2023年全国中学生数学奥林匹克 (预赛 )
暨 2023年全国高中数学联合竞赛
一试试题 (A卷 )
一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，满分 64分
1.设复数 ?? = 9 + 10??((i 为虚数单位 )，若正整数 n 满足 |????| ≤ 2023，则 n 的最大值
为 ( ( .
2.若正实数 a， b满足 ???????? = 2,???????? ? ???????? = 5.则 (????)????????的值为 ( .
3.将一枚均匀的骰子独立投掷三次，所得的点数依次记为 x、 y、 z，则事件“ ??7?? < ??7?? <
??7??”发生的概率为 ( .
4.若平面上非零向量 ???， ???， ???满足 ??? ⊥ ???， ??? ? ??? = 2|???|， ??? ? ??? = 3|???|，则 |???|的最小值
为 ( ( .
5.方程 sin?? = cos2??的最小的 20个正实数解之和为 ( .
6.设 a， b， c为正数 ， a < b，若 a、 b为一元二次方程 ????2 ? ???? + ?? = 0的两个根，且
a、 b、 c是一个三角形的三边长，则 ?? +?? ? ??的取值范围是 ( ( .
7.平面直角坐标系 xOy中，已知圆Ω与 x轴、 y轴均相切，圆心在椭圆Γ :??2??2 + ??2??2 = 1(a(>(
b(>(0)内，且Ω与Γ有唯一的公共点 (8,9).则Γ的焦距为 ( ( .
8.八张标有 A、 B、 C、 D、 E、 F、 G、 H的正方形卡片构成下图，现逐一取走这些卡片，
要求 每次取走一张卡片时，该卡片与剩下的卡片中至多有一张有公共边 (例如可按 D、 A、
B、 E、 C、 F、 G、 H的次序取走卡片，但不可按 D、 B、 A、 E、 C、 F、 G、 H的 次序取走卡
片 )，则的不同次序的取走这八张卡片的不同次序的数目为 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( .
二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤 .
9.(本题满分 16 分 )(平面直角坐标系 xOy中，抛物线Γ :??2 = 4??， F为Γ的焦点， A、 B
为Γ上的两个不重合的动点，使得线段 AB的一个三等分点 P位于线段 OF上 (含端点 )，记
Q为线段 AB的另一个三等分点 .求点 Q的轨迹方程 .
10.（本题满分 20 分）已知三棱柱 Ω： ABC-??1??1??1的 9条棱长均相等，记底面 ABC所
在平面为 ??(.若Ω的另外四个面 (即面 ??1??1??1,??????1??1,??????1??1,??????1??1()在 ??上投影面积从小
到大重排后依次为 2√3， 3√3， 4√3， 5√3.求Ω的体积 .
11. （本题满分 20 分）求出所有满足下面要求的不小于 1 的实数 t ：对任意 ??,?? ∈
[?1,??]，总存在 ??,?? ∈ [?1,??]，使得 (?? + ??)(?? + ??) = 1.
HGFE
DC
BA
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