与x轴交点处的切线为y＝4x﹣12，f′（x）为f（x）的导函数，满足f′（2﹣x）＝f′（x）．（Ⅰ）设g
（x）＝x，m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；（Ⅱ）设h（x）＝lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+
1﹣t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．25．已知二次函数g（x）对任意实数x都满足g（x﹣1）+g（1﹣x）＝x2﹣
2x﹣1，且g（1）＝﹣1．令．（1）求g（x）的表达式；（2）若函数f（x）在x∈[1，+∞）上的最小值为0，求m的值；（3）记
函数H（x）＝[x（x﹣a）2﹣1]?[﹣x2+（a﹣1）x+a﹣1]，若函数y＝H（x）有5个不同的零点，求实数a的取值范围．2
6．已知函数．（1）若f（x）是单调函数，求a的取值范围；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＞3
﹣2ln2．27．已知函数f（x）的图象过坐标原点O，且在点（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率是﹣5．（Ⅰ）求实数b，c的值；（Ⅱ
）求f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值；（Ⅲ）对任意给定的正实数a，曲线y＝f（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直
角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？说明理由．28．已知f（x）＝x3+bx2+cx+d在（﹣∞，0）上是增函数，在[
0，2]上是减函数，且方程f（x）＝0有三个根，它们分别为α，2，β．（1）求c的值；（2）求证f（1）≥2；（3）求|α﹣β|的
取值范围．29．已知函数f（x）＝x﹣alnx，g（x），（a∈R）．（Ⅰ）若a＝1，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）设函数h（x）＝f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若在[1，e]（e＝2.718…）上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．30．已知函数，a为正常数．（1）若f（x）＝lnx+φ（x），且，求函数f（x）的单调增区间；（2）若g（x）＝|lnx|+φ（x），且对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有，求a的取值范围．