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泰和中学 2024 届高三开学考数学试卷
一、单选题（ 共 40 分）
1.已知集合 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知事件 A， B 满足 ， ， ，则 的值是（ ）
A.0.7 B.0.42 C.0.5 D.0.6
3.设等比数列 的前 n 项和为 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4.已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时， ，则
（ ）
A.2 B.0 C.1 D.-1
5.已知 ，则 的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
6.指数函数 的图象如图所示，则二次函数 的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
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7.若直线 与曲线 相切， 则实数 k 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知 ，对任意非零实数 ，存在唯一的非零实数
，使得 成立， 则实数 k 的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
二、多选题（ 共 20 分）
9.下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函数 关于函数 的结论正确的是
A. 的定义域为 R B. 的值域为
C.若 ， 则 x 的值是 D. 的解集为
11.下列说法中，正确的有（ ）
A.已知 ，则数列 是递减数列
B.数列 的通项 ，若 为单调递增数列，则
C.已知正项等比数列 ，则有
D.已知等差数列 的前 n 项和为 ， ， ，则
12.已知 a， b 为正实数，且 ，则（ ）
A. 的最大值为 8 B. 的最小值为 8
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题（ 共 20 分）
13.已知随机变量 X 服从两点分布，且 ， ，那么 _______________.
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14.函数 的最小值为 _______________.
15.已知 ，将数列 与数列 的公共项从小到大排列得到新数列 ，则
_______________.
16.已知函数 ，函数 ，若函数 恰有三个零
点， 则 a 的取值范围是 _______________.
四、解答题（ 共 70 分）
17.某骑行爱好者近段时间在专业人士指导下对骑行情况进行了统计， 各次骑行期间的身体综合指标评分 x 与
对应用时 y（单位：小时）如下表：
身体综合指标评分（ x） 1 2 3 4 5
用时（ y/小时） 9.5 8.6 7.8 7 6.1
（ 1）由上表数据看出， 可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，请用相关系数加以说明；
（ 2） 建立 y 关于 x 的回归方程 .
参考数据和参考公式：相关系数 ， ，
，
18.已知等差数列 的前 n 项和为 ，且 ， .
（ 1）求 的通项公式；
（ 2） 试求出所有的正整数 m， 使得对任意正整数 n，均有 .
19.已知函数 .
（ 1）当 时，求函数 的极值；
（ 2）若函数 在区间 上单调递增， 求实数 a 的取值范围 .
20.记 为数列 的前 n 项和，已知 ， .
（ 1）求 ，并证明 是等差数列；
（ 2）求 .
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21.2023 年 2 月 2 日， 第 27 个世界湿地日中国主场宣传活动在杭州西溪国家湿地公园举行， 2023 年世界湿地
日将主题定为“湿地修复” .某校为增强学生保护生态环境的意识，举行了以“要像保护眼睛一样保护自然和
生态环境”为主题的知识竞赛，比赛分为三轮，每轮先朗诵一段爱护环境知识， 再答 3 道试题，每答错一道
题， 用时额外加 20 秒，最终规定用时最少者获胜，已知甲、乙两人参加比赛，甲每道试题答对的概率均为
，乙每道试题答对的概率均为 ， 甲每轮朗诵的时间均比乙少 10 秒，假设甲、乙两人答题用时相同，且
每道试题是谁答对互不影响 .
（ 1）若甲、乙两人在第一轮和第二轮答对的试题的总数量相同，求乙最终获胜的概率；
（ 2）请用统计学的知识解释甲和乙谁获胜的可能性更大 .
22.已知函数 .
（ 1）若 ， 求 a 的取值范围；
（ 2）证明：若 有两个零点 ， ，则 .
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