2023年湖南永州数学
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）
1．我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示（????）
A．运出30吨粮食 B．亏损30吨粮食 C．卖掉30吨粮食 D．吃掉30吨粮食
2．企业标志反映了思想、理念等企业文化，在设计上特别注重对称美，下列企业标志图为中心对称图形的是（????）
A．??
B．??
C．??
D．??
3．下列多边形中，内角和等于的是（????）
A．??
B．??
C．??
D．??
4．关于x的一元一次方程的解为，则m的值为（????）
A．3 B． C．7 D．
5．下列各式计算结果正确的是（????）
A． B． C． D．
6．下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为三角形的是（????）
A．
B．
C．
D．
7．某县年人均可支配收入为万元，年达到万元，若年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，则下面所列方程正确的是（????）
A． B．
C． D．
8．今年2月，某班准备从《在希望的田野上》《我和我的祖国》《十送红军》三首歌曲中选择两首进行排练，参加永州市即将举办的“唱响新时代，筑梦新征程”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是（????）
A． B． C． D．1
9．已知点在反比例函数的图象上，其中a，k为常数，且﹐则点M一定在（????）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的定长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，作，垂足为，则下列结论不正确的是（????）
??
A． B． C． D．一定经过的内心
二﹑填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）
11．，3，三个数中最小的数为_______．
12．与的公因式为________．
13．已知x为正整数，写出一个使在实数的范围内没有意义的x值是_______．
14．甲、乙两队学生参加学校仪仗队选拔，两队队员的平均身高均为，甲队队员身高的方差为，乙队队员身高的方差为，若要求仪仗队身高比较整齐，应选择_______队较好．
15．如图，，则_______度．
??
16．若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是_______．
17．已知扇形的半径为6，面积为，则扇形圆心角的度数为_________度．
18．如图，是一个盛有水的容器的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度为_______．
??
三、解答题（本大题共8个小题，共8分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．解关于x的不等式组
20．先化简，再求值：，其中．
21．如图，已知四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，．
??
(1)是直角三角形吗？请说明理由；
(2)求证：四边形是菱形．
22．今年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日．某市面向中小学生举行了一次关于心理健康、预防欺凌、防漏水、应急疏散等安全专题知识竞赛，共有18360名学生参加本次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，随机抽取了n名学生的成绩x（成绩均为整数，满分为100分）分成四个组：1组、2组、3组、4组，并绘制如下图所示频数分布图
??
(1)______；所抽取的n名学生成绩的中位数在第_____组；
(2)若成绩在第4组才为优秀，则所抽取的n名学生中成绩为优秀的频率为______；
(3)试估计18360名参赛学生中，成绩大于或等于70分的人数．
23．永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高2.9米（如图1所示），寓意陈树湘为中国革命“断肠明志”牺牲时的年龄为29岁．如图2，以线段代表陈树湘雕像，一参观者在水平地面上D处为陈树湘雕拍照，相机支架高0.9米，在相机C处观测雕像顶端A的仰角为，然后将相机架移到处拍照，在相机M处观测雕像顶端A的仰角为，求D、N两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：）
24．小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量简中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表的一组数据：
时间t（单位：分钟） 1 2 3 4 5 … 总水量y（单位：毫升） 7 12 17 22 27 … (1)探究：根据上表中的数据，请判断和（k，b为常数）哪一个能正确反映总水量y与时间t的函数关系?并求出y关于t的表达式；
(2)应用：
①请你估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是多少毫升?
②一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用多少天．
25．如图，以为直径的是的外接圆，延长到点D．使得，点E在的延长线上，点在线段上，交于N，交于G．
??
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长；
(3)若，求证：．
26．如图1，抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为，点为抛物线上的动点，轴于H，且．
??
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，直线交于点，求的最大值；
(3)如图2，四边形为正方形，交轴于点，交的延长线于，且，求点的横坐标．
1．A
【分析】根据题意明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意即可求解．
【详解】解：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示运出30吨粮食．
故选：A
【点睛】本题考查了正负数的意义，理解“正”和“负”分别表示相反意义的量是解题关键．
2．C
【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．
3．B
【分析】根据n边形内角和公式分别求解后，即可得到答案
【详解】解：A．三角形内角和是，故选项不符合题意；
B．四边形内角和为，故选项符合题意；
C．五边形内角和为，故选项不符合题意；
D．六边形内角和为，故选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了n边形内角和，熟记n边形内角和公式是解题的关键．
4．A
【分析】把代入再进行求解即可．
【详解】解：把代入得：，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握使一元一次方程左右两边相等的未知数的值是一元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法和步骤．
5．D
【分析】根据合并同类项的运算法则，二次根式的运算，积的乘方运算法则，以及负整数幂运算法则，逐个进行计算即可．
【详解】解：A、，故A不正确，不符合题意；
B、，故B不正确，不符合题意；
C、，故C不正确，不符合题意；
D、，故D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了合并同类项的运算法则，二次根式的运算，积的乘方运算法则，以及负整数幂运算法则，解题的关键是熟练掌握相关运算法则并熟练运用．
6．D
【分析】根据三视图的意义判断即可．
【详解】A. 主视图和左视图都为长方形，不符合题意；
B. 主视图和左视图都为长方形，不符合题意；
C. 主视图和左视图都为长方形，不符合题意；
D. 主视图和左视图都为三角形，符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的意义是解题的关键．
7．B
【分析】设年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，根据题意列出一元二次方程即可．
【详解】解：设年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，根据题意得，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
8．B
【分析】根据概率公式，即可解答．
【详解】解：从三首歌曲中选择两首进行排练，有《在希望的田野上》《我和我的祖国》、《在希望的田野上》《十送红军》、《我和我的祖国》《十送红军》共三种选择方式，
故选到前两首的概率是，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据概率公式计算概率，排列出总共可能的情况的数量是解题的关键．
9．A
【分析】根据反比例函数中的，可知反比例函数经过第一、三象限，再根据点M点的横坐标判断点M所在的象限，即可解答
【详解】解：，
反比例函数的图象经过第一、三象限，
故点M可能在第一象限或者第三象限，
的横坐标大于0，
一定在第一象限，
故选：A．
【点睛】本题考查了判断反比例函数所在的象限，判断点所在的象限，熟知反比例函数的图象所经过的象限与k值的关系是解题的关键．
10．C
【分析】根据作图可得是的角平分线，根据角平分线的性质得出，即可判断B，证明，根据全等三角形的性质，即可判断A，根据三角形内心的定义，即可判断D选项，假设成立，得出，即可判断C选项．
【详解】解：根据作图可得是的角平分线，点在上，，
∴，故B选项正确，
在中，
，
∴，
∴，故A选项正确；
∵是的角平分线，三角形的内心是三条角平分线的交点，
∴一定经过的内心，故D选项正确；
若，则，，
又，
则，
∴，而题目没有给出这个条件，故C选项不一定正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了作角平分线，三角形角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，三角形的内心的定义，熟练掌握基本作图是解题的关键．
11．
【分析】根据有理数比较大小的法则即可求出答案．
【详解】解：，，3三个数中，只有3是正数，
3最大．
，，
，
．
最小．
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数比较大小，解题的关键在于熟练掌握有理数比较大小的方法：正数始终大于负数；两个负数比较，绝对值大的反而小．
12．
【分析】根据确定公因式的确定方法：系数取最大公约数；字母取公共字母；字母指数取最低次的，即可解答．
【详解】解：根据确定公因式的方法，可得与的公因式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了公因式的确定，掌握确定公因式的方法是解题的关键．
13．1（答案不唯一）
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得当时，没有意义，解不等式，即可解答．
【详解】解：当时，没有意义，
解得，
为正整数，
可取1，2，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知根号下的式子小于零时，二次根式无意义，是解题的关键．
14．甲
【分析】根据方差的意义判断即可．
【详解】∵，
∴，
∴估计这两支仪仗队身高比较整齐的是甲，
故答案为：甲．
【点睛】本题主要考查样本估计总体、方差，解题的关键是掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
15．
【分析】根据，得出，根据，即可得出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补．
16．
【分析】根据使分式的分母为零的未知数的值，是方程的增根，计算即可．
【详解】∵关于x的分式方程（m为常数）有增根，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，增根的理解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
17．60
【分析】根据扇形的面积公式即可求出答案．
【详解】解：设扇形圆心角的度数为，
，
扇形的半径为6，
．
故答案为：60．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，解题的关键在于熟练掌握扇形的面积公式： ．
18．
【分析】过点作于点，交于点，则，依题意，得出，进而在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点，则，
??
∵水的最深处到水面的距离为，的半径为．
∴，
在中，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
19．
【分析】分别解不等式组的两个不等式，再取两个不等式的解集的公共部分，即为不等式组的解集．
【详解】解：，
解①得，，
解②得，，
原不等式组的解集为．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的解集，取两个不等式的解集的公共部分的口诀为：“大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小则无解”，熟知上述口诀是解题的关键．
20．
【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．
【详解】
；
当时，
原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．
21．(1)是直角三角形，理由见解析．
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得，再根据勾股定理的逆定理，即可得出结论；
（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可求证．
【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴是直角三角形．
（2）证明：由（1）可得：是直角三角形，
∴，
即，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，菱形的判定，解题的关键是掌握平行四边形对角线互相平分，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
22．(1)600，3
(2)
(3)成绩大于或等于70分的人数约为15606人
【分析】（1）将各组的频数相加，即可求出n的值，再根据中位数的定义，即可得出中位数所在组数；
（2）用第4组的频数除以抽取的学生总数，即可求解；
（3）用总人数乘以成绩大于或等于70分的人数所占百分比，即可求解．
【详解】（1）解：，
∵，
∴抽取的n名学生成绩的中位数为第300名学生和第301名学生成绩的平均数，
∵，，
∴抽取的n名学生成绩的中位数在第3组；
故答案为：600，3；
（2）解：所抽取的n名学生中成绩为优秀的频率，
故答案为：；
（3）解：（人），
答：成绩大于或等于70分的人数约为15606人．
【点睛】本题主要考查了频数和频率的定义，用样本估计总体，解题的关键是正确识别统计图，根据统计图，获取需要数据进行求解．
23．1.5
【分析】如图，，，四边形，四边形是矩形，四边形是矩形，中，，，，中，，，所以，进一步求得，所以．
【详解】如图，米，米
四边形，四边形是矩形，四边形是矩形
∴米，
∵中，，
∴米，
∴米
∵中，，
∴
∴米
∴米
∴米
【点睛】本题考查解直角三角形，矩形的判定和性质，观察图形，确定组合图形中，通过直角三角形、矩形之间的位置关系确定线段间的数量关系是解题的关键．
24．(1)能正确反映总水量y与时间t的函数关系；
(2)①102毫升；②144天
【分析】（1）观察表格，可发现前一分钟比后一分钟少5毫升的水，故可得能正确反映总水量y与时间t的函数关系，再选取两组数据代入函数解析式，根据待定系数法，即可得到y关于t的表达式；
（2）①将代入函数，即可解答；
②由解析式可知，每分钟滴水量为毫升，故可算出1个月的总滴水量，再除以一个人每天的饮水量，即可解答．
【详解】（1）解：观察表格，可发现前一分钟比后一分钟少5毫升的水，故可得能正确反映总水量y与时间t的函数关系，
把，代入，
可得，
解得，
y关于t的表达式；
（2）①当时，，
故小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升，
答：小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升．
②由解析式可知，每分钟的滴水量为毫升，
30天分钟分钟，
可供一人饮水天数天，
答：这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用144天．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数，一次函数的应用，正确读懂题意，求得正确的一次函数解析式是解题的关键．
25．(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由是的直径得到，则，由得到，则，结论得证；
（2）证明，则，可得，解得或3，由即可得到的长；
（3）先证明，则，得到，由得到，则，由同角的余角相等得到，则，得，进一步得到，则，即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴，
解得或3，
当时，，
当时，，
∵，即，
∴；
（3）证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
26．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据顶点式坐标公式和待定系数法分别求出，，值，即可求出抛物线解析式．
（2）利用抛物线的解析式可知道点坐标，从而求出直线的解析式，从而设，根据直线的解析式可推出，从而可以用表达长度，在观察图形可知，将其和长度代入，即可将面积比转化成二次函数的形式，根据横坐标取值范围以及此二次函数的图像性质即可求出的最大值．
（3）根据正方形的性质和可求出，再利用相似和可推出，设，即可求出直线的解析式，用表达点的横纵坐标，最后代入抛物线解析式，求出的值即可求出点横坐标．
【详解】（1）解：抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为，
，，，
，
，
抛物线的解析式为：．
故答案为：．
（2）解：过点作轴于点，如图所示，
????
抛物线的解析式为：，且与轴交于，两点，
，
，
设直线的解析式为：，则，
，
直线的解析式为：．
在直线上，，
在直线上，的解析式为：，
，
．??
，
．
，
．
，，
当时， 有最大值，且最大值为： ．
故答案为：．
（3）解:∵＋，
，
，
，
，
，
，
设，，
，
抛物线的解析式为：，且与轴交于，两点，
．
设直线的解析式为：，则，
，
直线的解析式为：．??
，在直线上，
，
，
，
，
（十字相乘法），
由，得：，
，
，
，即，
解得：，，
，
，
点横坐标为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用题，属于压轴题，解题的关键在于能否将面积问题和二次函数有效结合．
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