第四章微分法:积分法:不定积分 二、 基本积分表 三、不定积分的性质一、 原函数与不定积分的概念第一节不定积分的概念与性质 第四章 一
、原函数与不定积分的概念1. 原函数定义. 函数 F (x) 和 f (x)在区间I上有定义.引例. 已知作直线运动的质点在任一时
刻 t 的瞬时速度 v = v(t), 要求质点的运动规律 s = s(t).则称 F (x) 是 f (x) 在 I 上的原函数
.例如,思考题:证:说明：注: 由 C 的任意性知 f (x) 的原函数有无限多个.证:注: 同一函数的任何两个原函数之间最多相差
一个常数.(C 是某常数)2. 不定积分定义.— 积分号;— 被积函数;— 被积表达式.— 积分变量;其中:记作例1.解:例2.解
:例3.解:不定积分的几何意义:的原函数 F (x) 的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行的积分曲线族.的积分曲线. y =
F (x)例4. 设曲线通过点 (1, 2), 且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.解: ∵ 所求曲
线过点 (1, 2) ,即因此所求曲线为设所求曲线为 y = f (x), 则例5. 质点在距地面处以初速力, 求它的运动规律.
解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,质点抛出时刻为此时质点位置为初速为设时刻 t 质点所在位置为则(运动速
度)(加速度)铅直上抛 , 不计阻 先由此求 v(t) 再由此求 x(t)先求由知再求于是所求运动规律为由知故根据不定积分的定义可
知:3.微分运算与求不定积分运算的关系结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.问题: 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?原
函数存在定理: 存在原函数 .(下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数即:连续函数一定有原函数.二、基本积
分表解:例6.解:例7.例8.解:证:注: 性质2对于有限多个函数也成立.三、不定积分的性质性质2.性质1.分项积分法例9. 计算
积分:解:例10.解:例11.解:例12.解:例13.解:思考题: 求例14.解:例15.解:说明: 在一般情况下被积函数都需要进
行恒等变形，才能使用基本积分表.例16.解:例17.解:例18.解:例19. 解:例20. 已知求 A , B .解: 等式两边
对 x 求导, 得内容小结1. 不定积分的概念? 原函数与不定积分的定义? 不定积分的性质? 基本积分表 (见P 188)2. 直
接积分法:利用恒等变形, 及 基本积分公式进行积分 .常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式 , 代数公式 ,积分性质
作业P192-193: 2 (10) (11) (12) (14) (16) (19
) (20) (22) (24) (26); 5. |
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