1借助导函数解决不等式中恒 (能) 成立问题目录一、 恒 (能) 成立的方法技巧1.变量分离法2.分类讨论法3.等价转化法4.双元最值法5.构造法和同构法二、恒 (能) 成立的综合应用 (精选高考模拟题)一 、 恒 (能 )成立的方法技巧 1.变量分离法1 (2023·河南·校联考模拟预测)若 a>0， b>0，且 at+(b-2ea)lnb≥(b-2ea)lna，则实数 t的取值范围是 ．2 (2023春·江西赣州·高三兴国平川中学校联考阶段练习)已知函数 f x? ? =x3 lnx-a? ? a∈R ? .(1)求函数 f x? ? 的单调区间；(2)若 f x? ? +ax3+1≥ax，求实数 a的取值范围.
23 (2023春·广东汕头·高二校考期中)已知函数 f x? ? =lnx-2ax.(1)若 x=1是 f(x)的极值点，求 a的值；(2)讨论函数 f(x)的单调性；(3)若 f(x)≤0恒成立，求 a的取值范围；4 (2023秋·重庆渝北·高三重庆市渝北中学校校考阶段练习)已知函数 f x? ? = 14 x2+aln x-1? ? ， g x? ?= f x? ? + 1ex - 14 x2+x．(1)当 a=-1时， 求函数 f x? ? 的极值；(2)若任意 x1、 x2∈ 1,+∞? ? 且 x1≠x2，都有 g x1? ? -g x2? ?x1-x2 >1成立， 求实数 a的取值范围．
35 (2023秋·广东深圳·高三深圳市南头中学校考阶段练习)已知 f x? ? =ax-lnx,a∈R．(1)讨论 f x? ? 的单调性和极值；(2)若 x∈ 0,e? ? 时， f x? ? ≤3有解， 求 a的取值范围．6 (2023春·福建泉州·高二校联考阶段练习)已知函数 f(x)=lnx+a(1-x),a∈R.(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)若存在 x0∈(0,+∞)，使得 f(x0)≥2a-2成立，求实数 a的取值范围．
42.分类讨论法1 (2023·全国·高三专题练习)已知函数 f x? ? = x2-2x+4, x<232x+ 1x, x≥2??? 设 a∈R，若关于 x的不等式 f(x)≥|x+a|在 R上恒成立，则 a的取值范围为 ( )A. B. C. D.2 (2023秋·河南·高三校联考开学考试)已知函数 f x? ? = lnx1-x ， x∈D．其中 D= 0,1? ? ∪ 1,+∞? ?(1)求函数 f x? ? 在点 12 ,f 12? ?? ? 处的切线方程；(2)若 g x? ? =- ax ，且 ?x∈D， f x? ? ≥g x? ? 恒成立， 求 a的取值范围．3 (2023秋·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习)已知函数 f x? ? =2lnx- 12 mx2+1 m∈R? ? .(1)当 m=1时， 证明： f x? ? <1；(2)若关于 x的不等式 f x? ? < m-2? ? x恒成立， 求整数 m的最小值.
54 (2023·福建厦门·厦门一中校考三模)已知函数 f x? ? =alnx+1.(1)若 a=2，设 b>0，讨论函数 g x? ? = f x? ? - f b? ?x-b 的单调性；(2)令 h x? ? = f x? ? -1+ 1-a2 x2-x，若存在 x0≥1， 使得 h x0? ? < aa-1 ，求 a的取值范围.5 (2023春·黑龙江大庆·高二校考期中)已知函数 f x? ? =ax+x2-xlna．(1)当 a=e时，若函数 g x? ? = f x? ? -m有 2个零点， 求实数 m的取值范围；(2)已知 a>0且 a≠1，且 ?x1,x2∈ -1,1? ? ， f x1? ? - f x2? ?? ? +1e ≥1，求实数 a的取值范围．
66 (2023秋·陕西汉中·高三统考阶段练习)已知函数 f x? ? =lnx-ax-1.(1)若直线 x+ey+e=0与曲线 y= f x? ? 相切， 求 a；(2)若存在 x0∈ 0,+∞? ? ，使得 f x0? ? ≥0成立， 求 a的取值范围.3.等价转化法1 (2023秋·河北张家口·高三统考开学考试)已知 f x? ? =aex， g x? ? =lnx+1a ．(1)当 a=1时， 证明： f x? ? ≥g x? ? +1；(2)若 ?x∈ -1,+∞? ? ， f x? ? ≥g x? ? +1恒成立， 求 a的取值范围．
72 (2023·河南开封·统考三模)已知函数 f x? ? =aln x+1? ? + 1x+1 ， a∈R．(1)讨论 f x? ? 的单调性；(2)当 x∈ 0,+∞? ? 时， f x? ? 0，有 g x? ? ≥ f? x? ? ．
84 (2023春·海南省直辖县级单位·高二校考期中)已知 f x? ? =2xlnx,g x? ? =-x2+ax-3.(1)求函数 f x? ? 的最小值；(2)若存在 x∈ 0,+∞? ? ，使 f x? ? ≤g x? ? 成立， 求实数 a的取值范围；5 (2023·全国·高二专题练习)已知函数 f x? ? =xlnx， g x? ? =-x2+ax-3.(1)求 f x? ? 的单调区间；(2)若存在 x∈ 1e ,e??? ? ? ? (e是常数， e=2.71828?)使不等式 2f x? ? ≥g x? ? 成立， 求实数 a的取值范围.
94.双元最值法1 (2023秋·广东中山·高三中山市华侨中学校考阶段练习)已知函数 f(x)=lnx+ 1x -5,g(x)=x2-2ax，对于 ?x1∈(0,+∞)，都 ?x2∈R，使 f x1? ? >g x2? ? ，则 a的取值范围为 .2 (2023春·四川绵阳·高二统考期中)已知函数 f(x)= 13 x3+x2+ax．(1)若函数 f(x)在区间 (-2,+∞)上单调递增，求实数 a的取值范围；(2)若函数 g(x)= xex ，对 ?x1∈ 12 ,1??? ? ? ? ， ?x2∈ 12 ,2??? ? ? ? ，使得 f?(x1)≤g(x2)成立，求实数 a的取值范围．3 (2023春·辽宁·高二校联考期末)已知函数 f x? ? 满足 x2f? x? ? +xf x? ? =elnx， 且 f e? ? =1，函数 g x? ?=-x2+2ax+4．(1)求 f x? ? 的图象在 x=e处的切线方程；(2)若对任意 x1∈ 1,e? ? ，存在 x2∈ 1,2? ? ，使得 f x1? ? >g x2? ? ，求 a的取值范围．
104 (2023春·山西大同·高二校考期末)f(x)=ex-1+x2-3x.(1)求 f x? ? 在 t,t+2? ? 上的最小值；(2)g(x)=6ex-x3-4x2-ax-7，且 ?x1∈(0,+∞)， ?x2∈(0,2)， g x1? ? ≥ f x2? ? ，求 a的取值范围.5.构造法和同构法1 (2023秋·江苏镇江·高三统考开学考试)对于实数 x∈ 0,+∞? ? ，不等式 ex-ln mx? ? + 1-m? ? x≥0恒成立， 则实数 m的取值范围为 ( )A. 00恒成立 ，则实数 k的可能取值为 ( )A. -1 B. 13 C. 1e D. 2e3 (2023·河南·校联考二模)已知垂直于 x轴的直线 l与函数 f x? ? =ex+lna+lna+1 a>0? ? 和 g x? ? =ln x-1? ? 的图象分别交于 P,Q两点， 若 P点总不在 Q点的下方，则实数 a的取值范围是 ( )A. 0, 1e2? ? ? ? ? B. 1e2 ,+∞???? ? C. 0, 1e? ? ? ? D. 1e ,+∞??? ?4 (2023春·河南许昌·高二校考期中)已知对任意的 x∈ 0,+∞? ? ，不等式 kx ekx+1? ? - x+1? ? lnx>0恒成立 ，则实数 k的取值范围是 ( )A. e,+∞? ? B. 1e ,e? ? C. 1e ,+∞? ? D. 1e2 , 1e? ?
115 (2023秋·江苏扬州·高三扬州中学校考开学考试)已知函数 f x? ? = x2+1? ? lnx-x2-ax．(1)若 a=1，求 f? x? ? 的最小值；(2)若方程 f x? ? =axe2ax-x2有解，求实数 a的取值范围．二 、 恒 (能 )成立的综合应用 (精选高考模拟题 )1 (2023·河南·统考三模)已知函数 f(x)=aex,g(x)=2x+b，若 f(x)≥g(x)恒成立，则 ba 的最大值是( )A. -1 B. 1 C. 2 D. 22 (2023·江西·江西师大附中校考三模)若不等式 ex+x alnx-ax+e2? ? ≥0在 x>0上恒成立， 则实数a的取值范围是 ( )A. -∞,e? ? B. -∞,e2? ? C. -∞, e2? ? ? ? D. -∞,e22? ? ? ? ?3 (2023·江苏连云港·统考模拟预测)已知定义在 R上的函数 f x? ? = ex-1ex+1 ，若 f ex? ? + f(ax)<0 有解，则实数 a的取值范围是 ．
124 (2023·河南·襄城高中校联考三模)已知函数 f x? ? =mlnx， g x? ? =ex-1．(1)若曲线 y= f x? ? 在 1,0? ? 处的切线与曲线 y=g x? ? 相交于不同的两点 A x1,y1? ? ， B x2,y2? ? ，曲线 y=g x? ? 在 A， B点处的切线交于点 M x0,y0? ? ，求 x1+x2-x0的值；(2)当曲线 y= f x? ? 在 1,0? ? 处的切线与曲线 y=g x? ? 相切时， 若 ?x∈ 1,+∞? ? ， f x? ? +eg x? ? > a+1? ? e-aex恒成立 ，求 a的取值范围．5 (2023·青海西宁·统考二模)设函数 f(x)=x- 1x -alnx．(1)若函数 f(x)在其定义域上为增函数，求实数 a的取值范围；(2)当 a≤2时，设函数 g x? ? =x-lnx- 1e ，若在 [1,e]上存在 x1， x2使 f(x1)>g(x2)成立，求实数 a的取值范围．
136 (2023·山东青岛·统考模拟预测)已知函数 f x? ? =ex-a-lnx.(1)当 a=0时，求曲线 y= f x? ? 在 1,f 1? ?? ? 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；(2)若存在 x0∈ e,+∞? ? ，使 f(x0)<0成立，求 a的取值范围.7 (2023·江苏南通·模拟预测)已知函数 f x? ? =xlnx-x， g x? ? = 12 1-ex? ? .(1)若 x∈ 1e ,e2??? ? ? ? ，求 f x? ? 的最值；(2)若存在 x0∈ 0,m? ? ，使得 f x0? ? ≤g m? ? ，求实数 m的取值范围.
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