2022-2023学年河南省开封市五
县联考高二（上）第一次月考数学
试卷
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A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
A. 外离
B. 相切
C. 相交
D. 内含
A.
B.
C. 或
直线 的一个方向向量是（ ）1.
已知三棱锥 ，点 ， 分别
为 ， 的中点，且 ，
， 用 ， ，
表示 ，则 等于（ ）
2.
已知 ： ， ：
，那么它们的位置关系是（ ）
3.
若向量 ， ，且 与 的夹角余弦值为
，则 等于（ ）
4.
D. 或
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
若三条直线 ， ， 相交于同一点，则
点 到原点的距离的最小值为（ ）
5.
经过 ， ， ， 中三个点的圆的方程不可
以是（ ）
6.
如图，在大小为 的二面角 中，四边形 与
都是边长为 的正方形，则 与 两点间的距离是（ ）
7.
设入射光线沿直线 射向直线 ，则被 反射后，反射
光线所在的直线方程是（ ）
8.
A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 以上情况都有可能
A. 平行
B. 重合
C. 垂直
D. 相交但不垂直
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
已知 的三边长为 ，， ，满足直线 与圆
相离，则 是（ ）
9.
设 ，， 分别是 的内角 ， ， 所对的边，则直线
与 的位置关系是
（ ）
10.
在下列命题中：
①若向量 ， 共线，则向量 ， 所在的直线平行；
②若向量 ， 所在的直线为异面直线，则向量 ， 一定不共面；
③若三个向量 ， ， 两两共面，则向量 ， ， 共面；
④已知是空间的三个向量 ， ， ，则对于空间的任意一个向量 总存在
实数 ， ， 使得 ；
其中正确的命题的个数是（ ）
11.
关于 的方程 有两个不相等的实数根，则
实数 的取值范围为（ ）
12.
过点 且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为______.13.
平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，则平面 与平
面 所成二面角的大小为______.
14.
设直线的方程为 ，则直线的倾斜角 的范围是______.15.
在 中，若 ， ，则 面积的最大值为
______.
16.
已知直线 的方程为 ，按照下列要求，求直线的方程：
与 垂直，且过点 ；
∥ ，且与两坐标轴围成的三角形的面积为 .
17.
已知 为圆 上任意一点.
求 的取值范围；
求 的最大值和最小值.
18.
如图，在棱长为 的正方体
中， 、 分
别是棱 、 上的动点，且
.
求证： ；
当三棱锥 的体积取得最
大值时，求平面 与平面 的夹
角余弦值.
19.
已知方程x+y-2x-4y+m=0．
（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标
原点），求m；
（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程．
20. 2 2
21.
1解析：直线 的斜率 ，
则直线 的一个方向向量是 .
故选： .
2解析： 点 为 的中点，
，
点 为 的中点， ，
.
故选： .
3解析： ： ，
，圆心 ，半径 ，
： ，
，圆心 ，半径 ，
，
，
如图，在四棱锥 中
∥ ， ，侧面
为等边三角形，
，
.
证明： 平面 ；
求 与平面 所成角的正
弦值.
已知点 ，圆 ，过点 的动直线与圆 交于
， 两点，线段 的中点为 ， 为坐标原点.
求 的轨迹方程；
当 时，求的方程及 的面积.
22.
两圆的位置关系相交.
故选： .
4解析：由题意向量 ， ，且 与 的夹角
余弦值为 ，
故有 ， ，
解得： 或 .
故选： .
5解析：
联立 ，解得 ， .
把 代入 可得： .
.
点 到原点的距离
，当 ， 时，取等号.
点 到原点的距离的最小值为 .
故选： .
6解析：对于 ， 圆的方程过点 ，
， ，不过 ，故 正确，
对于 ， 圆的方程不过点 ， ，
， ，故 错误，
对于 ， 圆的方程过点 ，
， ，不过 ，故 正确，
对于 ， 圆的方程过点 ，
， ，不过 ，故 正确.
故选： .
7解析：
四边形 与 都是边长为 的正方形，
，
又大小为 的二面角 中，
.
，
，
.
故选： .
8解析：联立 解得： ，所以入射线
与直线 的交点为 ，
在入射线 上取一点 ，则它关于直线 的对称点
必在反射光线上，
由两点式得反射线所在的直线方程为： ，即
，
故选： .
9解析：
直线 与圆 相离，
圆心到直线的距离 ，即 ，
故 是钝角三角形，
故选 .
10解析：直线 的斜率
，
直线 的斜率 ，
可得 ，
直线 与 垂直.
故选： .
11解析：
由于向量是可自由平移的，所以向量 ， 共线，不一定向量 ， 所在的
直线平行，故命题①不正确；
同样因为向量是可自由平移的，向量 ， 所在的直线为异面直线，则向量
， 也可能共面，故命题②不正确；
三个向量 ， ， 两两共面，如直角坐标系的三个基向量，它们不共面，
故命题③不正确；
由空间向量基本定理，可知，只有当三个向量 ， ， ，不共面的时候，
由它们做基底，才有后面的结论，故命题④不正确.
即 个命题都不正确.
故选 .
12解析：因为关于 的方程 有两个不相等
的实数根，
令 ， ，
则上述问题转化为函数 与函数 有两个不同的交点，
于是，在同一直角坐标系中画出函数 与函数 的图像，如
图所示：
由图可知：当直线 的斜率 时，直线 与上半圆
相切；
当直线 过点 时，直线 与上半圆
有两个交点 ， ；
当直线 过点 时，直线 与上半圆 有
两个交点 ， ；
故要使得函数 与函数 有两个不同的交点，
需满足 .
故选： .
13解析：
过点 且在两坐标轴上的截距互为相反数，
当截距为 ，所求直线斜率为 ，方程为 ，即为
；
当截距不为 ，设所求直线方程为 ，代入 的坐标，可得
，
即有直线方程为 .综上可得所求直线方程为 或
.
故答案是： 或 .
14解析：设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为
，
则 ， ，
， .
平面 与平面 所成的角与 ， 相等或互补，
与 所成的角为 或 .
故答案为： 或 .
15解析： 当 时，直线 的斜率为
，
则直线的倾斜角 的范围为 ， ， .
当 时，直线的斜率不存在，倾斜角为 .
综上可得，直线的倾斜角的范围为 ， ，
故答案为： ， .
16解析：依题意，设 ，则 ，又 ，
由余弦定理得： ，
即 ，
，
，
.
，
，
当 ，即 时， 、 、 能组成三角形，
，
.
故答案为： .
17解析：（1）由题意得，直线 的斜率为 ，设直线的斜率为 ，
因为与 垂直， ，
将点 代入方程得 ，
因此所求的直线方程为 .
因为∥ ，所以直线可设为 .
令 ，得 ， ），令 ，得 ， ，
所以三角形 的面积 ，解得
.
因此直线的方程为 或 .
18解析：（1）将圆 的方程化为标准
式可得： ，
则圆心 的坐标为 ，半径为 ，
设 ，
由题意可得：直线 与圆 有交
点，
即 ，
即 ，
即 的取值范围为 ；
的几何意义为过点 和 的直线的斜率，
设直线 的方程为 ，
则直线 与圆 有交点，
则 ，
即 ，
即 ，
即 的最小值为 ，最大值为 .
19解析：（1）证明：如图建立坐标系
设 ，则 ， ，
，
所以 ， ，
所以 ，
所以 .
，
， ， ， ，
由（1）可知 ， ，
所以三棱锥 的体积
，
当且仅当 ，即 时取得最大值，
过 作 于 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 ，又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以 ，
所以 是二面角 的平面角，
在直角三角形 中， ，
，
所以 ，又
且
，
解得 或 舍去），
因此平面 与平面 的夹角余弦值为 .
20解析：（1）（x-1）+（y-2）=5-m，∴方程表示圆时，m＜5；
（2）设M（x，y），N（x，y），则x=4-2y，x=4-2y，得xx=16-
8（y+y）+4yy，
∵OM⊥ON，∴xx+yy=0，∴16-8（y+y）+5yy=0①，
由 ，得5y-16y+m+8=0，
∴ ， ．
代入①得 ．
（3）以MN为直径的圆的方程为（x-x）（x-x）+（y-y）（y-y）=0，
即x+y-（x+x）x-（y+y）y=0，
∴所求圆的方程为 ．
2 2
2 2
1 1 2 2 1 1 2 2 12
1 2 12
12 12 1 2 12
2
1 2 1 2
2 2 1 2 1 2
21解析： 证明：取 的中点 ，连接 ， ，则 ，
，
因为侧面 为等边三角形，所以 ，
又 ， 、 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ， ， ，所以 ，
即 ，
因为 ， 、 平面 ，所以 平面 .
以 为原点， ， 的方向分别为 ， 的正方向，作 平面
，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ， ，
由（1）知， 平面 ，
因为 ∥ ，所以 平面 ，即平面 在 平面，
因为 是边长为 的等边三角形，所以 ，
又 ， ，所以 ， ， ），所以 ， ，
，
设平面 的法向量为 ，则 ，即
，
令 ，则 ， ，所以 ， ， ，
设 与平面 所成角为 ，则 ，
，
故 与平面 所成角的正弦值为 .
22解析：（1）由圆
，得
，
圆 的圆心坐标为 ，半径为 .
设 ，则 ，
.
由题意可得： .
即 .
整理得： .
的轨迹方程是 .
由（1）知 的轨迹是以点 为圆心， 为半径的圆，
由于 ，
故 在线段 的垂直平分线上，
又 在圆 上，
从而 .
，
直线的斜率为 .
直线 的方程为 ，即 .
则 到直线的距离为 .
又 到的距离为 ，
.
.
，
，
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