2023年湖南益阳数学
考生注意：
1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分；
2．请将姓名、准考证号等相关信息按要求填写在答题卡上；
3．请按答题卡上的注意事项在答题卡上作答，答在试题卷上无效；
4．本学科为闭卷考试，考试时量为120分钟，卷面满分为150分；
5．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回．
试题卷
一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分）
1．四个实数，0，2，中，最大的数是（????）
A． B．0 C．2 D．
2．下列计算正确的是（????）
A． B． C． D．
3．下列正方体的展开图中，是轴对称图形的是（????）
A．?? B．?? C．?? D．??
4．将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（????）
A．???? B．????
C．???? D．????
5．某学校为进一步开展好劳动教育实践活动，用1580元购进A，B两种劳动工具共145件，A，B两种劳动工具每件分别为10元，12元．设购买A，B两种劳动工具的件数分别为x，y，那么下面列出的方程组中正确的是（????）
A． B．
C． D．
6．乡村医生李医生在对本村老年人进行年度免费体检时，发现张奶奶血压偏高，为了准确诊断，随后7天，李医生每天定时为张奶奶测量血压，测得数据如下表：
测量时间 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 收缩压（毫米汞柱） 151 148 140 139 140 136 140 舒张压（毫米汞柱） 90 92 88 88 90 80 88 对收缩压，舒张压两组数据分别进行统计分析，其中错误的是（????）
A．收缩压的中位数为139 B．舒张压的众数为88
C．收缩压的平均数为142 D．舒张压的方差为
7．如图，的对角线交于点，下列结论一定成立的是（????）
??
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则（????）
??
A． B． C． D．
9．下列因式分解正确的是（????）
A． B．
C． D．
10．关于一次函数，下列说法正确的是（????）
A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点
C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．当时，
二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．据报道，2023年我国新能源汽车发展优势不断巩固和扩大，一季度全国新能源汽车销量为159万辆，同比增长．将1590000用科学记数法表示为 ．
12．计算： ．
13．从这10个整数中随机抽取1个数，抽到3的倍数的概率是 ．
14．分式方程的解是 ．
15．我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数的图象向上平移1个单位得到的图象；将二次函数的图象向左平移2个单位得到的图象．若将反比例函数的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是 ．
16．如图，正六边形中， °．
??
17．如图，在正方形中，，E为的中点，连接，将绕点D按逆时针方向旋转得到，连接，则的长为 ．
18．如图，在中，，，以为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，过点作交于点．则的长为 ．
????
三、解答题（本题共8个小题，共78分）
19．计算：．
20．如图，，直线与分别交于点E，F，上有一点G且，．求的度数．
??
21．先化简，再求值：，其中．
22．我市教育局为深入贯彻落实立德树人根本任务，2022年在全市中小学部署开展“六个一”德育行动．某校为了更好地开展此项活动，随机抽取部分学生对学校前段时间开展活动的情况进行了满意度调查，满意度分为四个等级：A：非常满意；B：满意；C：一般；D：不满意．根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图表：
等级 人数 A 72 B 108 C 48 D m ??请你根据图表中的信息，解答下列问题：
(1)本次被调查的学生人数是多少？
(2)求以上图表中m，n的值及扇形统计图中A等级对应的圆心角度数；
(3)若该校共有学生1200人，估计满意度为A，B等级的学生共有多少人？
23．如图，线段与相切于点B，交于点M，其延长线交于点C，连接，，D为上一点且的中点为M，连接，．
??
(1)求的度数；
(2)四边形是否是菱形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由；
(3)若，求的长．
24．某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：，投资B项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：．
(1)若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？
(2)若对A，B两个项目投入相同的资金m（）万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？
(3)2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？
25．如图，在中，，，点D在边上，将线段绕点D按顺时针方向旋转得到，线段交于点E，作于点F，与线段交于点G，连接．
??
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，当平分四边形的面积时，求的长．
26．在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与抛物线交于B，C两点（B在C的左边）．
??
(1)求A点的坐标；
(2)如图1，若B点关于x轴的对称点为点，当以点A，，C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a的值；
(3)定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如，等均为格点．如图2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求a的取值范围．
1．C
【分析】根据实数的大小比较法则，即可求解．
【详解】解：∵，
∴最大的数是2．
故选：C
【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键．
2．D
【分析】根据同底数幂的乘法可判断A，根据幂的乘方运算可判断B，根据积的乘方运算可判断C，根据同底数幂的除法运算可判断D，从而可得答案．
【详解】解：，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，故D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，除法运算，积的乘方运算，幂的乘方运算，熟记以上基础的运算的运算法则是解本题的关键．
3．D
【分析】根据轴对称图形的定义分别判断可得出结果．
【详解】解：由轴对称图形定义可知：A，B，C不能找到这样的一条直线使图形沿着这条直线对折后两部分完全重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到这样的一条直线使图形沿着这条直线对折后两部分完全重合，是轴对称图形，
故选：D．
【点睛】此题主要是考查了轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形．
4．B
【分析】先解不等式，再利用大于向右拐，小于向左拐在数轴上表示两个解集即可．
【详解】解：，
由② 得：，
在数轴上表示两个不等式的解集如下：
??，
∴不等式组的解集为：；
故选B
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，利用数轴上确定不等式组的解集，熟练的使用数轴工具是解本题的关键．
5．A
【分析】设购买A，B两种劳动工具的件数分别为x，y，根据“用1580元购进A，B两种劳动工具共145件，A，B两种劳动工具每件分别为10元，12元．”列出方程组，即可求解．
【详解】解：设购买A，B两种劳动工具的件数分别为x，y，根据题意得：
．
故选：A
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
6．A
【分析】把数据按照大小排序后再确定中位数可判断A，再利用所有数据的和除以数据总个数可得平均数，可判断C，再根据出现次数最多的数据为众数可判断C，再根据方差公式计算可判断D，从而可得答案．
【详解】解：把收缩压的数据按照从小到大的顺序排列为：
136，139，140，140，140，148，151；
∴排在最中间的数据是140，可得中位数为140，故A符合题意；
收缩压的平均数为：，故C不符合题意；
舒张压的数据中88出现3次，所以舒张压的数据的众数为88，故D不符合题意；
舒张压的平均数为：，
∴舒张压的方差为：；故D不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查的是众数，中位数，平均数，方差的含义，熟记众数，中位数，平均数与方差的求解方法是解本题的关键．
7．C
【分析】根据平行四边形性质逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A、根据平行四边形性质：对角线相互平分，在中，，，则不一定成立，该选项不符合题意；
B、根据平行四边形性质：对角线相互平分，不一定垂直，则不一定成立，该选项不符合题意；
C、根据平行四边形性质：对角线相互平分，在中，，该选项符合题意；
D、根据平行四边形性质，对角线不一定平分对角，则不一定成立，该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形性质，熟记平行四边形对角线相互平分是解决问题的关键．
8．C
【分析】如图，取格点D，连接，，则B在上，由，，，证明，可得．
【详解】解：如图，取格点D，连接，，则B在上，
??
∵，，，
∴，，，
∴，
∴；
故选C
【点睛】本题考查的是坐标与图形，等腰直角三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
9．A
【分析】利用提公因式法，公式法对各项进行因式分解，即可求解．
【详解】解：A、，故本选项正确，符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．
10．B
【分析】根据一次函数的性质判断即可．
【详解】解：由题意可得：，
∴一次函数经过一、二、三象限，函数值y随自变量x的增大而增大，故A、C错；
当时，，
∴图象与y轴交于点，故B正确；
当时，，
∵函数值y随自变量x的增大而增大，
∴当时，，故D错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
11．
【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．
【详解】解：将1590000用科学记数法表示为．
故答案为：
【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键．
12．
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法．二次根式的乘法法则．
13．##
【分析】直接利用概率公式求解即可.
【详解】解：由题意可得：在中共有10个整数，3的倍数只有3，6，9，共3个，
∴随机抽取一个数，抽到3的倍数的概率是，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键.
14．
【分析】先去分母，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
【详解】解：去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
∴原方程的解为．
故答案为：
【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．解分式方程注意要检验．
15．
【分析】函数图象的平移规则为：上加下减，左加右减，根据平移规则可得答案．
【详解】解：将反比例函数的图象向下平移3个单位可得平移后的解析式为：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是函数图象的平移，解题的关键是理解并熟记函数图象的平移规则为：上加下减，左加右减．
16．##度
【分析】由正六边形的内角和为，结合正六边形的所有的内角都相等，再列式计算即可．
【详解】解：∵正六边形，
∴正六边形的所有的内角都相等；
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是正多边形的内角和定理的应用，熟记正多边形的每个内角都相等是解本题的关键．
17．
【分析】由正方形，可得，，，证明，求解，再结合旋转的性质与勾股定理可得答案．
【详解】解：∵正方形，
∴，，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，
由旋转可得：，，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，勾股定理的应用，熟记旋转的性质是解本题的关键．
18．
【分析】由尺规作图可知，射线是的角平分线，由于，结合等腰三角形“三线合一”得是边中点，再由，根据平行线分线段成比例定理得到是边中点，利用梯形中位线的判定与性质得到即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，射线是的角平分线，
由等腰三角形“三线合一”得是边中点，
，
由平行线分线段成比例定理得到，即是边中点，
是梯形的中位线，
，
在中，，，则，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形背景下求线段长问题，涉及尺规作图、等腰三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、梯形中位线的判定与性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握梯形中位线的判定与性质是解决问题的关键．
19．
【分析】先化简绝对值，计算二次根式的乘方运算，有理数的乘法运算，再合并即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查的是化简绝对值，二次根式的乘方运算，实数的混合运算，掌握实数的混合运算的运算法则是解本题的关键．
20．
【分析】根据，可得，从而得到，再由，可得，然后根据三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键．
21．，
【分析】先计算括号内分式的减法运算，再把除法化为乘法运算，约分后可得结果，再把代入化简后的分式中进行计算即可．
【详解】解：
；
当时，
原式．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，二次根式的除法运算，熟练的计算分式的混合运算是解本题的关键．
22．(1)本次被调查的学生人数是240人；
(2)，；图中A等级对应的圆心角度数为；
(3)该校共有学生1200人，估计满意度为A，B等级的学生共有人．
【分析】（1）由C等级的人数除以其占比可得总人数，
（2）由总人数减去A，B，C三个等级的人数可得m的值，再由B等级的人数除以总人数可得n的值，由A等级的占比乘以可得圆心角的度数；
（3）由A，B等级的占比乘以1200，可得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴本次被调查的学生人数是240人；
（2）由题意可得：，
，
∴；
，
∴图中A等级对应的圆心角度数为；
（3）∵，
∴该校共有学生1200人，估计满意度为A，B等级的学生共有人．
【点睛】本题考查的从频数分布表与扇形图中获取信息，利用样本估计总体，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键．
23．(1)
(2)是菱形，证明见解析
(3)的长为．
【分析】（1）如图，连接，证明，而，可得，再结合等腰三角形的性质可得答案；
（2）先证明，即，而，求解，可得，证明，可得，再证明，可得，从而可得结论；
（3）如图，连接，，交于，证明为等边三角形，可得，证明，，求解，再利用弧长公式进行计算即可．
【详解】（1）解：如图，连接，
??
∵线段与相切于点B，
∴，而，
∴，
∵，
∴；
（2）四边形是菱形，理由如下：
∵的中点为M，，
∴，即，而，
∴，
∴，
∵的中点为M，为直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（3）如图，连接，，交于，
??
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵菱形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴的长为．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与系数，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理的应用，切线的性质，弧长的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键．
24．(1)4万元
(2)
(3)当A，B两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元．
【分析】（1）把代入可得答案；
（2）当时，可得，再解方程可得答案；
（3）设投入到B项目的资金为万元，则投入到A项目的资金为万元，设总收益为y万元，，而，再利用二次函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：∵投资A项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：，
当时，（万元）；
（2）∵对A，B两个项目投入相同的资金m（）万元，一年后两者获得的收益相等，
∴，
整理得：，
解得：，（不符合题意），
∴m的值为8．
（3）
设投入到B项目的资金为万元，则投入到A项目的资金为万元，设总收益为y万元，
∴
，
而，
∴当时，（万元）；
∴当A，B两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元．
【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，一元二次方程的解法，列二次函数的解析式，二次函数的性质，理解题意，选择合适的方法解题是关键．
25．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据旋转的性质可得，再根据，可得，即可；
（2）根据，可得点B，C，G，F四点共圆，从而得到，，从而得到，进而得到，可证明，即可；
（3）连接，根据，，可得，，，设，则可得，，，，，，再由平分四边形的面积，可得，从而得到关于x的方程，即可求解．
【详解】（1）证明：∵线段绕点D按顺时针方向旋转得到，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵， ，
∴；
（2）证明：∵，
∴点B，C，G，F四点共圆，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（3）解：如图，连接，
??
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
设，则，
∴，，，
∴，
∴，，
∵平分四边形的面积，
∴，
∴，
即，
解得：（负值舍去），
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
26．(1)
(2)或；
(3)或．
【分析】（1）对于直线，令，求出x，即可求解；
（2）表示出点，，的坐标，利用勾股定理解方程求解，注意直角顶点不确定，需分类讨论；
（3）直线与抛物线所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在轴和直线上，各为13个，分别求出的范围．
【详解】（1）解：对于直线，
当时，，
∴A点的坐标为；
（2）解：联立直线与抛物线得：
，
，
或，
，，
点关于轴的对称点为点，
，
，
，
，
若，则，即，所以，
若，则，即，所以，
若，则，即，此方程无解．
或；
（3）解：如图，直线与抛物线所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在轴和直线上，
??
，，，
，
格点数恰好是26个，
落在轴和直线上的格点数应各为13个，
落在轴的格点应满足，即，
①若，即，
所以线段上的格点应该为，，，，
②若，，，所以线段上的格点正好13个，
综上，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，勾股定理，关键是弄清格点只能落在轴和直线上，各为13个，并对点、进行定位．
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