人教A版 必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质（第1课时）
问题1：常见的不等关系有哪些？你能用文字语言和符号语言表述吗？复习回顾 不等关系与不等式
我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做____
______.不等式 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （1）某路段限速40
km/h；解： 设在该路段行驶的汽车的速度为 v km/h，“限速40 km/h”就是 v 的大小不能
超过40，于是0 ＜v 40. 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？解：
（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 f 应不少于2.5%，蛋白质的含量 p 应不少于2.3%；由题意，得
用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：①审题． 通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系的
关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．②列不等式（组）： 分析题意，找出已知量和待求量之
间的约束条件，将各约束条件用不等式表示．练习．某工厂在招标会上，购得甲材料x t，乙材料y t，若维持工厂正常生产，甲、乙两种材料
总量至少需要120 t，则x、y应满足的不等关系是( )A．x＋y>120 B．x＋y<120
C．x＋y≥120 D．x＋y≤120C [解析] 由题意可得x＋y≥120，故选C．问题3：如
何比较两个式子的大小关系？不等式的性质a＞bb< a 关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实：如果是正数，那么a＞
b；如果等于0，那么a=b；如果是负数，那么a＜b. 反过来也对. 作差法：比较两个实数（式子）大小关系的方法.比
较大小关系研究差值符号运算不等式的性质 例1：比较 分析：若要比较两者的大小，只需比较它们的差与0的关
系. 解：， ∴ .典型例题 比较两个实数(或代数式)大小的步骤(
1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；(2)变形：对差进行变形(因式分解、通分、配方等)；(3)判断差的符号：结合变形的结
果及题设条件判断差的符号；(4)作出结论．这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是
判断符号的前提．归纳总结 前面，我们利用完全平方公式得到了一类重要不等式： ，
． 当且仅当 时，等号成立. 请同学们观察这个不等式，它的左边是两个数的平方的和，右边是这两个数的乘
积的2倍．此不等式称为重要不等式比较数或式子的大小已知x＜y＜0，比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．解
： ∵x＜y＜0，xy＞0，x－y＜0， ∴(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝－2xy(x－y)＞0， ∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．课堂练习：P4
0，练习题1，2，32.1 等式性质与不等式性质（第2课时）类比等式的性质，你能猜想出不等式的性质，并加以证明吗？性质1：如果a=
b,那么b=a.性质2：如果a=b,b=c,那么a=c.问题4：请你回忆一下，等式都有哪些性质？ 性质3：如果a=b,
那么a ± c=b ± c.性质4：如果a=b,那么ac=bc.你能归纳一下等式基本性质蕴含哪些思想方法吗？1、2“相等关系自身的
特点”和3、4、5“相等关系对运算保持不变”.性质1：如果a ＞ b，那么b ＜a; 如果b ＜a，那么a >b．不等式
的性质对称性文字语言：不等式两边互换后,再将不等号改变方向, 所得不等式与原不等式等价练习1
.与m≥(n-2)2等价的是( ). A.m<(n-2)2 B.(n-2)2≥m C.(n
-2)2≤m D.(n-2)2 a>c，只需要证明a?c >0 联系a ? b >0,b ? c>0a ? c=(a ? b)+(b ? c)>0证明：
由两个实数大小关系的基本事实知: 传递性不等式的性质性质2：如果a ＞b， b ＞ c,那么a ＞ c. 传递
性不等式的性质变形： 1）a≥b, b≥c?a≥c; 2）a ）a≤b, b≤c?a≤c 性质3：如果a ＞b,那么a+c ＞b+c.文字语言：不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式
与原不等式同向．加法法则不等式的性质由性质3可得a+b>c性质3：如果a ＞b,那么a+c ＞b
+c.文字语言：不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式 与原不等式同向．加法法则不等式的
性质变形： 1）a a≥b ? a+c ≥b+c 性质4：如果 a＞b， c>0 ， 那么 ac ＞bc; 如果 a>b，
c<0 ， 那么 ac < bc． 问题：不等式的两边同乘一个数，为何要分类讨论？文字语言：不等式两边同乘一个正数，所
得不等式与原不等式 同向；不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原
不等式反向．乘法法则不等式的性质性质4：如果 a＞b， c>0 ， 那么 ac ＞bc;
如果 a>b， c<0 ， 那么 ac < bc． 乘法法则不等式的性质注：1. 该性质不能逆推,
如ac>bc a>b.2.ac>bc?a>b,c>0或a0 ， 那么 ac ＞b
c; 如果 a>b， c<0 ， 那么 ac < bc． 乘法法则不等式的性质变形：
1）a≥b,c>0?ac≥bc 2）a≥b,c<0?ac≤bc 3）a0?ac 4）abc 5）a≤b,c>0?ac≤bc 6）a≤b,c<
0?ac≥bc .性质5：如果a＞b，c>d ， 那么a+c ＞b+d.【法1】： 分析:若要证明a+c ＞
b+d，只需要证明（ a+c ) ? (b+d)>0由已知a ? b>0,c ? d > 0,由“正数加正数是正数”这一基本事实，
得证【法2】： 由性质3，得a+c ＞b+c，b+c > b+d ; 由性质2，得 a+c
> b+d加法单调性不等式的性质.性质5：如果a＞b，c>d ， 那么a+c ＞b+d.加法单调性不等式的性质变形：
1）a b+d .性质5：如果a＞b，c>d ， 那么a+c ＞b+d.加法单调性不等式的性质1 .此性质可以推广到任意有限个同向不等式的
两边分别相 加,即两个或两个以上的同向不等式两边分别相加,所得不 等式与原不等式同向.归纳总结.性质5：如果a＞b，
c>d ， 那么a+c ＞b+d.加法单调性不等式的性质归纳总结2.两个同向不等式只能两边同时分别相加,而不能两边同时 分别相
减.3.该性质不能逆推,如a+c>b+d a>b,c>d....性质6：如果 a＞b>0， c>d>0 ， 那么 ac ＞
bd;证明: ∵a>b>0,c>0,∴ac>bc. ∵c>d>0,b>0,∴bc>bd.
∴ac>bd.乘法单调性不等式的性质...性质6：如果 a＞b>0， c>d>0 ， 那么 ac ＞bd;乘法单调性不等式的
性质猜想：如果 a＞b，c>d ，那么 ac ＞bd是否正确； ...性质6：如
果 a＞b>0， c>d>0 ， 那么 ac ＞bd;乘法单调性不等式的性质1. 这一性质可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不
等式两边分别相乘,这就是说,两个或更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向.归纳总结...性质6：如果
a＞b>0， c>d>0 ， 那么 ac ＞bd;乘法单调性不等式的性质归纳总结2.a>b>0,c bd.3.该性质不能逆推,如ac>bd a>b,c>d....追问：如果性质6中a=c，b=
d ，你有何新的结论？乘法单调性不等式的性质.典型例题.典型例题课堂练习③ 小试牛刀解：5. x2＋y2＋1－2(x＋y－1)
＝x2－2x＋1＋y2－2y＋2 ＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0，
∴x2＋y2＋1＞2(x＋y－1)．当堂练习1.完成一项装修工程,请木工需付工资每人500元,请瓦工需付工资每人4
00元,现有工人工资预算20 000元,设木工x(x≥0)人,瓦工y(y≥0)人,则关于工资x,y满足的不等关系是( )A.5x
+4y<200 B.5x+4y≥200
C.5x+4y=200 D.5x+4
y≤200答案：D3．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )A．M>N B．M＝N
C．M,<,≥,≤或≠.②所表示的关系是不等关系.(2)不等式中的文字语言与符号语言之间的转换. |
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