2020考 研 数 学 三 真 题 及 答 案一 、 选 择 题 ： 1～ 8 小 题 ,每 小 题 4 分 ,共 32 分 ． 下 列 每 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ,只 有 一 个选 项 是 符 合 题 目 要 求 的 ．(1)设 lim f(x)?a ?b ， 则 limsin f(x)?sina ?( )x?a x ? a x?a x ? a(A). bsina(B). bcosa(C). b sin f(a)(D).
b cos f(a)【 答 案 】 B【 解 析 】limsin f(x)?sina ?limsin f (x)?sina ? f (x)? a ?cos f (x) ? b ? b cosf (a)x?a x ? a x?a f(x)?a x ?a x?a设 f (x)? u ， 则 limsin f (x)?sin a =lim sinu?sina ?cosu ?cos f (a)
x?a f (x)? a u? f(a) u ?a u ? f (a)limsin f (x)?sin a ?limsin f (x)?sina ? f (x)? a ?limsin f (x)?sin a ?lim f (x)? a则 x?a x ? a x?a f(x)?a x ?a x?a=bcosa f (x)? a x?a x ? a(2)函 数 f(x)?
(A).1(B).2(C).3 1ex?1ln1? x(ex ?1)(x ?2) ， 则 第 二 类 间 断 点 个 数 为 （ ）
00 00
(D).4【 答 案 】 C【 解 析 】 本 题 考 查 的 是 第 一 类 间 断 点 与 第 二 类 间 断 点 的 定 义 ， 判 断 间 断 点 及 类 型 的 一 般 步 骤 为 ：1.找 出 无 定 义 的 点 （ 无 意 义 的 点 ） ； 2.求 该 点 的 左 右 极 限 ； 3.按 照 间 断 点 的 定 义 判 定 。第 二 类 间 断 点 的 定 义 为 f?(x0), f?(x0)至 少 有 一 个 不 存 在 ， 很 显 然 f (x)不 存 在 的 点 为x ??1,x ?0, x ?1,x ?2。在 x??1处 ， limx??1? f (x) ???,limx??1? f (x)???；
在 x ?0处 ， limx?0? f (x) ?limx?0+ f (x)=?1；2e1在 x?1处 ， limex?1 ?0 1， lim ex?1 ???， lim f (x) ?0， lim f (x) ??? ；x?1?在 x ?2处 ， limx?2? x?1?f(x)???， limx?2+ x?1?f (x) ?+?； x?1+所 以 ， 第 二 类 间 断 点 为 3 个 。(3)
对 奇 函 数 f(x)在 (??,??)上 有 连 续 导 数 ， 则 ( )(A). ? ?cos f(t)? f?(t)?dt 是 奇 函 数x(B). ? ?cos f(t)? f?(t)?dt 是 偶 函 数x(C).?x?cos f?(t)? f(t)?dt 是 奇 函 数(D).
?x?cos f?(t)? f(t)?dt 是 偶 函 数【 答 案 】 ： A【 解 析 】 f (x) 为 奇 函 数 ， 则 其 导 数 f ?(x) 为 偶 函 数 ， 又 cos x 为 偶 函 数 ， 则cos f(x)?cos f(?x) ， 则 cos f (x)为 偶 函 数 ， 故 cosf (x)? f ?(x) 为 偶 函 数 ， 以 0 为 下 限 、 被
an?1anan?1an? n
积 函 数 为 偶 函 数 的 变 限 积 分 函 数 为 奇 函 数 。 所 以 ， 本 题 选 A ;对 于 C和 D 选 项 ， f ?(x)为 偶函 数 ， 则 cosf ?(x)?cosf ?(?x)为 偶 函 数 ， f (x)为 奇 函 数 ， 则 cosf ?(x)? f (x) 既 非 奇 函 数 又非 偶 函 数 。 ? ?(4).已 知 幂 级 数 ?na(x ?2)n 的 收 敛 区 间 为 (?2,6)， 则 ?a(x ?1)2n 的 收 敛 区 间 为nn?1 nn?1(A).(-2,6)
(B).(-3,1)(C).(-5,3)(D).(-17,15)【 答 案 】 B a (x?1)2n?2 a【 解 析 】 由 比 值 法 可 知 ， 幂 级 数 收 敛 时 ， lim n?1 ?lim n?1(x ?1)2?1n?? a (x ?1)2n n?? a则 要 求 ? a (x ?2)2n 的 收 敛 区 间 ， 只 需 要 求 出 lim n n
的 值 即 可 ，nn?1 n???而 条 件 告 诉 我 们 幂 级 数 ?na(x ?2)n 的 收 敛 区 间 为 (?2,6)， 即 收 敛 半 径 为 4limn?? ?limn?? n?1 ? lim ? 1n?? 4则 lim (x?1)2n ? 1(x?1)2 ?1， 即 ?3? x ?1n?? 4
所 以 本 题 选 B。(5) 设 4阶 矩 阵 A?(aij )不 可 逆 ， a12 的 代 数 余 子 式 A12 ?0， α1,α2,α3,α4为 矩 阵 A的 列 向 量 组 ，A为 A的 伴 随 矩 阵 ， 则 Ax ?0的 通 解 为 （ ）（ A） x ? k1α1 ? k2α2 ? k3α3 （ C） x? k1α1 ? k2α3 ? k3α4
an?1an(n ?1)an?1na
n n ?1an?1n an
（ B） x ? k1α1 ? k2α2 ? k3α4（ D） x ? k1α2 ? k2α3? k3α4
? ?
? ?
【 答 案 】 （ C）【 解 析 】 A ?(a )不 可 逆 知 ， A ?0及 r(A)?4； 由 A ?0知 A? O 且 α ,α,α 线 性 无 关 （ 无ij 12 1 3 4关 组 的 延 长 组 仍 无 关 ） ， 故 r(A)?3及 r(A)?1， 故 Ax ? 0 的 基 础 解 系 含 有 3 个 向 量 。 由AA ? A E ? O 知 ， A 的 列 向 量 均 为 Ax ? 0 的 解 ， 故 通 解 为 x ? k α ? k α? k α 。 1 1 2 3 3 4(6)
设 A为 3 阶 矩 阵 ， α1,α2为 A的 特 征 值 1对 应 的 两 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 ， α3 为 A的 特?1 0 0?征 值 ?1的 特 征 向 量 。 若 存 在 可 逆 矩 阵 P ， 使 得 P?1AP ??0 ?1 0?， 则 P 可 为 （ ）（ A） (α1 ?α3,α2,?α3)（ C） (α1 ?α3,?α3,α2) ? ??0 0 1?（ B） (α1 ?α2,α2,?α3)（ D） (α1 ?α2,?α3,α2)【 答 案 】 （ D）
【 解 析 】 因 为 α1,α2 为 A 的 特 征 值 1对 应 的 两 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 ， 故 α1? α2,α2仍 为 特 征 值 1的 两 个 线 性 无 关的 特 征 向 量 ； 因 为 α3 为 A 的 特 征 值 ?1的 特 征 向 量 ， 故 ?α3仍 为 特 征 值 ?1的 特 征 向 量 ， 因 为 特 征 向 量 与 特 征 值 的 排 序一 一 对 应 ， 故 只 需 P?(α1? α2,?α3,α2)，?1 0 0?就 有 P?1AP ??0 ?1 0?。(7) ? ??0 0 1?P?A?? P?B?? P?C?? 1,P?AB??0,P?AC?? P?BC?? 14 12 ， 则 A,B, C 恰 好 发 生 一 个 的 概 率 为（ ）(A).
34(B). 23(C) .1 2(D). 512
DX DY
2
【 答 案 】 （ D）【 解 析 】P( ABC)? P( ABC)? P( ABC)? P(AI BUC)?P(BI AUC)?P(C I A U B)?P( A)?P( AB)? P( AC)? P( ABC)? P(B)?P( AB)? P(BC)? P( ABC)?P(C)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)又 ABC ? AB ， P( ABC)?P( AB)?0
原 式 ? 1? 14 12 ?1? 14 12 ?1?1?1?54 12 12 12(8) .若 二 维 随 机 变 量 ?X,Y?服 从 ? ?1?， 则 下 列 服 从 标 准 正 态 分 布 且 与 X 独 立 的N?0,0;1,4; ?? ?是 （ ）(A).
(B).(C).(D). 5?X ?Y?55?X ?Y?53?X ?Y?33?X ?Y?3【 答 案 】 （ C）【 解 析 】由 二 维 正 态 分 布 可 知 X ~ N (0,1)， Y ~ N (0,4)， ?XY ??12
D(X ?Y)? DX ?DY ?2?XY ?3，所 以 X ?Y ~ N(0,3)， 3?X ?Y ?~ N (0,1)3又 cov(X,X ?Y)?cov(X,X)?cov(X,Y)? DX ??XY ?0DX DY
所 以 X 与 3?X ? Y ?独 立3
(0,π)(0,π)(0,π)二 、 填 空 题 ： 9～ 14 小 题 ,每 小 题 4 分 ,共 24 分 ．(9) z?arctan?xy?sin(x? y)?， 则 dz ?? .【 答 案 】 dz ?(π?1)dx?dy【 解 析 】 dz ? dx y ?cos(x ?y)1??xy?sin(x? y)?2 ,dz?dy x ?cos(x ? y)1??xy?sin(x? y)?2 ， 将 x ?0, y ?π 带 入 可 知 ，dz ?(π?1)dx?dy(10) 已 知 曲 线 满 足 x? y?e2xy ?0， 求 曲 线 在 点 (0,?1)处 的 切 线 方 程【 答 案 】 y ? x ?1
【 解 析 】 在 x ? y ?e2 xy ?0两 侧 同 时 对 x 求 导 有 1+dy +e2 xy(2 y ?2x dy )?0， 将 x ?0,y ??1带 入dx dx可 知 dy ?1， 所 以 切 线 方 程 为 y ? x ?1dx(11) 设 产 量 为 Q， 单 价 为 P,厂 商 成 本 函 数 为 C(Q)?100?13Q， 需 求 函 数 为 Q(P)?求 厂 商 取 得 最 大 利 润 时 的 产 量 800P ?3 ?2，【 答 案 】 Q ?8【 解 析 】 由 Q(P)? 800P ?3 ?2可 知 P ? 800Q ?2 ?3， 则 利 润 函 数 为
L(Q)?? 800 ? ? ? ? ， dL(Q) ? 1600 ?16， 令 dL(Q)?0可 得 ， Q ?8， 此 时?Q?2 3?Q (10013Q) dQ (Q?2)2 dQ? ?d2L(Q)??dQ2 3200(Q ?2)3 ?0， 故 取 得 最 大 利 润(12) 设 平 面 区 域 D??(x,y) x剟 y 1 ,0剟 x 1?， 则 求 D绕 y轴 旋 转 所 成 旋 转 体 的 体 积
? 2 1? x2 ?? ?【 答 案 】 π(ln2?1) 3 1
1 2 3?【 解 析 】 由 题 意 列 式 得 V ? 2πx? 1 ? x ?dx ?π?ln(1? x )?1x ?π(ln2?1)?0 ?1?x2 2? ? 3 ? 3? ? ? ?0
?
a 0 ?1 1(13) 行 列 式 0 a 1 ?1 ??1 1 a 01 ?1 0 a【 答 案 】 a2(a2?4).【 解 析 】 1 1 1 1 1 1 1 1 a 1 ?1 a 2 ?1原 式 =a0 a 1 ?1? a 0 a 1 ?1? a 2 a?1 1 ?a2 2 a 1? a2(a2?4).?1 1 a 0 0 2 a?1 1
0 a a 0 0 11 ?1 0 a 0 0 a a(14) 随 机 变 量 X 的 分 布 律 为 P?X ? k??解 析 1,k ?1,2,...,Y 为 X 被 3 除 的 余 数 ， 则 EY ?2kP?Y?0??? P?X?3n??? 1?1n?1P?Y?1??? n?18nP?X?3n ?1?? ? 711?4n?0 n?0 28n 7
P?Y?2???P?X ?3n?2??? 11?2n?0?EY ?0?1?1?4?2?2 ? 8 n?0 48n 77 7 7 7三 、 解 答 题 ： 15～ 23 小 题 ,共 94 分 ． 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 ．(15)(本 题 满 分 10分 ) 设 为 常 数 ， 且 当 时 ， 与 为 等 价 无 穷 小 ， 求的 值 .【 解 析 】
① ，
? ?? ??
由 于 ， 则 ， 且 ① 式 ， 得 .(16)(本 题 满 分 10 分 ) 求 函 数 f ?x,y?? x3 ?8y3 ?xy的 极 值 .【 解 析 】 ， 解 得 ， .且 ， ， .讨 论 ： ① 对 于 ， 求 得 ， 因 ， 则 不 为 极 值 点 ；② 对 于 ， 求 得 ， 因 且 ， 则 为 极
小 值 点 ， 且 极 小 值 为 .(17)(本 题 满 分 10 分 )设 函 数 满 足 ， 且 有 .（ Ⅰ ） 求 ； （ Ⅱ ） 设 ， 求 .【 解 析 】 （ Ⅰ ） 由 得 ， 解 得 ， 则， 又 由 得 ， 则 .（ Ⅱ ）
，则 .(18)( 本 题 满 分 10 分 ) 设 区 域 ，，
计 算 .【 解 析 】 设 ， 则 ，两 边 同 取 积 分 得
.
f(c)? f (0)c ?0f(2)? f(c)2? c? ? ??
则 ， .
(19)( 本 题 满 分 10 分 ) 设 函 数M ?max f x .x??0,2? f?x?在 ?0,2?上 具 有 连 续 导 数 . f ?0?? f ?2??0,证 :(1)存 在 ???0,2?使(2)若 对 任 意 x??0,2?, f?????Mf??x? ? M ,则 M ?0.证 明 :(1)M ?0时 ,则 f (x)?0,显 然 成 立 .M ?0时 ,不 妨 设 在 点 c(?(0,2))处 取 得 最 大 值 | f (c)|? M .由 拉 格 朗 日 中 值 定 理 得 ,存 在 ??(0,c),使 得 |f ?(?)|? = M ;
存 在 ?2?(c,2),使 得 |f ?(?2 1)|? ? 1 cM ;2? c所 以 (M ? M)( M ?M)??M 2(c ?1)2 ? 0,即 M 介 于 M 与 M 之 间 ,从 而 有c 2?c c(2?c) c 2?c|f ?(?1)|…M或 f ?(?2)|…M,结 论 得 证 .（ Ⅱ ） 当 c ?1时 ,采 用 反 证 法 ,假 设 M ?0.
则 |f ?(?1)|>M 或 |f ?(?2)|>M ,与 已 知 矛 盾 ,假 设 不 成 立 .当 c ?1时 ,此 时 | f (1)|? M ,易 知 f ?(1)?0.
? ?2 1 0 0
设 G(x)? f (x)? Mx ,0剟 x 1;则 有 G?(x)? f ?(x)? M? 0,从 而 G(x)单 调 递 减 .又 G(0) ?G(1)?0,从 而 G(x)?0,即 f (x)? Mx ,0剟 x1.因 此 f??(1)? M ,从 而 M ?0.综 上 所 述 ,最 终 M ?0(20)(本 题 满 分 11 分 )二 次 型 f (x ,x )? x2?4x x ?4x2经 正 交 变 换 ? x1?? Q ? y1?化 为 二 次 型1 2 1 1 22 ?x ? ? y ?
g(y ,y)? ay2 ?4y y ? by2 ， a…b。 求 ： ? 2 ? ?2?1 2 1 1 2 2（ I） a,b的 值 ；（ II） 正 交 矩 阵 Q ? 4 ?3??【 答 案 】 （ I） a ?4,b ?1； （ II） Q ? 5 5?.? ?
??3 ?4??【 解 析 】 （ I） 记 x ??x1 ?,y ?? y1 ?,A?? 1 5 5??2?,B ??a 2?， 故 f ?xT Ax, g ? yT By 。?x ? ?y ? ??2 4 ? ?2 b?? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ?因 为 x ? Qy ， 故 f ? yT QT AQy ， 所 以 B ? QT AQ ， 其 中 Q 为 正 交 矩 阵 。所 以 A,B相 似 ， 故 特 征 值 相 同 ， 故 ??tr(A)?tr(B)知 ， ?a?b ?5 ， 故 a ?4, b ?1。
? A ? B ?ab?4?0（ II） 由 A ??1?2?0, tr(A)??1??2?5， 知 A,B 的 特 征 值 均 为 ?1?5,?2?0。解 齐 次 线 性 方 程 组 (?i E ? A)x ? 0 及 (?i E ?B)x ? 0 ， 求 特 征 向 量 并 直 接 单 位 化 ，对 ? ?5， 由 5E ? A??4 2???2 1?知 ， α ? 1?1?；1 ? ? ? ?? ? ? ? 1 5??2?
? ?5 1对 ? ?0， 由 0E ?A???1 2?? ?1 ?2?知 ， α ? 1?2?；2 ? 2 ?4? ?0 0 ? 2 5?1?? ? ? ?同 理 ， B 的 属 于 特 征 值 ??5的 特 征 向 量 为 β ? ? ?1?2?，1 1 ? ?? ?
? ?0 0
k
B 的 属 于 特 征 值 ??0的 特 征 向 量 为 β ? 1?1? .记 Q ?(α ,α )? 21 ? 1 2?， Q 2?(β,β )? 5??2?1 ?2 1 ?， 就 有1 12 5??2 1? 2 12 5?1 ?2?? ? ? ?Q T AQ ? Q T BQ ??5 0?，
因 此 B?Q QT AQQ T ， 只 需 令 1 1 2 2 ? ?? ?2 1 1 2 ? 4 ?3?Q ? QQ T ? 1 ? 1 2??1 ?2 1?? ? 5 5?，1 2 5??2 1? 5?1 ?2? ? 3 4?? ? ? ? ?? ? ?? 5 5?则 B ? QT AQ ， 二 次 型 f (x ,x )经 正 交 变 换 x ? Qy 化 为 g(y,y )。
1 2 1 2(21)(本 题 满 分 11 分 )设 A 为 2 阶 矩 阵 ， P?(α,Aα)， α 是 非 零 向 量 且 不 是 A 的 特 征 向 量 。（ I） 证 明 矩 阵 P 可 逆 ；（ II） 若 A2α? Aα?6α ?0， 求 P?1AP并 判 断 A是 否 相 似 于 对 角 矩 阵 。【 解 析 】 （ I） 设 k1α? k2 Aα ?0
① 若 k2?0， 则 由 α? 0 知 k1?0；② 若 k ?0， 则 Aα?? k1 α ， 所 以 α 是 A 的 属 于 特 征 值 ? k1的 特 征 向 量 ， 与 已 知 条 件 产 生2 2 2矛 盾 。 k
所 以 ， k1? k2?0， 向 量 组 α, Aα 线 性 无 关 ， 故 矩 阵 P 可 逆 。（ II） 因 为 A2α?6α? Aα ， 所 以 ，(Aα,A2α)?(Aα,6α? Aα)?(α,Aα)?0 6?，?1 ?1?? ?
?0, X ? Y ?0 ? X ?Y ?0,0 1 2 1 2
1 2
1
记 B ??0 6 ?， 因 此 ，?1 ?1?? ? A(α,Aα)?(α,Aα)?0 6?，?1 ?1?? ?即 AP ? PB， 由 P 可 逆 知 A,B相 似 且 P?1AP ? B ??0 6? 。?1 ?1?? ?
由 ?E ? B ? ? ?6 ?(??2)(??3)?0知 ， 矩 阵 A,B的 特 征 值 均 为 ? ?2,? ??3，?1 ??1 1 2因 为 特 征 值 互 不 相 同 ， 故 矩 阵 A相 似 于 对 角 矩 阵 ?2 0? 。?0 ?3?? ?(22)(本 题 满 分 11 分 )二 维 随 机 变 量 ?X,Y?在 区 域 D ? ??x,y?0? y ? 1?x2 ?上 服 从 均 匀 分 布 ， 且
Z ??1, X ? Y ?0, Z? ??1,X ? Y ?0?求 （ 1） 二 维 随 机 变 量 ?Z ,Z ?的 概 率 分 布 ； （ 2） 求 Z ,Z 的 相 关 系 数 .【 解 析 】（ 1） 由 题 意 f ?x,y? ??? ,?x,y??D?2??0,?x,y??D ， 所 以 可 计 算P?ZP?Z ?0,Z2?0,Z2 ?0?? P?X ? Y ?0, X ? Y ?0??1 4?1?? P?X ? Y ?0,X ?Y ?0??1 2
P?Z ?1,Z ?0??P?X ? Y ?0,X ? Y ?0??0P?Z ?1,Z2 ?1?? P?X ? Y ?0, X ? Y ?0??1 4可 得 ?
2
111
DZ1 DZ21 2 ? 1 2 1 2 ?
?? ??? ?
Z2Z1 0 10 14 121 0 14
（ 2） 由 （ 1） 可 计 算 E?Z ??1,E?Z ?? 3,D?Z ?? 3,D?Z ?? 3,E?Z Z ??11 4 2 4 1 16 2 16 1 2 4所 以 可 得 ?? Cov?Z, Z ? E?Z Z ?? EZ ?EZ 13(23)(本 题 满 分 11 分 )设 某 元 件 的 使 用 寿 命 T 的 分 布 函 数 为? ? t ?
m????1?e???? ,t ?0， 其 中 ? 为 参 数 且 均 大 于 零 .F t ? ? ? ,m? 0,t ?0（ 1） 计 算 概 率 P?T ?t?与 P?T ? s?tT ? s?； ?（ 2） 任 取 n个 元 件 试 验 ， 其 寿 命 分 别 为 t1,t2,...,tn ， 若 m已 知 ， 求 ?得 最 大 似 然 估 计 ?.【 解 析 】
? t ?m（ 1） P?T? t ??1? P?T? t ?? e?? ?? ? s?t ?m? ? P?T? s ?t? e ? ?P T ?s ? t T ? s ? P?T ?s? ? ? t ?
m
DZ1 DZ2
???? e ?? ? mtm?1 ? t ?m????（ 2） 由 题 意 可 得 概 率 密 度 函 数 为 f?t??F''?t???? e ? ?, t ?0?? m? 0,t ?0?
n1∑n tmii?1
m?t ? i似 然 函 数 ???? nn m?1 i n ? t?m??? ? ?L i?1 e? mn i?1? ?, t 0,i 1,2,...,n? ? ? ? n ? t ?m
i取 对 数 有 lnL ? ? nlnm? m ?1?ln ti ? mnln? ??? ??i?1 i?1 ? ?求 导 并 令 导 数 等 于 零 ， dlnL???? ? mn ? m ?n tm ?0m?解 得 ?? . d? ? ?m?1 ii?1n
? i
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