函数的实际应用函数的实际应用是全国中考的高频考点，以一次函数和二次函数为主，一次函数考查形式有：文字型、图象型、表格型；二次函数则常考：面积问题、销售中的最大利润问题、抛物线型问题等．七嘴八舌说考情陕西：每年必在解答题第21题中考查一次函数的实际应用，形式有：①图象型；②文字型；③表格型．其中图象型都是考查单人行程问题，文字型和表格型会考查阶梯费用、最优方案(最值)或方案选
取问题等．河南：在解答题中必考，仅2018年考查二次函数的应用，其余都是考查一次函数．形式有：①图象型；②文字型；③表格型．其中图象型单纯考查一次函数的应用，文字型和表格型会结合二元一次方程组、不等式等考查．类型涉及：方案选取问题、设计最优方案问题(购买问题)以及销售利润问题等．河北：一次函数、反比例函数、二次函数的实际应用均有考查，考查知识点有两种：①单一函数；②两种函数结合，出题背景涉及实物模型、销售问
题、运输问题、水面上升问题等．山西：一次函数和二次函数的实际应用均有考查，题型均为解答题，试题比较常规．类型有：方案选取问题(付费问题、购买问题)、利润最值问题、抛物线型问题．安徽：均在解答题中考查，重点考二次函数的实际应用，考查形式：①二次函数与一次函数结合的实际应用；②二次函数与一次函数、反比例函数
结合的实际应用；③单独考查二次函数的实际应用，类型有：利润最值问题、抛物线型问题、几何图形面积最值问题．云南：在解答题中考查，以一次函数的实际应用为主，考查内容有：①单独考查；②与方程组、不等式结合考查；类型有：方案选取问题，最优方案问题，利润最值问题．福建：统考两年均有涉及，题型为解答题，2018年考查了以几何图形为背景的二次函数的实际应用，2017年在统计的实际应用中涉及阶梯收费类型．
分类练习提高快一、抛物线型问题，关键是把距离转化为点坐标例1：一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8 m，宽为1 m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面5 m，建立如图所示的坐标系．(1)求抛物线的解析式；(2)一辆货车高4 m，宽3 m，能否从该隧道内通过，为什么？
【满分技法】(1)根据题意写出A，P两点坐标，即可由顶点式确定二次函数解析式．(2)比较抛物线与直线y＝4两个交点之间的距离与3的大小即可．解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x－h)2＋k，∵顶点P(4，5)，∴y＝a(x－4)2＋5，∵该抛物线过点A(0，1)，
∴a(0－4)2＋5＝1，解得a＝－14，∴抛物线的解析式为y＝－14(x－4)2＋5＝－14x2＋2x＋1；(2)能，理由如下：令y＝4时，即－14x2＋2x＋1＝4，解得x1＝2，x2＝6，∵|x
1－x2|＝4＞3，∴该货车能通过隧道．二、分段问题分段求例2：为支持农村经济建设，某玉米种子公司对某种种子的销售价格规定如下：每千克的价格为5元，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打8折，某农户对购买量x(千克)和付款金额y(元)这两个变量的对应关系做了分析，并绘制出了函数图象，如图所示，其中函数图象中A点的
坐标为(2，10)，请你结合图象，回答问题：(1)求y关于x的函数解析式；(2)已知甲农户将8元钱全部用于购买该玉米种子，乙农户购买4千克该玉米种子，如果他们两人合起来购买，可以比分开购买节约多少钱？
【满分技法】(1)OA表示的是正比例函数，直接把A点坐标代入y＝kx即可．当x＞2时，已知A点坐标，再求出任意一个大于2的x的值对应的y值，利用待
定系数法求解即可．(2)根据题意，8元钱购买的种子重量小于2千克，所以甲购买的种子每千克价格为5元，并可求出甲农户购买的种子的重量．乙购买了4千克种子，可以求出乙花了多少钱．根据函数关系式求出两人合起来购买一共所需的费用即可求出节约了多少钱．解：(1)当0≤x≤2时，设线段OA的解析式为y＝kx，∵y＝kx的图象经过(2，10)，∴2k＝10，解得k＝5，∴y＝5x，
∵当x＞2时，超过2千克部分的种子价格打8折，∴x＝3时，购买3千克种子价格为10＋5×0.8＝14，设y关于x的函数解析式为y＝k1x＋b(x＞2)，∵y＝k1x＋b的图象经过(2，10)，(3，14)，∴2k1＋b＝10，3k1＋b＝14，解得k1＝4，b＝2，∴当x＞2时，y关于x的函数解析式为y＝4x＋2.综上所述，y关于x的函数解析式为y＝5x（0≤x≤2），4x＋2（x＞2）；
(2)甲农户将8元钱全部用于购买该玉米种子，5x＝8，解得x＝1.6，即甲农户购买玉米种子1.6千克；乙农户购买4千克种子，所花费用为y＝4×4＋2＝18元，如果他们两人合起来购买，共购买玉米种子(1.6＋4)＝5.6千克，这时总费用为y＝4×5.6＋2＝24.4元．
∴(8＋18)－24.4＝1.6元．答：如果他们两人合起来购买，可以比分开购买节约1.6元．三、方案选取问题，分别求，后比较例3：国庆期间，某校准备组织部分教职工到黄山风景区旅游．经市场调研发现，如图，线段CD表示甲旅行社所需总费用y
甲与旅游人数x的函数图象，线段AB表示乙旅行社所需总费用y乙与旅游人数x的函数图象，根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)分别求出y甲和y乙关于x的函数解析式：(2)该校如何选择旅行社更划算？
【满分技法】(1)根据图象可写出AB线段上点A和点B的坐标，CD线段上点C和点D的坐标，分别使用待定系数法即可求出y甲和y乙关于x的函数解析式．(2)函数图象的纵坐标表示的是旅行社的费用，在自变量的不同取值范围内，函数图象在下方的旅行社更划算．解：(1)设y
甲关于x的函数解析式为y甲＝kx＋b，将(0，4000)、(50，10000)代入函数解析式，得b＝4000，50k＋b＝10000，解得k＝120，b＝4000，
y甲＝120x＋4000；设y乙关于x的函数解析式为y乙＝cx＋d，将(0，3200)、(40，10000)代入函数解析式，得d＝3200，40c＋d＝10000，解得c＝170，d＝3200，y
乙＝170x＋3200；(2)当y甲＝y乙时，120x＋4000＝170x＋3200，解得x＝16，当0＜x＜16时，选择乙旅行社划算；当x＝16时，甲旅行社与乙旅行社都一样；当x＞16时，选择甲旅行社划算．四、图形面积问题，从几何图形的性质入手找等量关系例4：如图，用一段100米长的篱笆围成一个一边靠墙(墙足够长)，中间用两道篱笆隔开分出三个小的矩
形养殖场，设矩形垂直于墙的一边长为x米，矩形ABCD的面积记为y平方米．(1)直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；(2)当x＝8，求y的值；(3)当x取何值时，y的值最大，最大值是多少？【满分技法】(1)由4AB＋BC＝100米，y＝AB×BC
即可写出y关于x的函数关系式．(2)直接代值计算．(3)利用函数的性质即可求出最值．
解：(1)由题意得，y＝(100－4x)·x＝－4x2＋100x，(0＜x＜25)；(2)当x＝8时，y＝－4×82＋100×8＝544；(3)∵－4＜0，∴当x＝－1002×（－4）＝12.5时，y有最大值，y最大＝－4×12.52＋100×12.5＝625.故x取12.5时，y的值最大，最大值是625.五、利润问题，先求表达式和取值范围，再用函数性质求解例5：某商场代销甲、乙两种商品，其中甲种商品的
进价为120元/件，售价为130元/件．乙种商品的进价为100元/件，售价为150元/件．(1)若商场用36000元购进这两种商品，销售完后可获得利润6000元，则该商场购进甲、乙两种商品各多少件？(2)若商场要购进这两种商品共200件，设购进甲种商品x件，销售后获得的利润为W元．试写出利润W(元)与x(件)函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；(3)在(2)的条件下，若甲种商品最少100件，请你设
计出使利润最大的进货方案，并求出最大利润．【满分技法】文字型问题，找等量关系．(1)直接设未知数，根据甲种商品的总进价＋乙种商品的总进价＝36000元，甲种商品的总利润＋乙种商品的总利润＝6000元，列方程求解即可．(2)已知甲种商品x件，则乙种商品(200－x)件，则由利润W(元)＝甲种商品的利润＋乙种商品的利润可列出关系式．(3)根据函数的性质以及x的取值范围即可求出最大利润．解：(1)设购进甲种商品a件，乙种商品b件，由题
意，得120a＋100b＝36000，（130－120）a＋（150－100）b＝6000，解得a＝240，b＝72.答：该商场购进甲种商品240件，乙种商品72件；(2)已知购进甲种商品x件，则购进乙种商品(200－x)件，根据题意，得W＝(130－120)x＋(150－100)(200－x)＝－40x＋10000；(3)∵－40＜0，
∴W随x的增大而减小．∵x≥100，∴当购进甲种商品的件数为100件时利润最大，W最大＝－40×100＋10000＝6000.∴当购进甲种商品100件，乙种商品100件时，利润最大，最大利润为6000元．例6：在水果销售旺季，某水果店购进一批优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过29元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y(千克)与该天的售价x(元/千克)满足如下表所
示的一次函数关系.销售量y(千克)…34.8 32 29.6 28…售价x(元/千克)…22.6 24 25.2 26…(1)某天这种水果的售价为25.5元/千克，求当天该水果的销售量；(2)如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水
果的售价为多少元？(3)求一天销售这种水果最多获利多少元？此时售价为多少元/千克？【满分技法】表格型函数应用题，表格中的数据等价于函数图象上的点坐标．(1)y是x的一次函数，用待定系数法即可求出关系式，当x＝25.5时，y的值即是当天水果的销售量．(2)利用销售量×每千克利润＝总利润，列出关于x的方程即可求解．其中每千克的利润为(x－20)元，销售量即是y.(3)设利润为W元，写出W关于x的函数关系式，利用函数关系式
即可求解．解：(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，由题意得24k＋b＝32，26k＋b＝28，解得k＝－2，b＝80，即y与x的函数关系式为y＝－2x＋80，将x＝25.5代入y＝－2x＋80，得y＝－2×25.5＋80＝29，答：某天这种水果的售价为25.5元/千克时，当天的销售量是29千克；(2)设售价为x元，
(x－20)×(－2x＋80)＝150，解得，x1＝25，x2＝35(舍去)，答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元/千克；(3)设利润为W元，W＝(x－20)(－2x＋80)＝－2(x－30)2＋200，∵－2＜0且20≤x≤29，∴当x＝29时，W取得最大值，此时W＝198，
答：一天销售这种水果最多获利198元，此时售价为29元/千克．例7：某饭店推出一种早点套餐，每份套餐的成本为5元，试销一段时间后发现，若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元时，每提高1元，每天的销售量就减少40份，该店每天固定支出费用为600元(不含套餐成本)．为了便于结算，每份套餐的售价取整数，设每份套餐的售价为x(x＞5)元，该店日销售利润为y元.(1)求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范
围；(2)该店要想获得最大日销售利润，又要吸引更多顾客，使每天销售量较大，按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日销售利润为多少元？【满分技法】首先找等量关系：利润＝销售数量×每份利润－固定支出．以每份售价10元为界，在10元以下和10元以上的销售量情况不同．(1)在5＜x≤10时，销售量固定为400；在x＞10时，单价比10元提高了(x－10)元．因为每提高1元，每天的销售量就减少40份，所以销售量减少了40(x－10)份，
即销售量变为[400－40(x－10)]份．代入等量关系即可分别求出两段的函数关系式．(2)分别根据自变量x的取值范围，求出每段函数的最大值即可．解：(1)由题意，得当5＜x≤10时，y＝400(x－5)－600＝400x－2600；当x＞10时，y＝[400－40(x－10)](x－5)－600＝－40x2＋1000x－4600；(2)当5＜x≤10时，
y＝400x－2600，当x＝10时，y最大＝1400，当x＞10时，y＝－40x2＋1000x－4600＝－40(x－12.5)2＋1650，当x＝12时，y＝1640，当x＝13时，y＝1640，∵要吸引更多顾客，使每天销售量较大，又要有最大的日销售利润，∴每份套餐的售价应定为12元，日销售利润为1640元．专家密招赶紧看
1.解决函数的实际应用首先是建模思想：确定实际问题中的函数解析式，要先将实际问题转化为数学问题，即数学建模．要做到这种转化，首先要分清哪个量是自变量，哪个量是因变量；其次建立因变量与自变量之间的关系，注意自变量的取值范围．2.常见的一次函数的实际应用一般涉及：(1)求函数解析式文字型：从题干中，提取两组有关的量(不同的自变量及对应的函数值)，作为一次函数图象上两点，将
其代入解析式中列方程组求解；表格型：从表格中提取对应(通常为同一列)的两组量，代入解析式中列方程组求解；图象型：任意找出函数图象上的两个点，将其坐标分别代入解析式中列方程组求出函数解析式；若为分段函数，要分别求出每一段的解析式，最后记得加上各段函数图象对应的自变量的取值范围．(2)利润(费用)最值问题
此类问题都是利用一次函数增减性来解决，在自变量的实际取值范围内，根据函数图象的增减性，找出自变量为何值时，函数的最大(小)值．3.常见的二次函数的实际应用一般涉及：(1)抛物线型问题解题步骤：①建立平面直角坐标系；②利用待定系数法确定抛物线的解析式；③利用二次函数的性质解决实际问题．(2)销售问题解题步骤：①读懂题意，借助销售问题中的利润等
关系式寻找等量关系；②确定函数解析式；③求解二次函数的最值，解决问题．
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