第二章 导数与微分微积分学的创始人: 德国数学家 Leibniz 导数思想最早由法国数学家 Ferma 在研究极值问题中提出.英国数学家 N
ewton历史回顾第一节 导数的概念一、导数的定义二、导数的几何意义三、函数可导与连续的关系第二章引例1. 设某质点沿直线运动,在
时刻 t 的位置函数为求该质点在时刻 t = 1 的(瞬时)速度v.解:△t△ f设描述质点运动位置的函数为1. 直线运动的速度增
量比的极限引例2. 求函数在点 x = 2 处的切线.解:△x△ f曲线在 M 点处的切线割线 M N 的极限位置 M T.2.
切线斜率割线 M N 的斜率切线 MT 的斜率增量比的极限两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.
类似问题还有:加速度角速度边际成本是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是成本增量与产品增量之比的极限变化率
问题二、导数的定义1. 定义. 设函数在点存在,并称此极限为记作:另:则称函数若的某邻域内有定义 , 运动质点的位置函数曲线在
处的切线斜率(2) 若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内此时导数值构成的新函数称为导函数
(导数).记作:可导.说明:注意:一般步骤:利用导数的定义求函数的导数例1.解:例2.解:更一般地例如:关于例2的扩展关键:上述函
数本质上都是幂函数.例3.解:类似可得例4.解:例5.解:特殊地,关键(2) 右导数: (1) 左导数:2. 单侧导数.例6.解
:例7.解:二、导数的几何意义切线方程:法线方程:N例8.解:由导数的几何意义, 切线方程:法线方程:得切线斜率为例9.解:且切
线斜率为切线方程为所求切线方程为三、函数可导与连续的关系定理1.证: 设在点 x 处可导,存在 ,因此其中故在点 x 连续 .注意
: 函数在点 x 连续未必可导.反例:在 x = 0 处连续 , 但不可导.即例10.证:例11.解:i) 连续性.ii) 可导
性.例12.解:思考与练习区别:是函数 ,是数值;联系:注意:有什么区别与联系 ?与导函数2.解:3.解:4.解:5.解:即在原点
处有垂直切线.则在点(1,1) , (–1,–1) 处与已知直线平行.平行的切线方程分别为牛顿(1642 – 1727)伟大的英国
数学家 , 物理学家, 天文学家和自然科学家.他在数学上的卓越贡献是创立了微积分.1665年他提出正流数 (微分) 术 ,次年又提
出反流数(积分)术,并于1671年完成《流数术与无穷级数》一书 (1736年出版).他还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等
.莱布尼兹(1646 – 1716)德国数学家, 哲学家.他和牛顿同为微积分的创始人 , 他在《学艺》杂志上发表的几篇有关微积分
学的论文中,有的早于牛顿, 所用微积分符号也远远优于牛顿 . 他还设计了作乘法的计算机 , 系统地阐述二进制计数法 ,并把它与中国
的八卦联系起来 .和差化积公式: 作业P86: 6, 9 (2) (5) (7),
14, 16 (2), 17, 18. |
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