第一章 集合与常用逻辑用语1.4.1充要条件一理解充要条件的含义二理解定义与充要条件的联系学习目标三学会对命题的分析与判断，体会常用逻辑语言表达数学内容，提升解题的逻辑能力复习回顾上节课你学会了哪些主要内容？1、充分条件和必要条件；2、判别步骤：3、判别技巧．p?q，p是q的充分条件， q是p的必要条件给出p、q，判断“p?q”真假，下结论否定命题时举反例充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的联系是怎样的？ 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件. 一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 新课导入? 上节课中，我们学会了命题的改写“若,则”命题形式。并学会了判断命题的真假。 同时，我们学习了充分条件与必要条件，主要集中在“推出”，那前能推后，并且后能推前又会是怎样的规定？?将命题“若,则”中的条件和结论互换，就得到一个新的命题“若,则”，则称这个命题为原命题的逆命题。逆命题：新知探究：充要条件问题1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；(3)若一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 (4)若 是空集，则A与B均是空集。命题(1)、（4）与它们的逆命题都是真命题。命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题.概念生成充要条件如果“若,则”和它的逆命题“若,则”均是真命题,即?既有p?q ，又有q?p 就记作此时,我们说,p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.(p等价于q) 即：如果p ? q,那么p 与 q互为充要条件. p ? q巩固练习教材P22练习1.下列各题中，哪些p是q的充要条件？(1) p:三角形为等腰三角形，q:三角形存在两角相等； (2) p: ?O内两条弦相等，q: ?O内两条弦所对的圆周角相等； (3) p: A∩B是空集， q:A与B之一为空集．p是q的充要条件p不是q的充要条件p不是q的充要条件典例解析?例3 下列各题中，哪些是的充要条件？(1)p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂直且平分； (2)p:两个三角形相似，q:两个三角形三边成比例；(3) p: ，q:(4)p:是一元二次方程的一个根，q:a+b+c=0（a0） (1)(2)(3)(4)p是q的充分不必要条件p是q的充要条件p是q的必要不充分条件p是q的充要条件归纳小结p与q之间的四种条件关系条件p结论qp能否推qq能否推pp与q的关系x=1x3=1p是q的________________条件x>2x2>4p是q的________________条件ab=0a=0p是q的________________条件|a|>|b|a>bp是q的_________________条件充分必要(充要)充分不必要必要不充分既不充分也不必要若p?q,且q?p,则称p是q的充要条件(或q是p的充要条件),记作p?q.【注意】p是q的充要条件也可以说成：③q成立当且仅当p成立②p成立当且仅当q成立①p和q是等价的新知探究：充要条件与定义之间的关系问题2 通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？四边形的两组对角分别相等四边形的两组对边分别相等“四边形是平行四边形”四边形的一组对边平行且相等四边形的对角线互相平分四边形的两组对边分别平行“四边形是平行四边形”这一定义的充要条件并不是唯一的。充要条件与数学定义之间的关系： 数学定义是从充分性和必要性两个方面刻画数学对象的，不同的充要条件从不同的角度刻画了同一个数学对象。巩固练习教材P8练习2. 分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件.①“两个三角形的三边相等”②“两个三角形的两边和它们的夹角分别相等”?两个三角形全等③“两个三角形的两角和它们的夹边分别相等”④“两个三角形的两角和其中一角的对边相等”①“两个三角形的三边成比例”?两个三角形相似②“两个三角形的两边成比例且它们的夹角相等”③“两个三角形的其中两角相等”OQP典例解析：充要条件的证明例4 已知：?O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． 求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．OPQ典例解析：充要条件的证明证明：设p:d=r，q:直线l与? O相切.(1)充分性(p?q)：如图，作OP?l 于点P，则OP=d。若d=r，则点P在?O上。在直线 l 上任取一点Q(异于点P)，连接OQ。在Rt?OPQ中，OQ>OP =r.所以，除点P外直线l上的点都在?O的外部，即直线l与?O仅有一个公共点P。l 所以直线l与?O相切。(2)必要性(q?p)：若直线 l与?O 相切，不妨设切点为P，则OP?l .d=OP=r.所以，d=r是直线L与⊙O相切的充要条件.巩固练习教材P22练习3.证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC=BD.分析：设p： AC=BD.? AB=CD q：梯形ABCD为等腰梯形.充分性: AC=BD?梯形ABCD为等腰梯形.必要性:梯形ABCD为等腰梯形? AC=BD.PQQPP(Q)P(Q)新知探究：条件类型与集合的关系问题3 条件类型与集合之间有什么关系呢？充分必要充要“小充分大必要”：充分条件范围小必要条件范围大PQQP新知探究：条件类型与集合的关系归纳小结小充分大必要①p是(q的)充分条件：②p是(q的)必要条件：③p是(q的)充要条件：④p是(q的)充分不必要条件：⑤p是(q的)必要不充分条件：典例解析?例5（补充）已知条件 条件 ,条件 .若 是 的充要条件，则 .若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是_________. 2??[解析] 条件 ，因为 是 的充要条件，所以 解得 .因为 是 的必要不充分条件，所以 解得 .跟踪练习C补充练习1：“x2<9”的必要不充分条件是________．A.0
要证是的充要条件,就是要证明两个命题成立:
⑴充分性() ; ⑵必要性()
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