2023年小学1-6数学专项复习（20）—— 综合与实践（一）★ 知识归纳总结一、通过操作实验探索规律知识梳理常考题型：例：小红把10根绳子
打结连起来，变成一根长绳，这根长绳上有（ ）个结．A、10????????????????? B、9??????????????
?? C、8分析：两根绳有一个结，三根绳有两个结，那么四根绳有三个结…，以后每增加一根绳子就增加一个结，而结的数量要比绳子的数量少
一．解：结的数量要比绳子的数量少1，10跟绳子有：10-1=9（个）；答：10根绳子有9个结．故选：B．点评：本题关键是打结处的理
解，每相邻的两根绳子就会有1个结，由此找出规律求解．典例精析例1：实践与探索：甲袋有2005个白球和1000个黑球，乙袋装有200
6个黑球，小江每次从甲袋中取出2个球，如果同色，就从乙袋中取出一个球放到甲袋（取出的两个球不放回）；如果异色，就将白球放回甲袋（黑
球不放回），请你探索：（1）小江每次取出的2个球的颜色有几种情况？（2）小江每次操作后甲袋中球的个数有何变化？为什么？（3）小江这
样的操作进行3003次后，试确定甲袋中剩余球的颜色及其个数，并说明理由．【分析】（1）每次取出2个球，这两个球就有3种情况：①2个
都是白球，②2个都是黑球，③一个白球，一个黑球；（2）每次从甲袋取出2个球，无论是同色还是异色，每次都往甲袋放回一个球，所以每次操
作后甲袋的球就减少一个；（3）由于甲袋每次减少1个球，操作3003次后就还剩下2个球；然后根据白球的数量是奇数个，来确定剩下球的颜
色．【解答】解：（1）每有3种情况：①2个都是白球，②2个都是黑球，③一个白球，一个黑球；（2）每次从甲袋取出2个球，无论是同色还
是异色，每次都往甲袋放回一个球，所以每次操作后甲袋的球就减少一个；（3）由于甲袋每次减少1个球，操作3003次后就还剩下：2005
+1000﹣3003＝2个球；甲袋原有白球2005个，为奇数个，最后甲袋中必有白球；摸出2个同色的，乙袋中取出一个黑球放到甲袋，甲
袋白球仍为奇数个；摸出的球异色，则将白球放回甲袋，则甲袋白球数不变，仍为奇数个，所以，甲袋白球总为奇数个，剩2个时，有1个白球，另
1个是黑球．【点评】解决本题关键是找出：每次进行取球后，无论怎样，甲袋球的总数都比原来少1个，而且无论拿多少次甲袋中必有白球．例2
：如图是半张中国象棋盘，棋盘上已放有一只“马”。众所周知，“马”是走“日”字的。请问：这只“马”能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一
个点，然后回到出发点？【分析】如下图所示，先在棋盘各交点处相间标上〇和●，图中共有22个O和23个●。因为“马”走“日”字，每步只
能从〇跳到●，或由●跳到〇，所以“马”从某点跳到同色的点（指〇到〇或●到●），要跳偶数步；跳到不同色的点，要跳奇数步。现在“马”在
〇点，要跳回这一点，应跳偶数步，可是棋盘上共有23+22＝45（个）点，不可能做到不重复地走遍所有的点后回到出发点。【解答】解：棋
盘上共有点：23+22＝45（个），马从起点出发走遍半张棋盘，则起点与最后一步同色，所以不可能从最后一步跳回起点。答：不可能做到不
重复地走遍所有的点后回到出发点。【点评】本题考查了学生的解决问题能力和阅读理解能力，及考查了学生的部分生活常识。例3：把盒中200
个新乒乓球进行挑选和调换。（1）每次必须首先从盒中取出3个新乒乓球，然后放入2个旧乒乓球，那么在最后一次调换之前，盒中有多少个乒乓
球？（2）每次必须先从盒中取出3个乒乓球，然后再放入2个乒乓球，在进行这种挑选次数的一半后，盒中还有多少个乒乓球？【分析】（1）因
为盒中有200个新乒乓球，每次调换必须首先从盒中取出3个新乒乓球，所以200÷3＝66…2，也就是先换66次，第67次最后一次调换
之前盒中调出新乒乓球3×65＝195个，调进旧乒乓球2×65＝130个，盒中有200﹣195+130＝135个乒乓球．（2）根据（
1）可知，一共可以调换66次，66÷2＝33，也就是先换33次，调出的算式应该是33×3＝99.调进33×2＝66，所以少了33个
球，用总数200﹣33＝167.据此即可解答．【解答】解：（1）200÷3＝66…2200﹣（3﹣2）×65＝200﹣65＝135
（个）答：最后一次调换之前，盒中有135个乒乓球。（2）66÷2＝33200﹣（3﹣2）×33＝200﹣33＝167（个）答：在进
行这种挑选次数的一半后，盒中还有167个乒乓球。【点评】此题属于周期性问题，考查学生总结规律的能力。例4：数学思想方法是数学的灵魂
。转化思想作为重要的数学思想方法之一，在我们的学习生活中无处不在。如，在“曹冲称象”的故事里，把大象的质量转化为石头的质量；又如，
推导圆的面积计算公式时，把圆转化为长方形……（1）如图1有一种有意思的推导圆的面积方法，读一读，填一填。这时，三角形的面积相当于圆
的面积。①观察这个三角形，底相当于圆的 周长 ，高相当于圆的 半径 。②如果圆的半径是r，三角形的面积：S＝a×h÷2那么圆的面积
：S＝ 2πr × r ÷2＝ πr2 （2）你还能用转化的数学思想来解决以下数学问题吗？如图2，一个拧紧瓶盖的瓶子里装了一些水，
根据图中数据，可以算出瓶中水的体积占瓶子容积的 。A. B. C. D.【分析】（1）圆在转化成三角形的时，形状发生了变化，面积
没有变，三角形的面积等于圆的面积，观察三角形，底相当于圆的周长，高相当于圆的半径。三角形的面积＝底×高÷2?圆的面积：s＝2.（2
）瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积，为底面积×10+底面积×（16﹣14），也就是底面积×12；水的体积为底面积×10
，由于水与容器的底面积相等，所有容积比＝。【解答】解：（1）三角形的面积＝圆的面积 底×高÷2 圆的周长×半径÷2＝2πr×r÷2
＝πr2 （圆的周长公式是2πr）（2）瓶子的容积：底面积×10+底面积×（16﹣14）＝底面积×12。 水的体积：底面积×10。
水与容器的底面积相等，所有容积比＝。【点评】转化是把新旧知识有机的结合起来的一种数学学习方法。二、画指定长、宽（边长）的长方形、正
方形知识梳理在方格中数小正方体的棱边数目，正方形和长方形都是固定的．常考题型：例：下面小正方形的边长是1厘米（1）画一个边长是3厘
米的小正方形．（2）画一个长5厘米，宽2厘米的长方形．（3）画一个周长是10厘米的四边形．（4）用阴影涂出其中一个图形的．分析：（
1）（2）根据长方形、正方形的定义和已知的边长即可画图；（3）画周长为10厘米的四边形，此题答案不唯一，可以画一个长3厘米，宽2厘
米的长方形，它的周长是（3+2）×2=10厘米；（4）把（3）中画出的长方形涂色：这个长方形正好占了3×2=6格，所以把其中的3个
格涂色，正好是这个图形的．解：根据题干分析，画图如下：点评：此题主要考查指定边长或周长的长方形、正方形的画法．典例精析例1：在下面
的方格纸上画一个长4厘米，宽3厘米的长方形，并将这个长方形的涂上阴影。（每个方格的边长为1厘米）【分析】根据长方形对边相等，四个角
都是直角的特征即可画出一个长4厘米，宽3厘米的长方形；根据分数的意义，把所画的长方形的面积看作单位“1”，把它平均分成3份，每份是
这个图形的，表示其中1份涂色；据此即可解答。【解答】解：【点评】此题考查了长方形的特征及分数的意义。例2：快过年了，亮亮想亲手制作
2张梯形的新年卡片送给父母，我们一起帮助他制作梯形卡片吧。第一步：他已经在卡纸上画了一条长和一条宽，请你把这个长方形画完整。第二步
：请你在长方形中任意画一条线段得到2个梯形。【分析】（1）根据长方形的特征，相对的两边相等，并且平行，作出另外的两条边即可；（2）
根据梯形的特征，从长方形长边上的一个点，向对面的一条边连线即可。【解答】解：解答如下：（梯形画法不唯一）【点评】此题主要考查了长方
形的特征和梯形的特征，结合题意分析解答即可。例3：按照要求画图。（每个小方格的边长是1厘米）（1）画一个边长3厘米的正方形。（2）
画出一个周长是20厘米的长方形。（3）从所画图形中任选一个，用阴影涂出图形的。【分析】（1）画一个直角，以顶点为端点，分别在两条直
角边上取3cm长的线段，过端点分别作这两条边的平行线，据此可画图；（2）长方形的周长20厘米已知，依据长方形的周长公式即可求得这个
长方形的长和宽的和，进而可以确定出长和宽的值，从而在方格图中画出符合要求的长方形；（3）把正方形平均分成3份，涂色其中的1份就用表
示。【解答】解：如图：（3题答案不唯一）【点评】本题关键是在画图之前确定出长方形的长与宽及正方形的边长，按照要求画图即可。例4：按
要求画图，并涂色。（每个小正方形的边长表示1厘米）（1）画一个边长是2厘米的正方形。（2）画一个长3厘米、宽2厘米的长方形。（3）
涂色表示（1）题中正方形的。【分析】根据长方形和正方形的认识即可解答。【解答】解：【点评】本题主要考查长方形和正方形的认识。三、画
圆知识梳理圆规画圆步骤：1、把圆规的两脚分开，定好两脚间距离；2、把有针尖的一只脚固定在一点上；3、带有铅笔的那只脚绕点旋转一周．
常考题型：例1：画一个周长是18.84厘米的圆，圆规的两脚之间的距离应该是（ ）厘米．A、3?????????? B、6????
???? ?? C、9????? ???? D、12分析：圆规两脚之间的距离即这个圆的半径，由圆的周长公式即可解决问题．解：18.
84÷3.14÷2=3（厘米）；答：圆规的两脚之间的距离应该是3厘米．故选：A．点评：抓住圆规画圆的方法，利用C=2πr，即可解决
此类问题．例2：画一个直径是4cm的圆．分析：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，由此以点O为圆心，以4÷2=2厘米为半径，即可画
出这个圆．解：4÷2=2（厘米），以点O为圆心，以2厘米为半径，画圆如下：点评：此题考查了圆的画法，抓住圆的两大要素：圆心和半径即
可画圆．典例精析例1：如图方框中，以点O为圆心，画一个直径是4厘米的圆。【分析】直径是4厘米，半径就是4÷2＝2（厘米），以O为端
点画一条长2厘米的线段，再以O为圆心，以O到线段另一个端点的长为半径画圆即可。【解答】解：根据分析的作图方法画图如下：【点评】本题
考查了学生根据圆的直径求出半径，再画圆的作图能力。例2：画一个直径为4厘米的圆，分别用“O、r、d”标出圆心、半径、直径，并算出这
个圆的面积。【分析】由题意知，要画一个直径是4厘米的圆，首先确定圆的半径为4÷2＝2厘米，再依据画圆的方法画一个圆，并用字母标出它
的圆心O、半径r和直径d，然后根据圆的面积公式S＝πr2解答即可。【解答】解：以半径2厘米画圆如下图，即为直径是4厘米的圆：3.1
4×（4÷2）2＝3.14×4＝12.56（平方厘米）答：圆的面积是12.56平方厘米。【点评】解答此题要明确半径是2厘米，即画圆
时圆规两脚叉开的距离为2厘米。例3：（1）在正方形内画一个最大的圆，将其余部分涂上阴影。（2）计算图中阴影部分的面积是 3.44
平方厘米。【分析】（1）由题意可知：所画圆的直径应等于正方形的边长，从而可以画出符合要求的圆，并给圆与正方形之间的部分涂上阴影；
（2）然后根据正方形的面积计算公式求出正方形的面积，根据圆的面积计算公式求出圆的面积，用正方形的面积减去圆的面积即可。【解答】解：
（1）如图：（2）4×4﹣3.14×（4÷2）2＝16﹣3.14×22＝16﹣3.14×4＝16﹣12.56＝3.44（平方厘米）
答：阴影部分的面积是3.44平方厘米。故答案为：3.44。【点评】分析图形计算圆的半径，找出阴影部分面积的计算方法是解答本题的关键
。例4：（1）请你画一个长4cm，宽3cm的长方形，并在长方形内画一个最大的半圆。（2）这个半圆的周长是多少厘米？（3）把长方形和
半圆之间的部分涂上阴影，并计算阴影部分的面积。【分析】（1）先画两条垂线，以垂足为端点，分别截取4厘米和3厘米线段作为长和宽，再过
这两个端点作已知长和宽的平行线，即可画出长是4厘米，宽是3厘米的长方形，在长方形内画一个最大的半圆，这个半圆的直径等于长方形的长4
厘米；（2）根据半圆的周长＝πd÷2+d进行计算即可；（3）运用长方形的面积减去半圆的面积即可得到阴影部分的面积。【解答】解：（1
）画图如下：（2）3.14×4÷2+4＝12.56÷2+4＝6.28+4＝10.28（厘米）答：这个半圆的周长是10.28厘米。（
3）4×3﹣3.14×22÷2＝12﹣3.14×4÷2＝12﹣6.28＝5.72（平方厘米）答：面积是5.72平方厘米。【点评】本
题考查了学生的动手操作能力，考查了圆的周长及面积公式的应用。★ 拔高训练备考一．选择题（共8小题）1．如图，一共有两个小盒子，每个
小盒子里都装有一个整数。将这两个小盒子放进一个装有整数的大盒子里，在大盒子内“旅游一趟”，每个小盒子里的数都乘大盒子里所装的数，然
后打开取出小盒子，小盒子里的数就变为24、20。大盒子里的数可能是下列选项中的（ ）A．3B．4C．5D．82．奇思发现蟋蟀每分
钟叫的次数与气温有一定关系，下表是他通过实验记录的数据。按这个规律，气温18℃，蟋蟀每分钟叫（ ）次。气温/C12131415蟋
蟀每分钟叫的次数63707784A．87B．91C．98D．1053．在如图的方格纸中，以（ ）为圆心画圆，可以使点P、Q都在圆
上。A．点LB．点MC．点ND．点O4．在边长为10厘米的正方形内画一个最大的圆；在长10厘米、宽7厘米的长方形内画一个最大的圆。
这两个圆比较（ ）A．正方形内的圆大B．长方形内的圆大C．一样大5．要画一个直径是5厘米的圆，圆规两脚之间的距离是（ ）厘米。
A．2.5B．5C．10D．156．一张长2厘米，宽1厘米的长方形硬纸板，先将一个顶点对准直尺上的“0”，然后翻滚一周后，起点的位
置会落在（ ）A．B．C．7．要画一个直径是5厘米的圆，圆规两脚之间的距离是（ ）A．5厘米B．2.5厘米C．10厘米8．篮球
、乒乓球在1米高度自由落在大理石地面上，反弹结果是（ ）A．篮球高B．乒乓球高C．差不多高D．不能确定二．填空题（共10小题）9
．先画一个长8厘米，宽4厘米的长方形，再将它分成两个完全一样的小正方形，每个小正方形的周长是 。10．探索与实践：如图，用“
十字形”分割正方形，分割1次，分成了4个正方形；分割2次，分成了7个正方形（不计组合图形）；如果连续用“十字形”分割4次，分成了
个正方形；如果连续用“十字形”分割n次，分成了 个正方形。11．如图所示，一条直线最多可以把圆分成2小块，2条直线最多可以
把圆分成（2+2）块，3条直线最多可以把圆分成（2+2+3）块．以此类推，4条直线最多可以把圆分成 块，n条直线最多可以把圆分
成 块．12．一条绳子，折成相等的3段后，再折成相等的两折，然后从中间剪开，一共可以剪成 段．13．画圆时，圆规两脚间的距
离是2cm，画出的圆的半径是 cm，周长是 cm，面积是 cm2。14．在空白处画一个周长为12.56厘米的圆，
并在圆内画两条互相垂直的直径，然后依次连接这两条直径的四个端点，得到一个正方形，这个正方形的面积是 cm2．15．用圆规画一个
周长是9.42cm的圆，圆规两脚间的距离应是 cm，这个圆的面积是 ．16．有甲、乙两堆小球，甲堆小球比乙堆多，而且甲堆球
数比130多，但不超过200，从甲堆拿出与乙堆同样多的球放入乙堆中；第二次，从乙堆拿出与甲堆剩下的同样多的球放到甲堆中；…，如此继
续下去，挪动五次以后，发现甲、乙两堆的小球一样多．那么，甲堆原有小球 只．17．已知动点P以每秒2cm的速度沿图甲的边框按B→
C→D→E→F→A的路径移动，相应的△ABP的面积S与时间t之间的关系如图乙中的图象表示．若AB＝6cm，则图甲中的图形面积是
，图乙中的a与b的值分别是 ．18．在下面的点子图上按要求画图．（1）画一个长是4厘米，宽是3厘米的长方形．它的周长是
．（2）画一个边长是3厘米的正方形．它的周长是 ．三．判断题（共5小题）19．在一个长4分米，宽5分米的长方形内可画一个半径是
2分米的圆． 20．画长方形和正方形时，只应用了垂线的画法． 21．画边长3厘米的正方形时，只用量角器就可以画出来．
22．在一个正方形内画两个最大的圆，正方形边长的一半等于圆的直径。 23．用圆规画一个周长是78.5厘米的圆，圆规两脚间的距
离应为25厘米． 四．应用题（共7小题）24．如图．长方形ABCD中，AB＝12厘米，ED＝DA＝6厘米，小虫P从A出发，沿看
长方形的边依次向B，C，D以每秒1厘米的速度移动．（1）小虫P从A点出发几秒后，三角形APE是等腰直角三角形？（2）当小虫P到达C
时，另一只小虫Q以每秒2厘米的速度从A点出发．沿AB向B点移动，小虫Q从A点出发几秒后，四边形AQPE是梯形？25．利用圆规和直尺
，在下面的正方形中画一个最大的圆；然后，再在圆中画一个最大的正方形。（保留作图痕迹）26．画一个直径是4厘米的半圆，画出它的对称轴
，并计算出它的周长。27．公园里有一片梯形草地（如图），梯形上底是20m，下底是30m，高是10m。园艺设计师想在这片草地上设计一
个面积最大的半圆形花圃，请你画出来，并求这个花圃的面积。28．先画一个长4厘米，宽2厘米的长方形，再在里面画出一个最大的半圆，并计
算出这个半圆的周长．29．地上有四堆石子，石子数分别是1、9、15、31如果每次从其中的三堆同时各取出1个，然后都放入第四堆中，那
么，能否经过若干次操作，使得这四堆石子的个数都相同？（如果能请说明具体操作，不能则要说明理由）30．操作题．画一个长5厘米，宽3厘
米的长方形，并在里面画一个最大的半圆，并计算这个半圆的周长．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．【分析】两个小盒子里最后变
为的24和20，是由原来两个小盒子里的整数都去乘大盒子里的整数得来的，所以大盒子里的数是24和20的公因数，据此分析各选项的数，找
出正确的选项。【解答】解：3是24的因数，不是20的因数，所以3不是24和20的公因数，A选项错误；4是24的因数，也是20的因数
，所以4是24和20的公因数，B选项正确；5不是24的因数，是20的因数，所以5不是24和20的公因数，C选项错误；8是24的因数
，不是20的因数，所以8不是24和20的公因数，D选项错误。故选：B。【点评】解答此题需要掌握公因数意义并据此判断某个数是否是两个
数的公因数，此题文字较多，注意读懂题意。2．【分析】从统计表观察可知本题中的规律是：气温每上升1℃，蟋蟀每分钟叫的次数就会增加7次
，据此规律即可求出气温18℃时蟋蟀每分钟叫多少次。【解答】解：70﹣63＝7，77﹣70＝7……，也就是说气温每上升1℃，蟋蟀每分
钟叫的次数就会增加7次；63+（18﹣12）×7＝63+42＝105（次）答：气温18℃时，蟋蟀每分钟叫105次。故选：D。【点评
】本题的关键是认真观察找出：气温每上升1℃，蟋蟀每分钟鸣叫的次数会增加几次．然后按照这一规律，求出气温18℃时蟋蟀每分钟叫多少次。
3．【分析】根据圆的特点，圆心到圆上的距离相等，观察方格纸可知，只有点N到P、Q的距离相等。据此解答。【解答】解：由分析可知：以点
N为圆心画圆，可以使点P、Q都在圆上。故选：C。【点评】本题考查圆的特点，明确圆心到圆上的距离相等是解题的关键。4．【分析】根据题
意，在边长为10厘米的正方形内画一个最大的圆，圆的直径是10厘米；在长10厘米、宽7厘米的长方形内画一个最大的圆，圆的直径是7厘米
，所以这两个圆比较正方形内的圆大，据此解答即可。【解答】及鹅：在边长为10厘米的正方形内画一个最大的圆，圆的直径是10厘米；在长1
0厘米、宽7厘米的长方形内画一个最大的圆，圆的直径是7厘米，所以这两个圆比较正方形内的圆大。故选：A。【点评】本题考查了在长方形和
正方形内画圆的知识，结合题意解答即可。5．【分析】求题意可知，圆规两脚之间的距离就是求所画的圆的半径是多少，用直径除以2即可求解。
【解答】解：5÷2＝2.5（厘米）答：圆规两脚之间的距离是2.5厘米。故选：A。【点评】本题注意画圆时圆规两脚之间的距离即是所画圆
的半径。6．【分析】依据题意可知：翻滚一周后，起点会移动一个长方形的周长，由此根据长方形的周长＝（长+宽）×2，代入数据计算即可解
答。【解答】解：长方形硬纸板翻滚一周后，起点会移动一个长方形的周长，（2+1）×2＝3×2＝6（厘米）答：起点的位置会落在6厘米处
。故选：C。【点评】此题考查了对长方形周长的认识，关键是要牢记公式。7．【分析】由题意知，要求圆规两脚之间的距离是多少，就是求所画
圆的半径是多少，可用直径除以2求得．【解答】解：5÷2＝2.5（厘米）答：圆规两脚之间的距离是2.5厘米，故选：B．【点评】本题注
意画圆时圆规两脚之间的距离即是所画圆的半径．8．【分析】一般的标准比赛用的篮球在地板上的反弹高度为起始高度的；因此反弹结果：1×＝
（米）。乒乓球的反弹高度为起始高度的，因此反弹结果：1×（米）。因为＞，所以篮球高。【解答】解：篮球：1×＝（米）。 乒乓球：1×
（米）。 因为＞，所以篮球高.故选：A。【点评】作用于篮球上的力大，弹性高。二．填空题（共10小题）9．【分析】根据长方形、正方形
的定义即可画图，分成的两个正方形的边长必须是4厘米，据此画图。【解答】解：如图：4×4＝16（厘米）故答案为：16厘米。【点评】此
题主要考查指定边长的长方形、正方形的画法。10．【分析】根据题干分割1次，得到4个正方形，可以写成（1+1×3）个；分割2次得到7
个正方形，可写成（1+2×3）个……由此可得每分割一次就增加3个正方形，由此可得，分割n次，得到（1+3n）个正方形，由此即可解决
问题。【解答】解：分割1次，得到4个正方形，可以写成（1+1×3）个；分割2次得到7个正方形，可写成（1+2×3）个；……由此可得
每分割一次就增加3个正方形，分割4次得到正方形的个数：1+3×4＝1+12＝13（个）由此可得，分割n次，得到（1+3n）个正方形
。答：连续用“十字形”分割4次，分成了13个正方形；如果连续用“十字形”分割n次，分成了（1+3n）个正方形。故答案为：13，（1
+3n）。【点评】此类问题一般都要根据已知的图形中的数量特点找出变化的规律，得出一般的关系式进行解答。11．【分析】根据已知的一条
直线、2条直线、3条直线把这个圆分成的情况，归纳总结出规律，再依照规律进行解答即可解决问题．【解答】解：1条直线分平面为2（块）2
条直线分平面为2+2＝4（块）3条直线分平面为2+2+3＝7（块）依此类推，4条直线最多可以把圆分成2+2+3+4＝11（块），…
，则n条直线最多可以把圆分成2+2+3+4+5+…+n＝1+（块）答：4条直线最多可以把圆分成 11块，n条直线最多可以把圆分成1
+块．故答案为：11；1+．【点评】本题关键是先通过特殊的情况研究，从而得出一般的规律；这是我们研究问题常用的方法，希望同学们掌握
．12．【分析】将绳折成3段再对折，相当于折成6段，一刀与这6段有6个交叉点，将绳分成7段．【解答】解：3×2+1＝7（段）故答案
为：7．【点评】本题属于截木头类型，需要注意6个交叉点就相当于剪了6次，那么剪得段数还要再加1．13．【分析】圆规两脚之间的距离即
这个圆的半径，由圆的周长公式及民间故事即可解决问题。【解答】解：3.14×2×2＝125.56（厘米）3.14×2°＝12.56（
平方厘米）答：画圆时，圆规两脚间的距离是2cm，画出的圆的半径是2cm，周长是12.56cm，面积是12.56cm2。故答案为：2
，12，56，12，56。【点评】本题考查了圆的周长公式C＝2πr和面积公式S＝πr2的应用。14．【分析】先根据圆的周长求出圆的
半径，由半径画出我们所需的圆，然后画两条相互垂直的直径，最后依次连接这两条直径的四个端点，得到一个正方形，再根据圆的内接四边形和小
三角形的关系求出正方形的面积来．【解答】解：由题意知，周长为12.56厘米的圆的半径为：12.56÷π÷2，＝12.56÷3.14
÷2，＝2（厘米）；半径为2厘米的圆如下图所示：在圆中两条互相垂直的直径如下图所求：依次连接这两条直径的四个端点，得到一个正方形如
下图所示：可见，这个正方形是由四个小三角形组成的，且小三角形的面积两条直角边已知，正方形的面积：4×（2×2÷2）＝8（平方厘米）
，答：这个正方形的面积是8平方厘米．故答案为：8．【点评】此题考查了根据圆的周长求圆的半径，并考查了学生的作图能力，以及如何根据图
求圆内接正方形的面积．15．【分析】圆规两脚间的距离即圆的半径．所画圆的周长已知，根据圆周长计算公式“C＝2πr”，即可求出所画圆
的半径．根据圆面积计算公式“S＝πr2”即可求出所画圆的面积．【解答】解：9.42÷3.14÷2＝3÷2＝1.5（cm）3.14×
1.52＝3.14×2.25＝7.065（cm2）答：圆规两脚间的距离应是1.5cm，这个圆的面积是7.065cm2．故答案为：1
.5，7.065cm2．【点评】解答此题的关键是圆周长计算公式、圆面积计算公式的灵活运用．16．【分析】先列表找出甲乙两堆球移动5
次后的情况，再根据最后相等找出原来甲乙两堆球的比例关系．然后根据甲堆球的范围130﹣﹣200之间进行求解．【解答】解：设甲乙原有小
球数为a和b，五次挪动的情况如下表：开始12345甲aa﹣b2a﹣2b3a﹣5b6a﹣10b11a﹣21b乙b2b3b﹣a6b﹣2
a11b﹣5a﹣10a+22b故有11a﹣21b＝22b﹣10a，于是21a＝43b，即a：b＝43：21．注意到小球个数是整数，
且130＜a≤200，且a+b应为偶数（否则不能平分）．于是有a：b＝86：42＝172：84，所以a＝172．故答案为：172．
【点评】抓住最后的数量相等，找出原来两堆球数量之间的关系，再根据取值范围得出结论．17．【分析】根据图例知：图中P点的运动与相应的
△ABP的面积S与时间t之间的关系用图乙来表示，从图中可知，当P运动4秒是到达C点中，这是BC的长度就是2×4厘米，P从C点运动到
D点用了6﹣4秒，CD的长度就是（6﹣4）×2厘米，P点从D运动到E用了9﹣6秒，DE和长度就是（9﹣6）×2厘米，EF和长度就是
AB﹣CD，AF的长度就是BC+DE．据此解答．【解答】解：根据以上分析知：BC的长度是：2×4＝8（厘米），CD的长度是：（6﹣
4）×2，＝2×2，＝4（厘米），DE的长度是：（9﹣6）×2，＝3×2，＝6（厘米），EF＝AB﹣CD＝6﹣4＝2（厘米），AF
＝BC+DE＝8+6＝14（厘米），图甲的面积是：6×8+6×2，＝48+12，＝60（平方厘米），a的值是：×AB×BC，＝×6
×8，＝24（平方厘米），b的值是：9+2÷2+14÷2，＝9+1+7，＝17（秒）．答：甲中的图形面积是60平方厘米，图乙中的a
与b的值分别是24平方厘米，17秒．故答案为：60平方厘米，24平方厘米，17秒．【点评】本题的关键是让学生看明白图乙中P点的移动
规律．18．【分析】①长方形的周长＝（长+宽）×2，据此代入数据即可解答．②根据正方形的周长＝边长×4，解答即可．【解答】解：①长
方形周长是：（3+4）×2＝14（厘米）②正方形周长：3×4＝12（厘米）【点评】此题主要考查长方形、正方形的周长公式的计算应用．
三．判断题（共5小题）19．【分析】长方形内最大圆的特点是圆的直径是这个长方形的最短边，由此即可进行判断．【解答】解：长4分米，宽
是5分米的长方形内最大的圆的直径是4分米，即半径最大是2分米，所以在这个长方形内可以画出一个半径是2分米的圆，所以原题说法正确；故
答案为：√．【点评】抓住长方形内最大的圆是以这个长方形的最短边为直径的圆，是解决此类问题的关键．20．【分析】根据长方形和正方形的
特征是：都有四条边，相对的两条边相等（正方形四条边都相等），有四个角，四个角都是直角，即相邻的两边互相垂直；不仅应用了垂线的画法，
还应用了对边相等，由此解答即可．【解答】解：画长方形和正方形时，不仅用了画垂线的画法，还根据长方形相对的两条边相等和正方形四条边都
相等的特征，说法错误．故答案为：×．【点评】此题考查了长方形和正方形的特征和垂线的性质．21．【分析】画边长3厘米的正方形时，需要
确定边的长度，量角器无法测量或绘制线段的长度，据此判断．【解答】解：画边长3厘米的正方形时，需要确定边的长度，量角器无法测量或绘制
线段的长度，所以原题说法错误．故答案为：×．【点评】本题主要考查了画指定边长的正方形，需要学生熟知各种工具的使用．22．【分析】在
一个正方形内画两个最大的圆，圆的直径等于正方形边长的一半，据此解答即可。【解答】解：如图：在一个正方形内画两个最大的圆，圆的直径等
于正方形边长的一半。故答案为：√。【点评】此题考查了在一个正方形内画2个最大的圆，怎样确定半径（直径）的长度，结合题意分析解答即可
。23．【分析】圆规两脚之间的距离即所画圆的半径．根据圆周长计算公式“C＝2πr”，周长78.5厘米的圆半径是78.5÷3.14÷
2＝12.5（厘米），即用圆规画一个周长是78.5厘米的圆，圆规两脚间的距离应为12.5厘米．【解答】解：78.5÷3.14÷2＝
12.5（厘米），即用圆规画一个周长是78.5厘米的圆，圆规两脚间的距离应为12.5厘米原题说法错误．故答案为：×．【点评】圆规两
脚之间的距离即所画圆的半径，不是直径．四．应用题（共7小题）24．【分析】（1）由图可知：当小虫P爬到和B点重合时，三角形APE第
一次成为等腰直角三角形；当爬到CD边的中点时，三角形APE第二次成为等腰直角三角形；然后求出A点到B点的距离及A点到CD中点的距离
，进而根据：路程÷速度＝时间，分别解答即可；（2）当DP∥AQ时，AQPE就是梯形，可设小虫Q从A点出发x秒后四边形AQPE是梯形
，列式为12﹣x＝2x，解答即可．【解答】解：（1）如图：当小虫P爬到和B点重合时，三角形APE第一次成为等腰直角三角形，需要：1
2÷1＝12（秒）；当爬到CD边的中点时，三角形APE第二次成为等腰直角三角形，需要：（12+6+6）÷1＝24÷1＝24（秒）；
答：小虫P从A点出发12秒后，三角形APE第一次成为等腰直角三角形；经过24秒后，三角形APE第二次成为等腰直角三角形．（2）如图
：可设小虫Q从A点出发x秒后四边形AQPE是梯形，12﹣x＝2x 3x＝12 x＝4答：小虫Q从A点出发4秒后，四边形AQPE是梯
形．【点评】明确当小虫P爬到和B点重合时，三角形APE第一次成为等腰直角三角形；当爬到CD边的中点时，三角形APE第二次成为等腰直
角三角形；是解答此题的关键．25．【分析】根据画圆时“圆心定位置，半径定大小”，画出这个正方形的两条对角线（或对边中点的连线），以
两线的交点为圆心，再以这个正方形边长的一半为半径画的圆就是正方形最大的圆；在圆内画两条互相垂直的直径，顺次连接两个直径的端点得到的
四边形就是圆内最大的正方形。【解答】解：【点评】画圆时有两要素，即圆心、半径；正方形内最的圆直径等于正方形的边长；圆内最大正方形的
对角线等于圆的直径。26．【分析】（1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，由此以点O为圆心，以4÷2＝2厘米为半径画半圆，并画出
它的对称轴；（2）半圆的周长＝πr+r，由此代入数据即可解答。【解答】解：以点O为圆心，以4÷2＝2厘米为半径画半圆，并画出它的对
称轴如图所示： 这个半圆的周长是：3.14×2+4＝10.28（厘米）答：这个半圆的周长是10.28厘米。【点评】此题考查了利用圆
的两大要素：圆心与半径画半圆的方法，以及半圆的周长公式的计算应用。27．【分析】在梯形里画最大的半圆，半圆的半径与梯形的高相等即可
，利用半圆的面积公式S＝πr2÷2代入数据计算即可。【解答】解：如图：3.14×102÷2＝314÷2＝157（平方米）答：这个花
圃的面积是157平方米。【点评】解答此题的关键是理解半圆最大半径与梯形各边的关系。28．【分析】（1）先画两条垂线，以垂足为端点，
分别截取4厘米和2厘米线段作为长和宽，再过这两个端点作已知长和宽的平行线，即可画出长是4厘米，宽是2厘米的长方形，长方形内最大的半
圆的直径等于长方形的长4厘米；以长方形的一条长的中点为圆心，以2厘米长为半径，即可画出这个半圆．（2）由此利用半圆的周长＝所在圆的
周长的一半+直径的长度，即可解答．【解答】解：（1）根据题干分析可以画图如下：（2）3.14×4÷2+4，＝6.28+4，＝10.28（厘米），答：这个半圆的周长是10.28厘米．【点评】此题考查了长方形内最大的半圆的特点以及半圆的周长的计算方法．29．【分析】由题意可知，1、9、15、31这四个数为奇数，这四堆石子共有1+9+15+31＝56个，由于56÷4＝14个，14是一个偶数，1和3都为奇数，根据数和的奇偶性可知，奇数±奇数＝偶数，偶数±奇数＝奇数，即因为每操作一次改变一次奇偶性，即：第奇次操作后每堆数量是偶数，第偶次操作后每堆数量是奇数；所以，需要奇数次操作后才有可能每堆数量相等；又因为，它们除以3的余数分别是1，0，0，1，结果都是2；而每一次操作后有奇数堆（3堆）改变余数结果，所以，要有偶数堆改变余数结果需要偶数次操作，在本题中，4堆都要改变，所以需偶数次操作矛盾，所以结果是不可能的．【解答】解：因为总数为1+9+15+31＝56，56÷4＝14，14是一个偶数；1和3都为奇数，根据数和的奇偶性可知，每操作一次改变一次奇偶性，即：第奇次操作后每堆数量是偶数，第偶次操作后每堆数量是奇数所以，需要奇数次操作后才有可能每堆数量相等；又它们除以3的余数分别是1，0，0，1，结果都是2；而每一次操作后有奇数堆（3堆）改变余数结果，所以，要有偶数堆改变余数结果需要偶数次操作，在本题中，4堆都要改变，所以需偶数次操作矛盾，所以结果是不可能的．【点评】在求出平均数的基础上，根据数的奇偶性进行分析是完成本题的关键．30．【分析】（1）先画两条垂线，以垂足为端点，分别截5厘米和3厘米线段作为长和宽，再过这两个端点作已知长和宽的平行线，即可画出长是5厘米，宽是3厘米的长方形，长方形内最大的半圆的直径等于长方形的长5厘米；以长方形的一条长的中点为圆心，以2.5厘米长为半径，即可画出这个半圆．（2）由此利用半圆的周长＝所在圆的周长的一半+直径的长度，即可解答．【解答】解：（1）根据题干分析可以画图如下：（2）3.14×5÷2+5＝7.85+5＝12.85（厘米），答：这个半圆的周长是12.85厘米．【点评】此题考查了长方形内最大的半圆的特点以及半圆的周长的计算方法．学科网（北京）股份有限公司 zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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