函数专题基础

函数专题1（函数的概念与性质）函数的有关概念（1）函数的定义域、值域：在函数，中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的______；与x对
应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的______.（2）函数的三要素：______、______、______.（3）相等函
数：如果两个函数的______相同，且______完全一致，则这两个函数相等，这是判断两个函数相等的依据.（4）函数的表示方法：_
_____、______、______.【答案】 定义域 值域 定义域 对应关系 值域
定义域 对应关系 解析法 列表法 图象法【详解】（1）定义域；值域.（2）定义域；对应关系；
值域.（3）定义域；对应关系.（4）解析法；列表法；图象法.故答案为：定义域；值域；定义域；对应关系；值域；定义域；对应关系；解析
法；列表法；图象法.一．函数定义域（复合函数定义域）3．若函数的定义域为，则的定义域为（?）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据
题意先求得函数的定义域为，然后结合抽象函数定义域与求解即可；【详解】由题意可知，所以，要使函数有意义，则解得.故选：D（定义域与集
合，逻辑用语）29．设函数的定义域为，集合（）.(1)求集合；(2)若：，：，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】(1
)(2)【分析】（1）根据对数函数的定义域及根式有意义列出不等式组，求出集合；（2）根据p是q的必要不充分条件，得到是的真子集，分
与两种情况，进行求解.【详解】（1）要使得函数有意义，只需要解得，所以集合.（2）因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，当时，，
解得；当时，解得，综上可知，实数的取值范围是.（含参数解一元二次不等式）30．已知函数的表达式，求函数的定义域．【答案】答案见解析
【分析】解不等式，可得函数定义域.【详解】注意到当时，或，得函数定义域是；当时，，得函数定义域是；当时，或，得函数定义域是．综上：
当时，函数定义域是；当时，函数定义域是；当时，函数定义域是．（变式1同类型）2．解关于x的不等式.【答案】答案见解析【分析】对不等
式变形为，然后对进行合理分类讨论即可.【详解】原不等式变为，①当时，原不等式可化为，所以当时，解得；当时，解集为；当时，解得②当时
，原不等式等价于，即.③当时，，原不等式可化为，解得或.综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当
时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为或.（变式2无法因式分解）3．解关于的不等式：.【答案】答案不唯一，见解析【分析】由于参数
的不确定性，可分为和，当时，又可具体分为，，，再结合二次函数的图像开口与判别式的关系即可求解【详解】解: 当时，不等式即，解得.当
时，对于方程，令，解得或；令，解得或；令，解得或，方程的两根为.综上可得，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式
的解集为；当时，不等式的解集；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.39．（2005·江苏）函数的定义域为_______．【
答案】【分析】偶次根式被开方数为非负数及对数真数大于零联解可得.【详解】由题意可知,,或所以函数定义域为故答案为：【点睛】本题考查
偶次根式型和对数型求定义域的方法，属于基础题.二．函数的对应法则1．给出下列个函数，其中对于任意均成立的是（?）A．B．C．D．【
答案】D【分析】根据函数定义逐项判断ABC，采用换元的方法求解D中函数的解析式并进行判断.【详解】对于A，当时，；当时，，与函数定
义矛盾，不符合；对于B，当时，；当时，，与函数定义矛盾，不符合；对于C，当时，；当时，，与函数定义矛盾，不符合；对于D，令，则，所
以，令，所以，所以，所以，符合.故选：D.三．函数的值域（单调性）4．函数y＝3－4的最小值为（?）A．－8B．8C．－10D．1
0【答案】A【分析】利用三角换元将问题转化为求三角函数的最值问题，计算即可.【详解】由解得－2≤x≤2，所以函数的定义域为[－2，
2].又由函数单调性可知A正确（变式1）如果改为＋，那值域如何计算？（三角换元）（变式2）40．函数的值域为___________
_【答案】【分析】利用换元法将函数换元构造出新函数,由新函数的定义域结合二次函数的性质求出最值即可得到值域.【详解】设,则,所以原
函数可化为:,由二次函数性质,当时,函数取最大值,由性质可知函数无最小值.所以值域为:.故答案为:.（变式3平方处理）49．函数的
最大值是______；最小值是______.【答案】 2【分析】确定函数定义域，然后平方，求得其最大值和最小值，即可求得答
案.【详解】由可得，即函数定义域为，则，当时，取最小值0，故取到最大值4，则函数的最大值为2；当时，取最大值1，故取到最小值2，则
函数的最大值为；故答案为：31．求下列函数的最值与值域：(1)；（判别式法或者对勾函数）(2)；(3)；(4)；(5)；（根号下二
次考虑距离）(6)．【答案】(1)无最值，值域(2)最小值，无最大值，值域(3)最大值为，无最小值，值域(4)无最值，值域(5)无
最值，值域(6)最小值，无最大值，值域【详解】（1）定义域：，，因为，所以，故值域为．（2）分母，所以定义域为，方法一：设，则，所
以，因为，所以，所以，故值域为；方法二：，整理得，当时，方程为，不成立，当时，，即，解得，所以．（3）因为，所以，解得，故定义域为
，设，则，所以，所以值域为．（4）由，得，所以定义域为，设，则，当时，，即，当时，，即，所以，即，综上所述，值域为．（5）定义域为
，令，由，所以为奇函数，当时，，即，所以当时，，故值域为．（6）因为，所以表示点到点和距离和的范围，所以，故值域为．42．（202
3·全国·高三专题练习）函数的值域为______.【答案】【分析】将问题化为轴上点到与距离差的范围，利用三角形三边关系及绝对值不等
式，讨论端点情况，即可得值域.【详解】由题设，所以所求值域化为求轴上点到与距离差的范围，如下图示，由图知：，即，当三点共线且在之间
时，左侧等号成立；当三点共线且在之间时，右侧等号成立，显然不存在此情况；所以，即，所以函数值域为.故答案为：（方法多样）41．函数
的值域是_______．【答案】【详解】函数的几何意义是在直角坐标平面内定点与动点连线的斜率，易知动点在以为圆心，1为半径的圆除以
外的点上，易知直线的斜率存在，设为，则直线为即，则，解得，即值域为.故答案为：（万能公式？求导？辅助角公式？其他方法？）相同函数判
断（先看定义域，再看法则）5．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（?）．A．，B．，C．，D．，【答案】A【分析】依次判断每个选
项中两个函数的定义域和解析式是否完全相同，由此可得结果.【详解】对于A，与定义域均为，所以，与为相等函数，A正确；对于B，定义域为
，定义域为，与不是相等函数，B错误；对于C，定义域为，定义域为，与不是相等函数，C错误；对于D，定义域为，定义域为，与不是相等函数
，D错误.故选：A.6．下列各组函数是同一函数的是（?）A．，B．，C．，D．， 【答案】B【分析】根据定义域和对应法则是否相同判
定同一函数.【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，它们的定义域不相同，不是同一函数；对于B，由，得的定义域为，且，的定义域为，它
们的定义域和对应法则相同，是同一函数；对于C，，，它们的对应法则不同，不是同一函数；对于D，的定义域为，的定义域为，它们的定义域不
相同，不是同一函数.故选：B.函数奇偶性2．（2023·全国乙卷）已知是偶函数，则（?）A．B．C．1D．2【答案】D【分析】根据
偶函数的定义运算求解.【详解】因为为偶函数，则，又因为不恒为0，可得，即，则，即，解得.故选：D.12．（2023·全国新高考2）
若为偶函数，则（?）．A．B．0C．D．1【答案】B【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.【详解】因为 为偶函数
，则 ，解得，当时，，，解得或，则其定义域为或，关于原点对称.，故此时为偶函数.故选：B.36．（2023·全国乙21节选）已知函
数.(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由。(2)存在满足题意，理由见解析.（2）由
函数的解析式可得，函数的定义域满足，即函数的定义域为，定义域关于直线对称，由题意可得，由对称性可知，取可得，即，则，解得，经检验满
足题意，故.即存在满足题意.33．（2006·重庆）已知定义域为R的函数，是奇函数.（1）求，的值；（2）若对任意的，不等式恒成立
，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）根据，可得，再由即可求解.（2）判断在R上为减函数，结合函数为奇函数可
得，从而可得对一切有，由即可求解.【详解】（1）因为是R上的奇函数，所以，即，解得.从而有.又由，知，解得.经检验，当时，，满足题
意.（2）由（1）知，由上式易知在R上为减函数，又因为是奇函数，从而不等式等价于.因为是R上的减函数，由上式推得.即对一切有，从而
，解得.38．设函数，且，则____________．【答案】【分析】构造函数，可判断该函数为奇函数且为增函数，故可求.【详解】由
于，于是函数是一个单调递增的奇函数，而．故答案为：46．已知函数，且，则______．【答案】【分析】依题意可得，令，即可得到是奇
函数，根据奇函数的性质代入计算可得.【详解】由，得，构建函数，定义域为，则，即是奇函数，于是，所以，可得，又，因此．故答案为：51
．（2022·全国乙）若是奇函数，则_____，______．【答案】；．【分析】根据奇函数的定义即可求出．【详解】[方法一]：奇
函数定义域的对称性若，则的定义域为，不关于原点对称若奇函数的有意义，则且且，函数为奇函数，定义域关于原点对称，，解得，由得，，，故
答案为：；．[方法二]：函数的奇偶性求参函数为奇函数 [方法三]：因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由可得，，所以，解得
：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．故答案为：；．函数单调性9．（2006·天津）函数(，且)在区间上
单调递增，则实数a的取值范围是（?）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据给定条件令，再借助二次函数单调性结合复合函数单调性分类讨
论作答.【详解】令，则原函数转化为，其图象的对称轴为直线，若，则在上单调递增，且，因为原函数在区间上单调递增，于是得，解得，与矛盾
，若，则在上单调递减，且，因为原函数在区间上单调递增，于是得，解得或，则，所以实数a的取值范围是.故选：B10．（2006·陕西）
已知函数，其图象上两点的横坐标，满足，且，则有（?）A．B．C．D．，的大小不确定【答案】C【分析】根据函数，作差比较.【详解】已
知函数，所以，，，因为，，所以.故选：C11．（2023·全国）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（?）A．B．C．D．【答案
】D.【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是.故选：D（关注两
问之间联系）34．已知函数．(1)判断在上的单调性，并用定义加以证明；(2)设函数，，求的值域．【答案】(1)单调递减，证明见解析
(2)【分析】（1）根据函数单调性的定义，即可证明；（2）首先将拆分成内外层函数，，，结合（1）的结论求出的值域，即可得解.【详解
】（1）在上的单调递减，证明如下：设，则，因为，所以，，，，即，所以，即，所以函数在上的单调递减；（2），设，在上单调递增，当时，
，所以，令，，由（1）可知，在上单调递减， 又，，所以，所以的值域为.48．（2008·湖南·高考真题）已知函数．（1）若，则的定
义域是___________；（2）若在区间上是减函数，则实数a的取值范围是___________．【答案】 【分析】（1）利用具
体函数定义域求法即可得到的定义域；（2）分类讨论与两种情况，结合的取值范围与单调性即可得解.【详解】（1）因为，，所以，即，故，所
以的定义域为；（2）当，即时，要使在区间上是减函数，需要在上是减函数，同时恒成立，即，因为，即，所以在上是减函数显然成立，此时，则
，得，故；当，即时，要使在区间上是减函数，需要在上是增函数，同时恒成立，所以，即，此时显然成立；综上：或，即.故答案为：；.抽象函
数1．（2023·全国新高考1）已知函数的定义域为，，则（?）．A．B．C．是偶函数D．为的极小值点【答案】ABC【分析】方法一：
利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊
函数进行判断即可.【详解】方法一：因为，对于A，令，，故正确.对于B，令，，则，故B正确.对于C，令，，则，令，又函数的定义域为，
所以为偶函数，故正确，对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.方法二：因为，对于A，令，，故正确.对于B，令，，则，
故B正确.对于C，令，，则，令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，对于D，当时，对两边同时除以，得到，故可以设，则，当肘，，
则，令，得；令，得；故在上单调递减，在上单调递增，因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，显然，此时是的极大值，故D错误.故
选：.2．（2022·全国新高考2）已知函数的定义域为R，且，则（?）A．B．C．0D．1【答案】A【分析】法一：根据题意赋值即可
知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．【详解】[方法一]：赋值加性质因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数
为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以一个周期内的．由于22除以6余4，所以．故选：
A．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由，联想到余弦函数和差化积公式，可设，则由方法一中知，解得，取，所以，则，所以符合条件，因此
的周期，，且，所以，由于22除以6余4，所以．故选：A．25．已知定义域为的函数满足：，，且，则下列结论成立的是（?）A．B．为偶
函数C．为奇函数D．【答案】ABD【分析】根据已知条件利用赋值法分析判断即可.【详解】因为，，取可得，又，所以，A对；取可得，因为
，所以，所以为偶函数，C错，B对；取可得，又，所以，D对．故选：ABD（确定函数解析式）32．已知，求的解析式【答案】【分析】用方
程组的方法求解即可.【详解】因为，用替换得，消去，解得，即.2．（已知定义在上的函数为减函数，对任意的，均有，则函数的最小值是（?
）A．2B．5C．D．3【答案】D【分析】根据题意由带入，可得：整理化简可得，解方程求得函数解析式，再结合基本不等式即可得解.【详
解】由任意的，均有，由带入可得：，所以所以，由为减函数，所以 所以即由，所以，化简整理可得，所以或，由为减函数所以，故当时，，当且
仅当时，等号成立.故选：D.函数奇偶性，对称性，单调性，周期性综合44．（2017·江苏）已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，
则实数a的取值范围是_________．【答案】【详解】因为，所以函数是奇函数，因为，所以数在上单调递增，又，即，所以，即，解得，
故实数的取值范围为．点睛:解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式
(组)，此时要注意与的取值应在函数的定义域内．13．（2005·福建）是定义在R上的以为周期的奇函数，且．则方程在在区间内解的个数
的最小值是（?）A．2B．3C．5D．7【答案】D【分析】根据函数的周期以及奇函数的性质，结合已知条件，判断并选择即可.【详解】因
为是上的奇函数，故可得，又，即；；；又，故，综上所述：.即方程在在区间内解的个数的最小值是.故选：D.14．（2007·安徽）定义
在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为n，则n可能为（?）A．0B．1C．3D．
5【答案】D【分析】利用是奇函数，又是周期函数，计算出方程在闭区间上必有的几个根即可作答.【详解】定义在R上的函数是奇函数，则，又
是的一个正周期，则，又，于是得，因此，都是方程在闭区间上的根，所以n可能为5.故选：D15．（2022·全国乙）已知函数的定义域均
为R，且．若的图像关于直线对称，，则（?）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到
的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.【详解】因为的图像关于直线对称，所以，因为，所以，即，因为，所以，代入得，即，所以，.因为
，所以，即，所以.因为，所以，又因为，联立得，，所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以因为，所以.所以.故选：D【点
睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.16．
（2021·全国甲）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（?）A．B．C．D．【答案】D【分析】通过是奇函数和是
偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【详解】[方法一]：因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，
所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．思路一：从定义入手．所以．[方法二]：因为是奇函数，所以①；因为是
偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期．所以．故
选：D．【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．27．（2022·全
国新高考1）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（?）A．B．C．D．【答案】BC【分析】方法一：转化题设条件为
函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于，因为
为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，
因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所
以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然
A，D错误，选BC.故选：BC.[方法三]：因为，均为偶函数，所以即，，所以，，则，故C正确；函数，的图象分别关于直线对称，又，且
函数可导，所以，所以，所以，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，
故A错误.故选：BC.35．（2005·福建）设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有.（1）试判断函数的奇偶性；（2）试求
方程=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论.【答案】（1）非奇非偶函数；（2）802，证明见解析.【分析
】（1）利用条件先求出函数的周期，再求出，而，，，根据奇偶性的定义可知该函数为非奇非偶函数；（2）根据周期函数的性质可知，只需求出
一个周期里的根的个数，可求得在和上均有两个解，从而可知函数在上有402个解，在上有400个解.【详解】（1）因为，，所以函数的对称
轴为，所以函数为周期函数，且为函数的周期，且所以，，，故函数是非奇非偶函数;（2）由（1）知，又，故在[0，10]和[-10，0]
上均有有两个解，从而可知函数在[0，2005]上有402个解，在[-2005.0]上有400个解，所以函数在[-2005，2005
]上有802个解.函数变换21．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（?）A．向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长
度B．向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度D．向右平移1个单位长度，再向上
平移1个单位长度【答案】D【分析】按照左加右减，上加下减，结合对数运算法则进行计算，得到答案.【详解】A选项，向左平移2个单位长度
，再向上平移2个单位长度，得到，错误；B选项，向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，错误；C选项，向左平移1个单位长度
，再向上平移1个单位长度得到，错误；D选项，向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，正确.故选：D37．）利用函数的图象
，作出下列各函数的图象．(1)；(2)(3)；(4)；(5)；(6)．【分析】先作出函数的图象，（1）把的图象关于轴对称即可得到的
图象；（2）保留图象在轴右边部分，去掉轴左侧的，并把轴右侧部分关于轴对称即可得到的图象；（3）把图象向下平移一个单位即可得到的图象
；（4）结合（3），保留上方部分，然后把下方部分关于轴翻折即可得到的图象；（5）把图象关于轴对称即可得到的图象；（6）把的图象向右
平移一个单位得到的图象．【详解】（1）把的图象关于轴对称得到的图象，如图，?（2）保留图象在轴右边部分，去掉轴左侧的，并把轴右侧部
分关于轴对称得到的图象，如图，?（3）把图象向下平移一个单位得到的图象，如图，?（4）结合（3），保留上方部分，然后把下方部分关于
轴翻折得到的图象，如图，?（5）把图象关于轴对称得到的图象，如图，?（6）把的图象向右平移一个单位得到的图象，如图，?1．（200
6·江苏）为了得到函数，的图象，只需把函数，的图象上所有的点（?）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐
标不变）B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到
原来的倍（纵坐标不变）D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）【答案】C【分析】根据三角函数平移和
伸缩变换原则依次判断各个选项即可.【详解】记，变换后所得函数为，对于A，，A错误；对于B，，B错误；对于C，，C正确；对于D，，D
错误.故选：C.2．（2009·全国）若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为A．B．C．D．【答案】D
【详解】函数的图像向右平移个单位得，所以 ，所以得最小值为．3．（2012·浙江）把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸
长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是（　　）A．B．C．D．【答案】A函
数图像识别8．（2005江西）已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（?）A．B．C．D．【
答案】C【分析】先利用函数的图象求得函数的单调区间，进而得到正确选项.【详解】由题给函数的图象，可得当时，，则，则单调递增；当时，
，则，则单调递减；当时，，则，则单调递减；当时，，则，则单调递增；则单调递增区间为，；单调递减区间为故仅选项C符合要求.故选：C7
．（2023·天津）函数的图象如下图所示，则的解析式可能为（?）?A．B．C．D．【答案】D【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，
先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案.【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，
由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；当时、，即A、C中上函数值为正，排除；故选：D四、填空题17．（2022·全国）函数在区
间的图象大致为（?）A．B．C．D．【答案】A【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令，则，
所以为奇函数，排除BD；又当时，，所以，排除C.故选：A.18．（2021·天津）函数的图像大致为（?）A．B．C．D．【答案】B
【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解.【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称，又，所以函数为偶函数，
排除AC；当时， ，所以，排除D.故选：B.19．（2021·浙江）已知函数，则图象为如图的函数可能是（?）A．B．C．D．【答案
】D【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数
图象不符，排除A；对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；对于C，，则，当时，，与图象不符，排除C.故选：D.20
．（2003·上海）是定义在区间上的奇函数，其图象如图所示：令，则下列关于函数的叙述正确的是（?）A．若，则函数的图象关于原点对称
B．若，，则方程有大于2的实根C．若，，则方程有两个实根D．若，，则方程有三个实根【答案】B【分析】A.取，判断；B.由，仍是奇函
数，2仍是它的一个零点，再由上下平移判断； C.取，判断；D.取，判断.【详解】A.若，，则函数不是奇函数，其图象不可能关于原点对
称，故错误；B.当时，仍是奇函数，2仍是它的一个零点，但单调性与相反，若再加b，，则图象又向下平移个单位长度，所以有大于2的实根，
故正确；C.若，，则，其图象由的图象向上平移2个单位长度，那么只有1个零点，所以只有1个实根，故错误；D.若，，则的图象由的图象向
下平移3个单位长度，它只有1个零点，即只有一个实根，故错误.故选：B.（注意常见奇偶性总结）22．函数的图像大致为（?）A．?B．
?C．?D．?【答案】C【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可判断选项.【详解】设，对任意，，所以，所以的定义域为，，所以函数为奇函
数.令，可得，即，所以，可得，由可得，解得，所以的定义域为，又，所以函数为奇函数，排除BD选项，当时，是减函数，则，，所以，排除A
选项.故选：C分段函数43．（2018·天津）已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是_______
___．【答案】【分析】由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.【详解】分类讨论：①当时，即：，整理可
得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：当时，，则；②当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质
可知：当或时，，则；综合①②可得的取值范围是，故答案为.点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立?a≥f
(x)max；(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一
般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．50．（2018·浙江）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=
2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案
】(1,4) 【详解】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数
零点的取法，即得参数的取值范围.详解：由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由
在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.函数新定义23．（2005·湖南） 设是内任意一点，表示的面积，记，定义，已知，是的重心
，则A．点在内B．点在内C．点在内D．点与点重合【答案】A【详解】解：由已知得，f（P）=（λ1，λ2，λ3）中的三个坐标分别为P
分△ABC所得三个三角形的高与△ABC的高的比值，∵f（Q）=（1/ 2 ，1/ 3 ，1/ 6 ）∴P离线段AB的距离最近，故点
Q在△GAB内由分析知，应选A．24．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应
用.其定义黎曼函数为：当（为正整数，是既约真分数）时，当或或为上的无理数时.已知、、都是区间内的实数，则下列不等式一定正确的是A．
B．C．D．【答案】B【解析】设为正整数，是既约真分数，或或为上的无理数，然后根据，与集合，的关系分类讨论，计算与，与的关系.【详
解】设为正整数，是既约真分数，或或为上的无理数，则根据题意有：①当时，则，，②当时， ，；③当时，，；④当时，，综上所述，一定成立
.故选：B.【点睛】本题以黎曼函数为背景，考查学生获取新知识应用新知识的能力. 当、、都是区间内的实数时，与的取值可能为的形式（为
正整数，是既约真分数），也可能为或或为上的无理数，解决的途径主要是要针对，的取值进行分类讨论，然后根据的性质判断与，与的关系.28
．对，表示不超过的最大整数，十八世纪，被数学王子高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（
?）A．B．C．，（湖北高考）D．若，使得，…，同时成立，则正整数的最大值是5【答案】CD【分析】分和两种情况讨论，可判断AB选项的正误；利用取整函数的基本性质可判断C选项的正误；利用取整函数的定义可判断D选项的正误.【详解】解：对于AB选项，当时，；当时，设，则，则.综上，，AB选项均错误；对于C选项，由上可知，，设，则.若，则；若，则.综上，，，C选项正确；对于D选项，由题意可得，则同时成立，，若，则不存在满足与同时成立，只有当时，存在满足题意，D选项正确.故选：CD.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合不等式的性质，利用取整函数的定义，依次判断各选项求解.（回归教材）45．用“二分法”求方程在区间内的实根，首先取区间中点进行判断，那么下一个取的点是_________．【答案】1.5/【分析】先确定函数单调性，根据二分法求解即可得解.【详解】设函数，易得函数为严格增函数，因为，，所以下一个有根区间是，那么下一个取的点是．故答案为：47．布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹.布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点.现新定义：若满足，则称为的次不动点.有下列结论：①定义在上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点②函数仅有一个不动点③当时，函数在上仅有一个不动点和一个次不动点上述结论正确的是___________.【答案】②③【分析】对于①举反例，对于②研究函数的单调性由零点存在性定理可判断，对于③分别研究 与分离参数研究新函数的单调性，再由交点个数确定参数的范围，两者取交集后即可判断.【详解】对于①，取函数既是的不动点，又是的次不动点，故①错误，对于②，，令，易知为上的增函数，又由零点存在性定理得在区间存在唯一的零点，故②正确；对于③，当时，即.令在区间[1，2]上单调递增，故在上单调递增，满足有唯一解，则.当时，，即.令在区间上单调递增，故在上单调递增，满足有唯一解，则.综上.故③正确；故答案为：②③.试卷第1页，共3页试卷第1页，共3页