1经典 (超越 )不等式一、 结论(1)对数形式:x ≥1+lnx(x>0),当且仅当 x=1时, 等号成立.(2)指数形式:e x≥x+1(x∈R),当且仅当 x=0时, 等号成立.进一步可得到一组不等式链： ex>x+1>x>1+lnx(x>0且 x≠1)上述两个经典不等式的原型是来自于泰勒级数：ex=1+x+ x22! +?+xnn! + eθx(n+1)!xn+1；ln(1+x)=x- x22 + x33 -?+(-1)n xn+1n+1 +o(xn+1)；截取片段：ex≥x+1(x∈R)ln(1+x)≤x(x>-1)，当且仅当 x=0时, 等号成立；进而： lnx≤x-1(x>0)当且仅当 x=1时, 等号成立二、典型例题1 (2023·陕西咸阳·校考模拟预测)已知 a= 25 ,b=e-35,c=ln5-ln4，则 ( )A. a>b>c B. a>c>b C. b>a>c D. b>c>a2 (2023·全国·高三专题练习)已知函数 f(x)=ex-x-1.(1)证明： f(x)≥0；(2)证明： 1+ 12? ? 1+ 122 ? ? 1+ 12n? ?
2三、 针对训练 举一反三一、单选题 1. (2023春·浙江·高三校联考开学考试)设 a= 12022 ， b=tan 12022 ?e 12022， c=sin 12023 ?e 12023，则 ( )A. cb>c B. b>a>c C. a>c>b D. c>a>b3. (2023·云南曲靖·统考一模)已知 a=e-2， b=1-ln2， c=ee-e2，则 ( )A. c>b>a B. a>b>c C. a>c>b D. c>a>b4. (2023·全国·高三专题练习)已知 a=esin1-1,b=sin1,c=cos1，则 ( )A. ab+1>1 则下列不等式一定成立的是 ( )A. b-a? ? >b B. a+ 1a >b+ 1b C. b+1a-1 < eblna D. a+lnbb2 D. b2-4a<08. (2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测)已知 a1,a2,a3,a4成等比数列，且 a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)．若 a1>1，则A. a1a3,a2a4 D. a1>a3,a2>a4二、填空题 9. (2022春·广东佛山·高二佛山市顺德区容山中学校考期中)已知对任意 x，都有 xe2x-ax-x≥1+lnx，则实数 a的取值范围是 .三、 解答题10.(2023·全国·高三专题练习)已知函数 f x? ? =ex-a.(1)若函数 f(x)的图象与直线 y=x-1相切， 求 a的值；(2)若 a≤2，证明 f(x)>ln x.
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