2020年江苏高考数学试题及答案

2020 年 江 苏 高 考 数 学 试 题 及 答 案数 学 Ⅰ注 意 事 项考 生 在 答 题 前 请 认 真 阅 读 本 注 意 事 项 及 各 题 答 题 要 求1． 本 试 卷 共 4 页 ， 均 为 非 选 择 题 (第 1题 ~第 20题 ， 共 20 题 )。 本 卷 满 分 为 160分 ， 考 试 时 间 为 120 分 钟 。考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回 。2． 答 题 前 ， 请 务 必 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 用 0.5毫 米 黑 色 墨 水 的 签 字 笔 填 写 在 试 卷 及 答 题 卡 的 规 定 位置 。

3． 请 认 真 核 对 监 考 员 从 答 题 卡 上 所 粘 贴 的 条 形 码 上 的 姓 名 、 准 考 证 号 与 本 人 是 否 相 符 。4． 作 答 试 题 ， 必 须 用 0.5 毫 米 黑 色 墨 水 的 签 字 笔 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 作 答 ， 在 其 他 位 置 作 答 一 律 无 效 。5． 如 需 作 图 ， 须 用 2B 铅 笔 绘 、 写 清 楚 ， 线 条 、 符 号 等 须 加 黑 、 加 粗 。参 考 公 式 ：柱 体 的 体 积 V Sh? ， 其 中 S 是 柱 体 的 底 面 积 ， h是 柱 体 的 高 ．一 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 计 70分 ． 请 把 答 案 填 写 在 答 题 卡 相 应 位 置 上． ． ． ． ． ． ． ． ．1． 已 知 集 合 { 1,0,1,2}, {0,2,3}A B? ? ? ， 则 A B ?? ▲ ．2． 已 知 i是 虚 数 单 位 ， 则 复 数 (1 i)(2 i)z ? ? ? 的 实 部 是 ▲ ．

3． 已 知 一 组 数 据 4,2 ,3 ,5,6a a? 的 平 均 数 为 4， 则 a的 值 是 ▲ ．4． 将 一 颗 质 地 均 匀 的 正 方 体 骰 子 先 后 抛 掷 2 次 ， 观 察 向 上 的 点 数 ， 则 点 数 和 为 5 的 概 率 是 ▲ ．5． 如 图 是 一 个 算 法 流 程 图 ， 若 输 出 y 的 值 为 2? ， 则 输 入 x的 值 是 ▲ ．

6． 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 若 双 曲 线 2 22 1 05 ( )x y aa ? ? ? 的 一 条 渐 近 线 方 程 为 52y x? ， 则 该 双 曲 线 的 离

心 率 是 ▲ ．7． 已 知 y=f(x)是 奇 函 数 ， 当 x≥ 0 时 ， ? ? 23?f x x? ， 则 ? ?8f ? 的 值 是 ▲ ．8． 已 知 2sin ( )4 ?? ? =23， 则 sin2? 的 值 是 ▲ ．9． 如 图 ， 六 角 螺 帽 毛 坯 是 由 一 个 正 六 棱 柱 挖 去 一 个 圆 柱 所 构 成 的 ． 已 知 螺 帽 的 底 面 正 六 边 形 边 长 为 2cm，高 为 2cm， 内 孔 半 轻 为 0.5 cm， 则 此 六 角 螺 帽 毛 坯 的 体 积 是 ▲ cm.

10． 将 函 数 πsin(3 2 )4y x? ﹢ 的 图 象 向 右 平 移 π6个 单 位 长 度 ， 则 平 移 后 的 图 象 中 与 y 轴 最 近 的 对 称 轴 的 方 程 是▲ ．11． 设 {an}是 公 差 为 d 的 等 差 数 列 ， {bn}是 公 比 为 q的 等 比 数 列 ． 已 知 数 列 {an+bn}的 前 n项 和2 2 1( )nnS n n n ?? ? ? ? ?N ， 则 d+q 的 值 是 ▲ ．12． 已 知 2 2 45 1( , )x y y x y? ? ?R ， 则 2 2x y? 的 最 小 值 是 ▲ ．13． 在 △ ABC中 ， 4 3 =90AB AC BAC? ? ?， ， ∠ ， D在 边 BC上 ， 延 长 AD到 P， 使 得 AP=9， 若 3( )2PA mPB m PC? ? ????? ???? ????（ m 为 常 数 ） ， 则 CD的 长 度 是 ▲ ．

14． 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 已 知 3( 0)2P ， ， A， B是 圆 C： 2 21( ) 362x y? ? ? 上 的 两 个 动 点 ， 满 足 PA PB? ，则 △ PAB面 积 的 最 大 值 是 ▲ ．二 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6小 题 ， 共 计 90分 ， 请 在 答 题 卡 指 定 区 域． ． ． ． ． ． ． 内 作 答 ， 解 答 时 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程或 演 算 步 骤 ．15． （ 本 小 题 满 分 14 分 ）在 三 棱 柱 ABC－ A

1B1C1中 ， AB⊥ AC， B1C⊥ 平 面 ABC， E， F分 别 是 AC， B1C 的 中 点 ．（ 1） 求 证 ： EF∥ 平 面 AB1C1；

（ 2） 求 证 ： 平 面 AB1C⊥ 平 面 ABB1．

16． （ 本 小 题 满 分 14 分 ）在 △ ABC中 ， 角 A， B， C的 对 边 分 别 为 a， b， c， 已 知 3, 2, 45a c B? ? ? ?．（ 1） 求 sinC 的 值 ；（ 2） 在 边 BC 上 取 一 点 D， 使 得 4cos 5ADC? ?? ， 求 tan DAC∠ 的 值 ．

17． （ 本 小 题 满 分 14分 ）某 地 准 备 在 山 谷 中 建 一 座 桥 梁 ， 桥 址 位 置 的 竖 直 截 面 图 如 图 所 示 ： 谷 底 O在 水 平 线 MN 上 ， 桥 AB与 MN平 行 ， OO?为 铅 垂 线 (O?在 AB上 )． 经 测 量 ， 左 侧 曲 线 AO 上 任 一 点 D 到 MN 的 距 离 1h (米 )与 D 到 OO?的距 离 a(米 )之 间 满 足 关 系 式 21 140h a? ； 右 侧 曲 线 BO上 任 一 点 F 到 MN的 距 离 2h (米 )与 F 到 OO?的 距 离b(米 )之 间 满 足 关 系 式 32 1 6800h b b?? ? .已 知 点 B 到 OO?的 距 离 为 40 米 ．（ 1） 求 桥 AB的 长 度 ；（ 2） 计 划 在 谷 底 两 侧 建 造 平 行 于 OO?的 桥 墩 CD和 EF， 且 CE 为 80 米 ， 其 中 C， E 在 AB 上 (不 包 括 端 点 )． .

桥 墩 EF 每 米 造 价 k(万 元 )、 桥 墩 CD 每 米 造 价 32k (万 元 )(k>0)， 问 O E? 为 多 少 米 时 ， 桥 墩 CD与 EF 的 总造 价 最 低 ？

18． （ 本 小 题 满 分 16 分 ）在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 已 知 椭 圆 2 2: 14 3x yE ? ? 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1， F2， 点 A 在 椭 圆 E 上 且 在第 一 象 限 内 ， AF2⊥ F1F2， 直 线 AF1与 椭 圆 E 相 交 于 另 一 点 B．

（ 1） 求 1 2AFF△ 的 周 长 ；（ 2） 在 x 轴 上 任 取 一 点 P， 直 线 AP与 椭 圆 E的 右 准 线 相 交 于 点 Q， 求 OP QP????? ????的 最 小 值 ；（ 3） 设 点 M 在 椭 圆 E 上 ， 记 OAB△ 与 MAB△ 的 面 积 分 别 为 S1， S2， 若 2 13S S? ， 求 点 M的 坐 标 ．19． （ 本 小 题 满 分 16 分 ）已 知 关 于 x 的 函 数 ( ), ( )y f x y g x? ? 与 ( ) ( , )h x kx b k b? ? ?R 在 区 间 D 上 恒 有 ( ) ( ) ( )f x h x g x? ? ．（ 1） 若 ? ? ? ?2 22 ? 2 ( )f x x x g x x x D? ? ? ? ? ? ??? ?， ， ， ， 求 h(x)的 表 达 式 ；（ 2） 若 2? 1 ? ln ? ,( ) ( ) ( ) (0 )?x x g k x h kx k Df x x x? ? ? ? ? ? ? ??， ， ， ， 求 k 的 取 值 范 围 ；

（ 3） 若 ? ?4 2 2 3 4 2( ) ? 2 ( ) ? (4 8? ( ) ?4 ?3 ? 0 )2 ? 2f x x x g x x h x t t x t t t? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ， ， ? ?? ,? 2, 2D m n? ? ?? ?? ?， 求 证 ：7n m? ? ．20． （ 本 小 题 满 分 16 分 ）

已 知 数 列 ? ?( )na n? N 的 首 项 a1=1， 前 n项 和 为 Sn． 设 λ 与 k 是 常 数 ， 若 对 一 切 正 整 数 n， 均 有1 111 1k kkn n nS S a?? ?? ? 成 立 ， 则 称 此 数 列 为 “ λ ～ k” 数 列 ．（ 1） 若 等 差 数 列 ? ?na 是 “ λ ～ 1” 数 列 ， 求 λ 的 值 ；（ 2） 若 数 列 ? ?na 是 “ 3 ~23 ” 数 列 ， 且 0na ? ， 求 数 列 ? ?na 的 通 项 公 式 ；（ 3） 对 于 给 定 的 λ ， 是 否 存 在 三 个 不 同 的 数 列 ? ?na 为 “ λ ～ 3” 数 列 ， 且 0na ? ？ 若 存 在 ， 求 λ 的 取 值范 围 ； 若 不 存 在 ， 说 明 理 由 ． 数 学 Ⅰ 试 题 参 考 答 案

一 、 填 空 题 :本 题 考 查 基 础 知 识 、 基 本 运 算 和 基 本 思 想 方 法 .每 小 题 5 分 ,共 计 70 分 .1． {0,2} 2． 3 3． 2 4． 19 5． 3?6． 32 7． 4? 8． 13 9． 12 3 2?? 10． 524x ???11． 4 12． 45 13． 185 或 0 14． 10 5二 、 解 答 题15． 本 小 题 主 要 考 查 直 线 与 直 线 、 直 线 与 平 面 、 平 面 与 平 面 的 位 置 关 系 等 基 础 知 识 ,考 查 空 间 想 象 能 力 和 推理 论 证 能 力 .满 分 14分 .证 明 ： 因 为 ,E F 分 别 是 1,AC BC 的 中 点 ， 所 以 1EF AB∥ .

又 /EF ?平 面 1 1ABC ， 1AB ?平 面 1 1ABC ，所 以 EF∥ 平 面 1 1ABC .（ 2） 因 为

1BC ?平 面 ABC ， AB?平 面 ABC ,所 以 1BC AB? .又 AB AC? , 1BC ?平 面 1 1ABC , AC ?平 面 1ABC , 1 ,BC AC C??

所 以 AB ?平 面 1ABC .又 因 为 AB?平 面 1ABB ,所 以 平 面 1ABC ?平 面 1ABB .16． 本 小 题 主 要 考 查 正 弦 定 理 、 余 弦 定 理 、 同 角 三 角 函 数 关 系 、 两 角 和 与 差 的 三 角 函 数 等 基 础 知 识 ， 考 查运 算 求 解 能 力 .满 分 14 分 .解 ： （ 1） 在 ABC△ 中 ， 因 为 3, 2, 45a c B? ? ? ?，由 余 弦 定 理 2 2 2 2 cosb a c ac B? ? ? ， 得 2 9 2 2 3 2cos45 5b ? ? ? ? ? ?? ，所 以 5b ? .在 ABC△ 中 ， 由 正 弦 定 理 sin sinb cB C? ，

得 5 2=sin45 sinC? ，所 以 5sin .5C ?（ 2） 在 ADC△ 中 ， 因 为 4cos 5ADC? ?? ,所 以 ADC? 为 钝 角 ，而 180ADC C CAD? ?? ?? ? ?,所 以 C? 为 锐 角 .故 2 2 5cos 1 sin ,5C C? ? ? 则 sin 1tan cos 2CC C? ? .因 为 4cos 5ADC? ?? ， 所 以 2 3sin 1 cos 5ADC ADC? ? ? ? ? ， sin 3tan cos 4ADCADC ADC?? ? ??? .从 而3 1tan( ) 24 2tan tan(180 ) tan( )= = =3 11 tan tan 111 ( )4 2ADC CADC ADC C ADC C ADC C ? ?? ??? ? ??? ?? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?

.17． 本 小 题 主 要 考 查 函 数 的 性 质 、 用 导 数 求 最 值 、 解 方 程 等 基 础 知 识 ， 考 查 直 观 想 象 和 数 学 建 模 及 运 用 数学 知 识 分 析 和 解 决 实 际 问 题 的 能 力 .满 分 14 分 .解 ： （ 1） 设 1 1 1 1, , ,AA BB CD EF 都 与 MN 垂 直 ， 1 1 1 1, , ,A B D F 是 相 应 垂 足 .由 条 件 知 ， 当 40O''B ? 时 ，31 1 40 6 40 160,800BB ?? ? ? ? ? 则 1 160AA ? .由 21 160,40O''A ? 得 80.O''A?所 以 80 40 120AB O''A O''B? ? ? ? ? （ 米 ） .

（ 2） 以 O为 原 点 ， OO'' 为 y轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 xOy （ 如 图 所 示 ） .设 2( , ), (0,40),F x y x? 则 32 1 6 ,800y x x?? ?32 1160 160 6800EF y x x? ? ? ? ? .因 为 80,CE ? 所 以 80O''C x? ? .设 1( 80, ),D x y? 则 21 1 (80 ) ,40y x? ?所 以 2 21 1 1160 160 (80 ) 4 .40 40CD y x x x? ? ? ? ? ?? ?记 桥 墩 CD和 EF 的 总 造 价 为 ( )f x ，

则 3 23 21 3 1( )= (160 6 ) ( 4 )800 2 401 3( 160)(0 40).800 80f x k x x k x xk x x x? ? ? ? ?? ? ? ? ?23 3 3( )= ( 160) ( 20)800 40 800kf x k x x x x? ? ? ? ? ，令 ( )=0f x? ， 得 20.x ?所 以 当 20x ? 时 ， ( )f x 取 得 最 小 值 .答 ： （ 1） 桥 AB 的 长 度 为 120米 ；

（ 2） 当 O''E为 20米 时 ， 桥 墩 CD和 EF 的 总 造 价 最 低 .18． 本 小 题 主 要 考 查 直 线 方 程 、 椭 圆 方 程 、 椭 圆 的 几 何 性 质 、 直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系 、 向 量 数 量 积 等 基 础知 识 ， 考 查 推 理 论 证 能 力 、 分 析 问 题 能 力 和 运 算 求 解 能 力 .满 分 16分 .解 ： （ 1） 椭 圆 2 2: 14 3x yE ? ? 的 长 轴 长 为 2a ， 短 轴 长 为 2b， 焦 距 为 2c ，则 2 2 24, 3, 1a b c? ? ? .所 以 1 2AFF△ 的 周 长 为 2 2 6a c? ? .

（ 2） 椭 圆 E 的 右 准 线 为 4x ? .设 ( ,0), (4, )P x Q y ，则 ( ,0), ( 4, )OP x QP x y? ? ? ????? ???? ，2( 4) ( 2) 4 4,OP QP x x x? ? ? ? ? ? ?????? ????在 2x ? 时 取 等 号 .所 以 OP QP????? ????的 最 小 值 为 4? .

（ 3） 因 为 椭 圆 2 2: 14 3x yE ? ? 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 1 2,F F ， 点 A在 椭 圆 E 上 且 在 第 一 象 限 内 ， 2 1 2AF FF⊥ ，则 1 2 3( 1,0), (1,0), (1, )2F F A? .所 以 直 线 :3 4 3 0.AB x y? ? ?设 ( , )M x y ， 因 为 2 13S S? ， 所 以 点 M 到 直 线 AB 距 离 等 于 点 O到 直 线 AB 距 离 的 3 倍 .由 此 得 |3 4 3| |3 0 4 0 3|35 5x y? ? ? ? ? ?? ? ，则 3 4 12 0x y? ? ? 或 3 4 6 0x y? ? ? .由 2 23 4 12 0,14 3x yx y? ? ???? ? ??? 得 27 24 32 0x x? ? ? ， 此 方 程 无 解 ；

由 2 23 4 6 0,14 3x yx y? ? ???? ? ??? 得 27 12 4 0x x? ? ? ， 所 以 2x ? 或 27x ?? .代 入 直 线 :3 4 6 0l x y? ? ? ， 对 应 分 别 得 0y ? 或 127y ?? .因 此 点 M 的 坐 标 为 (2,0)或 2 12( , )7 7? ? .19． 本 小 题 主 要 考 查 利 用 导 数 研 究 函 数 的 性 质 ， 考 查 综 合 运 用 数 学 思 想 方 法 分 析 与 解 决 问 题 以 及 逻 辑 推 理能 力 .满 分 16分 .

解 :（ 1） 由 条 件 ( ) ( ) ( )f x h x g x? ? ， 得 2 22 ?2x x kx b x x? ? ? ?? ? ，取 0x ? ， 得 0 0b? ? ， 所 以 0b? ．由 2 2x x kx? ? ， 得 2 2?( ) 0x k x? ? ? ， 此 式 对 一 切 ( , )x? ?? ?? 恒 成 立 ，所 以 22? 0( )k? ? ， 则 2k ? ， 此 时 22 2x x x?? ? 恒 成 立 ，所 以 ( ) 2h x x? ．（ 2） ? ? 1? ln ,( ) ( ) ( ) ( )0,h g x k x xx x? ? ? ? ? ?? .令 ( ) ? 1 lnu x x x? ? ? ， 则 1( ) 1 ,u'' x x? ? 令 ( )=0u'' x ， 得 1x ? .

所 以 min( ) ? 0(1)u x u? ? .则 1 lnx x? ? 恒 成 立 ，所 以 当 且 仅 当 0k ? 时 ， ( ) ( )f x g x? 恒 成 立 ．另 一 方 面 ， ( ) ( )f x h x? 恒 成 立 ， 即 2 1x x kx k? ? ? ? 恒 成 立 ，也 即 2 ( )1? 1?+ 0x k x k? ? ? ? 恒 成 立 ．因 为 0k ? ， 对 称 轴 为 1 02kx ?? ? ，所 以 21 41) 0( ( )k k? ? ? ? ， 解 得 1 3k? ? ? ．因 此 ， k的 取 值 范 围 是 0 3.k? ?

（ 3） ① 当 1 2t? ? 时 ，由 ( ) ( )g x h x? ， 得 2 3 4 24 8 4( ) 3 2x t t x t t? ? ? ? ? ， 整 理 得4 22 3 3 2 8( ) 0.( )4t tx t t x ? ?? ? ? ? ?令 3 2 4 2=( ) (3 2 8),t t t t? ?? ? ? 则 6 4 2= 5 3 8t t t? ? ? ? ．记 6 4 25 3( ) 1 ),28(t t tt t? ? ? ?? ? ?则 5 3 2 220 6 2 (3 1)( 3( ) ) 06t t t t t t'' t? ? ? ? ? ? ?? 恒 成 立 ，所 以 ( )t? 在 [1,? 2]上 是 减 函 数 ， 则 ( 2) ( ) (1)t? ? ?? ? ， 即 2 ( ) 7t?? ? ．

所 以 不 等 式 ( )? 有 解 ， 设 解 为 1 2x x x? ? ，因 此 2 1 7n m x x ?? ? ? ? ? ．② 当 0 1t? ? 时 ， 4 3 2( ) ( )1 1 ?3 4 2 4 1f h t t t t? ? ? ? ? ? ? ? ．设 4 3 2?=?3 4 2( 4 1) t t t tv t ? ? ? ? ， 3 2 2? ( )=12 12 4 4 4( 1)(3 1),v'' t t t t t t? ? ? ? ? ?令 ( ) 0v t? ? ， 得 33t ? ．当 33(0 )t? ， 时 ， ( ) 0v t? ? ， ( )v t 是 减 函 数 ；

当 ( 1)33t? ， 时 ， ( ) 0v t? ? ， ( )v t 是 增 函 数 ．(0) 1v ?? ， (1) 0v ? ， 则 当 0 1t? ? 时 ， ( ) 0v t ? ．（ 或 证 ： 2( ) ( 1) (3 1)( 1) 0v t t t t? ? ? ? ? ． ）则 ( 1) ( 1) 0f h? ? ? ? ， 因 此 1 ( )m n? ? ， ．因 为 2 2m n ?［ ］ ［ - ，， ］ ， 所 以 2 1 7n m? ? ? ? ．③ 当 2 0t? ? ? 时 ， 因 为 ( )f x ， ( )g x 均 为 偶 函 数 ， 因 此 7n m? ? 也 成 立 ．综 上 所 述 ， 7n m? ? ．

20． 本 小 题 主 要 考 查 等 差 和 等 比 数 列 的 定 义 、 通 项 公 式 、 性 质 等 基 础 知 识 ， 考 查 代 数 推 理 、 转 化 与 化 归 及综 合 运 用 数 学 知 识 探 究 与 解 决 问 题 的 能 力 ． 满 分 16分 ．解 ： （ 1） 因 为 等 差 数 列 { }na 是 “ λ ～ 1” 数 列 ， 则 1 1n n nS S a?? ?? ? ， 即 1 1n na a?? ?? ，也 即 1( 1) 0na? ?? ? ， 此 式 对 一 切 正 整 数 n均 成 立 ．若 1? ? ， 则 1 0na ? ? 恒 成 立 ， 故 3 2 0a a? ? ， 而 2 1 1a a? ?? ，这 与 { }na 是 等 差 数 列 矛 盾 ．所 以 1? ? ． （ 此 时 ， 任 意 首 项 为 1的 等 差 数 列 都 是 “ 1～ 1” 数 列 ）

（ 2） 因 为 数 列 { }( )na n?N 是 “ 3~23 ” 数 列 ，所 以 1 133n n nS S a? ?? ? ， 即 1 133n n n nS S S S? ?? ? ? ．

因 为 0na ? ， 所 以 1 0n nS S? ? ? ， 则 1 131 13n nn nS SS S? ?? ? ? ．令 1n nnS bS? ? ， 则 231 13n nb b? ? ? ， 即 2 21( 1) ( 1)( 1)3n n nb b b? ? ? ? ．解 得 2nb ? ， 即 1 2nnSS? ? ， 也 即 1 4nnSS? ? ，所 以 数 列 { }nS 是 公 比 为 4的 等 比 数 列 ．因 为 1 1 1S a? ? ， 所 以 14nnS ?? ． 则

21( 1),3 4 ( 2).n nna n????? ? ??（ 3） 设 各 项 非 负 的 数 列 { }( )na n?N 为 “ ~3? ” 数 列 ，则 1 1 13 3 31 1n n nS S a?? ?? ? ， 即 3 3 31 1n n n nS S S S?? ?? ? ? ．因 为 0na ? ， 而 1 1a ? ， 所 以 1 0n nS S? ? ? ， 则 3 131 1= 1n nn nS SS S?? ?? ? ．令 3 1 =nn nSS c? ， 则 331 1( ?1)n n nc c c?? ? ? ? ， 即 3 3 3( 1) ( 1)( ?1)n n nc c c?? ? ? ? ． （ ）

① 若 0? ? 或 =1? ， 则 （ ） 只 有 一 解 为 =1nc ， 即 符 合 条 件 的 数 列 { }na 只 有 一 个 ．（ 此 数 列 为 1， 0， 0， 0， … ）② 若 1? ? ， 则 （ ） 化 为 32 3 2( 1)( 1) 01n n nc c c?? ?? ? ? ?? ，因 为 1nc ? ， 所 以 32 3 2 1 01n nc c?? ?? ? ?? ， 则 （ ） 只 有 一 解 为 =1nc ，即 符 合 条 件 的 数 列 { }na 只 有 一 个 ． （ 此 数 列 为 1， 0， 0， 0， … ）③ 若 0 1?? ? ， 则 32 3 2 1 01n nc c?? ?? ? ?? 的 两 根 分 别 在 （ 0， 1） 与 （ 1， +∞ ） 内 ，则 方 程 （ ） 有 两 个 大 于 或 等 于 1的 解 ： 其 中 一 个 为 1， 另 一 个 大 于 1（ 记 此 解 为 t） ．

所 以 1n nS S? ? 或 31n nS t S? ? ．由 于 数 列 { }nS 从 任 何 一 项 求 其 后 一 项 均 有 两 种 不 同 结 果 ， 所 以 这 样 的 数 列 { }nS 有 无 数 多 个 ， 则 对 应 的{ }na 有 无 数 多 个 ．综 上 所 述 ， 能 存 在 三 个 各 项 非 负 的 数 列 { }na 为 “ ~3? ” 数 列 ， ?的 取 值 范 围 是 0 1?? ? ．

数 学 Ⅱ (附 加 题 )21． 【 选 做 题 】 本 题 包 括 A、 B、 C 三 小 题 ， 请 选 定 其 中 两 小 题． ． ． ． ． ． ． ． ， ． 并 在 相 应 的 答 题 区 域 内 作 答． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． 若 多 做 ， 则 按作 答 的 前 两 小 题 评 分 ． 解 答 时 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 ．A． [选 修 4-2： 矩 阵 与 变 换 ]（ 本 小 题 满 分 10分 ）平 面 上 点 (2, 1)A ? 在 矩 阵 11a b? ??? ??? ?M 对 应 的 变 换 作 用 下 得 到 点 (3, 4)B ? ．（ 1） 求 实 数 a， b的 值 ；（ 2） 求 矩 阵 M 的 逆 矩 阵 1?M ．

B． [选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程 ]（ 本 小 题 满 分 10分 ）在 极 坐 标 系 中 ， 已 知 点 1 π( , )3A ? 在 直 线 : cos 2l ? ? ? 上 ， 点 2 π( , )6B ? 在 圆 : 4sinC ? ?? 上 （ 其 中 0? ? ，0 2?? ? ?） ．（ 1） 求 1? ， 2? 的 值 ；（ 2） 求 出 直 线 l与 圆 C 的 公 共 点 的 极 坐 标 ．C． [选 修 4-5： 不 等 式 选 讲 ]（ 本 小 题 满 分 10分 ）设 x?R， 解 不 等 式 2| 1| | | 4x x? ? ? ．【 必 做 题 】 第 22题 、 第 23题 ， 每 题 10分 ， 共 计 20分 ． 请 在 答 题 卡 指 定 区 域． ． ． ． ． ． ． 内 作 答 ， 解 答 时 应 写 出 文 字 说 明 、

证 明 过 程 或 演 算 步 骤 ．22． （ 本 小 题 满 分 10分 ）在 三 棱 锥 A— BCD中 ， 已 知 CB=CD= 5,BD=2， O 为 BD 的 中 点 ， AO⊥ 平 面 BCD， AO=2， E 为 AC的 中 点 ．（ 1） 求 直 线 AB与 DE 所 成 角 的 余 弦 值 ；

（ 2） 若 点 F 在 BC 上 ， 满 足 BF=14 BC， 设 二 面 角 F— DE— C的 大 小 为 θ ， 求 sinθ 的 值 ．23． （ 本 小 题 满 分 10分 ）甲 口 袋 中 装 有 2 个 黑 球 和 1 个 白 球 ， 乙 口 袋 中 装 有 3 个 白 球 ． 现 从 甲 、 乙 两 口 袋 中 各 任 取 一 个 球 交 换放 入 另 一 口 袋 ， 重 复 n 次 这 样 的 操 作 ， 记 甲 口 袋 中 黑 球 个 数 为 Xn， 恰 有 2 个 黑 球 的 概 率 为 pn， 恰 有 1个 黑 球 的 概 率 为 qn．

（ 1） 求 p1， q1和 p2， q2；（ 2） 求 2pn+qn与 2pn-1+qn-1的 递 推 关 系 式 和 Xn的 数 学 期 望 E(Xn)(用 n 表 示 )．数 学 Ⅱ (附 加 题 )参 考 答 案21． 【 选 做 题 】A． [选 修 4-2： 矩 阵 与 变 换 ]本 小 题 主 要 考 查 矩 阵 的 运 算 、 逆 矩 阵 等 基 础 知 识 ， 考 查 运 算 求 解 能 力 ． 满 分 10分 ．解 ： （ 1） 因 为 1 2 3=1 1 4a b? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ?? ?? ? ? ?， 所 以 2 1 3,2 4,a b? ???? ? ???

解 得 2a b? ? ， 所 以 2 11 2? ??? ??? ?M ．（ 2） 因 为 2 11 2? ??? ??? ?　 　 　M ， det 2 2 1 1 5 0? ? ? ? ? ? ?（ ） （ ）M ， 所 以 M 可 逆 ，从 而 1 2 15 51 25 5? ? ?? ??? ?? ?? ?? ?　 -　 　 　M ．B． [选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程 ]本 小 题 主 要 考 查 曲 线 的 极 坐 标 方 程 等 基 础 知 识 ， 考 查 运 算 求 解 能 力 ． 满 分 10分 ．

解 ： （ 1） 由 1cos 23? ? ? ， 得 1 4? ? ； 2 4sin 26? ?? ? ， 又 （ 0， 0） （ 即 （ 0， 6? ） ） 也 在 圆 C上 ，因 此 2 2? ? 或 0．（ 2） 由 cos 2,4sin ,? ?? ???? ?? 得 4sin cos 2? ? ? ， 所 以 sin2 1? ? ．因 为 0? ? ， 0? 2?? ? ?， 所 以 4? ?? ， =2 2? ．所 以 公 共 点 的 极 坐 标 为 (2 2, )4? ．C． [选 修 4-5： 不 等 式 选 讲 ]

本 小 题 主 要 考 查 解 不 等 式 等 基 础 知 识 ， 考 查 运 算 求 解 和 推 理 论 证 能 力 ． 满 分 10分 ．解 ： 当 x>0时 ， 原 不 等 式 可 化 为 2 2 4x x? ? ? ， 解 得 20 3x? ? ；当 1 0x? ? ? 时 ， 原 不 等 式 可 化 为 2 2 4x x? ? ? ， 解 得 1 0x? ? ? ；

当 1x?? 时 ， 原 不 等 式 可 化 为 2 2 4x x? ? ? ? ， 解 得 2? 1x? ? ?? ．综 上 ， 原 不 等 式 的 解 集 为 2| 2 }3{x x? ? ? ．22． 【 必 做 题 】 本 小 题 主 要 考 查 空 间 向 量 、 异 面 直 线 所 成 角 和 二 面 角 等 基 础 知 识 ， 考 查 空 间 想 象 能 力 和 运算 求 解 能 力 ． 满 分 10分 ．解 ： （ 1） 连 结 OC， 因 为 CB =CD， O为 BD中 点 ， 所 以 CO⊥ BD．又 AO⊥ 平 面 BCD， 所 以 AO⊥ OB， AO⊥ OC．以 ? ?OBOCOA???? ???? ????， ， 为 基 底 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O– xyz．因 为 BD=2， 5CB CD? ? ， AO=2，

所 以 B（ 1， 0， 0） ， D（ – 1， 0， 0） ， C（ 0， 2， 0） ， A（ 0， 0， 2） ．因 为 E为 AC的 中 点 ， 所 以 E（ 0， 1， 1） ．则 AB???? =（ 1， 0， – 2） ， DE???? =（ 1， 1， 1） ，所 以 | | |1 0 2| 15| | 15| | | | 5 3cos AB DEAB DE AB DE ? ????? ?? ? ????? ???????? ???? ???? ????， ．因 此 ， 直 线 AB与 DE所 成 角 的 余 弦 值 为 1515 ．（ 2） 因 为 点 F在 BC上 ， 14BF BC? ， BC????=（ – 1， 2， 0） ．所 以 1 1 1( , ,0)4 4 2BF BC? ? ????? ???? ．

又 20,0DB????? （ , ） ，故 7 1( , ,0)4 2DF DB BF? ? ????? ???? ???? ．设 1 1 1 1( )x y z? ， ，n 为 平 面 DEF的 一 个 法 向 量 ，则 11 00,DEDF????? ? ?? ????????? ，nn 即 1 1 11 1 07 1 0,4 2x y zx y?? ? ?? ? ???? ，取 1 2x ? ， 得 1 –7y ? ， 1 5z ? ， 所 以 1 (2 75)n ? ?， ， ．设 2 2 2 2( )x y z? ， ，n 为 平 面 DEC的 一 个 法 向 量 ， 又 DC????=（ 1， 2， 0） ，

则 22 00,DEDC????? ? ?? ????????? ，nn 即 2 2 22 2 02 0,x y zx y? ? ?? ???? ， 取 2 2x ? ， 得 2 –1y ? ， 2 –1z ? ，所 以 2 (2 1 1)n ? ? ?， ， ．

故 211 2| | |4 7 5| 13| | | | |co | 1378 6s? ? ??? ? ?? ?n nn n ．所 以 2 2 391 cossn 13i ? ?? ? ? ．

23． 【 必 做 题 】 本 小 题 主 要 考 查 随 机 变 量 及 其 概 率 分 布 等 基 础 知 识 ， 考 查 逻 辑 思 维 能 力 和 推 理 论 证 能 力 ． 满分 10分 ．解 ： （ 1） 11 311 1 13 3CC 1C C 3p ? ? ? ， 11 321 1 13 3CC 2C C 3q ? ? ? ，11 1 131 2 12 1 1 1 1 1 11 1 1 13 3 3 3CC C C 1 2 70 (1 )C C C C 3 9 27p p q p q p q? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，1 11 1 1 1 1 13 32 2 2 1 1 22 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 13 3 3 3 3 3 3 3C CC C C C C C( ) (1 )C C C C C C C Cq p q p q? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

11 2 16= 9 3 27q? ? ? ．（ 2） 当 2n? 时 ，11 1 131 2 11 1 1 1 1 11 1 1 13 3 3 3CC C C 1 20 (1 )C C C C 3 9n n n n n n np p q p q p q? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， ①1 11 1 1 1 1 13 32 2 2 1 1 21 1 1 11 1 1 1 1 1 1 13 3 3 3 3 3 3 3C CC C C C C C( ) (1 )C C C C C C C Cn n n n nq p q p q? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?11 2= 9 3nq ?? ? ， ②2? ?① ② ， 得 ? ?

1 1 1 1 12 4 1 2 1 22 23 9 9 3 3 3n n n n n n np q p q q p q? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ．

从 而 1 112 (21 1)3n n n np q p q? ?? ? ?? ? ， 又 1 1 1312p q ?? ? ，所 以 11 1 12 ( ) 1 ( )3 3 31 n nn np q ?? ?? ?? ， n?N ． ③由 ② ， 有 13 1 3( )5 9 5n nq q ?? ?? ? ， 又 1 35 115q ? ? ，所 以 11 1 3( )15 9 5nnq ?? ? ? ， n?N ．由 ③ ， 有 1 3 1 11 ( )2 101 1 1( ) ( )3 39 2 5n nn n np q? ? ? ? ?? ?［ ］ ， n?N ．故 3 1 1 1 11 ( ) ( )10 9 2 3 5n nn np q? ? ? ? ? ? ， n?N ．

nX 的 概 率 分 布 nX 0 1 2P 1 n np q? ? nq np则 1( ) 0 (1 ) 1 2 1 ( ) ,3 nn n n n nE X p q q p n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?N ．