1.【2018浙江21】如图，已知点P是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点满足的中点均在上。设中点为，证明：垂直于轴；若是半椭圆上
的动点，求面积的取值范围。解析：（1）设中点满足：中点满足：所以是方程即的两个根，所以，故垂直于轴。（2）由（1）可知所以,因此，
因为，所以因此，面积的取值范围是距离型问题2.【2018全国3 理20】已知斜率为的直线与椭圆交于 两点，线段的中点为（1）证明
：；（2）设为的右焦点，为上一点且，证明：为等差数列，并求出该数列的公差。解析：（1）由中点弦公式，解得又因为点在椭圆内，故，故（
2）由题意知，故因为点在椭圆上，代入可得，即根据第二定义可知， 联立即故满足，所以为等差数列设其公差为，因为的位置不确定，则有代入
得3.【2018全国3 文20】已知斜率为的直线与椭圆交于 两点，线段的中点为（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点且，证明。
解析：（1）设，则，因为 两式相减可得： 又因为即代入上式得 ，又因为点在椭圆内，故，故 （2），设，即 因为点在椭圆上，代入得，
所以因为，同理得故所以注意：文理科题目相同，但是给出的解题思路是不同的。4.【2018天津 理19】设椭圆的左焦点为，上顶点为.已
知椭圆的离心率为，点的坐标为，且（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆在第一象限的交点为，且与直线交于点，若（为原点），求的值。解
析：（1）由题意知：，解得，又因为由知，解得故椭圆方程为（2）设，则（得到一个等量关系，然后用分别表示出）联立分别代入上式得，解得
或5.【2018江苏 18】如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，焦点，圆的直径为。（1）求椭圆及圆的方程；（2）设直线与圆相切于第
一象限内的点（i）设直线与椭圆有且只有一个公共点，求点的坐标；（ii）直线与椭圆交于两点.若的面积为，求直线的方程。解析：（1）设
椭圆方程为，其中，又因为点在椭圆上，故 ，所以椭圆的方程为 又因为圆的直径为，故圆的方程为 （2）（i）本题有两种解法： 法一：椭
圆和圆有公切线时求点的坐标，可先设公切线方程为 然后根据直线分别与圆和椭圆相切求出的值，再求出点的坐标，这个方法很容易想到，但是需
要两次计算相切时的条件。 法二：题目中让求点的坐标，不如一开始就设出点的坐标，利用点的坐标表示出切线方程，然后直线与椭圆联立，即可
求出点的坐标。这里我们选用第二种方法： 设直线与圆的切点，则满足，故直线的方程为： 即 联立 （1） 因为直线与椭圆有且只有一个交
点，故，即 因为点位于第一象限，即，故所以点的坐标为（ii）分析：第二问由于的高即为圆的半径，故由面积可以得出弦长的值，根据弦长再
求出直线方程，最容易想到的就是设出直线方程，根据直线与圆相切可得，然后直线与椭圆联立，根据韦达定理写出弦长公式，将或转化成一个，求
出即可，但是计算过程很麻烦，下面给出同一个方法的两种不同解法：解析：设直线方程为，，根据直线与圆相切得 将代入得注意此处，根据
韦达定理得出的两根和与积的形式本来很复杂，如果利用上式还需要进行平方，再将转化为的形式计算起来相当复杂，因此我们要想办法避开平方，
因此不如直接根据直线与椭圆联立的方程解出两根，再利用弦长公式，就可以避开平方的出现，解法也会简单一些。解得所以，直线方程为5.定值
问题6.【2018全国1 理】设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点
，证明：分析：第二问两角度相等如何证明？解析几何中常出现的量无非是距离长度，斜率，面积，周长，如果你想到了证明两个角余弦值相等，那
么恭喜你，你想到了长度，但是长度不容易求得，本题目点在轴上且角度均从点出发，两点一个在轴上方一个在下方，因此可以考虑两条直线关于轴
对称，而对称又反应了斜率互为相反数的关系，因此本题目虽是证明题的形式出现，但本质上是求定值问题，即解析：（1）由题意知，当与轴垂直
时，，此时，所以直线的方程为（2）设直线的斜率分别为当直线斜率不存在时，此时直线的倾斜角互补，则当直线斜率存在时，设联立所以（注意
，此处为什么不需要整理分母部分，因为证明分式为零，只需要证明分子为零即可）所以所以直线的倾斜角互补，则7.【2018全国1 文20
】设抛物线，点，过点的直线与交于两点（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）证明：解析：（1）当与轴垂直时，，此时，直线的方程为（
2）具体过程可以参考32题，在上题中是分情况讨论直线斜率不存在与存在的情况，其实无需讨论斜率是否存在，可以直接将直线方程设为设，直
线的斜率分别为联立所以所以直线的倾斜角互补，则8.【2018全国3 理16】已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点
，若，则=________.解析：用到结论：在抛物线中以焦点弦为直径的圆与准线相切 所以，设，根据焦点弦斜率公式可得9.【2018
北京 理 19】已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于.（1）求直线的斜率的取值范围；（2
）设为原点，，求证：为定值。解析：（1）因为抛物线经过，则，抛物线方程为 由题意可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为由解得或
又与轴相交，故直线不过点，故【最容易遗漏的地方】所以直线斜率的取值范围是（2）第二问考察有关向量系数的定值问题，很显然需要将用两点
的坐标表示出来然后在利用直线与抛物线联立即可，实际运算起来发现和两点的纵坐标有关系，所以需要建立和坐标的关系，此时就需要根据两点坐
标大胆写出的直线方程，求出两点坐标即可，不要想什么便捷方法，怎么问怎么想就可以。设，由直线的方程为，令得点的纵坐标为，同理得点的纵
坐标为，由得所以 故为定值。10.【2018北京文 20】已知椭圆的离心率为，焦距为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点（1）求椭
圆的方程；（2）若，求的最大值；（3）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，若和点共线，求解析：（1）由题意知（
2）设 联立 令，则故当时，最大。（3）题目给出共线，则用向量共线即可，但是需要知道两点的坐标，因此大胆设出的方程，求出的坐标（坐
标与坐标产生关联之后即可） 设，又，所以可设，直线的方程为： 则即，又，代入得【注意此处也可以不转化，直接将转化为的形式，但是不如
一开始就转化简单】故，，同理可得故因为三点共线，所以将坐标代入化简可得，即11.【2018天津文 19】椭圆的右顶点为，上顶点为。
已知椭圆的离心率为，（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于两点，与直线交于点，且点均在第四象限，若的面积是面积的2倍，求的值。
解析：（1） （2）设【需要的等量关系】，接下来用表示出即可，所以，解得或当时，不符合题意，当时，符合题意，所以极坐标与参数方程问
题12.【2018全国1 选做22】在直角坐标系中，曲线的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为（
1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程。解析：（1） （2）恒过点，当时不符合题意当时，当时，与恒有两个交点
，所以只需当时，与只有一个交点即可，联立令解得所以的方程为13.【2018全国2 选修22】在直角坐标系中，曲线的参数方程为，直线
的参数方程为（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率。解析：（1）曲线的直角坐标方程为 当时，的
直角坐标方程为 当时，的直角坐标方程为 （2）考察中点弦问题，因此可以利用中点弦求斜率公式，设中点坐标为，则 常规做法如下： 将的
参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程 因为曲线截直线所得线段的中点在内，故上式有两个解，设为，则又因为，故所以直线的斜率
【此处用到了直线的参数方程的两个用法之一】14.【2018 全国3 选做22】在平面直角坐标系中，的参数方程为，过点且倾斜角为的直
线与交于两点（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程。解析：（1）当斜率不存在时，此时符合要求 当斜率存在时，若要满足直线
与圆相切只需要保证圆心到直线的距离小于半径即可。设直线，所以根据正切函数图像可知综上可知（2）可以用直线的普通方程来做，但是如果那
样题目就失去意义了。既然是中点，就应该想到直线的参数方程应用中关于中点的用法。、设直线的参数方程为（）将直线的参数方程代入得设点对
应 的参数为，故所以所以点的轨迹方程为探究性问题15.【2018 上海 20】设常数，在平面直角坐标系中，已知点，直线，曲线，与轴
交于点，与交于点，分别是曲线与线段上的动点。（1）用表示点到点的距离；（2）设，，线段的中点在直线上，求的面积；（3）设，是否存在
以为邻边的矩形，使得点在上？若存在求出点的坐标，若不存在说明理由。解析：（1）点是抛物线的焦点，所以 （2）从中点入手即可 因为，所以，故，则中点坐标为，所以，联立 所以 （3）若存在这样的点，则点坐标符合抛物线方程，若能求出坐标且符合范围要求，则点存在。求点坐标时可以利用向量的平行四边形法则：，因此需要求出坐标，另外两点为动点，但是两点可以通过垂直产生关联，求出一个，另外一个就知道了解析：假设存在这样的点，设，则，所以 ，所以根据可得，点在抛物线上，，解得，所以存在这样的点。 |
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