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四道绝对值数学题计算应用
11. 如下图，已知点 A,B,C 三点分别对应数轴上的数 a,b,c。
(1)化简： |a-b|+|c-b+|c-a|.
(2)若 a=x+y7 ， b=-3z2， c=-18mn，且满足 x 与 y 互为相反数， z 是绝对值最小
的负整数， m,n 互为倒数，求 112x+61y-5z 的值。
(3)在 (2)的条件下，在数轴上找一点 D，满足 D 到 A,C 的距离之和为 28，求 D
点可能表示的所有整数的和。
abc
ABC
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解： (1)根据数轴上三点 a,b,c 的位置关系有： a>b>c,则：
a-b>0,b-c>0,a-c>0,此时所化简绝对值代数式有：
|a-b|+|c-b|+|c-a|=a-b+(b-c)+(a-c)=a-b+b-c+a-c=2(a-c).
(2)根据题目条件， x， y 互为相反数，即 x=-y,则 x+y=0,代入可有 a=0/7=0；
z 是绝对值最小的负整数，即 z=-1，代入可有 b=-3(-1)2=-3;m,n 互为倒
数，即 mn=1，代入有 c=-18.
所有所求代数式值计算为： 112a+61b-5c=1120+61(-3)-5(-18)=-93.
(3)在（ 2）条件下， |AC|=|-18|=18<28,所有满足 到 A,C 的距离之和为 28
的 D 点有 2 个，分别在 A 的右方和 C 点的左方。
当在 A 点右方的 D?处时， 2D?+18=28，计算得 :D?=(28-18)/2=5;
当在 C 点左方的 D?处时： 2(c-D?)+18=28，计算得： D?=-18+(18-28)/2=-23;
综合二者的代数和 d=5+(-23)=-18.
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2.计算下列代数式的值。
(1)若 |a|=20， |b|=21，求 a+b<0，求 a-b 的值。
(2)已知 |a|=4， |4b-66|=215，且 a
(3)已知 a,b,c 为有理数， |a|=28,b2=9， (c-9)2=324,且 ab>0,bc<0,求 ab-bc-ca
的值。
解： (1):a+b<0，所以 a， b 两个数中必定有一个为 负数，且其绝对值比另外
一个数的绝对值大，对于本题有 21>20，所以 b=-21， a 有两种情况，则：
1)当 a=20 时， a-b=20-(-21)=20+21=41;
2)当 a=-20 时， a-b=-20-(-21)=21-20=1.
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(2) 对于 |a|=4,则 a=4 或者 a=-4；对于 |4b-66|=215，则 4b-66=± 215，
即 :b=66± 2154 ,即 b=2814 或者 b=-1494 ,此时讨论如下：
1)当 a=4， b=2814 时， a
2)当 a=4， b=-1494 时， a>b，不满足题目条件。
3)当 a=-4， b=2814 时， a
4)当 a=-4， b=-1494 时， a>b，不满足题目条件。
综上可知， a+b=2974 ,或者 a+b=2654 .
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(3) 根据题意条件，有 :a=± 28， b=± 3， 由 (c-9)2=324 可知， c-9=± 18，
即 c=9± 18，则 c1=27， c2=-9； 又 ab>0， bc<0，所以 a， b 同号， b， c 异号，
则：
1)当 a=28， b=3， c=-9 时，
ab-bc-ca
=283-3(-9)-(-9)28
=84+27+252=363;
2)当 a=-28， b=-3， c=27 时，
ab-bc-ca
=(-28)(-3)-(-3)27-27(-28),
=84+81+756=921.
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3.如图所示，若点 A,B 在数轴上分别表示 有理数 a,b,其中 A,B 两点之间的距
离表示为 AB，则 |AB|=|a-b|,由此可知， |x-3|的几何意义是数轴上表示有理
数 x 到 3 点之间的距离。
(1)若 |x-58|=|x+3|,则 x 为多少？
(2)求 |x-70|+|x+3|的最小值。
(3)试求 |x/6-14|+|x+30|的最小值。
boa
BA
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o
解： (1) 当 |x-58|=|x+3|时，其几何意义为点 x 到点 58 和 -3 两点的距离相等，
故该点 x 是数轴上点 58 和 -3 点的中点，即：
x=58-32 =552 .
(2)如下 图，解析 |x-70|+|x+3|几何意义：
-3 70
求数轴上点 x 到点 70 的距离和到点 3 的距离的和最小值，根据两点间直线
距离最小值，此时 d=70-(-3)=73.
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(3)对于 |x6-14|+|x+30|，有两个零点即 x=-30 或者 x=84.
以下进行讨论 过程为 ：
1)当 x＜ -30 时，原式 =14-x6-x-30=-7x6 -16>19;
2)当 -30≤ x<84 时，
原式 =14-x6+x+30=44+5x6 ≥ 19;
3)当 x≥ 84 时，
原式 =x6-14+x+30=7x6 +16≥ 114，
综上可知，所求最小值 =19.
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4.已知 |5-(-4)|表示 5 与 -4 之差的绝对值，实际上可以理解为 5 与 -4 两数
在数轴上所对应的两点之间的距离，则：
(1)计算 |5-(-4)|的值。
(2)找出所有符合条件的整数，使得 |x+5|+|x-4|=9， 这样的整数分别是哪些。
(3)对于任何有理数 x， |x-3|+|x-15|是否有最小值，是多少？
解： (1)根据题意有： |5-(-4)|=5+4=9.
(2)根据 |x+5|+|x-4|=9 的几何意义，因为 4-(-5)=9,所以满足
|x+5|+|x-4|=9 刚好是数轴上点 -5 和 4 及其之间的整数，即这些整数为：
-5， -4， -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3， 4.
(3) |x-3|+|x-15|的最小值是存在的，且最小值 d 为：
d=|-3-(-15)|=12.
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