在 COMSOL Multiphysics 6.0 版本中创建
NACA 0012 翼型周围的流场
此模型基于《COMSOL 软件许可协议》6.0 版本授权。
所有商标均为其各自所有者的财产。请参见 cn.comsol.com/trademarks。
简介
本例使用 SST 湍流模型模拟带攻角的 NACA 0012 翼型周围流动，并将结果与 Ladson
的升力数据（参考资料 1）以及 Gregory 和 O’Reilly 的压力数据（参考资料 2）等试验
数据进行比较。SST 模型结合了 k-? 模型的近壁功能和 k-? 模型超强的自由流特性，能
够精确模拟各种内部和外部流动问题。有关更多信息，请参阅 CFD Module User’s
Guide 中有关 SST 湍流模型的理论。
模型定义
假设基于弦长为 c???1.8 m 的 NACA 0012 翼型的参考坐标系为固定坐标系，流场相对于
该坐标系流动。空气的温度为 20 ?C，来流速度为 U
?
???50 m/s，来流马赫数为 0.15。基
于弦长的雷诺数约为 6·10
6
，因此您可以假设边界层在整个翼型上都是湍流状态。翼型
相对于来流的倾斜角度（即攻角）为 ?，
为了获得尖锐的后缘，我们将翼型的原始形状做了细微改变（参考资料 3），
计算域的上游边界、顶部和底部边界位于距翼型后缘 100 个弦长处，下游出口边界位
于距后缘 200 个弦长处。这是为了降低边界条件对流场的影响。
u
?
v
?
???U
?
??sin?cos??=
yc0.594689181 0.298222773
x
c
--? 0.127125232
x
c
--? ––
?
?
???=
0.357907906
x
c
--
??
??
2
0.291984971
x
c
--
??
??
3
? 0.105174696
x
c
--
??
??
4
?
?
?–+?
2 | NACA 0012 翼型周围的流场
图 1 显示流动域和远场边界条件，
图 1：流动域和远场边界条件。
参考资料 4 提供了远场处变量的湍流变量取值，
其中来流中湍动能的取值由下式给出
L 是计算域的前部长度。当前模型中来流的湍流参数使用的是允许值，
自由流条件
出口
?
?
110???
U
?
L
-------?=
?
T?
?
?
--------- 10
25???–
=
k
?
?
T?
?
?
=
?
?
10
U
?
L
-------?= k
?
0.1
?
?
U
?
L
--------------=
3 | NACA 0012 翼型周围的流场
图 2 显示完整的翼型形状。在翼型表面应用无滑移条件。
图 2：翼型的特写。
计算网格采用最外层单元与壁相邻单元之间尺寸比率较高的结构化网格。
势流解
设置初始速度场时，最简单的选择是给定恒定速度，但该速度不满足壁面无滑移条件。
求解势流方程可以获得更准确、更可靠的初始猜测值。
假设流动为无旋无黏流动，则速度势 定义为
速度势 必须满足不可压缩流动的连续性方程 。连续性方程可以表示为拉
普拉斯方程
这是势流方程。
计算出速度势 后，即可使用描述稳态流的伯努利方程近似得到压力：
?
u ??–=
?
? u? 0=
???–??? 0=
?
p
?
2
--- ??
2
–=
4 | NACA 0012 翼型周围的流场
结果与讨论
使用“参数化扫描”功能研究不同攻角 ? 下的流场：
图 3 显示 ????14?时???C???????翼型周围稳态流场的速度大小和流线。
图 3：NACA 0012 翼型周围流场的速度大小和流线。
??值较大时，后缘处会出现一个小分离涡，因此流动不太可能保持稳态和二维状态。
参考资料 1 提供了升力系数与攻角关系的实验数据，
其中压力系数定义为，
? 0? 2? 4? 6? 8? 10? 12? 14?????? ? ?=
C
L
??? c
p
s??c???n
y
s?? ??? n
x
s?? ???sin–cos ds
c
?
?
=
c
p
s??
ps?? p
?
–
1
2
---?
?
U
?
2
-----------------------=
5 | NACA 0012 翼型周围的流场
c 是弦长。请注意，壁面弧线的法线从流体域指向外部（矢量线插入翼型）。图 4 显示
升力系数随攻角变化的计算结果和实验结果对比。
图 4：升力系数随攻角变化的计算结果（实线）和实验结果（点）。
在已经计算的 ? 取值范围内，计算结果与实验结果之间没有明显的差异。实验结果一
直显示到翼型失速时的参数取值。图 5 显示 ????10? 时计算的压力系数与参考资料 2 中
的实验结果之间的比较。
6 | NACA 0012 翼型周围的流场
图 5：沿翼型的压力系数的计算结果（实线）和实验结果（点）。
实验数据仅可用于翼型的低压侧。计算结果与实验结果非常一致。
COMSOL 软件功能实现说明
模型采用 SST 湍流模型，并在一定攻角范围内执行参数化扫描来计算映射网格上的不
同流动。
速度分量的初始值是通过求解势流方程获得的，该方程是使用“偏微分方程”接口建
立的。
参考资料
1. C.L. Ladson, “Effects of Independent Variation of Mach and Reynolds Numbers on the Low-
Speed Aerodynamic Characteristics of the NACA 0012 Airfoil Section,” NASA TM 4074,
1988.
2. N. Gregory and C. L. O’Reilly, “Low-Speed Aerodynamic Characteristics of NACA 0012
Aerofoil Section, including the Effects of Upper-Surface Roughness Simulating Hoar Frost,”
A.R.C., R. & M. no. 3726, 1970.
7 | NACA 0012 翼型周围的流场
3. NASA Langley Research Center, Turbulence Modeling Resource, “2D NACA 0012 Airfoil
Validation Case,” http://turbmodels.larc.nasa.gov/naca0012_val.html
4. F.R. Menter, “Two-Equation Eddy-Viscosity Models for Engineering Applications,” AIAA
Journal, vol. 32, no. 8, pp. 1598–1605, 1994.
案例库路径：CFD_Module/Verification_Examples/naca0012_airfoil
建模操作说明
从文件菜单中选择新建。
新建
在新建窗口中， 单击模型向导。
模型向导
1在模型向导窗口中， 单击二维。
2在选择物理场树中选择数学>经典偏微分方程>拉普拉斯方程(lpeq)。
3单击添加。
4单击研究。
5在选择研究树中选择一般研究>稳态。
6单击完成。
拉普拉斯方程 (LPEQ)
1在模型开发器窗口的组件1(comp1)节点下，单击拉普拉斯方程(lpeq)。
2在拉普拉斯方程的设置窗口中， 单击以展开因变量栏。
3在因变量文本框中键入“phi”。
添加物理场
1在主屏幕工具栏中，单击添加物理场以打开添加物理场窗口。
2转到添加物理场窗口。
3在模型树中选择流体流动>单相流>湍流>湍流，SST (spf)。
4单击窗口工具栏中的添加到“组件1”。
5在主屏幕工具栏中，单击添加物理场以关闭添加物理场窗口。
8 | NACA 0012 翼型周围的流场
全局定义
参数 1
1在模型开发器窗口的全局定义节点下，单击参数1。
2在参数的设置窗口中， 定位到参数栏。
3在表中输入以下设置：
几何 1
圆 1 (c1)
1在几何工具栏中单击圆。
2在圆的设置窗口中， 定位到大小和形状栏。
3在半径文本框中键入“L”。
4在扇形角文本框中键入“90”。
5定位到旋转角度栏。 在旋转文本框中键入“90”。
参数化曲线 1 (pc1)
1在几何工具栏中单击更多体素，然后选择参数化曲线。
2在参数化曲线的设置窗口中， 定位到表达式栏。
3在x文本框中键入“cs”。
4在y文本框中键入“c0.594689181(0.298222773sqrt(s)-0.127125232s-
0.357907906s^2+0.291984971s^3-0.105174696s^4)”。
5定位到位置栏。 在x文本框中键入“-c”。
并集 1 (uni1)
1在几何工具栏中单击布尔操作和分割，然后选择并集。
名称表达式值描述
U_inf 50[ms^-1] 50 m/s
自由流速度
rho_inf 1.2043[kgm^-3] 1.2043 kg/m3
自由流密度
mu_inf 1.81397e-5[kgm^-1
s^-1]
1.814E-5 kg/(m·s)自由流动力黏度
L 180[m] 180 m
域参考长度
c 1.8[m] 1.8 m
弦长
k_inf 0.1mu_infU_inf/
(rho_infL)
4.184E-7 m2/s2自由流湍流动能
om_inf 10U_inf/L 2.7778 1/s
自由流比损耗速率
alpha 0 0
攻角
9 | NACA 0012 翼型周围的流场
2单击图形窗口，然后按 Ctrl+A 选择这两个对象。
删除实体 1 (del1)
1在模型开发器窗口中，右键单击几何1并选择删除实体。
2在删除实体的设置窗口中， 定位到要删除的实体或对象栏。
3从几何实体层列表中选择域。
4在对象uni1中，选择“域”2。
5单击构建所有对象。
6单击构建选定对象。
矩形 1 (r1)
1在几何工具栏中单击矩形。
2在矩形的设置窗口中， 定位到大小和形状栏。
3在宽度文本框中键入“L”。
4在高度文本框中键入“L”。
5单击构建选定对象。
6在图形工具栏中单击缩放到窗口大小按钮。
镜像 1 (mir1)
1在几何工具栏中单击变换，然后选择镜像。
2在镜像的设置窗口中， 定位到输入栏。
3选中保留输入对象复选框。
4单击图形窗口，然后按 Ctrl+A 选择这两个对象。
5定位到反射线法矢栏。 在x文本框中键入“0”。
6在y文本框中键入“1”。
7单击构建选定对象。
8在图形工具栏中单击缩放到窗口大小按钮。
网格控制边 1 (mce1)
1在几何工具栏中单击虚拟操作，然后选择网格控制边。
10 | NACA 0012 翼型周围的流场
2在对象fin中，选择“边界”1、2、4 和5。
3在几何工具栏中单击全部构建。
添加材料
1在主屏幕工具栏中，单击添加材料以打开添加材料窗口。
2转到添加材料窗口。
3在模型树中选择液体和气体>Gases>Air。
4单击窗口工具栏中的添加到组件。
5在主屏幕工具栏中，单击添加材料以关闭添加材料窗口。
拉普拉斯方程 (LPEQ)
1在模型开发器窗口的组件1(comp1)节点下，单击拉普拉斯方程(lpeq)。
2在拉普拉斯方程的设置窗口中， 定位到单位栏。
3单击定义因变量单位。
4在因变量物理量表中，输入以下设置：
5单击定义源项单位。
因变量物理量单位
定制单位
m^2/s
11 | NACA 0012 翼型周围的流场
6在源项物理量表中，输入以下设置：
狄利克雷边界条件 1
1在物理场工具栏中单击边界，然后选择狄利克雷边界条件。
2在狄利克雷边界条件的设置窗口中， 定位到边界选择栏。
3单击粘贴选择。
4在粘贴选择对话框中， 在选择文本框中键入“2”。
5单击确定。
通量/源 1
1在物理场工具栏中单击边界，然后选择通量/源。
2在通量/源的设置窗口中， 定位到边界选择栏。
3单击粘贴选择。
4在粘贴选择对话框中， 在选择文本框中键入“1”。
5单击确定。
6在通量/源的设置窗口中， 定位到边界通量/源栏。
7在g文本框中键入“-nxU_inf”。
湍流，SST (SPF)
由于密度变化不小，不能将流动视为不可压缩流。因此，将流动设为可压缩流。
1在模型开发器窗口的组件1(comp1)节点下，单击湍流，SST (spf)。
2在湍流，SST的设置窗口中， 定位到物理模型栏。
3从可压缩性列表中选择可压缩流动(Ma<0.3)。
4定位到湍流栏。 从壁处理列表中选择低雷诺数。
流体属性 1
1在模型开发器窗口的组件1(comp1)>湍流，SST (spf)节点下，单击流体属性1。
2在流体属性的设置窗口中， 定位到距离方程栏。
3从l
ref
列表中选择手动。
4在文本框中键入“0.2”。
入口 1
1在物理场工具栏中单击边界，然后选择入口。
源项物理量单位
定制单位
s^-1
12 | NACA 0012 翼型周围的流场
2选择“边界”1。
通过使用选择列表窗口来选择正确边界可能更便捷。要打开此窗口，在主屏幕工具栏
中单击窗口并选择选择列表。（如果您正运行跨平台桌面，则在主菜单中可以找到窗
口）。
3在入口的设置窗口中， 定位到湍流条件栏。
4单击指定湍流变量按钮。
5在k
0
文本框中键入“k_inf”。
6在?
0
文本框中键入“om_inf”。
7定位到速度栏。 单击速度场按钮。
8将u
0
矢量指定为
初始值 1
1在模型开发器窗口中，单击初始值1。
2在初始值的设置窗口中， 定位到初始值栏。
U_infcos(alphapi/180) x
U_infsin(alphapi/180) y
13 | NACA 0012 翼型周围的流场
3将u矢量指定为
4在p文本框中键入“-spf.rho/2(phix^2+phiy^2)”。
5在k文本框中键入“k_inf”。
6在om文本框中键入“om_inf”。
开放边界 1
1在物理场工具栏中单击边界，然后选择开放边界。
2选择“边界”2。
3在开放边界的设置窗口中， 定位到湍流条件栏。
4单击指定湍流变量按钮。
5在k
0
文本框中键入“k_inf”。
6在?
0
文本框中键入“om_inf”。
网格 1
映射 1
1在网格工具栏中单击映射。
2在映射的设置窗口中， 定位到域选择栏。
3从几何实体层列表中选择域。
4选择“域”3。
5单击以展开控制实体栏。 清除跨移除的控制实体进行平滑复选框。
分布 1
1右键单击映射1并选择分布。
2选择“边界”11。
3在分布的设置窗口中， 定位到分布栏。
4从分布类型列表中选择预定义。
5在单元数文本框中键入“100”。
6在单元大小比文本框中键入“15000000”。
7从增长率列表中选择指数。
8选中反向复选框。
-phix x
-phiy y
14 | NACA 0012 翼型周围的流场
分布 2
1在模型开发器窗口中，右键单击映射1并选择分布。
2选择“边界”7。
3在分布的设置窗口中， 定位到分布栏。
4从分布类型列表中选择预定义。
5在单元数文本框中键入“25”。
6在单元大小比文本框中键入“25”。
7从增长率列表中选择指数。
分布 3
1右键单击映射1并选择分布。
2选择“边界”12。
3在分布的设置窗口中， 定位到分布栏。
4从分布类型列表中选择预定义。
5在单元数文本框中键入“25”。
6在单元大小比文本框中键入“480000”。
7从增长率列表中选择指数。
8选中反向复选框。
分布 4
1右键单击映射1并选择分布。
2选择“边界”2。
3在分布的设置窗口中， 定位到分布栏。
4在单元数文本框中键入“100”。
映射 2
1在网格工具栏中单击映射。
2在映射的设置窗口中， 定位到域选择栏。
3从几何实体层列表中选择域。
4选择“域”1 和4。
5定位到控制实体栏。 清除跨移除的控制实体进行平滑复选框。
分布 1
1右键单击映射2并选择分布。
15 | NACA 0012 翼型周围的流场
2选择“边界”9–11。
3在分布的设置窗口中， 定位到分布栏。
4从分布类型列表中选择预定义。
5在单元数文本框中键入“100”。
6在单元大小比文本框中键入“15000000”。
7从增长率列表中选择指数。
分布 2
1在模型开发器窗口中，右键单击映射2并选择分布。
2选择“边界”3 和4。
3在分布的设置窗口中， 定位到分布栏。
4从分布类型列表中选择预定义。
5在单元数文本框中键入“256”。
6在单元大小比文本框中键入“256”。
7从增长率列表中选择指数。
8选中对称分布复选框。
映射 3
1在网格工具栏中单击映射。
2在映射的设置窗口中， 定位到域选择栏。
16 | NACA 0012 翼型周围的流场
3从几何实体层列表中选择域。
4选择“域”2。
5定位到控制实体栏。 清除跨移除的控制实体进行平滑复选框。
分布 1
1右键单击映射3并选择分布。
2选择“边界”10。
3在分布的设置窗口中， 定位到分布栏。
4从分布类型列表中选择预定义。
5在单元数文本框中键入“100”。
6在单元大小比文本框中键入“15000000”。
7从增长率列表中选择指数。
分布 2
1在模型开发器窗口中，右键单击映射3并选择分布。
2选择“边界”1。
3在分布的设置窗口中， 定位到分布栏。
4从分布类型列表中选择预定义。
5在单元数文本框中键入“25”。
6在单元大小比文本框中键入“25”。
7从增长率列表中选择指数。
8选中反向复选框。
分布 3
1右键单击映射3并选择分布。
2选择“边界”8。
3在分布的设置窗口中， 定位到分布栏。
4在单元数文本框中键入“100”。
5在模型开发器窗口中，右键单击网格1并选择全部构建。
研究 1
步骤 1：稳态
1在模型开发器窗口的研究1节点下，单击步骤1：稳态。
2在稳态的设置窗口中， 定位到物理场和变量选择栏。
17 | NACA 0012 翼型周围的流场
3在表格中，清除湍流，SST (spf)的求解复选框。
4在主屏幕工具栏中单击计算。
定义
视图 1
在模型开发器窗口中展开组件1(comp1)>定义节点。
轴
1在模型开发器窗口中展开视图1节点，然后单击轴。
2在轴的设置窗口中， 定位到轴栏。
3在x最小值文本框中键入“-2.5”。
4在x最大值文本框中键入“0.5”。
5在y最小值文本框中键入“-1.1”。
6在y最大值文本框中键入“1.1”。
7单击更新。
视图 1
1在模型开发器窗口中，单击视图1。
2在视图的设置窗口中， 定位到视图栏。
3选中锁定轴复选框。
结果
势流
1在模型开发器窗口的结果节点下，单击二维绘图组1。
2在二维绘图组的设置窗口中， 定位到绘图设置栏。
3从视图列表中选择视图1。
4右键单击结果>二维绘图组1并选择重命名。
5在重命名“二维绘图组”对话框中， 在新标签文本框中键入“势流”。
6单击确定。
表面 1
1在模型开发器窗口中展开势流节点，然后单击表面1。
2在表面的设置窗口中， 定位到表达式栏。
3在表达式文本框中键入“sqrt(phix^2+phiy^2)”。
18 | NACA 0012 翼型周围的流场
流线 1
1在模型开发器窗口中，右键单击势流并选择流线。
2在流线的设置窗口中， 定位到表达式栏。
3在x分量文本框中键入“-phix”。
4在y分量文本框中键入“-phiy”。
5定位到流线定位栏。 从定位列表中选择起点控制。
6从定义方法列表中选择坐标。
7在x文本框中键入“0”。
8在y文本框中键入“range(-2,0.025,2)”。
势流
1在模型开发器窗口中，单击势流。
2在二维绘图组的设置窗口中， 单击以展开标题栏。
3从标题类型列表中选择手动。
4在标题文本区中键入“势流解的速度大小和流线”。
5在势流工具栏中单击绘制。
添加研究
1在主屏幕工具栏中，单击添加研究以打开添加研究窗口。
2转到添加研究窗口。
3找到研究子栏。 在选择研究树中选择所选物理场接口的预设研究>湍流，SST>带初始化
的稳态。
4单击窗口工具栏中的添加研究。
5在主屏幕工具栏中，单击添加研究以关闭添加研究窗口。
研究 2
步骤 1：壁距离初始化
1在壁距离初始化的设置窗口中， 定位到物理场和变量选择栏。
2在表格中，清除拉普拉斯方程(lpeq)的求解复选框。
3单击以展开因变量值栏。 找到已求解变量的初始值子栏。 从设置列表中选择用户控制。
4找到不求解变量的值子栏。 从设置列表中选择用户控制。
5从研究列表中选择研究1,稳态。
步骤 2：稳态
1在模型开发器窗口中，单击步骤2：稳态。
19 | NACA 0012 翼型周围的流场
2在稳态的设置窗口中， 定位到物理场和变量选择栏。
3在表格中，清除拉普拉斯方程(lpeq)的求解复选框。
4单击以展开因变量值栏。 找到已求解变量的初始值子栏。 从设置列表中选择用户控制。
5从研究列表中选择研究1,稳态。
6单击以展开研究扩展栏。 选中辅助扫描复选框。
7单击添加。
8在表中输入以下设置：
9在主屏幕工具栏中单击计算。
结果
线积分 1
1在结果工具栏中单击更多派生值，然后选择积分>线积分。
2选择“边界”3 和4。
3在线积分的设置窗口中， 定位到表达式栏。
4在表中输入以下设置：
5定位到数据栏。 从数据集列表中选择研究2/解2(sol2)。
6单击计算。
表格
1转到表格窗口。
2单击窗口工具栏中的表图。
结果
表格 2
1在结果工具栏中单击表格。
2在表格的设置窗口中， 定位到数据栏。
3单击导入。
参数名称参数值列表参数单位
alpha (攻角)
0,2,4,6,8,10,12,14
表达式单位描述
p/(1/2rho_infU_inf^2)/c(spf.nymeshcos(alpha
pi/180)-spf.nxmeshsin(alphapi/180))
1
20 | NACA 0012 翼型周围的流场
4浏览到该 App 的“案例库”文件夹，然后双击文件
naca0012_airfoil_Ladson_CL.dat。
表图 2
1在模型开发器窗口中，右键单击一维绘图组5并选择表图。
2在表图的设置窗口中， 定位到数据栏。
3从表格列表中选择表格2。
4定位到着色和样式栏。 找到线样式子栏。 从线列表中选择无。
5从颜色列表中选择蓝色。
6找到线标记子栏。 从标记列表中选择点。
7从定位列表中选择数据点中。
一维绘图组 5
1在模型开发器窗口中，单击一维绘图组5。
2在一维绘图组的设置窗口中， 单击以展开标题栏。
3从标题类型列表中选择手动。
4在标题文本区中键入“升力 vs. 攻角”。
5定位到绘图设置栏。 选中x轴标签复选框。
6在关联文本框中键入“\alpha”。
7选中y轴标签复选框。
8在关联文本框中键入“CL”。
9在一维绘图组 5工具栏中单击绘制。
表格 3
1在结果工具栏中单击表格。
2在表格的设置窗口中， 定位到数据栏。
3单击导入。
4浏览到该 App 的“案例库”文件夹，然后双击文件
naca0012_airfoil_Gregory_OReilly_Cp.dat。
表格
1转到表格窗口。
2单击窗口工具栏中的表图。
21 | NACA 0012 翼型周围的流场
结果
表图 1
1在模型开发器窗口的结果>一维绘图组6节点下，单击表图1。
2在表图的设置窗口中， 定位到着色和样式栏。
3找到线样式子栏。 从线列表中选择无。
4从颜色列表中选择蓝色。
5找到线标记子栏。 从标记列表中选择点。
6从定位列表中选择数据点中。
线结果图 1
1在模型开发器窗口中，右键单击一维绘图组6并选择线结果图。
2在线结果图的设置窗口中， 定位到数据栏。
3从数据集列表中选择研究2/解2(sol2)。
4从参数选择(alpha)列表中选择来自列表。
5从参数值(alpha)列表中选择10。
6定位到选择栏。 单击粘贴选择。
7在粘贴选择对话框中， 在选择文本框中键入“3 4”。
8单击确定。
9在线结果图的设置窗口中， 定位到y轴数据栏。
10在表达式文本框中键入“-p/(1/2rho_infU_inf^2)”。
11定位到x轴数据栏。 从参数列表中选择表达式。
12在表达式文本框中键入“(x+c)/c”。
13在一维绘图组 6工具栏中单击绘制。
一维绘图组 6
1在模型开发器窗口中，单击一维绘图组6。
2在一维绘图组的设置窗口中， 定位到标题栏。
3从标题类型列表中选择无。
4定位到绘图设置栏。 选中x轴标签复选框。
5在关联文本框中键入“(x-xLE)/c”。
6选中y轴标签复选框。
7在关联文本框中键入“-cp”。
8在一维绘图组 6工具栏中单击绘制。
22 | NACA 0012 翼型周围的流场
速度 (spf)
1在模型开发器窗口中，单击速度(spf)。
2在二维绘图组的设置窗口中， 定位到绘图设置栏。
3从视图列表中选择视图1。
流线 1
右键单击速度(spf)并选择流线。
流线 1
1在模型开发器窗口中展开结果>速度(spf)节点，然后单击流线1。
2在流线的设置窗口中， 定位到表达式栏。
3在x分量文本框中键入“u”。
4在y分量文本框中键入“v”。
5定位到流线定位栏。 从定位列表中选择起点控制。
6从定义方法列表中选择坐标。
7在x文本框中键入“0”。
8在y文本框中键入“range(-2,0.025,2)”。
9在速度 (spf)工具栏中单击绘制。
23 | NACA 0012 翼型周围的流场
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