《數理精藴》之開帶縱立方法之一 上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo Xiāng Guǎn 112何世強 Ho Sai Keung提要：“帶
縱立方”其實為解一元三次方程式，《數理精藴》提及之一元三次方程式計有九種。除第九種外，可用觀察法估計x 之值。關鍵詞：帶縱立方
根 真數 次商積本文數學題取材自《御製數理精藴?下編?卷三十三?體部五》﹝簡稱為《數理精藴》﹞分題為“帶縱立方”。“帶縱立方”
其實為解一元三次方程式。《數理精藴》提及之一元三次方程式計有以下九種：一立方多幾根與幾真數等一也，即 x3 + ax = k12.
一立方少幾根與幾真數等二也，即 x3 – bx = k23. 一立方多幾平方與幾真數等三也，即 x3 + cx2 = k34.
一立方少幾平方與幾真數等四也，即 x3 – dx2 = k45. 一立方多幾平方多幾根與幾真數等五也，即 x3 + ex2 + g
x = k56. 一立方少幾平方少幾根與幾真數等六也，即 x3 – ex2 – gx = k67. 一立方多幾平方少幾根與幾真數等
七也，即 x3 + ex2 – gx = k78. 一立方少幾平方多幾根與幾真數等八也，即 x3 – ex2 + gx = k89
. 又幾平方少一立方與幾真數等九也，即 hx2 – x3 = k9以上之 x 為根，ki 為常數，即“真數”。《數理精藴》曰：除第
九種外，餘俱依立方法定初商，復視所帶根方為多號，者其商數須取略小於應得之數，所帶根方數為少號者，其商數須取略大於應得之數，俱以初商
數自乘再乘為立方積。“多號”指正號，“少號”指負號。其意指除第九種外，其餘可用觀察法估計x 之值，若方程式帶正號，則 x3 < k
i﹝取 x3 略少於 ki﹞，若方程式帶負號，則 x3 > ki ﹝取 x3 略大於 ki﹞。若方程式帶正號又帶負號，可能須要以試
錯法﹝trial and error﹞求出初商或x。開“帶縱立方”步驟複雜，宜小心參閱以下之例。以下各題涉及立方時單位為立方尺，其
根之單位為尺。〈第一題〉設如有一立方多八根，與一千八百二十四尺相等，問：毎一根之數幾何？解：“一立方多八根”之定義可參閱筆者另文。
依題意可列出以下之一元三次方程式﹝帶縱立方式﹞：x3 + 8x = 1824，求“每一根之數”即求x。左式之求x即開立方，而8x是
為“帶縱”。以下為原圖：x = 12x3 + 8x = 1824法：列原積一千八百二十四尺﹝見第二列﹞，按立方法作記於四尺上定單位
，一千尺上定十位，其一千尺為初商積，與十尺自乘再乘之數相合，即定初商為十尺，書於原積一千尺之上﹝見第一列﹞。12第一列1824第二
列1080第三列(103 + 10 × 8 = 1080)0744第四列(1824 – 1080 = 744) 次商積1824第五
列(1728 + 96 = 1824)0第六列《數理精藴》曰：而以初商十尺自乘再乘之一千尺 (103 = 1000) 為一立方積，
又以初商十尺八因之得八十尺 (10 × 8 = 80)，為多八根之共積，與一立方積相加得一千零八十尺 (1000 + 80 = 1
080) 書於原積之下，相減餘七百四十四 (1824 – 1080 = 744) 尺為次商積，而以初商之十尺自乘之一百尺三因之得三
百尺 (102 × 3 = 300) 為一立方廉，加根數八共三百零八 (300 + 8 = 308) 尺為次商廉法，以除次商積，足
二倍 (744 ÷ 308 = 2.4)，即定次商為二尺，書於原積四尺之上，合初商共一十二尺 (12)，自乘再乘得一千七百二十八尺
為一立方積 (123 = 1728)，又以十二尺八因之得九十六尺 (12 × 8 = 96) 為八根之共積，與立方積相加共得一千八
百二十四尺 (1728 + 96 = 1824)，書於原積之下，相減恰盡，是開得一十二尺為每一根之數也。步驟：先列出上式之第二列1
824，估計根之十位數為1，即“初商”為 1，寫在第一列左方。算出 103 + 10 × 8 = 1080，寫在第三列。相減得18
24 – 1080 = 744，是為“次商積”。再算出 102 × 3 = 300，加 x 係數 8 得308，是為“次商廉法”。
次商積 ÷ 次商廉法 = 744 ÷ 308 = 2.4，取整數 2，即定次商為 2，寫在第一列。初商合併次商得 12，算出123
+ 12 × 8 = 1728 + 96 = 1824，寫在第五列。算出第二列 – 第五列 = 1824 – 1824 = 0，
寫在第六列。因相減恰盡，所以方程式之根為12。以上之第3及第4乃重要之步驟。《數理精藴》又曰：此法以積計之為一正方體及八根之共數，
以邊計之則所得毎根之數即正方體之毎一邊，因正方體之外多八根故成一磬折體而非正方體亦非長方體也。以上情況可表示為如下之圖，正立方體之
邊長為x ，中央長方形之闊為8，最右方之圖為左兩圖之合併。+=x3 + 8x = 1824另解：從觀察法可知 123 = 1728
，此數最接近 1824，故可設x = 12，又算出 8x = 96，而1728 + 96 = 1824，故可知x = 12 為一解
。若 x 為小數，則觀察法只可作參考。現代之分解因式法得：x3 + 8x – 1824 = 0(x – 12)(x2 + 12x
+ 152) = 0所以取x = 12，x2 + 12x + 152 = 0 可用公式解x，x = [– 12 ± √(144 –
608)]x = [– 12 ± √464i] = – 6 ± √116 i。答：整數實根為12。〈第二題〉設如有一立方少九根，
與一千六百二十尺相等，問：毎一根之數幾何？解：依題意可列出以下之一元三次方程式﹝帶縱立方式﹞：x3 – 9x = 1620，求“每
一根之數”即求x。以下為原圖：x = 12x3 – 9x = 1620法：列原積一千六百二十尺 (1620)，按立方法作記於空尺上
定單位，一千尺上定十位，其一千尺為初商積，與十尺自乘再乘之數相合，即定初商為十尺，書 於原積一千尺之上﹝見第一列﹞。而以初商十尺自
乘再乘之一千尺 (103 = 1000) 為一立方積，又以初商十尺九因之得九十尺 (10 × 9 = 90)，為少九根之共積，與立
方積相減餘九百一十尺 (1000 – 90 = 910) 書於原積之下，相減餘七百一十尺 (1620 – 910 = 710) 為
次商積，而以初商之十尺自乘之一百尺 (102 = 100)，三因之得三百尺 (102 × 3 = 300) 為一立方廉，內減去根數
九，餘二百九十一尺 (300 – 9 = 291) 為次商廉法，以除次商積 (710 ÷ 291 = 2.4，足二倍，即定次商為二
尺，書於原積空尺之上，合初商共十二尺，自乘再乘得一千七百二十八 (123 = 1728) 尺為一立方積，又以十二尺九因之得一百零八
尺 (12 × 9 = 108)，為少九根之共積，與立方積相減餘一千六百二十尺 (1728 – 108 = 1620)，書於原積之
下，相減恰盡，是開得一十二尺，為毎一根之數也。12第一列1620第二列910第三列(1000 – 90 = 910)0710第四列
(1620 – 910 = 710)1620第五列0第六列步驟：先列出上式之第二列1620，估計根之十位數為1，即初商為 1，寫在
第一列左方。算出 103 – 10 × 9 = 1000 – 90 = 910，寫在第三列。相減得1620 – 910 = 710
，是為次商積。再算出 102 × 3 = 300，減 x 係數 9 得300 – 9 = 291，是為次商廉法。次商積 ÷ 次商廉
法 = 710 ÷ 291 = 2.4，取整數 2，即定次商為 2，寫在第一列。初商合次商得 12，算出123 – 12 × 9
= 1728 – 108 = 1620，寫在第五列。算出第二列 – 第五列 = 1620 – 1620 = 0，寫在第六列。因相減
恰盡，所以方程式之根為12。《數理精藴》又曰：此法以積計之為一正方體少九根之數，以邊計之則所得每根之數即正方體之每一邊，因正方體內
少九根之數，故成磬折體而非正方體，亦非扁方體也。另解：從觀察法可知 123 = 1728，此數最接近 1620，又比1620略大，
故可設x = 12，又算出 9x = 108，而1728 – 108 = 1620，故可知x = 12 為一解。現代之分解因式法得
：x3 – 9x – 1620 = 0(x – 12)(x2 + 12x + 135) = 0所以x = 12，x2 + 12x
+ 135 = 0 可用公式解x，x = [– 12 ± √(144 – 540)]x = [– 12 ± √396i] = –
6 ± √99 i。答：整數實根為12。〈第三題〉設如有一立方多四平方，與二千三百零四尺相等，問：毎一根之數幾何？解：依題意可列出
以下之一元三次方程式﹝帶縱立方式﹞：x3 + 4x2 = 2304，求“每一根之數”即求x。以下為原圖：法：列原積二千三百零四 (
2304) 尺，按立方法作記，於四尺上定單位，二千尺上定十位。其二千尺為初商積與十尺自乘再乘之數相準，即定初商為十尺，書於原積二千
尺之上。而以初商十尺自乘再乘之一千尺 (103 = 1000) 為一立方積，又以初商十尺自乘之一百尺四因之得四百尺 (102 ×
4 = 400) 為多四平方之共積，與立方積相加得一千四百尺 (1000 + 400 = 1400)書於原積之下，相減餘九百零四尺
(2304 – 1400 = 904) 為次商積，而以初商之十尺自乘三因之得三百尺 (102 × 3 = 300) 為一立方廉，
又以初商之十尺倍之得二十尺，四因之得八十尺 (2 × 10 × 4 = 80) 為四平方廉，與一立方廉相加得三百八十尺 (300
+ 80 = 380) 為次商廉法，以除次商積 (904 ÷ 308 = 2.9，足二倍，即定次商為二尺，書於原積四尺之上。合初商
共十二尺，自乘再乘得一千七百二十八 (123 = 1728) 尺為一立方積，又以十二尺自乘之一百四十四尺四因之得五百七十六 (4
× 122 = 576) 尺為多四平方之共積，與立方積相加共得二千三百零四 (1728 + 576 = 2304) 尺書於原積之下
，相減恰盡，是開得一十二尺為每一根之數也。12第一列2304第二列1400第三列(103 + 102 × 4 = 1400)090
4第四列(2304 – 1400 = 904) 次商積2304第五列(1728 + 576 = 2304)0第六列步驟：先列出上式
之第二列2304，估計根之十位數為1，即初商為 1，寫在第一列左方。算出 103 + 102 × 4 = 1000 + 400 =
1400，寫在第三列。相減得2304 – 1400 = 904，是為次商積。再算出 102 × 3 = 300 為一立方廉，2
× 10 × 4 = 80 為四平方廉，一立方廉 + 四平方廉 = 300 + 80 = 380，是為次商廉法。次商積 ÷ 次商廉
法 = 904 ÷ 308 = 2.9，取整數 2，即定次商為 2，寫在第一列。初商合次商得 12，算出123 + 122 × 4
= 1728 + 576 = 2304，寫在第五列。算出第二列 – 第五列 = 2304 – 2304 = 0，寫在第六列。因相
減恰盡，所以方程式之根為12。《數理精藴》又曰：此法以積計之，為一正方體及四平方之共數，以邊計之，則所得每根之數，即正方體之每一邊
，亦即平方之每一邊，因正方體之外多四平方，故成長方體，而非正方體也。以上之說明見下頁之圖。最右方正立方體邊長為 x，中央之長正方體
是為扁方體形，其高為 4，最右方之長方形體積為2304。+=x3 + 4x2 = 2304將中央之扁方體形圖置於正立方體之背即可得
右圖。現代之分解因式法得：x3 + 4x2 = 2304x3 + 4x2 – 2304 = 0(x – 12)(x2 + 16x
+ 192) = 0所以x = 12，x2 + 16x + 192 = 0 可用公式解x，x = [– 16 ± √(256 –
768)]x = [– 16 ± √512i] = – 8 ± √128 i。答：整數實根為12。〈第四題〉設如有一立方少八平方，
與七千九百三十五尺相等，問：毎一根之數幾何？解：依題意可列出以下之一元三次方程式﹝帶縱立方式﹞：x3 – 8x2 = 7935，求
“每一根之數”即求x。以下為原圖：x = 23x3 – 8x2 = 7935法：列原積七千九百三十五 (7935) 尺按立方法作記
，於五尺上定單位，七千尺上定十位。其七千尺為初商積，與十尺自乘再乘之數相凖，應商十尺而所帶平方為少號，故取略大之數為二十尺，書於原
積七千尺之上，而以初商二十尺自乘再乘之八千 (203 = 8000) 尺為一立方積，又以初商二十尺自乘之四百尺八因之得三千二百 (
202 × 8 = 3200) 尺為少八平方之共積，與立方積相減餘四千八百 (8000 – 3200 = 4800) 尺書於原積之
下，相減餘 (7935 – 4800 = 3135) 三千一百三十五尺為次商積，而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺 (202
× 3 = 1200) 為一立方廉。又以初商之二十尺倍之得四十尺，八因之得三百二十 (2 × 20 × 8 = 320) 尺為八平
方廉，與一立方廉相減餘八百八十 (1200 – 320 = 880) 尺，為次商廉法，以除次商積，足三倍，即定次商為三尺，書於原積
五尺之上，合初商共二十三尺，自乘再乘得一萬二千一百六十七尺 (233 = 12167) 為一立方積，又以二十三尺自乘之五百二十九尺
八因之得四千二百三十二 (232 × 8 = 4232) 尺為少八平方之共積，與一立方積相減，餘七千九百三十五 (12167 –
4232 = 7935) 尺書於原積之下，相減恰盡，是開得二十三尺為每一根之數也。23第一列7935第二列4800第三列(203
– 202 × 8 = 8000 – 3200 = 4800)3135第四列(7935 – 4800 = 3135) 次商積793
5第五列(12167 – 4232 = 7935)0第六列步驟：先列出上式之第二列7935，先估計根之十位數為1，即初商為 1，寫
在第一列左方。但103 = 1000，8x2 又為負數，與 7935 相差很大，10 顯然不合，以20較為適合，即取初商為2，寫在
第一列左方。算出 203 = 8000 是為一立方積。又算出 202 × 8 = 3200，算出8000 – 3200 = 480
0寫在第三列。相減得7935 – 4800 = 3135，是為次商積。再算出 202 × 3 = 1200 為一立方廉，2 × 2
0 × 8 = 320 為八平方廉，一立方廉 – 八平方廉 = 1200 – 320 = 880，是為次商廉法。次商積 ÷ 次商廉
法 = 3135 ÷ 880 = 3.5，取整數 3，即定次商為 3，寫在第一列右方。初商合次商得 23，算出233 – 232
× 8 = 12167 – 4232 = 7935，寫在第五列。算出第二列 – 第五列 = 7935 – 7935 = 0，寫在第六列。因相減恰盡，所以方程式之根為23。《數理精藴》又曰：此法以積計之為一正方體少八平方之數，以邊計之，則所得每根之數即正方體之每一邊，亦即平方之每一邊，因正方體之內少八平方，故成扁方體而非正方體也。x – 8–=x3 – 8x2 = 7935《數理精藴》之說明見上頁之圖。最右方正立方體邊長為 x，中央之長正方體之高為 8，最右方之長方形體積為 7935，即 x2 (x – 8) = 7935。或將中央之扁方體形圖從正立方體減去所餘下之部分即可得右圖。現代之分解因式法得：x3 – 8x2 = 7935x3 – 8x2 – 7935 = 0(x – 23)(x2 + 15x + 345) = 0所以x = 23，x2 + 15x + 345 = 0 可用公式解x，x = [– 15 ± √(225 – 1380)]x = [– 15 ± √1155i] 。答：整數實根為23。(1) |
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