双变量 不等式的证明
[典例 ] 已知函数 f(x)＝ ln x－ 12ax2＋ x， a∈R.
(1)当 a＝ 0 时， 求函数 f(x)的图象在 (1， f(1))处的切线方程；
(2)若 a＝－ 2， 正实数 x1， x2 满足 f(x1)＋ f(x2)＋ x1x2＝ 0，求证： x1＋
x2≥ 5－ 12 .
[解 ] (1)当 a＝ 0 时 ， f(x)＝ ln x＋ x， 则 f(1)＝ 1， 所以切点为 (1,1)， 又因为 f ′(x)
＝ 1x＋ 1， 所以切线斜率 k＝ f′(1) ＝ 2，
故切线方程为 y－ 1＝ 2(x－ 1)， 即 2x－ y－ 1＝ 0.
(2)证明： 当 a＝－ 2 时， f(x)＝ ln x＋ x2＋ x(x＞ 0)．
由 f(x1)＋ f(x2)＋ x1x2＝ 0，
即 ln x1＋ x21＋ x1＋ ln x2＋ x2＋ x2＋ x1x2＝ 0，
从而 (x1＋ x2)2＋ (x1＋ x2)＝ x1x2－ ln(x1x2)，
令 t＝ x1x2， 设 φ(t)＝ t－ ln t(t＞ 0)，
则 φ′(t)＝ 1－ 1t＝ t－ 1t ，
易知 φ(t)在区间 (0,1)上单调递减 ， 在区间 (1， ＋ ∞)上单调递增 ， 所以 φ(t)≥φ(1)
＝ 1，
所以 (x1＋ x2)2＋ (x1＋ x2)≥1，
因为 x1＞ 0， x2＞ 0， 所以 x1＋ x2≥ 5－ 12 成立．
[解 题 技 法 ]
破解含双参不等式的证明的关键
一是转化 ， 即由已知条件入手 ， 寻找双参所满足的关系式 ， 并把含双参的不
等式转化为含单参的不等式；
二是巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明 ， 把所求的最值应用到双参不等式 ， 即可证得
结果．
[题组训练 ]
已知函数 f(x)＝ ln x＋ ax.
(1)求 f(x)的最小值；
(2)若方程 f(x)＝ a 有两个根 x1， x2(x1＜ x2)，求证： x1＋ x2＞ 2a.
解： (1)因为 f′(x)＝ 1x－ ax2＝ x－ ax2 (x＞ 0)，
所以当 a≤0 时， f(x)在 (0，＋ ∞)上单调递增，函数无最小值．
当 a＞ 0 时， f(x)在 (0， a)上单调递减，在 (a，＋ ∞)上单调递增．
函数 f(x)在 x＝ a 处取最小值 f(a)＝ ln a＋ 1.
(2)证明： 若函数 y＝ f(x)的两个零点为 x1， x2(x1＜ x2)，
由 (1)可得 0＜ x1＜ a＜ x2.
令 g(x)＝ f(x)－ f(2a－ x)(0＜ x＜ a)，
则 g′(x)＝ (x－ a)[ 1x2－ 1?2a－ x?2]＝－ 4a?x－ a?
2
x2?2a－ x?2＜ 0，
所以 g(x)在 (0， a)上单调递减， g(x)＞ g(a)＝ 0，
即 f(x)＞ f(2a－ x)．
令 x＝ x1＜ a， 则 f(x1)＞ f(2a－ x1)， 所以 f(x2)＝ f(x1)＞ f(2a－ x1)，
由 (1)可得 f(x)在 (a，＋ ∞)上单调递增， 所以 x2＞ 2a－ x1，
故 x1＋ x2＞ 2a.
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