安徽省2023届九年级阶段评估（二）数 学一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1. 的值是（ ）A. B. C. D.
【答案】A【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值直接求解即可求解．【详解】解：．故选：A．【点睛】本题考查了求特殊角的三角函数值
，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．2. 若，且b是a，c的比例中项，则等于（ ）A. 1∶3B. 1∶2C. 2：3D.
2∶1【答案】B【解析】【分析】由b是a，c的比例中项，根据比例中项的定义可得：，再结合即可解答．【详解】解：∵b是a，c的比例中
项∴∵∴，即故选B【点睛】本题主要考查了比例线段、比例中项的定义等知识点，解题的关键是熟记比例中项的定义及其变形．对于四条线段a、
b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．3. 关于抛
物线，下列结论正确的是（ ）A. 抛物线开口向上B. 抛物线对称轴为直线C. 抛物线与x轴有两个交点D. 抛物线顶点坐标是【答
案】C【解析】【分析】把函数配方为顶点式，运用性质逐一判断即可．【详解】A.由于，开口向下，此选项不正确；B.抛物线的对称轴是直线
，此选项不正确；C.，抛物线与x轴有两个交点，此选项正确；D.抛物线顶点坐标是，此选项不正确．故选C．【点睛】本题考查二次函数的性
质，运用数形结合是解题的关键．4. 在△ABC中，若sinA＝，tanB＝1，则这个三角形是( )A. 锐角三角形B. 直角三角
形C. 钝角三角形D. 等腰三角形【答案】A【解析】【分析】利用特殊角的三角函数值计算三角形内角.【详解】若sinA＝，所以∠A=
60°，tanB＝1，∠B=45°，故∠C=75°，故选A.【点睛】特殊角的三角函数值：5. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点
坐标分别为，，．以点O为位似中心，在第四象限内作与的位似比为的位似图形，则点C坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【
解析】【分析】根据关于原点位似的关系，将A点横纵坐标都乘以即可．【详解】∵以点O为位似中心，位似比为，，A点和C点在位似中心的异侧
，∴C点坐标为，故选：C【点睛】本题考查了位似变换，解题关键是掌握点在坐标系中位似变化的规律．6. 如图，淮河某段大坝横截面迎水坡
的坡比为，若坡面的铅直高度为6米，则斜坡的长为（ ）A. 米B. 米C. 米D. 24米【答案】C【解析】【分析】根据坡比求
出，再根据勾股定理即可得到答案．【详解】解：由题意可得， ，， ，故选C．【点睛】本题考查解直角三角形坡比问题，解题的关键是知道坡
比即为正切值．7. 如图，已知A为反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为点B，则的面积为（ ）A. B. 2C. 4D.
【答案】B【解析】【分析】结合反比例函数关系是，设出点A坐标，再根据三角形面积即可求出答案．【详解】∵A为反比例函数的图象上的一
点，∴设，∵轴，∴，，∴．故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数与几何求面积，解题关键是掌握反比例函数k的几何意义．8. 已知的三
边长分别为1，，，的两边长分别为和．若，则的第三边长为（ ）A. B. 2C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据相似三角形
的性质：对应边相互成比例，即可得出答案．【详解】解：设的第三边的长为， ①当时，，此情况不存在；②当时，，解得：；③当时，，此情况
不存在，故选B．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟悉掌握对应边成比例是解题关键．9. 如图，在矩形中，于点E，设，且，，则的长
为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据同角的余角相等，得；根据锐角三角函数定义和勾股定理可求的长．【详
解】∵四边形是矩形，∴∴，，，，在中，，设，则，解得：，．故选：A．【点睛】此题综合运用了锐角三角函数的知识、矩形的性质．熟记各性
质是解题的关键．10. 如图，分别过点（，2，…，2022）作x轴的垂线，交二次函数的图象于点，交直线于点．则的值为（ ）A. B
. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据的纵坐标与纵坐标的绝对值之和为的长，分别表示出所求式子的各项，拆项后抵消即可得到结果
．【详解】解：根据题意得：，∴，∴故答案：D．【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，属于规律型试题，找出题
中的规律是解本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11. 在中，∠C＝90°，cosA＝，则tanA等于
______．【答案】.【解析】【详解】试题分析：∵在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，∴.∴可设.∴根据勾股定理可得.∴.考
点：1.锐角三角函数定义；2.勾股定理.12. 如图，DE是的中位线，则与四边形DBCE的面积比是______________．
【答案】1：3．【解析】【分析】首先根据DE是△ABC的中位线，可得△ADE∽△ABC，且DE：BC＝1：2；然后根据相似三角形面
积的比等于相似比的平方，求出△ADE与四边形DBCE的面积之比即可．【详解】解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE：BC
＝1：2，∴△ADE∽△ABC， ∴△ADE与△ABC的面积之比是1：4，∴△ADE与四边形DBCE的面积之比是1：3．故答案为：
1：3．【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理、相似三角形的面积比，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于
第三边的一半和相似三角形面积的比等于相似比的平方．13. 函数与的图象如图所示，现有以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的为_
____________．（填写序号即可）【答案】①③④【解析】【分析】根据二次函数与正比例函数的性质与图象即可判断①②，利用当时
可判断③，根据时，可对④进行判断．【详解】函数经过，，，，解得， ，①正确；函数经过，，，②错误；当时，且，，，③正确；根据图象中
，当时，，，④正确；故答案为：①③④．【点睛】本题考查二次函数与正比例函数的图象与性质、二次函数与不等式的关系，注意数形结合，熟练
掌握二次函数的性质是解题的关键．14. 如图，在四边形中，，，，，E为的中点，点F和点G在边上，点H在边上，将，分别沿，折叠，点C
落在边上的点M处，点B落在点N处，将四边形沿折叠，点A恰好落在点N处，点D落在边上的点M处．（1）∠B的度数为__________
___．（2）若四边形是正方形，则的长为_____________．【答案】 ①. 90°##90度 ②. 【解析】【分析】（1）
由折叠性质可知，，根据点B落在点N处，点A恰好落在点N处，得到三点共线，有，即可求解；（2）由折叠的性质可知，．根据四边形EFGH
是正方形，得出．证明出，建立等式即可求解．【详解】解：（1）由折叠性质可知，，，点B落在点N处，点A恰好落在点N处，三点共线，，∴
，∴．（2）由折叠的性质可知，．∵四边形是正方形，∴．∵，，∴．∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了折叠的性质、正
方形的性质、相似三角形，解题的关键是掌握折叠的性质进行求解．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15. 计算：．【答案】
【解析】【分析】先把特殊角锐角三角函数值代入，再计算，即可求解．【详解】解：原式．．【点睛】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值的混
合运算，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键．16. 如图,在平面直角坐标系中,为坐标原点,点的坐标为,点在第一象限内,且.求
:(1)点的坐标;(2) 的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)作MH⊥ON,垂足为H,在Rt△OHM中，根据已知条件
MO=10,sin∠MON=,结合锐角三角函数的定义，求出MH,然后求出OH的长，据此即可求得点M的坐标;(2)，根据ON=20,
OH=8,求出NH的长，在Rt△MHN中，利用勾股定理求得MN的长,进而根据角的三角函数值与三角形边的关系，即可求得结论.【详解】
解：（1）过点作，垂足为点，由从而，故点的坐标是（2）由（1）知【点睛】本题主要考查三角函数的应用，解题的关键是掌握三角函数的定义
.四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．（1）画出关于y轴对称
的图形．（2）以原点O为位似中心，位似比为2∶1，在y轴的左侧画出将放大后的，并求出的面积．【答案】（1）图见解析 （2）图见解析
；【解析】【分析】（1）先作出点A、B、C关于y轴的对称点、、，然后顺次连接即可；（2）先作出点A、B、C对应点、、，然后顺次连接
即可得出放大后的，利用割补法求出三角形面积即可．【小问1详解】解：如图，作出点A、B、C关于y轴的对称点、、，顺次连接，则即为所求
；【小问2详解】解：如图，作出点A、B、C的对应点、、，顺次连接，则即为所求；．【点睛】本题主要考查了作轴对称图形和位似图形，求三
角形的面积，解题的关键是作出三角形三个顶点的对应点．18. 如图，在中，，，，求的面积．【答案】【解析】【分析】过点C作于点D，构
造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可．【详解】解：如图，过点C作于点D．在中，，，∴，∴．在中，∵，∴，．∴．∴．【点睛
】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19. 如图，在边长为2的正方形
ABCD中，P是射线BC上的一个动点（点P不与点B重合），连接AP，DP，E是线段AP上的一点，且，连接BE．（1）求证：．（2）
求证：BE⊥AP．【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）证明，可得，即可解决问题；（2）证明，可得．小问1详解】
证明：∵，，，∴，即．【小问2详解】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴，，∴．∴．∵，，∴，∴．【点睛】本题主要考查正方形的性质，
相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是寻找相似三角形解决问题．20. 某消防电子公司投产一种生产成本为每件8元的新型智能烟感火灾
探测器，并在销售过程中发现每月的销量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数．（1）求出每月的利润w（万元）与
销售单价x（元）之间的函数关系式．（2）当销售单价为多少元时，每月能够获得504万元的利润？当销售单价为多少元时，该公司每月能够获
得最大利润？最大利润是多少？【答案】（1） （2）当销售单价为22元或26元时，该公司每月能够获得504万元的利润．当销售单价为2
4元时，该公司每月能够获得最大利润，最大利润是512万元．【解析】【分析】（1）根据利润＝销售量×（销售单价?成本）列出函数关系式
即可；（2）根据利润为504万元可得，求出x即可；将二次函数解析式化成顶点式，根据顶点式可得答案．【小问1详解】解：由题意得：，即
w与x之间的函数关系式为；【小问2详解】解：由，得，解得，，∴当销售单价为22元或26元时，该公司每月能够获得504万元的利润；∵
，∴当销售单价为24元时，该公司每月能够获得最大利润，最大利润是512万元．【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是
根据题意求出二次函数的解析式以及利用二次函数的性质求出最值．六、（本题满分12分）21. 如图，一栋楼房上悬挂了一盏激光灯．已知为
，测角仪支架和的高为，小欢在E处测得激光灯底部点D的仰角为，小乐在F处测得激光灯顶部点C的仰角为，．请根据相关测量信息，求出激光灯
底部点D到地面的距离的长．（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内．参考数据：，，）【答案】【解析】【分析】如图：延长交于N
，易得是等腰直角三角形，设，则，，在中，利用三角函数可求出，从而求得的长．【详解】解：如图，延长EF交CH于点N，则，．∵，∴．设
，∵，∴，∴．在中，，∴，∴，解得，∴，∴．答：点D到地面的距离的长约为．【点睛】本题考查了利用三角函数的应用，正确做辅助线构造直
角三角形是解题的关键．七、（本题满分12分）22. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，直线与x轴相交于点B，连接OA，抛物线
从点O沿OA方向平移，与直线交于点P，当顶点M移动到点A时停止运动．（1）求线段OA所在直线函数解析式．（2）当抛物线的顶点M与点
A重合时，函数的图象是否过点？并说明理由．（3）设抛物线的顶点M的横坐标为m，当m为何值时，线段PB最短？并求出此时抛物线的解析式
．【答案】（1） （2）二次函数的图象不经过点N，理由见解析 （3）当时，PB最短；【解析】【分析】（1）用待定系数法求解即可；（
2）根据二次函数图象平移后顶点为求出函数解析式，再把代入判断所得一元二次方程是否有解即可；（3）求出顶点为时的函数解析式，表示出的
长，然后利用二次函数的性质求出m的值，进而可求出此时二次函数的解析式．【小问1详解】解：设直线OA的解析式为．∵点A的坐标为，∴，
解得，∴线段OA所在直线的函数解析式为．小问2详解】解：函数的图象不经过点．理由如下：二次函数图象平移后顶点为，∴二次函数的解析式
为．若二次函数的图象经过点，则方程有解，即方程有解．∵，∴二次函数的图象不经过点N；【小问3详解】解：∵顶点M的横坐标为m，且在线
段OA上移动，∴（），∴抛物线的解析式为，∴当时，，∴．∵，且，∴当时，PB最短；当PB最短时，抛物线的解析式为．【点睛】本题考查
了待定系数法求函数解析式，二次函数的平移，二次函数的图象与性质，以及一元二次方程根与系数的关系，数形结合是解答本题的关键．八、（本
题满分14分）23. 如图，在正方形和正方形中，M为的中点，，．（1）求证：∽．（2）已知，求的面积．（3）求证：．【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析【解析】【分析】（1）由正方形的性质，三角形的外角性质，得到，，即可得到结论成立；（2）由相似三角形的性质，求出，然后利用面积公式，即可求出答案；（3）过点C作且，连接，，先证明，然后证明，再由勾股定理，即可得到答案．【小问1详解】证明：在正方形中，是对角线，∴，∴，∵，∴．又∵，∴∽．【小问2详解】解：由（1）知，∽∵，∴，即．∵M为的中点，∴，∴．【小问3详解】证明：如图，过点C作且，连接，，∵，，，∴，∴，．∵，∴．又∵，，∴，∴．在中，∵，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行证明． |
|
