2 0 2 1 年 山 东 省 滨 州 市 中 考 数 学 真 题 及 答 案
一 ． 选 择 题 （ 共 1 2 小 题 ）
1 ． 在 数 轴 上 ， 点 A 表 示 ﹣ 2 ． 若 从 点 A 出 发 ， 沿 数 轴 的 正 方 向 移 动 4 个 单 位 长 度 到 达 点 B ，
则 点 B 表 示 的 数 是 （ C ）
A ． ﹣ 6 B ． ﹣ 4 C ． 2 D ． 4
2 ． 在 R t △ A B C 中 ， 若 ∠ C ＝ 9 0 ° ， A C ＝ 3 ， B C ＝ 4 ， 则 点 C 到 直 线 A B 的 距 离 为 （ D ）
A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 2 . 4
3 ． 下 列 计 算 中 ， 正 确 的 是 （ C ）
2 2 3 6 2 2 3 8
A ． 2 a + 3 a ＝ 5 a B ． a ? a ＝ a C ． 2 a ? 3 a ＝ 6 a D ． （ a ） ＝ a
4 ． 如 图 ， 在? A B C D 中 ， B E 平 分 ∠ A B C 交 D C 于 点 E ． 若 ∠ A ＝ 6 0 ° ， 则 ∠ D E B 的 大 小 为 （ C ）
A ． 1 3 0 ° B ． 1 2 5 ° C ． 1 2 0 ° D ． 1 1 5 °
5 ． 如 图 所 示 的 几 何 体 ， 是 由 几 个 相 同 的 小 正 方 体 组 合 而 成 的 ， 其 俯 视 图 为 （ B ）
A ． B ． C ． D ．
6 ． 把 不 等 式 组 中 每 个 不 等 式 的 解 集 在 同 一 条 数 轴 上 表 示 出 来 ， 正 确 的 为
（ B ）
学 科 网 （ 北 京 ） 股 份 有 限 公 司A ． B ．
C ． D ．
7 ． 下 列 一 元 二 次 方 程 中 ， 无 实 数 根 的 是 （ D ）
2 2 2 2
A ． x ﹣ 2 x ﹣ 3 ＝ 0 B ． x + 3 x + 2 ＝ 0 C ． x ﹣ 2 x + 1 ＝ 0 D ． x + 2 x + 3 ＝ 0
8 ． 在 四 张 反 面 无 差 别 的 卡 片 上 ， 其 正 面 分 别 印 有 线 段 、 等 边 三 角 形 、 平 行 四 边 形 和 正 六 边
形 ． 现 将 四 张 卡 片 的 正 面 朝 下 放 置 ， 混 合 均 匀 后 从 中 随 机 抽 取 两 张 ， 则 抽 到 的 卡 片 正 面
图 形 都 是 轴 对 称 图 形 的 概 率 为 （ A ）
A ． B ． C ． D ．
9 ． 如 图 ， ⊙ O 是 △ A B C 的 外 接 圆 ， C D 是 ⊙ O 的 直 径 ． 若 C D ＝ 1 0 ， 弦 A C ＝ 6 ， 则 c o s ∠ A B C 的
值 为 （ A ）
A ． B ． C ． D ．
2
1 0 ． 对 于 二 次 函 数 y ＝ x ﹣ 6 x + 2 1 ， 有 以 下 结 论 ： ① 当 x ＞ 5 时 ， y 随 x 的 增 大 而 增 大 ； ②
2
当 x ＝ 6 时 ， y 有 最 小 值 3 ； ③ 图 象 与 x 轴 有 两 个 交 点 ； ④ 图 象 是 由 抛 物 线 y ＝ x 向 左 平
移 6 个 单 位 长 度 ， 再 向 上 平 移 3 个 单 位 长 度 得 到 的 ． 其 中 结 论 正 确 的 个 数 为 （ A ）
A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4
1 1 ． 如 图 ， 在 △ O A B 中 ， ∠ B O A ＝ 4 5 ° ， 点 C 为 边 A B 上 一 点 ， 且 B C ＝ 2 A C ． 如 果 函 数 y ＝ （ x
＞ 0 ） 的 图 象 经 过 点 B 和 点 C ， 那 么 用 下 列 坐 标 表 示 的 点 ， 在 直 线 B C 上 的 是 （ D ）
学 科 网 （ 北 京 ） 股 份 有 限 公 司A ． （ ﹣ 2 0 1 9 ， 6 7 4 ） B ． （ ﹣ 2 0 2 0 ， 6 7 5 ）
C ． （ 2 0 2 1 ， ﹣ 6 6 9 ） D ． （ 2 0 2 2 ， ﹣ 6 7 0 ）
1 2 ． 在 锐 角 △ A B C 中 ， 分 别 以 A B 和 A C 为 斜 边 向 △ A B C 的 外 侧 作 等 腰 R t △ A B M 和 等 腰 R t △ A C N ，
点 D 、 E 、 F 分 别 为 边 A B 、 A C 、 B C 的 中 点 ， 连 接 M D 、 M F 、 F E 、 F N ． 根 据 题 意 小 明 同 学 画 出
草 图 （ 如 图 所 示 ） ， 并 得 出 下 列 结 论 ： ① M D ＝ F E ， ② ∠ D M F ＝ ∠ E F N ， ③ F M ⊥ F N ， ④ S
△ C E F
＝ S ， 其 中 结 论 正 确 的 个 数 为 （ B ）
四 边 形 A B F E
A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1
二 ． 填 空 题
1 3 ． 若 代 数 式 有 意 义 ， 则 x 的 取 值 范 围 为 x ＞ 3 ．
1 4 ． 如 图 ， 在 △ A B C 中 ， 点 D 是 边 B C 上 的 一 点 ． 若 A B ＝ A D ＝ D C ， ∠ B A D ＝ 4 4 ° ， 则 ∠ C 的 大
小 为 3 4 ° ．
0 ﹣ 1
1 5 ． 计 算 ： + ﹣ | π ﹣ | ﹣ （ ） ＝ 3 ．
1 6 ． 某 芭 蕾 舞 团 新 进 一 批 女 演 员 ， 她 们 的 身 高 及 其 对 应 人 数 情 况 如 表 所 示 ：
身 高 （ c m ） 1 6 3 1 6 4 1 6 5 1 6 6 1 6 8
人 数 1 2 3 1 1
2
那 么 ， 这 批 女 演 员 身 高 的 方 差 为 2 c m ．
学 科 网 （ 北 京 ） 股 份 有 限 公 司1 7 若 点 A （ ﹣ 1 ， y ） 、 B （ ﹣ ， y ） 、 C （ 1 ， y ） 都 在 反 比 例 函 数 y ＝ （ k 为 常 数 ）
1 2 3
的 图 象 上 ， 则 y 、 y 、 y 的 大 小 关 系 为 ．
1 2 3
【 答 案 】 y ＜ y ＜ y ．
2 1 3
1 8 如 图 ， 在 △ A B C 中 ， ∠ A C B ＝ 9 0 ° ， ∠ B A C ＝ 3 0 ° ， A B ＝ 2 ． 若 点 P 是 △ A B C 内 一 点 ， 则 P A + P B + P C
的 最 小 值 为 ．
【 答 案 】 ．
三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 小 题 ， 满 分 6 0 分 . 解 答 时 请 写 出 必 要 的 演 推 过 程 .
1 9 计 算 ： （ ﹣ ） ÷ ．
【 答 案 】 ﹣ ．
【 解 答 】 解 ： （ ﹣ ） ÷
＝ [ ﹣ ] ?
＝ ?
＝
＝
＝ ﹣
＝ ﹣ ．
学 科 网 （ 北 京 ） 股 份 有 限 公 司2 0 某 商 品 原 来 每 件 的 售 价 为 6 0 元 ， 经 过 两 次 降 价 后 每 件 的 售 价 为 4 8 . 6 元 ， 并 且 每 次 降 价
的 百 分 率 相 同 ．
（ 1 ） 求 该 商 品 每 次 降 价 的 百 分 率 ；
（ 2 ） 若 该 商 品 每 件 的 进 价 为 4 0 元 ， 计 划 通 过 以 上 两 次 降 价 的 方 式 ， 将 库 存 的 该 商 品 2 0
件 全 部 售 出 ， 并 且 确 保 两 次 降 价 销 售 的 总 利 润 不 少 于 2 0 0 元 ， 那 么 第 一 次 降 价 至 少 售 出
多 少 件 后 ， 方 可 进 行 第 二 次 降 价 ？
【 答 案 】
解 ： （ 1 ） 设 该 商 品 每 次 降 价 的 百 分 率 为 x ，
2
6 0 （ 1 ﹣ x ） ＝ 4 8 . 6 ，
解 得 x ＝ 0 . 1 ， x ＝ 1 . 9 （ 舍 去 ） ，
1 2
答 ： 该 商 品 每 次 降 价 的 百 分 率 是 1 0 % ；
（ 2 ） 设 第 一 次 降 价 售 出 a 件 ， 则 第 二 次 降 价 售 出 （ 2 0 ﹣ a ） 件 ，
由 题 意 可 得 ， [ 6 0 （ 1 ﹣ 1 0 % ） ﹣ 4 0 ] a + （ 4 8 . 6 ﹣ 4 0 ） × （ 2 0 ﹣ a ） ≥ 2 0 0 ，
解 得 a ≥ 5 ，
∵ a 为 整 数 ，
∴ a 的 最 小 值 是 6 ，
答 ： 第 一 次 降 价 至 少 售 出 6 件 后 ， 方 可 进 行 第 二 次 降 价 ．
2 1 如 图 ， 矩 形 A B C D 的 对 角 线 A C 、 B D 相 交 于 点 O ， B E ∥ A C ， A E ∥ B D ．
（ 1 ） 求 证 ： 四 边 形 A O B E 是 菱 形 ；
（ 2 ） 若 ∠ A O B ＝ 6 0 ° ， A C ＝ 4 ， 求 菱 形 A O B E 的 面 积 ．
【 答 案 】
（ 1 ） 证 明 ： ∵ B E ∥ A C ， A E ∥ B D ，
∴ 四 边 形 A O B E 是 平 行 四 边 形 ，
∵ 四 边 形 A B C D 是 矩 形 ，
∴ A C ＝ B D ， O A ＝ O C ＝ A C ， O B ＝ O D ＝ B D ，
∴ O A ＝ O B ，
学 科 网 （ 北 京 ） 股 份 有 限 公 司∴ 四 边 形 A O B E 是 菱 形 ；
（ 2 ） 解 ： 作 B F ⊥ O A 于 点 F ，
∵ 四 边 形 A B C D 是 矩 形 ， A C ＝ 4 ，
∴ A C ＝ B D ＝ 4 ， O A ＝ O C ＝ A C ， O B ＝ O D ＝ B D ，
∴ O A ＝ O B ＝ 2 ，
∵ ∠ A O B ＝ 6 0 ° ，
∴ B F ＝ O B ? s i n ∠ A O B ＝ 2 × ＝ ，
∴ 菱 形 A O B E 的 面 积 是 ： O A ? B F ＝ 2 × ＝ 2 ．
2 2 甲 、 乙 两 车 沿 同 一 条 笔 直 的 道 路 匀 速 同 向 行 驶 ， 车 速 分 别 为 2 0 米 / 秒 和 2 5 米 / 秒 ． 现 甲
车 在 乙 车 前 5 0 0 米 处 ， 设 x 秒 后 两 车 相 距 y 米 ， 根 据 要 求 解 答 以 下 问 题 ：
（ 1 ） 当 x ＝ 5 0 （ 秒 ） 时 ， 两 车 相 距 多 少 米 ？ 当 x ＝ 1 5 0 （ 秒 ） 时 呢 ？
（ 2 ） 求 y 关 于 x 的 函 数 解 析 式 ， 并 写 出 自 变 量 x 的 取 值 范 围 ；
（ 3 ） 在 给 出 的 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 请 直 接 画 出 （ 2 ） 中 所 求 函 数 的 图 象 ．
【 答 案 】
解 ： （ 1 ） ∵ 5 0 0 ÷ （ 2 5 ﹣ 2 0 ） ＝ 5 0 0 ÷ 5 ＝ 1 0 0 （ 秒 ） ，
∴ 当 x ＝ 5 0 时 ， 两 车 相 距 ： 2 0 × 5 0 + 5 0 0 ﹣ 2 5 × 5 0 ＝ 1 0 0 0 + 5 0 0 ﹣ 1 2 5 0 ＝ 2 5 0 （ 米 ） ，
当 x ＝ 1 5 0 时 ， 两 车 相 距 ： 2 5 × 1 5 0 ﹣ （ 2 0 × 1 5 0 + 5 0 0 ） ＝ 3 7 5 0 ﹣ （ 3 0 0 0 + 5 0 0 ） ＝ 3 7 5 0 ﹣ 3 5 0 0
＝ 2 5 0 （ 米 ） ，
答 ： 当 x ＝ 5 0 （ 秒 ） 时 ， 两 车 相 距 2 5 0 米 ， 当 x ＝ 1 5 0 （ 秒 ） 时 ， 两 车 相 距 2 5 0 米 ；
学 科 网 （ 北 京 ） 股 份 有 限 公 司（ 2 ） 由 题 意 可 得 ， 乙 车 追 上 甲 车 用 的 时 间 为 ： 5 0 0 ÷ （ 2 5 ﹣ 2 0 ） ＝ 5 0 0 ÷ 5 ＝ 1 0 0 （ 秒 ） ，
∴ 当 0 ≤ x ≤ 1 0 0 时 ， y ＝ 2 0 x + 5 0 0 ﹣ 2 5 x ＝ ﹣ 5 x + 5 0 0 ，
当 x ＞ 1 0 0 时 ， y ＝ 2 5 x ﹣ （ 2 0 x + 5 0 0 ） ＝ 2 5 x ﹣ 2 0 x ﹣ 5 0 0 ＝ 5 x ﹣ 5 0 0 ，
由 上 可 得 ， y 与 x 的 函 数 关 系 式 是 y ＝ ；
（ 3 ） 在 函 数 y ＝ ﹣ 5 x + 5 0 0 中 ， 当 x ＝ 0 时 ， y ＝ ﹣ 5 × 0 + 5 0 0 ＝ 5 0 0 ， 当 x ＝ 1 0 0 时 ， y ＝ ﹣ 5
× 1 0 0 + 5 0 0 ＝ 0 ，
即 函 数 y ＝ ﹣ 5 x + 5 0 0 的 图 象 过 点 （ 0 ， 5 0 0 ） ， （ 1 0 0 ， 0 ） ；
在 函 数 y ＝ 5 x ﹣ 5 0 0 中 ， 当 x ＝ 1 5 0 时 ， y ＝ 2 5 0 ， 当 x ＝ 2 0 0 时 ， y ＝ 5 0 0 ，
即 函 数 y ＝ 5 x ﹣ 5 0 0 的 图 象 过 点 （ 1 5 0 ， 2 5 0 ） ， （ 2 0 0 ， 5 0 0 ） ，
画 出 （ 2 ） 中 所 求 函 数 的 图 象 如 右 图 所 示 ．
2 3 如 图 ， 在 ⊙ O 中 ， A B 为 ⊙ O 的 直 径 ， 直 线 D E 与 ⊙ O 相 切 于 点 D ， 割 线 A C ⊥ D E 于 点 E 且 交
⊙ O 于 点 F ， 连 接 D F ．
（ 1 ） 求 证 ： A D 平 分 ∠ B A C ；
2
（ 2 ） 求 证 ： D F ＝ E F ? A B ．
【 答 案 】
（ 1 ） 证 明 ： 连 接 O D ， 如 右 图 所 示 ，
∵ 直 线 D E 与 ⊙ O 相 切 于 点 D ， A C ⊥ D E ，
学 科 网 （ 北 京 ） 股 份 有 限 公 司∴ ∠ O D E ＝ ∠ D E A ＝ 9 0 ° ，
∴ O D ∥ A C ，
∴ ∠ O D A ＝ ∠ D A C ，
∵ O A ＝ O D ，
∴ ∠ O A D ＝ ∠ O D A ，
∴ ∠ D A C ＝ ∠ O A D ，
∴ A D 平 分 ∠ B A C ；
（ 2 ） 证 明 ： 连 接 O F ， B D ， 如 右 图 所 示 ，
∵ A C ⊥ D E ， 垂 足 为 E ， A B 是 ⊙ O 的 直 径 ，
∴ ∠ D E F ＝ ∠ A D B ＝ 9 0 ° ，
∵ ∠ E F D + ∠ A F D ＝ 1 8 0 ° ， ∠ A F D + ∠ D B A ＝ 1 8 0 ° ，
∴ ∠ E F D ＝ ∠ D B A ，
∴ △ E F D ∽ △ D B A ，
∴ ，
∴ D B ? D F ＝ E F ? A B ，
由 （ 1 ） 知 ， A D 平 分 ∠ B A C ，
∴ ∠ F A D ＝ ∠ D A B ，
∴ D F ＝ D B ，
2
∴ D F ＝ E F ? A B ．
2 4 如 下 列 图 形 所 示 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 一 个 三 角 板 的 直 角 顶 点 与 原 点 O 重 合 ， 在 其 绕
2
原 点 O 旋 转 的 过 程 中 ， 两 直 角 边 所 在 直 线 分 别 与 抛 物 线 y ＝ x 相 交 于 点 A 、 B （ 点 A 在
点 B 的 左 侧 ） ．
学 科 网 （ 北 京 ） 股 份 有 限 公 司（ 1 ） 如 图 1 ， 若 点 A 、 B 的 横 坐 标 分 别 为 ﹣ 3 、 ， 求 线 段 A B 中 点 P 的 坐 标 ；
（ 2 ） 如 图 2 ， 若 点 B 的 横 坐 标 为 4 ， 求 线 段 A B 中 点 P 的 坐 标 ；
（ 3 ） 如 图 3 ， 若 线 段 A B 中 点 P 的 坐 标 为 （ x ， y ） ， 求 y 关 于 x 的 函 数 解 析 式 ；
（ 4 ） 若 线 段 A B 中 点 P 的 纵 坐 标 为 6 ， 求 线 段 A B 的 长 ．
2
【 答 案 】 （ 1 ） （ ﹣ ， ） ； （ 2 ） （ ， ） ； （ 3 ） y ＝ x + 2 ； （ 4 ） 4 ．
2
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） ∵ 点 A 、 B 在 抛 物 线 y ＝ x 上 ， 点 A 、 B 的 横 坐 标 分 别 为 ﹣ 3 、 ，
2 2
∴ 当 x ＝ ﹣ 3 时 ， y ＝ × （ ﹣ 3 ） ＝ × 9 ＝ ， 当 x ＝ 时 ， y ＝ × （ ） ＝ × ＝
，
即 点 A 的 坐 标 为 （ ﹣ 3 ， ） ， 点 B 的 坐 标 为 （ ， ） ，
作 A C ⊥ x 轴 于 点 C ， 作 B D ⊥ x 轴 于 点 D ， 作 P E ⊥ x 轴 于 点 E ， 如 右 图 1 所 示 ，
则 A C ∥ B D ∥ P E ，
∵ 点 P 为 线 段 A B 的 中 点 ，
∴ P A ＝ P B ，
由 平 行 线 分 线 段 成 比 例 ， 可 得 E C ＝ E D ，
设 点 P 的 坐 标 为 （ x ， y ） ，
则 x ﹣ （ ﹣ 3 ） ＝ ﹣ x ，
∴ x ＝ ＝ ﹣ ，
学 科 网 （ 北 京 ） 股 份 有 限 公 司同 理 可 得 ， y ＝ ＝ ，
∴ 点 P 的 坐 标 为 （ ﹣ ， ） ；
2
（ 2 ） ∵ 点 B 在 抛 物 线 y ＝ x 上 ， 点 B 的 横 坐 标 为 4 ，
2
∴ 点 B 的 纵 坐 标 为 ： y ＝ × 4 ＝ 8 ，
∴ 点 B 的 坐 标 为 （ 4 ， 8 ） ，
∴ O D ＝ 4 ， D B ＝ 8 ，
作 A C ⊥ x 轴 于 点 C ， 作 B D ⊥ x 轴 于 点 D ， 如 右 图 2 所 示 ，
∵ ∠ A O B ＝ 9 0 ° ， ∠ A C O ＝ 9 0 ° ， ∠ O D B ＝ 9 0 ° ，
∴ ∠ A O C + ∠ B O D ＝ 9 0 ° ， ∠ B O D + ∠ O B D ＝ 9 0 ° ， ∠ A C O ＝ ∠ O D B ，
∴ ∠ A O C ＝ ∠ O B D ，
∴ △ A O C ∽ △ O B D ，
∴ ，
2
设 点 A 的 坐 标 为 （ a ， a ） ，
2
∴ C O ＝ ﹣ a ， A C ＝ a ，
∴ ，
解 得 a ＝ 0 （ 舍 去 ） ， a ＝ ﹣ 1 ，
1 2
∴ 点 A 的 坐 标 为 （ ﹣ 1 ， ） ，
∴ 中 点 P 的 横 坐 标 为 ： ＝ ， 纵 坐 标 为 ＝ ，
∴ 线 段 A B 中 点 P 的 坐 标 为 （ ， ） ；
（ 3 ） 作 A C ⊥ x 轴 于 点 C ， 作 B D ⊥ x 轴 于 点 D ， 如 右 图 3 所 示 ，
由 （ 2 ） 知 ， △ A O C ∽ △ O B D ，
∴ ，
2 2
设 点 A 的 坐 标 为 （ a ， a ） ， 点 B 的 坐 标 为 （ b ， b ） ，
学 科 网 （ 北 京 ） 股 份 有 限 公 司∴ ，
解 得 ， a b ＝ ﹣ 4 ，
∵ 点 P （ x ， y ） 是 线 段 A B 的 中 点 ，
∴ x ＝ ， y ＝ ＝ ＝ ，
∴ a + b ＝ 2 x ，
2
∴ y ＝ ＝ x + 2 ，
2
即 y 关 于 x 的 函 数 解 析 式 是 y ＝ x + 2 ；
2
（ 4 ） 当 y ＝ 6 时 ， 6 ＝ x + 2 ，
2
∴ x ＝ 4 ，
∵ O P ＝ ＝ ＝ 2 ， △ A O B 是 直 角 三 角 形 ， 点 P 时 斜 边 A B 的 中 点 ，
∴ A B ＝ 2 O P ＝ 4 ，
即 线 段 A B 的 长 是 4 ．
学 科 网 （ 北 京 ） 股 份 有 限 公 司学 科 网 （ 北 京 ） 股 份 有 限 公 司 |
|
