高一数学错题笔记
易错题型一：集合与常用逻辑用语
【典型例题】
1. 已知集合 M={y|y =x2＋ 1,x∈ R},N={y|y =x＋ 1,x∈ R}，则 M∩N=（ ）
A．（ 0， 1），（ 1， 2） B． {（ 0， 1），（ 1， 2） }
C． {y|y=1,或 y=2} D． {y|y≥1}
【错解】
求 M∩N 及解方程组
??
? += += 112xy xy 得 ???==10yx 或 ??? ==21yx ∴选 B
【易错分析】
在集合概念的理解上，仅注意了 构成集合元素的共同属性 ，而忽视了 集合的元素 是什么．事
实上 M、 N 的元素是数而不是实数对 (x,y)，因此 M、 N 是数集而不是点集 , M、 N 分别
表示函数 y=x2＋ 1(x∈ R)， y=x＋ 1(x∈ R)的值域，求 M∩N 即求两函数值域的交集 ．
【正确答案】
M={y|y=x2＋ 1,x∈ R}={y|y≥1}， N={y|y=x＋ 1,x∈ R}={y|y∈ R}．
∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈ R)}={y|y≥1},
∴应选 D。
注 ：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分 {x|y=x2＋ 1}、 {y|y=x2
＋ 1,x∈ R}、 {(x,y)|y=x2＋ 1,x∈ R}，这三个集合是不同的。
【解析】
分别求解二次函数的值域和一次函数的值域化简集合 M 和集合 N，然后直接利
用交集的运算求解。
2. 已知 A={x|x2－ 3x＋ 2=0},B={x|ax－ 2=0}且 A∪B=A，求实数 a 组成的集合 C．
【错解】
由 x2－ 3x＋ 2=0 得 x=1 或 2。
当 x=1 时， a=2， 当 x=2 时， a=1。
【易错分析】
上述解答只注意了 B 为非空集合，实际上， B= 时，仍满足 A∪B=A。
当 a=0 时， B= ，符合题设，应补上，故 正确答案为 C={0， 1， 2}。
【正确答案】
∵A∪B=A ∴B A 又 A={x|x2－ 3x＋ 2=0}={1， 2}
∴B= 或 ?? ??21或 ∴C={0， 1， 2}
【解析】
解二次方程 x2﹣ 5x+6＝ 0 可以求出集合 A，根据 A∪B＝ A 可得 B?A，分 B＝ {2}、 B
＝ {3}、 B＝Φ，三种情况分别求出对应的 a 值，即可求出实数 a 组成的集合 C。
3. 已知集合 A={x|x2－ 3x－ 10≤0}，集合 B={x|p＋ 1≤x≤2p－ 1}．若 B A，求实数 p 的取
值范围。
【错解】
由 x2－ 3x－ 10≤0 得－ 2≤x≤5．
欲使 B A，只须 33
512 12 ??????? ?? +?? pp p
∴ p 的取值范围是－ 3≤p≤3.
【易错分析】
上述解答忽略了 "空集是任何集合的子集 "这一结论，即 B= 时，符合题设。
【正确答案】
①当 B≠ 时，即 p＋ 1≤2p－ 1 p≥2.
由 B A 得：－ 2≤p＋ 1 且 2p－ 1≤5。
由－ 3≤p≤3。
∴ 2≤p≤3
②当 B= 时，即 p＋ 1>2p－ 1 p＜ 2。
由①、②得： p≤3。
【解析】
化简集合 A，由 B?A 可得 B=?或 B≠?．当 B=?时，由 p+1＞ 2p-1，求出 p 的
范围；当 B≠?时，由
??
???
5≤1-2p
1-2p≤1+p
1+p≤2- ，解得 p 的范围，再把这两个 p 的范围取
并集即得所求。
【知识导学】
集合： 一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。
元素： 集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元。
子集： 如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素（若 Aa? 则 Ba? ），则称集合
A 为集合 B 的子集，记为 A? B 或 B? A；如果 A? B，并且 A? B，这时集合 A 称为
集合 B 的真子集，记为 A B 或 B A。
集合的相等： 如果集合 A、 B 同时满足 A? B、 B? A，则 A=B。
补集： 设 A? S，由 S 中不属于 A 的所有元素组成的集合称为 S 的子集 A 的补集，记
为 ACs 。
全集： 如果集合 S 包含所要研究的各个集合，这时 S 可以看做一个全集，全集通常记
作 U。
交集： 一般地，由所有属于集合 A 且属于 B 的元素构成的集合，称为 A 与 B 的交集，
记作 A? B。
并集： 一般地，由所有属于集合 A 或者属于 B 的元素构成的集合，称为 A 与 B 的并集，
记作 A? B。
空集： 不含任何元素的集合称为空集，记作 ? 。
有限集： 含有有限个元素的集合称为有限集。
无限集： 含有无限个元素的集合称为无限集。
集合的常用表示方法： 列举法、描述法、图示法（ Venn 图）。
常用数集的记法： 自然数集记作 N，正整数集记作 N+或 N ，整数集记作 Z，有理数
集记作 Q，实数集记作 R。
【典例分析】
1. 将下列命题改写成“若 p 则 q”的形式，并写出否命题 : a>o 时，函数 y=ax+b 的值随
x 值的增加而增加。
【错解】
原命题改为：若 a>o 时， x 的值增加，则函数 y=ax+b 的值也随着增加。
【易错分析】
如果从字面上分析最简单的方法是将 a>o 看作条件，将“随着”看作结论 ，而 x 的值
增加， y 的值也增加看作研究的对象，那么原命题改为若 a>o 时，则函数 y=ax+b 的
值随着 x 的值增加而增加 ，其否命题为若 a? o 时，则函数 y=ax+b 的值不随 x 值的
增加而增加 .此题错解在注意力集中在 “增加” 两个字上，将 x 值的增加当做条件，又
不把 a>o 看作前提，就变成两个条件的命题，但写否命题时又没按两个条件的规则写，
所以就错了。
【正确答案】
原命题改为： a>o 时，若 x 的值增加，则函数 y=ax+b 的值也随着增加。
否命题为： a>o 时，若 x 的值不增加，则函数 y=ax+b 的值也不增加。
原命题也可改为：当 x 的值增加时，若 a>o，，则函数 y=ax+b 的值也随着增加。
否命题为： 当 x 增加时，若 a? o，则函数 y=ax+b 的值不增加。
2. 已知 h>0，设命题甲为：两个实数 a、 b 满足 hba 2?? ，命题乙为：两个实数 a、 b
满足 ha ?? |1 且 hb ?? |1 ，那么
A．甲是乙的充分但不必要条件 B．甲是乙的必要但不充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件
【错解】
hba 2?? ? hhhba +=???? 2)1()1( ? ha ?? |1| , hb ?? |1|
故本题应选 C.
【易错分析】
（ 1）对 充分、必要、充要条件 的概念分不清，无从判断，凭猜测产生错误；
（ 2）不能运用 绝对值不等式性质 作正确推理而产生错误。
【正确答案】
因为 ,
1
1
????
?
??
??
hb
ha 所以 ,11
??? ???? ???? hbh hah
两式相减得 hbah 22 ???? , 故 hba 2??
即由命题甲成立推出命题乙成立，所以甲是乙的必要条件。
由于
????
?
??
??
hb
ha
2
2
同理也可得 hba 2??
因此，命题甲成立不能确定命题乙一定成立，所以甲不是乙的充分条件，故应选 B。
【解析】
|a|+|b|≥|a+b|的合理运用，以及巧妙运用 |a-1|+|1-b|的使用，是解答甲是乙
的必要条件的一个关键；充分条件的推导用的是特殊值否定法。
3. 已知命题甲： a+b? 4, 命题乙 :a 1? 且 b 3? ，则命题甲是命题乙的 。
【错解】
由逆否命题与原命题同真同假知，若 a=1 且 b=3 则 a+b=4 成立，所以命题甲是命题
乙的充分不必要条件。
【易错分析】
对命题的否定不正确 .a 1? 且 b 3? 的否定是 a=1 或 b=3。
【正确答案】
当 a+b? 4 时 ,可选取 a=1,b=5，故此时 a 1? 且 b 3? 不成立 (?a=1)。
同样， a 1? ,且 b 3? 时，可选取 a=2,b=2,a+b=4，故此时 a+b=4。
因此，甲是乙的既不充分也不必要条件。
注： a 1? 且 b 3? 为真时，必须 a 1? ,b 3? 同时成立。
【知识导学】
逻辑联结词： “且”、“或”、 “非”分别用符号“ ? ”“ ? ”“ ? ”表示。
命题： 能够判断真假的陈述句。
简单命题： 不含逻辑联结词的命题
复合命题： 由简单命题和逻辑联结词构成的命题 ， 复合命题的基本形式： p 或 q； p 且
q；非 p。
四种命题的构成： 原命题：若 p 则 q； 逆命题：若 q 则 p；否命题：若 p 则 q ；
逆否命题：若 q 则 p。
原命题与逆否命题同真同假 ，是等价命题，即“若 p 则 q” “若 q 则 p ” 。
反证法： 欲证“若 p 则 q”，从“非 q”出发，导出矛盾，从而知“若 p 则非 q”为假，
即“若 p 则 q”为真 。
充分条件与必要条件 ：
① p q ： p 是 q 的充分条件； q 是 p 的必要条件；
② p q ： p 是 q 的充要条件 .
常用的全称量词： “对所有的”、“ 对任意一个”“ 对一切”“ 对每一个”“任给”
等；并用符号“ ? ” 表示 .含有全称量词的命题叫做全称命题。
常用的存在量词： “存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、 “有的”、
“对某个”； 并用符号“ ? ”表示 .含有存在量词的命题叫做特称命题。
易错题型二：函数概念与基本初等函数
【典型例题】
1. 已知函数 ()fx的定义域为 [0， 1]，求函数 ( 1)fx+ 的定义域。
【错解】
由于函数 ()fx的定义域为 [0， 1]，即 01x??， 1 1 2x? ? + ?
∴ ( 1)fx+ 的定义域是 [1， 2]
【易错分析】
对 函数定义域 理解不透，不明白 ()fx与 ( ( ))f ux 定义域之间的区别与联系，其实在这
里只要明白： ()fx中 x 取值的范围与 ( ( ))f ux 中式子 ()ux 的取值范围一致就好了。
【正确答案】
由于函数 ()fx的定义域为 [0， 1]，即 01x??
∴ ( 1)fx+ 满足
0 1 1x? ? + ?
10x? ? ? ，
∴ ( 1)fx+ 的定义域是 [－ 1， 0]
2. 已知： ,xN? 5 ( 6 )()
( 2 ) ( 6 )xxfx f x x???= ? +??
，求 (3)f 。
【错解】
∵ 5 ( 6 )()
( 2 ) ( 6 )xxfx f x x???= ? +??
，∴ ( 2 ) ( 2 ) 5 3f x x x+ = + ? = ?
故 5 ( 6)()
3 ( 6)xxfx ???= ? ???
，∴ (3)f ＝ 3－ 3＝ 0。
【易错分析】
没有理解 分段函数 的意义， (3)f 的自变量是 3，应代入 ( 2)fx+ 中去，而不是代入 x －
5 中，只有将 自变量化为不小于 6 的数 才能代入解析式求解。
【正确答案】
∵ 5 ( 6 )()
( 2 ) ( 6 )xxfx f x x???= ? +??
，
∴ (3)f ＝ (3 2) (5)ff+= ＝ (5 2) (7)ff+= ＝ 7-5＝ 2
3. 求函数 2( ) 4 6y f x x x= = ? +， [1,5)x? 的值域 .
【错解】
22(1 ) 1 4 1 6 3 , ( 5 ) 5 4 5 6 1 1ff= ? ? + = = ? ? + =
又 [1,5)x? ， ()fx? 的值域是 ? )311，
【易错分析】
对函数定义中，输入定义域中 每一个 x 值都有唯一的 y 值与之对应 ，错误地理解为 x
的两端点时函数值就是 y 的取值范围了。
【正确答案】
配方，得 22( ) 4 6 ( 2 ) 2y f x x x x= = ? + = ? +
∵ [1,5)x? ，对称轴是 2x= ∴当 2x= 时，函数取最小值为 (2)f = 2，
( ) (5) 11f x f?=
()fx? 的值域是 ? )211，
【知识导学】
映射： 一般地，设 A、 B 两个集合，如果按照某种对应法则 f ，对于集合 A 中的任何
一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的单值对应叫做集合 A 到
集合 B 的 映射 ，记作 f： A→ B.(包括集合 A、 B 及 A 到 B 的对应法则 )
函数： 设 A， B 都是非空的数集，如果按某种对应法则 f ，对于集合 A 中每一个元素
x ，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，且 B 中每一个元素都的原象，这样的对应
叫做从集合 A 到集合 B 的一个 函数 ，记作 ()y f x= .
其中所有的输入值 x 组成的集合 A 称为函数 ()y f x= 定义域，对于 A 中的每一个 x ，
都有一个输出值 y 与之对应，我们将所有输出值 y 组成的集合称为函数的值域 .
反函数： 一般地，设函数 y=f(x)(x∈ A)的值域是 C，根据这个函数中 x,y 的关系，用 y
把 x 表示出 来 ，得到 x=f-1(y). 若对于 y 在 C 中的任何一个值，通过 x 在 A 中都有唯
一的值和它对应，那么 x=f-1(y)就表示 y 是自变量， x 是自变量 y 的函数，这样的函数叫做
函数 y=f(x)(x∈ A)的 反函数 ，记作 x=f-1(y). 我们一般用 x 表示自变量，用 y 表示函数，为
此我们常常对调函数 x=f-1(y)中的字母 x,y，把它改写成 y=f-1(x) 反函数 y=f-1(x)的定义
域、值域分别是函数 y=f(x)的值域、定义域。
【典型例题】
1. 判断 22( ) log ( 1)f x x x= + +的奇偶性。
【错解】
∵ )1(lo g)1)((lo g)( 2222 ++?=+?+?=? xxxxxf
∴ )()( xfxf ?? 且 )()( xfxf ???
所以该函数既不是奇函数也不是偶函数。
【易错分析】
对数运算公式不熟悉，或者说 奇偶性的判别方法 不灵活 .定义中 f(-x)=-f(x)
f(-x)=f(x)，也可改为研究 f(-x)+f(x) =0 ， f(-x)-f(x)＝ 0 是否成立。
【正确答案】
方法一： ∵ )1(lo g)1)((lo g)( 2222 ++?=+?+?=? xxxxxf
＝
11log 22 ++ xx
＝ )1(log 22 ++? xx ＝－ )(xf
∴ )(xf 是奇函数
方法二： ∵ )1(lo g)1(lo g)()( 2222 ++?+++=?+ xxxxxfxf
＝ 01lo g)1()1[(lo g 2222 ==++??++ xxxx
)()( xfxf ?=? ∴ )(xf 是奇函数
2. 函数 y= 245 xx?? 的单调增区间是 _________。
【错解】
因为函数 2( ) 5 4g x x x= ? ?的对称轴是 2x=? ，图像是抛物线，开口向下，由图可知
2( ) 5 4g x x x= ? ?在 ( , 2]??? 上 是 增 函 数 ， 所 以 y= 245 xx?? 的 增 区 间 是
( , 2]??? 。
【易错分析】
在求单调性的过程中注意到了复合函数的单调性研究方法，但没有考虑到 函数的单调性
只能在函数的定义域内来讨论，从而 忽视了函数的定义域 ，导致了解题的错误 .
【正确答案】
y= 245 xx?? 的定义域是 [5,1]? ，又 2( ) 5 4g x x x= ? ?在区间 [ 5, 2]?? 上增函数，
在区间 [2,1]? 是减函数，所以 y= 245 xx?? 的增区间是 [ 5, 2]??
3. 已知奇函数 f(x)是定义在 (－ 3， 3)上的减函数，且满足不等式 f(x－ 3)+f(x2－ 3)<0,求 x
的取值范围。
【错解】
∵f(x)是奇函数，∴ f(x－ 3)<－ f(x2－ 3)= f (3－ x2),又 f(x)在 (－ 3， 3)上是减函数，
∴x－ 3>3－ x2,即 x2+x－ 6>0
解得 x>2 或 x<－ 3
又 f(x)是定义在 (－ 3， 3)上的函数，
所以 2＜ x＜ 3
【易错分析】
只考虑到奇函数与单调性，而没有正确理解 函数的定义域。
【正确答案】
由
??
? ??? ??
??
? ???? ???? 66 60333 333
2 x
xxx 得,故 0
又∵ f(x)是奇函数，∴ f(x－ 3)<－ f(x2－ 3)=f(3－ x2),又 f(x)在 (－ 3， 3)上是减函数，
∴x－ 3>3－ x2,即 x2+x－ 6>0,解得 x>2 或 x<－ 3,综上得 2
【解析】
我们要求 x 的范围只能运用函数的单调性先脱去“ f”号，然后根据 f（ x）是
减函数，求出 x 的范围。
【知识导学】
函数的单调性：
（ 1） 增函数： 一般地，设函数 ()y f x= 的定义域为 I，如果定义域 I 内某个区间上任意
两个自变量的值 x1,x2,当 x1＜ x2 时，都有 f(x1)
（ 2） 减函数： 一般地，设函数 ()y f x= 的定义域为 I，如果定义域 I 内某个区间上任意
两个自变量的值 x1,x2,当 x1＜ x2 时 ,都有 f(x1)＞ f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是减函数 .
（ 3） 单调性 （单调区间）如 y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数 f(x)
在这区间上具有单调性，这一区间叫做函数 y=f(x)的单调区间 .
函数的奇偶性：
（ 1） 奇函数： 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(－ x) =－ f(x)，
那么函数 f(x)就叫做奇函数 .
（ 2） 偶函数 ：一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(－ x) =f(x)，
那么函数 f(x)就叫做偶函数 .
（ 3）如果函数 f(x)是奇函数或偶函数，那么就说 f(x)具有奇偶性 .
函数的图像： 将自变量的一个值 x0 作为横坐标，相应的函数值 f(x0)作为纵坐标，就得
到平面内的一个点（ x0,f(x0)），当自变量取遍函数定义域内的每一个值时，就得到一系
列这样的点，所有这些点的集合（点集）组成的图形就是函数 y=f(x)的图像 .
【典型例题】
1. 分析方程 2( ) 0f x ax bx c= + + =（ 0a? ）的两个根都大于 1 的充要条件 .
【错解】
由于方程 2( ) 0f x ax bx c= + + =（ 0a? ）对应的二次函数为 2()f x ax bx c= + +的
图像与 x 轴交点的横坐标都大于 1 即可 .
故需满足 (1) 0
12
f
b
a
???
????
?
，所以充要条件是 (1) 0
12
f
b
a
???
????
?
【易错分析】
上述解法中，只考虑到二次函数与 x 轴交点坐标要大于 1，却忽视了最基本的的前题条
件，应让 二次函数图像与 x 轴有交点 才行，即满足 △≥0，故上述解法得到的不是充要
条件，而是必要不充分条件 .
【正确答案】
充要条件是
2
(1) 0
12
40
f
b
a
b ac
??
??
???
?
?? = ? ??
2. 求函数 36 12 6 5xxy = ? ? ?的单调区间 .
【错解】
令 6x t= ，则 36 12 6 5xxy = ? ? ?＝ 2 12 5tt? ? ?
∴当 t≥6,即 x≥1 时， y 为关于 t 的增函数，
当 t≤6,即 x≤1 时， y 为关于 t 的减函数
∴函数 36 12 6 5xxy = ? ? ?的单调递减区间是 ( ,6]?? ，单调递增区间为 [6, )+?
【易错分析】
本题为复合函数，该解法未考虑中间 变量的取值范围 .
【正确答案】
令 6x t= ，则 6xt= 为增函数， 36 12 6 5xxy = ? ? ?＝ 2 12 5tt? ? ? ＝ 2( 6) 41t??
∴当 t≥6,即 x≥1 时， y 为关于 t 的增函数，
当 t≤6,即 x≤1 时， y 为关于 t 的减函数
∴函数 36 12 6 5xxy = ? ? ?的单调递减区间是 ( ,1]?? ，单调递增区间为 [1, )+?
3. 已知 )2(log axy a ?= 在 [0， 1]上是 x 的减函数，则 a 的取值范围是
【错解】
∵ )2(log axy a ?= 是由 uy alog= ， axu ?=2 复合而成，又 a ＞ 0
∴ axu ?=2 在 [0， 1]上是 x 的减函数，由复合函数关系知
uy alog= 应为增函数，∴ a ＞ 1
【易错分析】
解题中虽然考虑了对数函数与一次函数复合关系，却忽视了数 定义域 的限制，单调区间
应是定义域的某个子区间，即 函数应在 [0， 1]上有意义 .
【正确答案】
∵ )2(log axy a ?= 是由 uy alog= ， axu ?=2 复合而成，又 a ＞ 0
∴ axu ?=2 在 [0， 1]上是 x 的减函数，由复合函数关系知
uy alog= 应为增函数，∴ a ＞ 1
又由于 x 在 [0， 1]上时 )2(log axy a ?= 有意义， axu ?=2 又是减函数，
∴x ＝ 1 时， axu ?=2 取最小值是 au ?=2min ＞ 0 即可， ∴a ＜ 2
综上可知所求的取值范围是 1＜ a ＜ 2
【知识导学】
二次函数的概念、图像和性质 .
（ 1）注意解题中灵活运用二次函数的一般式 2( ) ( 0 )f x a x b x c a= + + ?
二次函数的顶点式 2( ) ( ) ( 0 )f x a x m n a= ? + ?
二次函数的坐标式 12( ) ( )( ) ( 0 )f x a x x x x a= ? ? ?
（ 2）解二次函数的问题（如单调性、最值、值域、二次三项式的恒正恒负、二次方程根
的范围等）要充分利用好两种方法： 配方、图像 ，很多二次函数都用 数形结合 的思想去解 .
① 2( ) ( 0 )f x a x b x c a= + + ?，当 2 40b ac? = ? ?时图像与 x 轴有两个交点 .
M（ x1,0） N(x2,0),|MN|=| x1- x2|=
||a?
.
② 二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数的顶点
处取得 .
指数函数 xya= ( 0, 1)aa??和对数函数 logayx= ( 0, 1)aa??的概念和性质 .
（ 1）有理指数幂的意义、幂的运算法则：
① m n m na a a +?= ；② ()m n mnaa= ；③ ()n n nab a b= （这时 m,n 是有理数）
对数的概念及其运算性质、换底公式 .
l o g ( ) l o g l o g ; l o g l o g l o g
a a a a a aMM N M N M NN? = + = ?
1l o g l o g ; l o g l o gn na a a aM n M M Mn==； loglog logca
c
bb a=
（ 2）指数函数的图像、单调性与特殊点，对数函数的图像、单调性与特殊点 .
①指数函数图像永远在 x 轴上方，当 a＞ 1 时，图像越接近 y 轴，底数 a 越大；当 0
时，图像越接近 y 轴，底数 a 越小。
②对数函数的符号常受到底数和真数的范围的制约，注意对底数 a 的讨论 .。
③当 a>1 时，图像越接近 x 轴，底数 a 越大 ; 当 0
小。
幂函数 yx?= 的概念、图像和性质。
结合函数 y=x,y=x2 ,y=x3,y= 12,y x y x??==,y= 12x 的图像，了解它们的变化情况 .
① ? ＞ 0 时，图像都过（ 0,0）、（ 1,1）点，在区间（ 0， +∞）上是增函数；
注意 ? ＞ 1 与 0
② ? ＜ 0 时，图像都过（ 1,1）点，在区间（ 0， +∞）上是减函数；在第一象限内，图
像向上无限接近 y 轴，向右无限接近 x 轴。
③当 x>1 时，指数大的图像在上方。
定义域不关于原点对称，幂函数为非奇非偶函数。
【典型例题】
1. 已知函数 2( ) 3f x x ax a= + + ?若 [ 2,2]x?? 时， ()fx≥0 恒成立，求 a 的取值范围。
【错解】
（一） ( ) 0fx? 恒成立，∴△＝ 2 4(3 )aa??≤0 恒成立
解得 a 的取值范围为 62a? ? ?
（二）∵ 2( ) 3f x x ax a= + + ?若 [ 2,2]x?? 时， ()fx≥0 恒成立
∴ ( 2) 0
(2) 0ff ???? ??
即 2
2
( 2) 2 3 02 2 3 0aaaa? ? ? + ? ??? + + ? ?
??
解得 a 的取值范围为 77 3a? ? ?
【易错分析】
对二次函数 ()fx＝ 2ax bx c++当 xR? 上 ()fx≥0 恒成立时，△≤ 0
片面理解为， 2ax bx c++≥0， [ 2,2]x?? 恒成立时，△≤ 0 ；或者理解为 ( 2) 0
(2) 0ff ???? ??
这都是由于 函数性质 掌握得不透彻而导致的错误 .二次函数最值问题中 “轴变区间定”
要对 对称轴 进行分类讨论； “轴定区间变” 要对 区间 进行讨论。
【正确答案】
设 ()fx的最小值为 ()ga
（ 1）当 22a? ?? 即 a ＞ 4 时， ()ga ＝ (2)f ? ＝ 7－ 3a ≥0，得 73a? 故此时 a 不存在；
(2) 当 [ 2,2]2a? ? ? 即－ 4≤a ≤4 时， ()ga ＝ 3－ a － 24a ≥0，得－ 6≤a ≤2
又－ 4≤a ≤4，故－ 4≤a ≤2；
（ 3） 22a??即 a ＜－ 4 时， ()ga ＝ (2)f ＝ 7＋ a ≥0，得 a ≥－ 7，又 a ＜－ 4
故－ 7≤a ＜－ 4
综上，得－ 7≤a ≤2
2. 已知 2 10mx x+ + = 有且只有一根在区间（ 0,1）内，求 m 的取值范围。
【错解】
设 2( ) 1f x mx x= + +∵ 2 10mx x+ + = 有且只有一根在区间（ 0,1）内
∴ (0) (1) 0ff??得 m ＜－ 2
【易错分析】
对于一般 ()fx，若 ( ) ( ) 0f a f b??，那么，函数 ()y f x= 在区间（ a,b）上至少有一
个零点，但 不一定唯一 .对于二次函数 ()fx ，若 ( ) ( ) 0f a f b??则在区间（ a,b）上存
在 唯一的零点 ，一次函数有同样的结论成立。
但方程 ()fx＝ 0 在区间（ a,b）上有且只有一根时，不仅是 ( ) ( ) 0f a f b??，也有可 能
( ) ( ) 0f a f b??.如二次函数图像是下列这种情况时，就是这种情况。
由图可知 ()fx＝ 0 在区间（ a,b）上有且只有一根，但是
( ) ( ) 0f a f b??
【正确答案】
设 2( ) 1f x mx x= + +，
（ 1）当 m ＝ 0 时方程的根为－ 1，不满足条件 .
（ 2）当 m ≠0∵ 2 10mx x+ + = 有且只有一根在区间（ 0,1）内
又 (0)f ＝ 1＞ 0
∴有两种可能情形① (1) 0f ? 得 m ＜－ 2
或者② 1(1) 0 2f m=?且 0< <1得 m 不存在
综上所得， m ＜－ 2
3. 是否存在这样的实数 k，使得关于 x 的方程 x 2+（ 2k－ 3） x －（ 3k－ 1）＝ 0 有两个实
数根，且两根都在 0 与 2 之间？如果有，试确定 k 的取值范围；如果没有，试说明理由。
【错解】
令 2( ) ( 2 3 ) (3 1)f x x k x k= + ? ? ?那么由条件得到
2( 2 3 ) 4 ( 3 1 ) 0
( 0 ) 1 3 0
( 2 ) 4 2 ( 2 3 ) ( 3 1 ) 0
kk
fk
f k k
? ? = ? + ? ??
= ? ??
? = + ? ? ? ??
即此不等式无解
即不存在满足条件的 k 值。
【易错分析】
方程 两根都在 0 与 2 之间，根据图像，可知除满足上述条件外，还要考虑二次函数的
对称轴在区间（ 0,2） 内。
【正确答案】
令 2( ) ( 2 3 ) (3 1)f x x k x k= + ? ? ?那么由条件得到
2( 2 3 ) 4 ( 3 1 ) 0
( 0 ) 1 3 0
( 2 ) 4 2 ( 2 3 ) ( 3 1 ) 0
2302
2
kk
fk
f k k
k
? ? = ? + ? ?
? = ? ?
??
? = + ? ? ? ?
? ?
? ??
??
即
24 5 0
1
3
1
37
22
k
k
k
k
? +?
?
? ?
?
?
??
?
???
?
即此不等式无解
即不存在满足条件的 k 值。
【知识导学】
函数的零点与方程的根的关系：
一般地，对于函数 ()y f x= （ xD? ）我们称方程 ( ) 0fx= 的实数根 x 也叫做函数的
零点，即 函数的零点就是使函数值为零的自变量的值 . 求 综合方程 f(x)=g(x)的根或根的
个数就是求函数 ( ) ( )y f x g x=?的零点。
函数的图像与方程的根的关系：
一般地，函数 ()y f x= （ xD? ）的图像与 x 轴交点的横坐标就是 ( ) 0fx= 的根 .综合
方程 f(x)=g(x)的根，就是求函数 y＝ f(x)与 y=g(x)的图像的交点或 交点个数 ，或求方程
( ) ( )y f x g x=?的图像与 x 轴交点的 横坐标。
判断一个函数是否有零点的方法：
如果函数 ()y f x= 在区间 [a,b]上图像是连续不断的曲线，并且有 ( ) ( ) 0f a f b??，那
么，函数 ()y f x= 在区间（ a,b）上至少有一个零点，即至少存在一个数 ( , )c ab? 使
得 ( ) 0fc= ，这个 c 也就是方程 ( ) 0fx= 的一个根。对于我们学习的简单函数，可以
借助 ()y f x= 图像判断解的个数，或者把 ()fx写成 ( ) ( )g x h x? ，然后借助 ()y gx= 、
()y hx= 的图像的交点 去判断函数 ()fx的零点情况。
二次函数、一元二次方程、二次函数图像之间的关系：
二次函数 2y ax bx c= + + 的零点，就是二次方程 2 0ax bx c+ + = 的根，也是二次函数
2y ax bx c= + + 的图像与 x 轴交点的横坐标。
二分法：
对于区间 [a,b]上的连续不断，且 ( ) ( ) 0f a f b??的函数 ()y f x= ，通过不断地把函数
的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到 零点近似值 的
方法叫做二分法。
【典型例题】
1. 将进价为 8 元的商品，按每件 10 元售出，每天可销售 200 件，若每件售价涨价 0.5 元，
其销售量就减少 10 件，问应将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出这个最大利
润。
【错解】
设每件售价提高 x 元，利润为 y 元，
则 y= )20200)(8( xx ?+ ]81)1([20 2 +??= x ∴x =1 时， 1620max =y （元）
【易错分析】
没理解题意，每天销售 200 件是在定价 10 元时的情况下，所设的应理解为在定价目
10 元的基础上，再每件售价提高 x 元，故利润每件应为 （ 2+x） 元，此时的销售量为
（ 200－ 20x ）元。
【正确答案】
设每件售价提高 x 元，利润为 y 元，则 y= )20200)(2( xx ?+ = 720)4(20 2 +?? x
故当 4=x ，即定价为 14 元时，每天可获得最大利润为 720 元。
【解析】
本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，其中根据已知求出函数的解析式
是解答的关键。
2. 某工厂改进了设备，在两年内生产的月增长率都是 m，则这两年内第二年三月份的产值
比第一年三月份的产值的增长率是多少？
【错解】
设第一年三月份的产值为 a，则经过二年，三月份的产值是 a(1+m)11,则所求增长率为
1)1()1( 1111 ?+=?+ ma ama ，或把第二年三月份的产值写为 a(1+m)13.
【易错分析】
对增长率问题的公式 xpNy )1( += 未透彻理解而造成错解，或者是由于审题不细致而
造成题意的理解错误。若某月的产值是 a，则此后第 x 月的产值为 xma )1( + ，指数 x 是
基数所在时间后所跨过的 时间间隔数。
【正确答案】
设第一年三月份的产值为 a，则第四个月的产值为 a(1+m)，五月份的产值为 a(1+m)2，
从此类推，则第二年的三月份是第一年三月份后的第 12 个月，故第二年的三月份的产
值是 a(1+m)12，又由增长率的概念知，这两年的第二年的三月份的产值比第一年的三
月份的产值的增长率为 1)1()1( 1212 ?+=?+ ma ama
3. 在一个交通拥挤及事故易发生路段，为了确保交通安全，交通部门规定，在此路段内的
车速 v（单位： km/h）的平方和车身长 l （单位： m）的乘积与车距 d 成正比，且最小车距
不得少于半个车身长 .假定车身长均为 l （单位： m）且当车速为 50（ km/h）时，车距恰为
车身长，问交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使在此路段的车流量 Q 最大？
(车流量 =
车身长车距 车速+
)
【错解】
lkvd 2= ，将 50=v ， ld= 代入得
25001=k ，∴ lvd 225001= ，又将 ld 21= 代入得 225=v ，
由题意得 lvd 225001= （ 225?v ）
将 Q= ld v+1000 =
)25001(
1000
2vl
v
+
（ 225?v ）
∵
lv
vl
v
vlvl
v 2 5 0 0 0
2 5 0 0
12
1 0 0 0
)2 5 0 01(
1 0 0 0
)2 5 0 01(
1 0 0 0
2 =???+=+
∴当且仅当 50=v 时， lQ 25000
max =
综上所知， 50=v （ km/h）时，车流量 Q 取得最大值。
【易错分析】
上述解法中结果虽然正确，但解题过程中是错误的，即虽然车速要求 225?v ，但在
行驶过程中车速 有可能低于 25 2 （ km/h） ，所以解题材中应分两类情形求解，得分
段函数。
【正确答案】
（ 1）依题意，
???
???
?
?
?
=
)225(21
)225(25001 2
vl
vlv
d
则
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
+
=
+
=
)225(
2
3
1000
)225(
)
2500
1(
1000
1000
2
vl v
v
vl
v
ld
vQ
显 然 当 225?v 时， Q 是 关 于 v 的 增 函 数 ， ∴ 当 225=v 时，
ll
vQ
3
25 0 0 0 0
2
31 0 0 0m a x =
当 225?v 时， Q= ld v+1000 =
lv
vl
v
vlvl
v 2 5 0 0 0
2 5 0 0
12
1 0 0 0
)2 5 0 01(
1 0 0 0
)2 5 0 01(
1 0 0 0
2 =???+=+
当且仅当 50=v 时，上式等号成立。
综上所述，当且仅当 50=v 时，车流量 Q 取得最大值。
|
|
