《2.5三角函数的应用》专项练习1．某班同学在一次综合实践课上，测量校园内一棵树的高度．如图，测量仪在A处测得树顶D的仰角为45°，C处测得
树顶D的仰角为37°（点A，B，C在一条水平直线上），已知测量仪高度AE＝CF＝1.6米，AC＝28米，求树BD的高度（结果保留小
数点后一位．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．2．2022年6月5日，“神舟十四
号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为
机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．（1）求A、C两点之间的距离
；（2）求OD长．（精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈2.24）
3．随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实．如图1是我国自主研发的某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一
．图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，BC＝8，CD＝2，∠D＝135°，∠C＝60°，且AB∥CD，求出垂
尾模型ABCD的面积．（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）4．如图，莲花山是大连著名的景点之一．游客可以从山底乘
坐索道车到达山顶，索道车运行的速度是1米/秒．小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白塔底部B的仰角约为30°，测得白塔
顶部C的仰角约为37°，索道车从A处运行到B处所用时间约为5分钟．（1）索道车从A处运行到B处的距离约为 米；（2）请你利用小明
测量的数据，求白塔BC的高度．（结果取整数）（参考数据．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈
1.73）5．如图，小睿为测量公园的一凉亭AB的高度，他先在水平地面点E处用高1.5m的测角仪DE测得∠ADC＝31°，然后沿EB
方向向前走3m到达点G处，在点G处用高1.5m的测角仪FG测得∠AFC＝42°．求凉亭AB的高度．（A，C，B三点共线，AB⊥BE
，AC⊥CD，CD＝BE，BC＝DE．结果精确到0.1m）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°
≈0.60，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）6．如图，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对
他所在小区居民楼AB的高度进行测量，从小敏家阳台C测得点A的仰角为33°，测得点B的俯角为45°，已知观测点到地面的高度CD＝36
m，求居民楼AB的高度（结果保留整数．参考数据：sin33°≈0.55，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）．7．近年
来，无人机航拍测量的应用越来越广泛．如图，无人机从A处观测某建筑物至高点O时，俯角为37°；继续水平前行10米到达B处，观测点O，
此时的俯角为45°，已知无人机的水平飞行高度为45米．求这栋楼的高度是多少米．（结果精确到0.1）（参考数据：sin37°≈0.6
0，cos37°≈0.79，tan37°≈0.75，≈1.41）8．某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米
的发射塔AB，如图所示．在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为30°，向小山前进80米到达点E处，测得塔顶A的仰角为60°，求小山B
C的高度．9．某数学小组要测量学校路灯P﹣M﹣N的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仪进行测量，测量结果如下：测量项目测量数据从
A处测得路灯顶部P的仰角αα＝58°从D处测得路灯顶部P的仰角ββ＝31°测角仪到地面的距离AB＝DC＝1.6m两次测量时测角仪之
间的水平距离BC＝2m计算路灯顶部到地面的距离PE约为多少米？（结果精确到0.1米．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°
≈0.60，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）10．如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20m，背水坡BC的坡度为i
1＝1：1．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2＝1：，求背水坡新起点A与原起点B
之间的距离．（参考数据：≈1.41，≈1.73．结果精确到0.1m）11．交通安全心系千万家，高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪
，如图所示的是该段隧道的截面示意图．测速仪C和测速仪E到路面之间的距离CD＝EF＝7m，测速仪C和E之间的距离CE＝750m，一辆
小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪C处测得小汽车在隧道入口A点的俯角为25°，在测速仪E处测得小汽车在B点的俯角为60
°，小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为38s（图中所有点都在同一平面内）．（1）求A，B两点之间的距离（结果精确到1m）；
（2）若该隧道限速22m/s，判断小汽车从点A行驶到点B是否超速？通过计算说明理由．（参考数据：≈1.7，sin25°≈0.4，c
os25°≈0.9，tan25°≈0.5，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）12．动感单车是一种新
型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长
为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin
58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）13．图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，
已知AB∥CD∥FG，A，D，H，G四点在同一直线上，测得∠FEC＝∠A＝72.9°，AD＝1.6m，EF＝6.2m．（结果保留小
数点后一位）（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；（2）求雕塑的高（即点G到AB的距离）．（参考数据：sin72.9°≈0.96
，cos72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25）14．每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防
灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距
离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．（1）若∠ABD＝53°，求此时云梯AB的长．（
2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．（参考数据
：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）15．圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节
气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上
时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平
面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为84°，圭面上冬至
线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米．（1）求∠BAD的度数．（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：sin
37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈）16．某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：（1）探
究原理制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G．测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重
合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线（如图②），此时目标P的仰角∠POC＝∠GON．请说明这两个角相
等的理由．（2）实地测量如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P的仰角∠POQ＝60°，观测点与树的距
离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高PH．（≈1.73，结果精确到0.1米）（3）拓展探究公园高台上有一凉亭，为测
量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E、F（E、F、H在同一直线上），分别测得点P
的仰角α、β，再测得E、F间的距离m，点O1、O2到地面的距离O1E、O2F均为1.5米．求PH（用α、β、m表示）．17．如图所
示，体育场内一看台与地面所成夹角∠BAC＝30°，看台最低点A到最高点B的距离为米，A，B两点正前方有垂直于地面的旗杆DE．在A，
B两点处用仪器测量旗杆顶端E的仰角分别为60°和15°（仰角即视线与水平线的夹角）．（1）求AE的长．（结果保留根号）（2）已知旗
杆上有一面旗在离地2米的F点处，这面旗以0.4米/秒的速度匀速上升，求这面旗到达旗杆顶端需要几秒？18．图1是新冠疫情期间测温员用
“额温枪”对居民张阿姨测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄CD和手臂BC始终在同一条直线上，枪身DE与额头F保持垂直．胳膊
AB＝24cm，BD＝40cm，肘关节B与枪身端点E之间的水平宽度为28cm（即BH的长度），枪身DE＝8cm．（1）求∠EDC的
度数；（2）测温时规定枪身端点E与额头规定范围为3cm﹣5cm．在图2中若∠ABC＝75°，张阿姨与测温员之间的距离为48cm．问
此时枪身端点E与张阿姨额头F的距离是否在规定范围内，并说明理由．（结果保留小数点后两位．参考数据：）19．图①是某小区折叠道闸的实
景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱AB，CD和折叠杆“AE﹣EF”组成，其中AB＝CD＝1.2m，AB，CD之间的水
平距离BD＝2.5m，AE＝1.5m．道闸工作时，折叠杆“AE﹣EF”可绕点A在一定范围内转动，张角为∠BAE（90°≤∠BAE≤
150°），同时杆EF始终与地面BD保持平行．（参考数据：≈1.414，≈1.732）（1）当张角∠BAE为135°时，求杆EF与
地面BD之间的距离（结果精确到0.01m）；（2）试通过计算判断宽度为1.8m，高度为2.45m的小型厢式货车能否正常通过此道闸？20．如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB＝15cm，BC＝30cm，测量得∠ABC＝148°，∠BCD＝28°，AE＝9cm．求摄像头到桌面l的距离DE的长（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）学科网（北京）股份有限公司 1zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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