2023年全国,高中数学联合竞赛加试(A卷)

2023年全国中学生数学奥林匹克 (预赛 )

暨 2023年全国 高中数学联合竞赛

加 试试题 (A卷 )

一、 (本题满分 40分 )如图，Ω是以 AB为直径的 固定的 半圆弧， ω 是经过点 A及 Ω 上另

一定点 T的定圆，且 ω 的圆心位于△ ABT内，设 P是 Ω 的弧 ?????(不含端点 )上的动点， C、 D

是 ω 上的两动点，满足： C在线段 AP上， C、 D在直线 AB的异侧，且 CD⊥ AB.记△ CDP

的外心为 K.证明：

(1)点 K在△ TDP的外接圆上；

(2)K为定点 .

(答题时请将图画在答卷纸上 )

二、 (本题满分 40 分 )正整数 n 称为“好数 ”，如果 对任意不同于 n 的正整数 m，均有

{2????2} ≠ {2????2}，这里 {??}表示 x的小数部分 .

证明：存在无穷多个两两互素的合数均为好数 .

三、 (本题满分 50分 )求具有下述性质的最小正整数 k： 若将 1,2，…， k中的每个数任意

染成红色或蓝色，则或者存在 9 个互不相同的红色的数 ??1,??2,?,??9满足 ??1 +??2 +?+??8 <

??9， 或者存在 10个互不相同的蓝色的数 ??1,??2,?,??10满足 ??1 +??2 +?+??9 < ??10.

四、 (本题满分 50分 )设 ?? = 1+10?4.在 2023× 2023的方格表的每一个小方格中填入区

间 [1， ??]中的一个实数 .设第 i行的总和为 ????，第 i列的总和为 ????， 1 ≤ ?? ≤ 2023.

求 ??1??2???2023??

1??2???2023

的最大值 (答案用含 a的式子表示 ).

D

C

A

B

T P