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单摆运动规律的研究
摘要 单摆问题是高中物理及大学普通物理实验教学中的一个根底问题。受各种
因素的影响，其运动规律较为复杂。本文建立了理想模式下单摆的数学模型，现
实情况下单摆的数学模型.等对单摆的运动进展了探究。
首先，本文从理想情况出发，由牛顿第二定律进展推理，建立了无阻尼小角
度单摆运动模型，对单摆的运动进展了初步探究。
然后，本文又建立了无阻尼大角度单摆运动模型，进一步完善了理想模式下
单摆的数学模型。
最后，本文从实际出发，考虑单摆运动中受到的阻力因素，以理想模式下单
摆的数学模型为根底，建立了现实情况下单摆的运动模型，深度的对单摆运动进
展了探索。
关键词 简谐运动 角度 阻尼运动 单摆运动
目录
一、问题的描述
二、 模型假设
三、模型建立及求解
1 理想模式下单摆的数学模型
1.1 小角度单摆运动模型
1.1.1 模型建立
1.1.2 模型求解
1.1.3 结果分析
1.2 大角度单摆运动模型
. z.
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1.2.1 模型建立
1.2.2 模型求解
1.2.3 结果分析
2 现实模式下单摆的数学模型
2.1 小、大阻尼单摆运动模型
2.1.1 模型建立
2.1.2 模型求解
2.1.3 结果分析
四 模型分析
一 问题的描述
根据平常接触到的摆钟、秋千等实物中，我们可以抽象出单摆的模型。细线一
端固定在悬点,另一端系一个小球,如果细线的质量与小球相比可以忽略,球的直
接与线的长度相比也可以忽略,这样的装置就叫做单摆.我们从理想情况出发进展
分析，并逐渐完善从而推导出单摆实际运动规律。
二 模型假设
1 悬挂小球的细线伸缩和质量均忽略不记，线长比小球的直径大得多；
2.装置严格水平；
3.无驱动力。
三 模型建立及求解
1 理想模式下单摆的数学模型
图 1 简单单摆模型
在 t 时刻，摆锤所受切向力 ft(t)是重力 mg 在其运动圆弧切线方向上的分力，即
. z.
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f(t) =mg sin(t)
完全理想条件下，根据牛顿第二运动定律，切向加速度为：
a(t) = gsin (t)
因此得到单摆的运动微分方程组：
1.1 小角度单摆运动模型
1.1.1 模型建立
当摆角 q 很小时,sinq?q，故方程 1 可简化为:
1.1.2 模型求解
利用 matlab 软件在[0, 5o]分别作出方程〔1〕和方程〔2〕的解得图像
小角度单摆摆动规律
〔—方程〔1〕的解，方程〔2〕的解〕
1.1.3 结果分析
由图像可以看出两方程的解的图像几乎吻合，可以说明当 较小时〔q<5〕，
两方程的解几乎相等，单摆运动可看为简谐运动。
1.2 大角度单摆运动模型
1.2.1 模型建立
当摆角很大时，方程 sin ?q 不
再成立，方程〔1〕和方程〔2〕的解不再相近，
1.2.2 模型求解
此时利用 MATLAB 计算软件, 得到 2000 个不同摆角的的准确解.然后以摆角
. z.
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为横轴,利用绘图函数 polt ( , y ) 绘制出任意摆角下单摆周期的准确解的曲线
%单摆周期与摆角的关系
a= 0;
b= pi/ 2;
n= 1000;
s1= 1: n;
h= ( b-a) / n;
h1= pi/ ( 2 n)
c= 0: h1: pi/ 2
= a;
s= 0;
for i1= 1: ( n+ 1)
f0= 2/ sqrt ( 1-( sin( c( i1) / 2) ) ^2 ( sin( ) ) ^2) / pi;
for i2= 1: n
= + h;
f1= 2/ sqrt ( 1-( sin( c( i1) / 2) ) ^2 ( sin( ) ) ^2) / pi;
s= s+ ( f0+ f1) h/ 2;
f0= f1;
end
disp( 1/ s)
s1( i1) = s;
s= 0;
. z.
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end
plot( c, s1)
label( ''theta0/rad'')
ylabel( ''T/T0'')
大摆角单摆的运动规律
程序如下：
%建立方程( 1)
Function dot= per( t,)
dot= [ -9. 8 sin( ( 2) ) ( 1) ]
% 建立方程( 2)
Function dot= per1( t,)
dot= [ -9. 8 ( 2) ( 1) ]
%利用 ode45 求解微分方程
t0= 0; tf= 10;
[ t, ] = ode45( ''per'', [ t0, t f] , [ pi/ 2, 0] )
[ t1, 1 ] = ode45 ( ''per1'', [ t0, tf ] ,[ pi/ 2, 0] )
plot( t, ( : , 2) , ''-'')
holdon
plot( t1, 1( : , 2) , '''')
1.2.3 结果分析
如下图，随着单摆摆角的增大，单摆的周期也会增加图中两根曲线说明：大
摆角振动时,单摆的运动轨迹并不是简单的正、余弦曲线(虽然很相似),而且,最大
. z.
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摆角越小,两根曲线越相似；摆角越大,别离越明显
2 现实模式下单摆的数学模型
2.1.1 模型建立
现实情况下,绳子的质量,摆球的半径,空气的阻力等等都对单摆的摆动有影
响,这些影响的主要作用就是阻止单摆的摆动,为简单起见,可设单摆在摆动中受
到阻力 fz，显然阻力与摆锤的运动速度有关，即阻力是单摆线速度的函数：
fz=f(v)，fz(t)=kv(t)
上式中，k>0 为阻力比例系数，式中的负号表示阻力方向与摆锤运动方向相反。
切向加速度由切向合力 ft fz 产生，根据牛顿第二运动定律，有
因此得到修正后的单摆运动微分方程组
2.1.2 模型求解
据此编写仿真程序：
subplot(2,1,1)
dt=0.0001; %仿真步进
T=16; %仿真时间长度
t=0:dt:T;%仿真计算时间序列
g=9.8;
L=1.5;
m=8;
k=3;
th0=1.5; %初始摆角设置,不能超过p/2
v0=0; %初始摆速设置
. z.
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v=zeros(size(t)); % 程序存储变量预先初始化，可提高执行速度
th=zeros(size(t));
v(1)=v0;
th(1)=th0;
for i=1:length(t) % 仿真求解开场
v(i+1)=v(i)+(gsin(th(i))-k./m.v(i)).dt;
th(i+1)=th(i)-1./L.v(i).dt;
end%使用双坐标系统来作图
[A,B1,B2]=plotyy(t,v(1:length(t)),t,th(1:length(t)),''plot'');
set(B1,''LineStyle'',''-''); %设置图线型
set(B2,''LineStyle'','':'');
set(get(A(1),''Ylabel''),''String'',''线速度v(t)m/s'');%作标注
set(get(A(2),''Ylabel''),''String'','' 角位移\th(t)/rad'');
label(''时间t/s'');
legend(B1,''线速度v(t)'',2);
legend(B2,''角位移\th(t)'',1);
增大阻力系数 k=50 可以得大阻尼时单摆的运动情况
2.1.3 结果分析
小阻尼情况下，单摆运动不再是谐振动，其振幅不断缩小直到趋于平衡位置而停
顿，但还是周期运动。大阻尼情况下是非周期运动，很快回到平衡位置。
四.模型分析
本文从理想情况出发，建立了小角度、大角度两种模型，得到简谐运动和类
. z.
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似简谐运动。再以此为根底讨论了实际情况下受到阻力因素的影响，近似的得到
了单摆运动的运动规律的大小阻尼运动。
. z. |
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