1 / 24
解三角形。。。。。。方法技巧突破
一：解三角形中求边的代数式和角的代数式范围问题（三角函数法）
1.在 ABC? 中，角 A， B， C 对边分别为 a ， b ， c ，且 ?
????? ? Ac 2sin ?
是 Bacos 与 Abcos 的
等差中项 .
（1）求角 A；
（2 ） 若 3a? ， 求 2bc? 的 取值范围 ；
2.在 ? ABC 中，有 2c ossin3 ?? AA ， 若 周长的取值范围则 ABCa ?? ,3 ；
2 / 24
3.
.,3,2c o ss i n3)2( 面积的取值范围则若中，已知变式训练：在 ABCaAAABC ?????
法一：三角函数
4 在 ? ABC 中， 2c ossin3 ?? AA ， 若 周长的取值范围则 ABCb ?? ,3
3 / 24
5.△ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 2(c－ acos B)＝ 3b.
(1)求角 A； [来源 :Z,xx,k.Com]
(2)若 a＝ 2，求 △ABC 面积的取值范围．
6.. 在 ABC?中，角
,,ABC
的对应边分别为
,,abc
．
（1）若
,,abc
成等比数列，
12cos 13B?
，求
cos cossin sinAC?
的值；
（ 2）若角 ABC成等差数列，且 =2b，求 ABC?周长的最大值
4 / 24
7..已知 ABC? 的内角 ,,ABC 的对应边分别为 ,,abc，
在① ? ?3 c o s c o s c o s s inC a B b A c C??
② sin sin2ABa c A? ?
③ ? ? 2 2sin sin sin sin sinB A C B A? ? ?
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，当 _______时，求 sin sinAB? 的最
大值 .
8.在△ ABC 中， 2 2 2 2a c b ac? ? ?
（1 ） 求∠ B 的大小
（2 ） 求 2 cos cosAC? 的最大值
5 / 24
二 ． 求三角形面积的取值范围 （基本不等式）
1. 已知 ABC 内接于单位圆，且 ? ?? ?1 1 2ta n A ta n B? ? ?，
??1 求角 C
??2 求 ABC 面积的最大值．
2 在 ABC? 中，角 ,,ABC的对边分别为 ,,abc ，已知 4a? ， tan tantan tanA B c bA B c???? ．
（1）求 A 的余弦值；
（2）求 ABC? 面积的最大值．
6 / 24
3.已知函数 √ ．
（ 1）求函数 f（ x）在 [0， π]上的单调递减区间；
（ 2）在锐角 △ABC 的内角 A， B， C 所对边为 a， b， c，已知 f（ A）＝﹣ 1， a＝
2，求 △ABC 的面积的最大值．
4.在 ABC? 中，已知内角 ,,ABC 所对的边分别为 ,,abc，向量 ( 3, 2 sin )mB?? ， 向
量 (cos , cos 2 )n B B? ，且 //mn，角 B 为锐角。
（1） 求角 B 的大小；
（2） 若 2b? ，求 ABC? 面积的最大值。
7 / 24
5.已知 ABC 的内角 A、 B、 C 满足 s in s in s in s ins in s in s in s inA B C BC A B C?? ? ??．
（1）求角 A；
（2）若 ABC 的外接圆半径为 1，求 ABC 的面积 S 的最大值．
6.
8 / 24
7.在 △ABC 中，三个内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 1 sin
2 bC???????
cosA＝ sinAcosC，
且 a＝ 23，则 △ABC 面积的最大值为 ________.
．8. △ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 2(c－ acos B)＝ 3b.
(1)求角 A； [来源 :Z,xx,k.Com]
(2)若 a＝ 2，求 △ABC 面积的取值范围．
9 / 24
三 ．三角形的中线定理
1.△ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 √
（ 1）求 A；
（ 2）若 b＝ 4， c＝ 2， AM 为 BC 边上的中线，求 AM 的长．
2（ 2020 届衡水调研）在 ABC 中，角 ,,ABC 的对边分别为 ,,abc，若 2cos 3A ? ，
2BA? ， 8b? .
（ 1）求边长 a ；
（ 2）已知点 M 为边 BC 的中点，求 AM 的长度 .
10 / 24
3 ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ， 5sin
3A?
， B 2A? ， b4? ．
（ 1）求 a 的值；
（ 2）若 D 为 BC 中点，求 AD 的长．
4 在 △ABC 中 ， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 且 cos2B－ cos2C＝ sin2A＋ sin Asin B．
(1)求角 C 的大小；
(2)若 A＝ π6， △ABC 的面积为 4 3， M 为 BC 的中点，求 AM.
5.在△ ABC 中，角 A,B,C 对边分别为 , , ,abc 若 2 2 2b c a bc? ? ?
（1 ） 求角 A 的大小；
（2 ） 若 3a? ，求 BC 边上的中线 AM 的最大值 .
11 / 24
四 ． 三角形的角平分线定理
1. ． （ 2015 新课标Ⅱ，文 17） △ ABC 中 D 是 BC 上的点， AD 平分 BAC， BD=2DC．
（I ）求 ；
（II ）若 ， 求 ．
2.在△ ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a， b， c，且 2 cos 2a C c b??.
（1 ） 求角 A 的大小；
（2 ） 若 AB= 2 ，∠ ABC 的平分线 BD= 3 ，求 BC.
3 在 ABC△ 中，角 ,,ABC 所对的边分别为 ,,abc， 120ABC? ? ? ， ABC? 的平分线交 AC 于
点 D，且 1BD? ，则 4ac? 的最小值为 ．
?
sinsin BC??
60BAC?? B?
12 / 24
4.（2015?新课标Ⅱ，理 17） ABC? 中， D 是 BC 上的点， AD 平分 BAC? ， ABD? 面积是 ADC?
面积的 2 倍．
（1）求 sin
sinBC
；
（2）若 1AD? ， 2
2DC?
，求 BD 和 AC 的长．
13 / 24
五 ． 多三角形和四边形 以及圆等问题
1.如图，点 A 在 BCD 的外接圆上，且 3sin 5A? ， A 为锐角， 5AD CD??，
35BD? .
（ 1）求 AB ；
（ 2）求四边形 ABCD 的面积 .
2.如图， D 是直角 ABC 斜边 BC 上一点， 3AC DC? ．
（ 1） 若 60BAD? ? ，求 ADC? 的大小；
（ 2） 若 2BD DC? ，且 6AB? ，求 AD 的长．
14 / 24
3 在 ABC? 中， E ， F 分别为线段 BC ， AC 上的点， //EF AB ， 3AB? ， 2EF? ，
AE 2 3? ， 3BAC ???.
（ 1）求 EAC? ；
（ 2）求 BC 的长度 .
15 / 24
4.在平面四边形 ABCD 中， π3ABC??， π2ADC??， 2BC? ．
（1）若 ABC△ 的面积为 332 ，求 AC ；
（2）若 23AD? ， π3A C B A C D? ? ? ?，
求 tan ACD? ．
5.平面四边形 ABCD 中 ，边 BC 上有一点 E ， ?ADC ? 120? ， AD ? 3 ， sin ?ECD
?32 ， DE ? 3 ， CE ? 433 。
（1） 求 AE 的长 ；
（ 2） 已知 ?ABC ? 60? 求 ?ABE 面积的最大值 ．
B
D
C
A
16 / 24
6.在 Rt△ABC 中 ∠ C＝ 90°，点 D， E 分别在边 AB， BC 上， CD＝ 5， CE＝ 3，且 △EDC 的面
积为 3 6.
(1)求边 DE 的长；
(2)若 AD＝ 3，求 sin A 的值．
7..如图，在平面四边形 ABCD 中， ∠ ABC 为锐角， AD⊥ BD， AC 平分 ∠ BAD， BC＝ 2 3，
BD＝ 3＋ 6， △BCD 的面积 S＝ 3? 2＋ 3?2 .
(1)求 CD；
(2)求 ∠ ABC.
17 / 24
8.在平面四边形 ABCD 中， 90ADC? ? ? ， 45A? ? ? ， 2AB? ， 5BD? ．
（1）求 cos ADB? ；
（2）若 22DC? ，求 BC ．
18 / 24
六 ． 三角函数 、 向量 、数列等综合运用
1. （ 2020 全国Ⅱ文 17 ） △ ABC 的内角 ,,A B C 的对边分别为 ,,abc，已知
45c o s2c o s 2 ???????? ? AA?
．
（1） 求 A ；
（2） 若 acb
33??
，证明：△ ABC 是直角三角形．
2.．（ 2020 全国Ⅱ理 17） ABC△ 中， 222s i n s i n s i n s i n s i nA B C B C? ? ?．
（1）求 A ；
（2）若 3BC? ，求 ABC△ 周长的最大值 ．
19 / 24
3.． （ 2017 新课标卷 2，理 17） ABC? 的内角 A B C、 、 所对的边分别为 ,,abc，已知
2sin ( ) 2 sin 2BAC?? ，
（1）求 cosB ；
（2）若 6ac?? ， ABC? 的面积为 2 ，求 b ．
4.
20 / 24
5.已知 ABC? 的一个内角为 120 ，并且三边长构成公差为 4 的等差数列，则 ABC? 的面积
为 __________.
6 在 ABC?中，角
,,ABC
的对应边分别为
,,abc
．
（1）若
,,abc
成等比数列，
12cos 13B?
，求
cos cossin sinAC?
的值；
（ 2）若角 ABC成等差数列，且 =2b，求 ABC?周长的最大值
21 / 24
7.设 ABC 的内角 A， B， C 的对边长 a， b， c 成等比数列，
? ?2 c os 2 si n 12A C B???? ? ? ?????，延长 BC 至 D 使 3BD? .
（ 1）求 B 的大小；
（ 2）求 CDAC? 的取值范围 .
8.已知函数 ( ) 2 c o s sin
6f x x x ?????????
.
（1）求 ()fx的最小正周期；
（2）在 ABC△ 中，角 ,,ABC所对的边分别为 ,,abc ，若 ( ) 1fC? ， sin 2sinBA? ，
且 ABC△ 的面积
22 / 24
9.（2020 届广东调研）设函数 2 3( ) 3 s in c o s s in 2f x x x x? ? ?， a， b， c 分别为 ABC?
内角 A， B， C 的对边 .已知 ( ) 0fA? ， 2b? .
（1）若 23a? ，求 B；
（2）若 2ac? ，求 ABC? 的面积 .
10. 在 锐 角 ABC? 中，角 A ， B ， C 对 应 的 边 分 别 是 a ， b ， c ，且
3c os 2 sin( ) 1 02AA?? ? ? ?．
（1）求角 A 的大小；
（2）若 ABC? 的面积 33S? ， 3b? ．求 sinC 的值．
23 / 24
11. （文理 21 ） 在 △ ABC 中 ， 角 A,B,C 对 边 分 别 为 , , ,abc 且
2 2 2c o s c o s s i n s i n s i nB C A A B? ? ?.
（1 ）求∠C ；
（2 ）（理科）向量 m=（ sinA , cosB ） ,n= （ cosx ， sinx ），若函数 m· n 的图像关于
直线 3x ?? 对称，求角 A,B
（2 ） （文科）若 26c? ，△ ABC 的中线 CD=2，求△ABC 面积 S 的值
12 已知函数 ? ? 23 s in s in c o s .f x x x x??
（1 ） 当 0,
3x ????????
时，求 ??fx的值域；
（2 ） 已知△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a， b， c，若
2Af ??????
= 32 ， a=4， b+c=5，
求△ ABC 的面积 .
24 / 24
13.已知向量 ，函数
（1）求函数 的单调增区间 ；
（2）在 中， 分别是角 A, B, C的对边，且 ，且
求 的值 .
14 设函数 ()f x m n??，其中向量 (cos , 3 cos )m x x? ， (2 cos , 2 sin )n x x? ．
（ 1）求函数 ()fx的单调增区间；
（ 2）在 ABC? 中， ,,abc 分别是角 ,,ABC 的对边， ( ) 2fA? ， 3a? ， 3bc?? ，
求
ABC? 的面积．
? ? ? ?22 c o s , 3 , 1 , s i n 2m x n x??? ?f x m n??
??fx
ABC? ,,abc ? ? 3 , 1, 2 3f C c a b? ? ?ab?
,ab
|
|
