[37066081]5.7三角函数的应用课件（一）-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

三角函数的应用环节一 三角函数的应用（一）整体感知问题1 你能列举一些生活中具有周期性现象的例子吗？前面已经用三角函数模型刻画过哪些周期
性现象？答案：生活中周期性现象的例子大致有三种类型：（1）匀速圆周运动．如水流量稳定条件下的筒车运动，钟表指针的转动，摩天轮的运动
等；（2）物理学中的周期性现象．如弹簧振子运动，交变电流等；（3）生活中的周期性现象．如潮汐变化，一天当中的气温变化，四季变化，生
物钟，波浪，音乐等．已经用三角函数模型刻画过匀速圆周运动．例如筒车运动、摩天轮的运动、钟表指针的转动等．新知探究1．问题研究1——
简谐运动问题2 观看弹簧振子的运动视频，振子运动过程中有哪些周期性现象？可以利用哪些变量之间的函数关系来刻画振子运动过程中的周期性
现象？弹簧振子的运动（如图）．新知探究1．问题研究1——简谐运动答案： 振子离开中心位置的位移随着时间呈周期性变化；振子所受的回复
力随着时间呈周期性变化．所以可以用振子离开中心位置的位移s与时间t之间的函数关系，也可以用振子所受的回复力F与时间t之间的函数关系
来刻画其运动过程中周期性现象．1．问题研究1——简谐运动 例1 某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t（单位：s）与位移y（
单位：mm）之间的对应数据如表所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式．新知探究2．建模解模新知探究问题3 例1
中没有给出振子的位移关于时间的函数模型，根据以往的数学建模经验，我们应该按照什么样的流程完成这个建模过程？ 答案： 搜集数据，画散
点图——观察散点图并进行函数拟合，选择函数模型——利用数据信息，求解函数模型． 活动： 教师或者学生画出散点图．2．建模解模新知探
究问题4 观察画出的散点图，你认为可以用怎样的函数模型进行刻画位移y随时间t的变化规律？ 答案： 根据散点图，分析得出可以用y=A
sin(ωt+φ)这个函数模型进行刻画．问题5 由数据表和散点图，你将如何求出函数的解析式？2．建模解模新知探究 教师补充：现实生
活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的震动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．
在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的坐标系下，简谐运
动可以用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)表示，其中A>0，ω>0．描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个
解析式中的常数有关：A就是这个简谐运动的振幅，它是作简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；2．建模解模新知探究ωx+φ称为相位；x
=0时的相位φ称为初相.2．建模解模新知探究 问题6 例1中简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？相位、初相分别是什么？3．问题研究
2——交变电流新知探究例2 如图3（1）所示的是某次实验测得的交变电流i（单位：A）随时间t（单位：s）变化的图象．将测得的图象放
大，得到图3（2）．（1）求电流i随时间t变化的函数解析式；新知探究问题7 观察图象，交变电流i随时间t的变化满足怎样的函数模型？
其中每个参数的物理意义是什么？问题8 根据图象3（2），你能说出电流的的最大值A，周期T，初始状态（t=0）的电流吗？由这些值，你
能进一步完成例2的解答吗？4．建模解模新知探究解：由图3（2）可知，电流最大为5A，因此A=5；4．建模解模 所以电流i随时间t变
化的函数解析式是新知探究4．建模解模练习1 如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏
在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下铅锤面内做周期摆动．若线长lcm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移为s（单位：cm）与
时间t（单位：s）的函数关系是（1）当l=25时，求沙漏的最大偏角（精确到0.0001rad）；（2）已知g=9.8m/s2，要使
沙漏摆动的周期是1s，线的长度应当是多少（精确到0.1cm）?新知探究4．建模解模答：当l=25时，沙漏的最大偏角为0.1203r
ad．答：要使沙漏摆动的周期是1s，线的长度l应当为24.8 cm．新知探究4．应用性质练习2 一台发电机产生的电流是正弦式电流，
电压和时间之间的关系如图所示．由图象说出它的周期、频率和电压的最大值，并求出电压U（单位：V）关于时间t（单位：s）的函数解析式．
解：设电压U关于时间t的函数是U=Asin(ωt+φ)，t∈[0，+∞)，根据图象过点（0.005，311），代入U=311sin
(100πt+φ)，可得φ=2kπ，k∈Z．所以U=311sin(100πt)，t∈[0，+∞)．归纳小结问题9 对于一个周期性现
象，你该如何利用三角函数来刻画？在本节课中，涉及哪些数学思想？答案：利用三角函数刻画周期性现象，就是要找出这一现象中哪两个变量满足
“当其中一个变量增加相同的常数时，另一个变量的值重复出现”，然后通过数学建模，求出这两个变量之间满足的三角函数关系．在本节课的学习中，涉及到数形结合思想和数学建模思想．