数学绝杀系列之：56级数学典型题汇编最终稿

56级高考数学典型题
专题一 三角与平面向量
一、【命题规律】
（1）三角函数一般考查化简求值、图象与性质．常用公式有两角和差公式、倍角公式（注意半角公式
? sin ?
tan ? 、降幂公式、辅助角公式，有时与平面向量相结合，一般是向量数量积，化简成
）
2 1 ? cos ?
f ( x) ? Asin( ? x ? ?) ? b的形式后再研究图象性质,如单调性、周期性、对称性、图象变换、五点法作图等；
（2）解三角形中，边角互化综合利用正余弦定理和面积公式；余弦定理+均值不等式（注意取等条件），正弦
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
定理边化角求周长、面积（注意角的范围尤其是锐角三角形）
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
（3）平面向量主要考查数量积、平面向量基本定理，一般采用基底分解、坐标法、几何法来解决．
角的概念 弧度制 弧长公式、扇形面积公式
二、【知识框架】
任意角的三角函数的定义
三角函数线
同角三角函数的关系 同角三角函数的关系
三角函数
公式的变形、逆用、“1”的替代换
诱导公式
和角、差角公式
化简、求值、证明（恒等变形）
二倍角公式
定义域 值域 图象
正弦函数 y＝sin x 奇偶性
=
对称轴（正切函数除外）经过
单调性
余弦函数 y＝cos x
函数图象的最高（或低）点且垂
三角函数
直 x轴的直线，对称中心是正余
周期性
的 图 象
弦函数图象的零点，正切函数的
正切函数 y＝tan x
对称中心为( ， )（k∈Z）.
对称性
y ? Asin ? ? x ? ? ? ? b 最值
①图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到，但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同；②图象也可以
用五点作图法；③用整体代换求单调区间（注意 的符号） ；
④最小正周期 T＝ ；⑤对称轴 x＝ ，对称中心为( ， )（k∈Z）.
概念 模 →
2 2
| a |＝ ( x －x ) ＋(y －y )
2 1 2 1
线性运算 加、减、数乘 几何意义
基本定理
→ →
→ → → a · b
b 在 a 方向上的投影为| b |cos ?＝——
平面向量
→
坐标表示
| a |
几何意义 投影
数量积
夹角公式 → →
→ → a · b
设 a与 b夹角 ，则 cos ?＝——
→ →
| a |·| b |
共线（平行）
共线与垂直
垂直 → → → →
a ∥ b ? b＝ a ? x y －x y =0
1 2 2 1
正弦定理
解的个数的讨论
→ → → →
a⊥ b ? b· a＝0 ? x1 x2＋y1 y2=0
余弦定理
解三角形
- 1 -
1 1 a＋b＋c
面积 S a h a bsin C p(p－a)(p－b)(p－c) p
＝ ＝ ＝ （其中 ＝ ）
△
2 2 2
实际应用三、【典型例题】
? ? 3
2
1.【化简求值】若 ? ?(0, )，且 cos ? ? cos( ? 2 ? ) ? ，则 tan ? ?（ ）
2 2 10
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 4 3 5
?
? ?
f ? x ? ? cos ? x ? ? ? ? 0 ?
2． 【函数性质】（多选题）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
? ?
4
? ?
?
f x ?
A. 若将 ? ?图象向左平移 个单位长度，所得图象与原图象重合，则 的最小值为 4
4
? ?
? ? ? ?
f ? f ?
B. 若 ，则 的最小值为 1
? ? ? ?
6 3
? ? ? ?
? 1 5
? ? ? ?
f x , ? ? ,
C. 若 ? ?在 内单调递减，则 的取值范围为
? ?
? ?
2 2 4
? ? ? ?
? 3 7
? ? ? ?
f x , ? ? ,
D. 若 ? ?在 内无零点，则 的取值范围为
? ?
? ?
2
2 4
? ? ? ?
f ( x) ? 3 | sin x | ?4 | cos x | ( )
3.【函数性质】（多选题）已知函数 ，则
k ?
? ? f ( x) f ( x)
x ? ( k ? Z )
A． 是函数 的一个周期 B．直线 为函数 的对称轴方程
2
f ( x) f ( x) ? 4 [0 ? ]
C．函数 的最大值是 5 D． 在 ， 有三个解
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
a ? b ? 3, c ? 1 a ? b
4． 【向量运算】已知向量 满足： 且 则 |的取值范围是 .
a, b, c a ? b ?1 ?（ a ? b） ? c,
A B ? 4， A C ? 3，∠ B A C=90 ?，
5.【三角向量结合】.在△ABC 中， D 在边 BC 上，延长 AD 到 P，使得 AP=9，若
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
3
P A ? m P B ? ( ? m) P C
（m 为常数） ，则 CD 的长度是________．
2
6.【三角恒等变换与解三角形】如图， A, B, C, D 为平面四边形 A B C D的四个内角.
A 1 ? cos A
（1）证明： tan ? ;
2 sin A
A B C D
o
（2）若 A ? C ? 180 , A B ? 6, B C ? 3, C D ? 4, A D ? 5, 求 tan ? tan ? tan ? tan 的值.
2 2 2 2
- 2 -7.【结构不良型三角】已知 ? A B C的内角 A、 B 、 C所对的边分别是 a、 b、 c，在以下三个条件中任选一个：
2 A 6 ? 2 B ? C
2
① sin B ? sin C ? sin A ? sin B sin C；② sin ? ；③ bsin ? a sin B .并解答以下问题：
? ?
4 4 2
（ 1）若选 _ _ _ _ _ _ _ _ _（填序号），求 A的值；
（ 2）在（ 1）的条件下，若 a ? 3， b ? m m ? 0 ，当 ? A B C 有且只有一解时，求实数 m的范围及 ? A B C
? ?
面积 S 的最大值 .
8. 【 解 三 角 形 】 已 知 ? A B C 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 且 2 c cos B ? 2 a ? b ．
（1 ） 求 角 C ；
S 1
? A C D
（2 ） 若 角 C 的 角 平 分 线 交 A B 于 点 D ， ? ， A B ? 3 ， 求 A C 和 C D 的 长 度 ；
S 3
? A B C
S 1
? A C D
（3 ） 若 角 C 的 角 平 分 线 交 A B 于 点 D ， ， C D ? 2 ， 求 A B, A C, B C的长度
?
.
S 3
? A B C
3
9.【三角形中取值范围】已知 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， ， 的面积 ．
△ A B C A ? C ? 2 B △ A B C
S ? a
4
（1）求边 c的值；
（2）若 为锐角三角形，求 的取值范围．
a
△ A B C
- 3 -专题二 数列与不等式
一、【命题规律】
不等式的主要考查点是一元二次不等式、分式不等式的解法，均值不等式的应用，但大多数情况还是把不等式
作为解决问题的工具，穿插在其他试题中进行考查．
数列的考查重点是等差数列和等比数列证明、性质、通项公式及求和，有时和不等式结合常用放缩法来证明.
要注意累加、累乘等方法求通项，及简单的递推数列求通项.一般会考 1 至 2 个小题， 1个解答题.
二、【知识框架】
解析法：a n＝f (n) 数列是特殊的函数
概念 表示
图象法
列表法 等差数列与等比数列的类比
通项公式
－
n 1
递推公式 a ＝a ＋(n－1)d a ＝a q
n 1 n 1
通项公式
数列
等差数列
a a a a a a a a
n＋ m＝ p＋ r n m＝ p r
求和公式
等比数列 性质
前 n项和
前 n项积(a n＞0)
n(a ＋a )
判断 1 n n
T n＝ ( a1 a n)
S ＝
n
a ≠0，q≠0
n
2
①a －a ＝f (n) 逐差累加法
n＋1 n
n a q 1
1， ＝
n
a1(1－q )
S ＝ a
n ，q≠1 n + 1
② ＝f (n) 逐商累积法
1－q
a
n
q
常见递推类型及方法 构造等比数列{ a ＋ }
③a ＝p a ＋q n
n 1 n
＋
p－1
④p a a ＝a －a
n 1 n n n 1 构造等差数列
＋ ＋
a p a
n＋1 n
n
⑤a n + 1＝p a n＋q = 1
化为 · ＋ 转为③
－
n n 1
q q q
公式法：应用等差、等比数列的前 n项和公式
倒序相加法
常见求和方法 分组求和法
裂项求和法
错位相加法
不等式的性质
三个二次的关系
借助二次函数的图象
一元二次不等式
不等式
和定值，积最大；积定值，和最小
最值问题 应用时注意：一正二定三相等
基本不等式：
a＋b
a b≤ 2 2
2 a b a＋b a ＋b
2 变形
≤ a b≤ ≤
a＋b 2 2
三、【典型例题】
a
1.(多选）若正实数 ， b满足 a ? b ?1，且 a ? b，则下列结论正确的是（ ）
- 4 -1 1
b a
A. ln( a ? b) ? 0 B. a ? b C. a ? b > 2 D. ? ? 4
a b
3 3
a ? 0, b ? 0
2. 已知 ，且 + ? 1，则 a ? 2 b的最小值为______________.
a ? 2 b ? 2
n
? a ? ( ?2) , n为奇数,
n
a S a ?1 a ?
3 . (多选 )已知数列 ? ?的前 n 项和为 ， ， ? 则下列选项正确的是（ ）
n 1 n ?1
n
n ?1
a ? 2 , n为偶数,
? n
a a
A．数列 ? ?的奇数项构成的数列是等差数列 B．数列 ? ?的偶数项构成的数列是等比数列
n n
a ? 8191 S ? 671
C． D．
13 10
a n S a ?1 a ? 4 a ? 3 a
4． (多选 )已知数列 ? ?的前 项和为 ，且满足 ， a ? 2， ，则下面说法正确的是（ ）
n n 1 n ?1 n n ?1
2
a ? a
? ? ? a ? 3 a ?
A．数列 n ?1 n 为等比数列 B．数列 为等差数列
n ?1 n
n
3 ?1 n
n -1
a = 3 +1
C． D． S ? ?
n
n
4 2
S S
4 3
a n S ? =1
5.设等差数列 ? ?的前 项和为 ，若 ， 则公差 d ? ；
n n
4 3
S
10
?
a≠0， a ? 3 a
若 ，则 ___________；
1 2 1
S
5
S ? 18, a ? 30( n ? 9)且 S ? 240 n a ? a ? a
，则 的值是 = ；
9 n ?4 n 2 4 9
n
6.数列 a 满足 ，则 a 前 60项和等于________；
? ? a ? ? ?1 ? ? a ? 2 n ?1 ? ?
n n ?1 n n
n ?1
4 ? 4 4 a ? 4
n
7．在 ① a ? 16, a ? 4 a ? 32 a ( n ? 2, n ? N )； ② T ? ； ③ T ? 三个条件中任选一个补充
2 n ?1 n n ?1 n n
3 3
到下面问题中，然后解答补充完整的题目．
等比数列{ a }中， a ? 0，其前 n项和为 T ，且 _ _ _ _ _ _ _ _，数列{ b }的前 n项和为 S ，且 b ? log a ．
n n n n n n 2 n
（ 1）求 b ；
n
1 1 1 1
? ? ? ? ? ? ? ≥ 0.96
n
（ 2）若 ，求 的最小值 .
S S S S
1 2 3 n
- 5 -a a ?1 2 a a ? 3 a ? 3 a
8．已知数列 ? ?，满足 ， ；
n 1 n n ?1 n ?1 n
1
n ?1
c ? ( ?1)
a c T
(1)求 ? ?的通项公式； (2)若 ，求 ? ?的前 2 n项和 ．
n 2 n
n
n
a a
n n ?1
n
a n A ? 2 ?1 a ?1 a ? a ? 2 a
9．数列 ? ?的前 项和 ， ， .
n n 1 4 3 2
a
(1)求数列 ? ?的通项公式；
n
2 a , n为奇数,
? ? b ?
n
n
b b ? S
(2)设数列 ? ?满足 求数列 的前 2 n项和 ;
? ? ?
n n 2 n
log a , n为偶数. a
? 2 n ? n ?
1 1 1 3
n
? ? ? ? ? .
n
（3） c ? 3 ? 2 a 证明：对一切正整数 ，有
n n
c c c 2
1 2 n
- 6 -专题三 立体几何
一、【命题规律】
近几年全国高考对立体几何的考查，一般是两小一大，分值 22 分，属中低档题，但是近两年的小题中一个小
题难度较大．选择填空题考查重点：外接球的问题，多选题中的截面问题、动态问题等．解答题以几何体为载体，
主要是证平行或垂直，求夹角和距离，特别是利用空间向量求距离为新教材新增内容，今年高考需引起重视．
二、【思维导图】
棱柱 正棱柱、长方体、正方体
柱体
圆柱
三视图
棱台
台体 直观图
空间几何体
圆台
侧面积、表面积
棱锥 三棱锥、四面体、正四面体
锥体
体积
圆锥
球
点在直线上
点与线
点在直线外
点在面内
点与面
点在面外
相交 只有一个公共点
共面直线
平行
线与线
没有公共点
异面直线
平行 没有公共点
空间点、 直线在平面外
线、面的 相交
线与面
有公共点
位置关系
直线在平面内
平行
面与面
相交
平行关系的 线线 线面 面面
相互转化 平行 平行 平行 空间直角坐标系
空间向量
垂直关系的 线线 线面 面面
相互转化
垂直 垂直 垂直
→ →
| a · b |
cos ＝——
→ →
| a |·| b |
范围：(0 ，90 ]
异面直线所成的角
→ →
| a · n |
直线与平面所成的角 范围：[0 ，90 ]
空间的角
sin ＝——
→ →
| a |·| n |
范围：[0 ，180 ]
二面角
→ →
n · n
1 2
cos ＝——
→ →
| n |·| n |
1 2
点到面的距离
→ →
直线与平面的距离
空间的距离 相互之间的转化 | a · n |
d ——
＝
→
| n |
平行平面之间的距离
- 7 -三、【典型例题】
1.（体积问题）已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上，且 A B ? 6, B C ? 2 3 ,
则棱锥 O-ABCD 的体积为 .
2.（轨迹问题）已知正方体 的棱长为 3， 是正方体表面上一动点，且 ，则点 形成的
A B C D ? A B C D P P A ? 2 P A P
1 1 1 1 1
轨迹的长度为 ．
A B C ? A B C A A ? 2, A B ? B C ? 1, ? A B C ? 90 ? B B
1 1 1 1 1
3.（最值问题）如图，在直三棱柱 中， ，点 E 是侧棱 上的一个动
? A E C
1
点，则直三棱柱外接球的体积为 ，截面 周长的最小值为 .
4.（多选题点线面位置关系）设 a， b， c是空间的三条直线， α， β是空间的两个平面，则下列命题中正确的是( )
A．当 c⊥ α时，若 α∥ β，则 c⊥ β
B．当 b? α时，若 α⊥ β，则 b⊥ β
C．当 b? α，且 c 是 a 在 α内的射影时，若 a⊥ b，则 b⊥ c
D．当 b? α，且 c ? α时，若 b∥ c，则 c∥ α
5（ . 多选动态问题）如图所示，在直四棱柱 A B C D ? A'' B '' C '' D ''中,底面为等腰梯形， A B ? 4 , A D ? D C ? C B ? A A '' ? 2 ,
点 是侧面 （含边界）内一点， 是 的中点，下列说法正确的是
P A D D '' A'' M A B
? ?
3 ,2 2
A. 线段 P M 的长度取值范围是
? ?
?
D C
B. 存在点 P使得直线 A P 与 的夹角为
4
1
A C B ''
C. 若 P D //平面 ,则 P D与底面夹角正弦值为
2
73
D. 若点 在棱 上运动，则四棱锥 P ? A B C D外接球半径最小值为
P A '' D ''
4
6.（多选截面问题）如图，设正方体 ABC D ? A B C D 的棱长为 2， E 为 A D 的中点， F 为 C C 上的一个动点，设由
1 1 1 1 1 1 1
点 A， E， F 构成的平面为 ? ，则 ( )
- 8 -A．平面 ? 截正方体的截面可能是三角形
B．当点 与点 重合时，平面 截正方体的截面面积为
F C ? 2 6
1
2 6
C．点 D到平面 ? 的距离的最大值为
3
D．当 F 为 C C 的中点时，平面 ? 截正方体的截面为五边形
1
7.（多选新情景问题）半正多面体 ( s em i r eg u l a r s o l i d)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的
多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和
六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为 2 ，则 ( )
A． B F ?平面 E A B
20
B．该二十四等边体的体积为
3
C．该二十四等边体外接球的表面积为
8 ?
2
D． P N 与平面 E B F N 所成角的正弦值为
2
8.（常规型、证垂直求线面角）如图，在以 P，A，B，C，D 为顶点的五面体中，平面 ABCD 为等腰梯形，AB//CD，
1
，平面 PAD 平面 PAB，PA PB．
A D ? C D ? A B ? ?
2
（1）求证： ? P A D为直角三角形；
（2）若 AD=PB，求直线 PD 与平面 PBC 所成角的正弦值．
- 9 -9.（平行关系、二面角）已知三棱柱 A B C ? A B C ， A B= A C=2， B C=2 2 ， B B =2，点 M 为 C C 中点.
1 1 1 1 1
（1）试确定线段 A B 上一点 N ，使 A C ? 平面 B MN ；
1
（2）在（1）的条件下，若平面 A B C ?平面 B B C C ， ? A B B ? 60 ?，求平面 B MN 与平面 B B C C 所成
1 1 1 1 1
锐二面角的余弦值．
A A
1
N
M
C
1
C
B
B
1
?
10.（折叠问题）如图，在等腰直角三角形 A D P中，已知 A ? ， A D ? 3， B ， C 分别是 A P， D P上的点， E 是 C D
2
的 中 点 ， 且 B C / / A D ． 现 将 ? P B C 沿 B C 折 起 ， 使 得 点 P 在 平 面 A B C D 上 的 射 影 为 点
A．
（1）若 B ， C 分别是 A P、 D P的中点，求证：平面 P A C ?平面 P C D．
（2）请判断是否存在一种折法，使得直线 P B与平面 所成角的余弦值是直线 P B与平面 P A E所成角的正弦值
A B C D
26
的 倍？若存在，求出 A B的长；若不存在，请说明理由．
5
- 10 -．（距离问题）
11
?
如图, 在三棱柱 A B C ? A'' B '' C ''中,四边形 A B B '' A '' 是边长为 2 的正方形，四边形 A C C '' A '' 为菱形， ? A '' A C ? ,平面
3
A C C '' A '' ?平面 A B B '' A '' .
(1)求证： C A '' ? B C '' ;
15
(2)棱 B '' C '' （除两端点外）上点 M ，且二面角 M ? A '' B ? B '' 余弦值为 ，求点 C到平面 B M A '' 的距离.
5
- 11 -专题四 排列组合二项式定理 、 概率统计
抽签法
一、【知识框架】
共同特点：抽样
简单随机抽样
过程中每个个体
随机数表法
被抽到的可能性
随机抽样
（概率）相等
分层抽样
频率分布表和频率分布直方图
样本频率分布
总体密度曲线
估计总体
茎叶图
用样本估计总体
统计
众数、中位数、平均数、百分位数
样本数字特征
估计总体
方差、标准差
两个变量的
变量间的相关关系 散点图 回归直线
线性相关
正态分布
列联表（2×2）独立性分析
概率的基本性质 互斥事件 对立事件
P( A)＝1－P(A)
古典概型 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
几何概型
P(A B)
P(B | A)＝
全概率公式
P(A)
n次独立重复试验恰好
概率
条件概率
发生 k 次的概率为
P(A B)＝P(A)·P(B)
－
k
k n k
P (k)＝C p (1－p)
n
n
事件的独立性
X～B(1，p)
两点分布
E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)
X～B(n，p)
常用的分布及
二项分布
随机变量
期望、方差
E(X)＝n p，D(X)＝n p(1－p)
定义
超几何分布
概率的计算
实际应用
与分布列
E（aX+b） =aE(X)+b
2 与二项分布的区别
D(aX ? b) ? a D(X )
两个原理
分类加法计算原理和分步乘法计算原理
n!
计算原理
m
排列数：A ＝
n
(n－m)!
排列与组合
－
m n m
C ＝C
n n
n!
m
组合数：C ＝
n
性质
m!( n－m)! －
m m m 1
C C C
＝ ＋
n 1 n n
＋
－
r
n r r
通项公式 T r 1＝C a b
＋ n
二项式定理
首末两端“等距离”两项的二项式系数相等
二项式系数性质
0 1 n 0 2 4 1 3 5 －
n n 1
- 12 -
C ＋C ＋…＋C ＝2 C ＋C ＋C …＝C ＋C ＋C …＝2
n n n
n n n n n n二、【命题规律】
小题常考两个，其一是排列组合，二项式定理（为主）及其应用，其二是分层抽样、古典概型，条件概率，独
立重复试验等基本概型概率等加强对基本概念，基础知识的考察，近年来有考查统计图表题的趋势可能以多选题形
式呈现；解答题以频率分布表、频率分布直方图、柱形图、折线图等图表为载体，侧重考查线性回归、独立性检验、
二项分布、超几何分布、正态分布以及离散型随机变量的分布列及期望决策类，概率与函数数列不等式的结合，突
出了对阅读能力、应用意识、数据处理能力及创新综合能力的考查.
三、【典型例题】
1.疫情防控期间，某医院从 3名呼吸科?3 名重症科和 2 名急诊科医生中选派 5 人组成一个医疗专家小组跟本市其他
医院的援助医疗队一同支援上海，则该院呼吸科?重症科和急诊科医生都至少有 1 人的概率为（ ）
3 4 5 6
A． B． C． D．
7
7 7 7
2 .(多选题)甲箱中有 5 个红球，2个白球和 3个黑球，乙箱中有 4 个红球，3个白球和 3 个黑球．先从甲箱中随机取
出一球放入乙箱中，分别以 ， ， 表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一
A A A
1 2 3
球，以 B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）
2 5
A． P( B) ? B． P( B A ) ?
1
5 11
C．事件 B与事件 A 相互独立 D． A 、 A 、 A 两两互斥
1 1 2 3
3.（多选题）下列命题中，下列说法正确的是（ ）
2
B n, p E X ? 30 D X ? 20
A.已知随机变量 X 服从二项分布 ? ?，若 ? ? ， ? ? ，则 p ?
3
B.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强,则线性相关系数 r 的值越接近于 1
C.在残差图中,残差点分布的水平带状区域越窄,说明模型的拟合精度越高
X , X ~ B(10,0.8)
D.某人在 10 次射击中，击中目标的次数为 ，则当 X ? 8时概率最大
4.某数学老师任教不同选科组合的 A,B两个班，A 班有学生 40人，B 班有学生 50人，某次数学测验 A 班平均分 95
分，方差为 15；B 班平均分 86分，方差为 24，则该老师所任教班级的该次数学测验的方差为_______．
5． 已知 30个数据的第 60百分位数是 8.2， 这 30个数据从小到大排列后第 18个数据是 7.8， 则第 19个数据是 ．
2
n
6 .（ 1）若（ x ? ）的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是_____________
2
x
9 2 3 9
(2 x ?3) ═ a ? a x ?1 ? a ( x ?1) ? a ( x ?1) ? ? ? a ( x ?1)
（2）对任意实数 x，有 ? ? .则下列结论成立的是
0 1 2 3 9
（ ）
a ? ?144 a ? 1
A． B．
0
2
9
a ? a ? a ? ? ? a ? 1 a ? a ? a ? a ? ? ? a ? ?3
C． D．
0 1 2 9
0 1 2 3 9
7 .【概率与导数交汇，回归分析】
某公司为了研究 A 产品的年投入与该产品年销售收入的关系，对近 6 年 A 产品投入 x i（单位：百万元）与该产品年
- 13 -销售收入 y （单位：百万元）作了统计，作出散点图如下图：
i
（1）由散点图知，该公司 A 产品的年投入 x 与该产品年销售收入 y 的回归方程为 y= bln x+ a，根据所给数据，求出
i i
y关于 x 的回归方程（ b 精确到 1， a 精确到 0.1） ；
（2）已知该公司 B 产品的年销售收入与该产品年投入的资金的关系式为 y=2 x，该公司今年对 A， B 产品的总投入
为 15，根据（1），请您分配对 A， B 产品的投入的资金使今年 A， B 产品的总收入最多．
6 6 6
2
附：相关数据，令 u =ln x，则 u y ? 194.14， u ? 9.00， u ? 14.87 ，
i i
? i i ? i ? i
i ?1 i ?1 i ?1
n
? t ? n ? t
?
i i
i ?1
? ? ?
若回归直线方程为： ?? ? ? t ? ? ? ，其中 ? ? ， ? ? ? ? ? ? t ．
n
2
2
t ? nt
? i
i ?1
8 .【概率与数列结合，二项分布】
2022 年 5 月 1 日济南市，随着疫情的有效控制，高三学生开始返校复课学习.为了减少学生就餐时的聚集排队
时间，学校食堂从复课之日起，每天中午都会提供A、B 两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析
2 1
发现：学生第一天选择 类套餐的概率为 、选择 类套餐的概率为 .而前一天选择了 类套餐第二天选择 类
A B A A
3 3
1 3 1
套餐的概率为 、选择B 套餐的率为 ；前一天选择B 类套餐第二天选择A类套餐的概率为 、选择B 类套餐的
4 4 2
1
n
概率也是 如此往复 记某同学第 天选择 类套餐的概率为P
. . A .
n
2
? ?
2
P ?
P
（1）证明数列 ? ?是等比数列并求数列 ? ?的通项公式；
n
n
5
? ?
（2）记高三某宿舍的 3 名同学在复课第二天选择A类套餐的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；
- 14 -（3）为了贯彻五育并举的教育方针，培养学生的劳动意识，十天后学校组织学生利用课余时间参加志愿者服务活
动，其中有 位学生负责为全体同学分发套餐，如果你是组长，如何安排分发 、 套餐的同学的人数呢，说明
20 A B
理由.
9.【正态分布】
已知某高校共有 10000 名学生，其图书馆阅览室共有 994个座位，假设学生是否去自习是相互独立的，且每
个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率均为 0.1．
（1）将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为 X，求 X 的期望和方差；
（2）18 世纪 30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量 X 服从二项分布 B（n，p），那么当 n比较大时，可视为 X
2
服从正态分布 ．任意正态分布都可变换为标准正态分布（μ＝0 且σ＝1 的正态分布），如果随机变量
N( ?, ? )
Y ? ?
2
Y ? N ( ?, ? )，那么令 Z ? ，则可以证明 Z ? N (0,1)．当 Z ? N (0,1)时，对于任意实数 a，记Φ（a）＝P（Z＜
?
a） ．
已知如表为标准正态分布表（节选），该表用于查询标准正态分布对应的概率值．例如当 a＝0.16时，由于 0.16＝
0.1+0.06，则先在表的最左列找到数字 0.1（位于第三行） ，然后在表的最上行找到数字 0.06（位于第八列），则表
中位于第三行第八列的数字 0.5636便是Φ（0.16）的值．
（ⅰ）求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率；
（ⅱ）若要使在晚自习时间阅览室座位够用的概率高于 0.7，则至少需要添加多少个座位？
a 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 0.500 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359
0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753
0.2 0.5793 0.5834 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141
- 15 -0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6404 0.6443 0.6480 0.6517
0.4 0.6554 0.6591 0.628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879
0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224
1 0 .【独立性检验，超几何分布】
2021年山东继续举办线上万人健步走活动，希望带动更多的人参与到全民健身中来，以更加强健的体魄、更加优异
的成绩，向中国共产党百年华诞献礼．为了解群众参与健步走活动的情况，随机从参与活动的某支队伍中抽取了 60
人，将他们的年龄分成 7 段：[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60), [60,70),[70,80]后得到如图所示的频率分布直方
图．
（1）以各组的区间中点值代表各组取值的平均水平，求这 60人年龄的平均数，并求中位数的估计值；
（2）若从样本中年龄在[50，70）的居民中任取 3 人，这 3 人中年龄不低于 60 岁的人数为 X，求 X 的分布列及数
学期望；
3
（3）一支 200人的队伍，男士占其中的 ，40岁以下的男士和女士分别为 30和 70人，通过计算判断是否有 95%
8
的把握认为参与健步走活动年龄与性别有关．
- 16 -2
n( ad ? bc)
2
附： K ?
( a ? b)( c ? d)( a ? c)( b ? d)
… 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2
P K ? k
? ?
0
… 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
k
0
- 17 -专题五 解析几何
一、【命题规律】【解析几何的逻辑分析】
平面解析几何是高考考查的重要内容，其考查方式相对固定，题目类型一般为两小一大，分值 22 分．两小：
多考椭圆、双曲线和抛物线特征量与标准方程；一大：第一问一般考查圆锥曲线的轨迹与方程，第二问考查直线与
圆锥曲线的综合应用，主要是求解其中弦长、面积、中点、最值、范围、定点、定值或探索某一结论等．
二、【知识框架】
倾斜角和斜率 倾斜角的变化与斜率的变化
重合
A B －A B ＝0
1 2 2 1
平行
位置关系
直线的方程 A B －A B ≠0
1 2 2 1
相交
截距
A1 A2＋B1 B2＝0
垂直
注意：截距可正、 点斜式：y－y0＝k(x－x0)
可负，也可为 0.
斜截式：y＝k x＋b
注意各种形式的转
y－y1 x－x1
两点式： ＝
直线方程的形式
化和运用范围.
y －y x －x
2 1 2 1
x y
截距式： ＋ ＝1
a b
两直线的交点
A x B y C 0
一般式： ＋ ＋ ＝
| A x0＋B y0＋C | | C1－C2 |
点到线的距离：d＝ ，平行线间距离：d＝
距离
2 2 2 2
A ＋B A ＋B
圆的标准方程
△＜0，或 d＞r
相离
圆的一般方程
圆的方程
△＝0，或 d＝r
相切
直线与圆的位置关系
△＞0，或 d＜r
两圆的位置关系 相交
曲线与方程 轨迹方程的求法：直接法、定义法、相关点法
定义及标准方程
椭圆
圆锥曲线
范围、对称性、顶点、焦点、长轴（实轴） 、
双曲线
性质
短轴（虚轴）、渐近线（双曲线） 、准线（只
要求抛物线）
离心率
抛物线
关于点( a， b)对称
点( x ，y ) 点(2 a－x ，2 b－y )
1 1 1 1
───────→
中心对称
关于点( a， b)对称
曲线 f (x，y) 曲线 f (2 a－x，2 b－y)
───────→
对称性问题
x ＋ x y ＋ y
1 2 1 2
点(x ，y )与点(x ，y )关于
1 1 2 2 A· ＋ B· ＋ C＝0
2 2
直线 A x＋ B y＋C＝0 对称
轴对称 y2－ y1 A
·(－ )＝－1
B
x2－ x1
特殊对称轴
x±y＋C＝0 直接代入法
- 18 -三、【典型例题】
2 2
x y
?
1．已知 F ， F 分别为双曲线 ? ? 1( a ? 0， b ? 0) 的左右焦点，点 在双曲线上，若 P F ? F F ， ? P F F ? 30 ，
P
1 2 2 1 2
1 2
2 2
a b
则双曲线的离心率为_______．
2
x
2
x
2．已知椭圆 C： 的左、右顶点分别为 ， B ，点 D为 轴上一点，过 D作
? y ? 1 A
4
x
轴的垂线交椭圆 C于不同的两点 ， N ，过 D作 的垂线交 B N 于点 E．则
M A M
与 的面积之比为______．
? B D E ? B D N
2 2
x y
2
C ? ? 1 F F F C y ? 2 p x p ? 0 C C
3．已知椭圆 ： 的焦点分别为 ， ，且 是抛物线 ： ? ?的焦点， P是 与 的交
1 1 2 2 2 1 2
2
36 b
P F ? 7 cos ? P F F
点，且 ，则 的值为_______．
1
1 2
2 2
x y
F F
4．椭圆 C： 的左、右焦点分别为 ， ，点 P在椭圆上且同时满足：
? ? 1( a ? b ? 0)
1 2
2 2
a b
? F F P ? F F P
① 是等腰三角形 ② 是钝角三角形；
1 2 1 2
F F ? F F P
③线段 为 的腰； ④椭圆 C上恰好有 4 个不同的点 P ．则椭圆 C的离心率的取值范围是______．
1 2 1 2
2 2
x O y
5．平面直角坐标系 中，已知 是圆 C：( x ?1) ? ( y ?1) ? 2 的一条弦，且 A C ? B C ， 是 的中点.
A B M A B
?
3 x ? 4 y ? 9 ? 0 Q P Q
当弦 在圆 C上运动时，直线 l： 上总存在 、 两点，使得 ? P M Q ? 恒成立，则线段 长
A B P
2
度的取值范围是_____.
6． 【 多 选 】平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是 1675 年卡西尼在研究土星及其卫
星的运行规律时发现的．已知在平面直角坐标系 中， ， ，动点 满足 ，
x O y M ( ?2， 0) N(2， 0) | P M | ?| P N | ? 5
P
其轨迹为一条连续的封闭曲线 ．则下列结论正确的是
C
A．曲线 C 与 y轴的交点为 (0， ?1)， (0， 1) B．曲线 C 关于 x轴对称
C．△ P M N 面积的最大值为 2 D．| O P |的取值范围是[1， 3]
2 2
x y 2
2
7．已知椭圆 E : ? ?1 a ? b ? 0 ，以抛物线 y ? 4 2 x 的焦点为椭圆 E 的一个顶点，且离心率为 .
? ?
2 2
a b 2
（1）求椭圆 E 的方程；
l : y ? k x ? m k ? 0
（2）若直线 ? ?与椭圆 E 相交于 A、 B 两点，与直线 x ? ?4相
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
交于 Q 点， P 是椭圆 E 上一点，且满足 （其中 O 为坐标原点） ，试
O P ? O A ? O B
? ? ? ? ? ? ? ?
问在 轴上是否存在一点 ，使得 为定值？若存在，求出点 的坐标及
x T O P ? T Q T
? ? ? ? ? ? ? ?
O P ? T Q的值；若不存在，请说明理由.
- 19 -8．在平面直角坐标系 x O y 中，动点 P到点 F(1， 0)的距离比到 y轴的距离大 1．
（1）求点 P的轨迹方程；
（2）已知点 Q在直线 x ? ?1上，点 P在第一象限，满足 F P ? F Q ，记直线 O P， O Q， P Q 的斜率分别为 k ， k ， k ，
1 2 3
求 k ? k ? k 的最小值．
1 2 3
3
9．已知椭圆 的焦点坐标为 和 ，且椭圆经过点 ．
( ?1， 0) (1， 0) (1， )
C
2
（1）求椭圆 C的方程；
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
（2）若 T (1， 1)，椭圆 C上四点 M ， N， P， Q 满足 M T ? 3 T Q， N T ? 3 T P ，求直线 M N 的斜率．
- 20 -2 2
y x
10．在平面直角坐标系 x O y 中，双曲线 C : ? ?1( a ? 0， b ? 0) 的离心率为 2 ，
2 2
a b
实轴长为 4．
（1）求 C的方程；
y
P(0， t)
（2）如图，点 A为双曲线的下顶点，直线 l过点 且垂直于 轴（ P位于
G， H A G， A H
原点与上顶点之间），过 P 的直线交 C 于 两点，直线 分别与 l 交于
M ， N O， A， N ， M
两点，若 四点共圆，求点 的坐标．
P
专题六 函数与导数
- 21 -一、【命题规律】
函数是高中数学的一条主线，在高考中占有重要的地位．主要考查是初等函数（一次函数、二次函数、幂、
指数、对数函数）的图象和性质，函数零点与函数方程；导数的概念，导数的几何意义，导数在研究函数零点、方
程、不等式等问题中的综合应用；在高考试卷中一般是 2 道小题和 1道解答题，小题重在有针对性地考查一些重要
知识点，如图象（多与导数结合）、性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、零点等），解答题重
在考查用导数研究函数切线方程、单调性，极值、最值,函数零点,构造函数证明不等式，参数范围等,具有较强的综
合性，属难题．
二、【思维导图】
表示方法 元素、集合之间的关系
概念
运算：交、并、补
集合 数轴、Venn图、函数图象
确定性、互异性、无序性
性质
解析法
列表法
表示
定义
使解析式有意义
图象法
定义域
换元法求解析式
三要素 对应关系
注意应用函数的单调性求值域
值域
1、 函数在某个区间递增(或减)与单调区间是某个区间的含义不同； 2、
单调性
证明单调性：作差（商） 、导数法；3、复合函数的单调性
奇偶性
定义域关于原点对称，在 x＝0 处有定义的奇函数→ f (0)＝0
周期性
性质
T
周期为 T的奇函数→f (T)＝f ( )＝f (0)＝0
2
对称性
函数
二次函数、基本不等式、双钩（耐克）函
最值
数、三角函数有界性、数形结合、导数.
平移变换
一次、二次函数、反比例函数
对称变换
图象及其变换
翻折变换
幂函数
伸缩变换 图象、性质
指数函数
和应用
基本初等函数
对数函数
分段函数
三角函数
复合函数
复合函数的单调性：同增异减
赋值法、典型的函数
抽象函数
函数与方程 零点 二分法、图象法、二次及三次方程根的分布
函数的应用 建立函数模型
几何意义(切线问题） 、物理意义
导数的概念
基本初等函数的导数 三次函数的性质、图象与应用
导数
导数的运算法则
单调性 导数的正负与单调性的关系
导数的应用
极值 最值 生活中的优化问题
- 22 -【导数逻辑分析】
1.切线问题答题路线：
（1）求在某点切线方程：
f ''( x) ? k ? f ''( x ) ? y ? f ( x ) ? l： y ? y ? k ( x ? x )
0 0 0 0 0
（2）知切线方程求参：
k ? f ''( x )
?
0
?
（设切点），求 f ''( x) ? n ? y ? k ( m ? x ) ? 解出参数
?
0 0
?
y ? f ( x )
0 0
?
（3）求过某点切线条数问题：
①设切点坐标②写切线方程③代点④方程根的个数⑤函数极值的正负
（4）公切线问题的解决步骤是
①设切点坐标②列方程（点在曲线上、斜率相等）③将参数用函数表示出来④求函数值域.
2.讨论单调性 ?分类讨论
（1）步骤规范：求导、定义域、核心函数、分类讨论、综上
（2）标准明确：系数、根、根与区间、比根
答题路线：（讨论标准零不零，有没有，在不在，等不等，0， ?， ?，=）
2
f ''( x)，定义域 D ?核心函数：g( x) = ax ? bx ? c;
x x x x
【 g( x) ? (2 e ?1)( ae ?1)， g( x) ? ( x ?1)( e ? 2 a)， g( x) ? 2 e ? a ? x ? sin x ?】
? ?
2
（1） a ? 0，g( x) ? f ( x)，（2） a ? 0， ? ? b ?4 ac，① ? ? 0，g( x) ? f ( x)
② ? ? 0,求出 x , x（假设 x ? x）
1 2 1 2
( i) x , x ? D,g( x) ? f ( x);( i i) x ? D, x ? D,g( x) ? f ( x);
1 2 1 2
( i i i) x , x ? D,
1 2
( a) x ? x ,g( x) ? f ( x);( b) x ? x ,g( x) ? f ( x);(c) x ? x ,g( x) ? f ( x);
1 2 1 2 1 2
综上，按参数从小到大下结论，写成区间
3.恒（能）成立，求范围（最值） ?最值问题
（1）端点效应：结合单调性求最值，端点值，
（2）分离参数：构造函数+单调性+趋势+洛必达，
（3）分段分类讨论：对未知数、参数逐段考虑，
4.证明不等式 ?构造函数
（1）直接证明：作差证：20年新高考1经典不等式
?①变形为题设形式，17年新课标3
?
②变形为(两个)好函数，14年新课标1
?
?
（2）变形证明：③变形为经典不等式（泰勒展式），17年新课标2
?
?
④双变量构造函数，18年对数平均不等式
?
?
⑤极值点偏移，偏对称 16年，21年
?
?知零点个数求参数范围 ?存在定理（15，17，19课标1，21新高考2）
5.零点（根）的个数 ? ?
? ?
讨论（求）零点个数 虚设零点（13，14，课标2，15课标1文）
? ?
1 1 1 1
2 x x x
同构 x e ? ln x ? 0 ? x e ? ln ? e ? ? ln ? x
x x x x
（1）分离参数：利用单调性，分参画图，注意：端点+趋势洛必达法则
（2）分类讨论：分类分段讨论+端点
- 23 -三、【典型例题】
f x f x ? 2 f 2 x ?1 x ? 1,2
1【 . 奇偶性、对称性、周期性】已知函数 ? ?的定义域为 R， ? ?为偶函数， ? ?为奇函数当 ? ?
9
? ?
2
f 0 ? f 3 ? 6 f ?
时， f ( x) ? ax ? b．若 ? ? ? ? ，则 （ ）
? ?
2
? ?
9 3 7 5
? ?
A. B. C. D.
4 2 4 2
2
x ?1 2 x ?1 x ? ax ? b
? ? ? ? ? ?
x
2.【整体思想换元法、一元二次函数】已知函数 ，对任意非零实数 ，均满足
f x ?
? ?
2
x
1
? ?
f ? x ? ? f ? ．则 f ?1 的值为______；函数 f x 的最小值为______．
? ? ? ?
? ?
x
? ?
f ( x) f ?( x) f ( x) ? f ( ? x) ? 2sin x
3.【构造函数、单调性】已知定义在 R 上的函数 ，其导函数为 ，若 ，
?
?
f ( x) ? cos x ? 0 f ( x ? ) ? f ( x) ? sin x ? cos x
且当 x ? 0时， ，则不等式 的解集为（）
2
? ? ? ?
( ? ?， ) ( ， ? ?) ( ? ?， ? ) ( ? ， ? ?)
A． B． C． D．
2 2 4 4
x
x, y
4.【指对同构】已知正数 满足 ，则 x y ? 2 x的最小值是 .
y ln x ? y ln y ? e
x ? x
e ? e
5.【图象】函数 的图象大致为( )
y ?
x ? x
e ? e
y
y
y
y
1
1
1 1
O 1
x
O 1
x x
O
1 O
x
1
D
C
B
A
5
4
? 4 ?
x、 y、 z
6.【指对比较大小】 已知 ，则 的大小关系为（ ）
x ? , y ? log 5, z ? log 4
4 3
? ?
3
? ?
y ? x ? z x ? y ? z z ? x ? y x ? z ? y
A. B. C. D.
7.【对数函数，泰勒展式，端点效应，恒成立、数列不等式】
已知函数 f ? x ? ? x ? ln( x ?1)
2
x ?[0, ? ?), f ( x)
（Ⅰ）若对任意的 有 ≤ 成立，求实数 k 的最小值；
kx
n
2

? ln(2 n ?1) ? 2
（Ⅱ）证明 （ ）.
n ? N
?
2 i ?1
i ?1
- 24 -8.【指数函数、单调性、恒成立、端点效应失效、反套路、分离参数、泰勒展式】
x 2
已知函数 f ( x) ? e ? a x ? x .
1
3
f ( x) a
（Ⅰ）当 a ?1时，讨论 的单调性； （II）当 x ? 0时， f ( x) ? x ?1，求 的取值范围.
2
f x ? sin x ? xcos x
9.【三角函数、对称性、零点个数】已知函数 ? ? ．
x ? 0, ? f x ? 0
(1)证明：当 ? ?时， ? ? ；
g x ? f x ? x g x ?2 ? ,2 ?
(2)记函数 ? ? ? ? ，判断 ? ?在区间 ? ?上零点的个数．
- 25 -10.【消参数，对数平均值不等式、构造函数】
1
2
2
f x
f ? x ? ? x ln x ? m x ? x m ? R ? ? x x x ? x x x ? e
已知 ， ．若 有两个极值点 ， ，且 ，求证： .
1 2 1 2
1 2
2
2
11.【极值点、隐零点】已知函数 f ? x ? ? ax ? ax ? x ln x ，且 f ( x) ? 0 .
a
（1）求 ；
1
?2
f ( x) x e ? f x ?
（2）证明： 存在唯一的极大值点 ，且 ? ? .
0
0
4
- 26 -56 级高考数学典型题答案
专题一 三角与平面向量
2
cos ? ?2sin ? cos ? 1 ?2 tan ? 3
2 2
1. 【 解 析 】 cos ? ?sin 2 ? ? cos ? ?2sin ? cos ? ? ? ? ， 整 理 ， 得
2 2 2
sin ? ?cos ? tan ? ?1 10
1 ? 1
2
，解得 tan ? ? 或 tan ? ? ?7．又 ? ?(0, )，所以 tan ? ? .故选 C．
3tan ? ? 20 tan ? ? 7 ? 0
3 2 3
? ? 2 ?
? k ? ?
2.【解析】对于 A，显然 为周期的整数倍所以 ，即 ? ? 8 k ， k ?Z，所以 的最小值为 8，故 A 错误;
4 4 ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
f ? f cos ? ? cos ?
对于 B，由 得 ，
? ? ? ?
? ? ? ?
6 3
? ? ? ?
6 4 3 4
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
? ? 2 k ? ? ?
所以 ? ? ? ? 2 k ?， k ?Z或 ， k ?Z，
? ?
3 4 6 4
3 4 6 4
? ?
?
所以 ? ?12 k 或 ? ?1 ? 4 k ， k ?Z，又 ? ? 0，所以 最小值为 1，故 B正确;
? ? ?
?
? ? 2 k ?,
?
? ? ? ? ? ?
2 4
? ? ? x ? ? ? ? ?
对于 C，显然 ，所以有
?
?
2 4 4 4
?
? ? ? ? ? ? 2 k ? ,
?
? 4
1 5
1 5 ? ?
? 4 k ? ? ? ? 2 k ,
即 ， k ? Z当 k ? 0时符合题意，因此 k的取值范围为 ，故 C正确.
? ?
2 4 2 4
? ?
? ? ? ?
?
? ? k ? ? ,
?
? 1 3
2 4 2
? ? 2 k ? ? ? ? k
对于 D，由 得 ， k ?Z，
?
? ?
2 4
?
? ? ? ? ? k ? ,
?
? 4 2
3 3 7
当 k ? 0时， 0 ? ? ? ，当 k ?1时， ? ? ? ，
4 2 4
f ( x) ? 3 | sin x | ?4 | cos x |
3.【解析】函数 ，
f ( x ? ? ) ? 3 | sin( x ? ? ) | ?4 | cos( x ? ? ) | ? 3 | ?sin x | ?4 | ?cos x | ? 3 | sin x | ?4 | co s x ? | f ( x )
对于选项 A， ，
? ?
f ( x)
所以 是函数 的一个周期，故选项 A正确；
f ( ? x) ? 3 | sin( ? x) | ?4 | cos( ? x) | ? 3 | sin x | ?4 | cos x | ? f ( x)
对于选项 ，因为 ，
B
?
f ( x) f ( x) ? f ( x ? k ?) ? f ( k ? ? x) f ( x) ? f ( k ? ? x)
又 的周期为 ，所以 ，即 ，
k ?
f ( x)
故直线 x ? ( k ? Z )为函数 的对称轴方程，故选项 正确；
B
2
?
C f ( x) [0 ? ]
对于选项 ，因为 的周期为 ，不妨取一个周期 , 进行分析，
?
?
3sin x ? 4cos x,0 ? x ?
?
? 2
f ( x) ? 3 | sin x | ?4 | cos x | ?
则 ? ，
?
?
3sin x ? 4cos x, ? x ? ?
?
? 2
? 4 ?
f ( x) ? 3sin x ? 4cos x ? 5sin( x ? ?) f ( x)
0 ? x ? tan ? ? x ? ? ?
当 时， ，其中 ，故当 时， 取得最大值为 5，
2 3 2
? 4 ?
? x ? ? f ( x) ? 3sin x ? 4cos x ? 5sin( x ? ?) tan ? ? x ? ? ? f ( x)
当 时， ，其中 ，故当 时， 取得最大值为 5，
2 3 2
f ( x)
综上所述，函数 的最大值为 5，故选项 C 正确；
- 27 -? ? ?
f ( x) ? 3sin 0 ? 4cos0 ? 4 x ? f ( x) ? 3sin ? 4cos ? 3
当 x ? 0时， ，当 时， ，
2 2 2
?
x ? ?
f ( x) ? 3sin ? ? 4cos ? ? 4 x ?
当 时， ，所以函数一个周期中有两个最大值 5，且关于直线 对称，
2
?
f (0) ? 4 f ( ? ) ? 4 f ( x) ? 4 [0 ? ]
又 ， f ( ) ? 3， ，作出图象如图所示，所以 在 ， 有四个解，故选项 错误．
D
2
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
记 a ? b， c ? ? , a ? b ? a ? b ? c ?1 ? 3cos ? ?1. ?cos ? ? ?1,1 ? a ? b ? ?4, 2
? ? ? ?
4.【解析】 ? ?
? ? ? ? ?
2 2
? ? ? ? ?
a ? b ? a ? b ? 4 a ? b ? 9 ? 4 a ? b ? ?1, 25 ?. ? a ? b ? ?1,5 ? .
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
3
? ?
A, D, P P A ? ? P D ? ? 0 P A ? m P B ? ? m P C
5.【解析】∵ 三点共线，∴可设 ? ?，∵ ，
? ?
2
? ?
3
? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
3
? ? ? m
? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? P D ? m P B ? ? m P C
∴ ，即 m 2 ，
? ? ? ?
2 P D ? P B ? P C
? ?
? ?
3
? ?
3 ? m 3
? ?
m ? B, D, C
若 m ? 0且 ，则 三点共线，∴ m 2 ，即 ? ? ，
? ?
? ? 1
2 2
? ?
∵ A P ? 9，∴ A D ? 3，∵ , A C ? 3, ? B A C ? 90 ?，∴ B C ? 5，
A B ? 4
? B D A ? ? ? ?
设 C D ? x， ? C D A ? ? ，则 B D ? 5 ? x， .
2
2 2 2
2 2 2
?5 ? x ? ? 7
A D ? C D ? A C x A D ? B D ? A B
cos ? ? ? ? ?
∴根据余弦定理可得 cos ? ? ? ， ? ? ，
2 A D ? C D 6 2 A D ? B D 6 ?5 ? x ?
2
5 ? x ? 7
x ? ? 18 18
cos ? ? cos ? ? ? ? 0
? ? ? ? 0 x ?
∵ ，∴ ，解得 ，∴ C D的长度为 .
6 6 ?5 ? x ?
5 5
? ? ? ? ? ? ? ?
3
P A ? P C C, D 0
当 m ? 0时， ， 重合，此时 C D的长度为 ，
2
? ? ? ? ? ? ? ?
3 18
3
m ? P A ? P B B, D
当 时， ， 重合，此时 ，不合题意，舍去.故答案为：0 或 .
P A ? 12
2
2 5
A A
2
sin 2sin
A 1 ? cos A
2 2
tan ? ? ?
6.【解析】（1） .
A A A
2 sin A
cos 2sin cos
2 2 2
A B C D
? ?
?
（2）由 ，得 C ?180 ? A, D ?180 ? B.由（1），有 tan ? tan ? tan ? tan
A ? C ?180
2 2 2 2
? ?
1 ? cos A 1 ? cos B 1 ? cos(180 ? A) 1 ? cos(180 ? B) 2 2
? ? ? ? ? ?
? ?
sin A sin B sin(180 ? A) sin(180 ? B) sin A sin B
2 2 2
连结 BD，在 中，有 ，
? A B D B D ? A B ? A D ? 2 A B ? A Dcos A
2 2 2
在 ? B C D中，有 ，
B D ? B C ? C D ? 2 B C ? C Dcos C
2 2 2 2
所以 ，
A B ? A D ? 2 A B ? A Dcos A ? B C ? C D ? 2 B C ? C Dcos A
- 28 -2 2 2 2 2 2 2 2
A B ? A D ? B C ? C D 6 ? 5 ?3 ? 4 3
则 cos A ? ? ? ，
2( A B ? A D ? B C ? C D) 2(6 ?5 ? 3 ?4) 7
3 2 10
2 2
于是 sin A ? 1 ? cos A ? 1 ? ( ) ? . 连结 AC，同理可得
7 7
2 2 2 2 2 2 2 2
A B ? B C ? A D ? C D 6 ? 3 ?5 ? 4 1
1 6 10
2 2
cos B ? ? ? ，于是 .
sin B ? 1 ? cos B ? 1 ? ( ) ?
2( A B ? B C ? A D ? C D) 2(6 ?3 ? 5 ?4) 19
19 19
14 2 ?19
A B C D 2 2
4 10
? ?
所以 tan ? tan ? tan ? tan ? ? .
?
2 2 2 2 sin A sin B 2 10 6 10
3
2 2 2
7.【解析】（1）若选①，由已知得
sin B ? sin C ? sin A ? sin B sin C
2 2 2
b +c ? a 1
2 2 2 ? ? ?
故由正弦定理得 由余弦定理得
b ? c ? a ? b c cos A ? ? ?0 ? A ? 180 ? A ? 60
2 bc 2
A 1
A A 3 2
2
若选②，由二倍角公式 cos A ? 2cos ?1 ?
cos ? 1 ? 2sin ?
2 2
2 4 2
?
又 是三角形内角，
A ? A ? 60
B ? C
若选③，由题设及正弦定理得 sin B sin ? sin Asin B
2
B ? C B ? C A
?
， ?sin ? sin A , 由 ，可得sin ? cos
?sin B ? 0
A ? B ? C ? 180
2 2 2
A A A A A 1
cos ? 2sin cos ?cos ? 0 ?sin ?
故
2 2 2 2 2 2
?
又 A是三角形内角， .
? A ? 60
?
?
m ? 0, 3 ? 2
由已知，当 有且只有一解时， 或 , 故 ? ? .
? A B C msin 60 ? 3 0 ? m ? 3 ?
?
1 3
①当 m ? 2时， 为直角三角形，
? A B C S ? ?1 ? 3 ?
2 2
?
2 2 2
②当 时， 由余弦定理可得
0 ? m ? 3 ? a ? 3, A ? 60 a ? b ? c ? 2 b c cos A ? 2 b c ? b c ? b c
1 3 3 3 3
? b c ? 3，当且仅当 b ? c时等号成立 . 故三角形面积为 , .
S ? b csin A ? ? S ?
max
2 4 4
2sin C cos B ? 2sin A ? sin B ? 2sin( B ? C) ? sin B ? 2sin Bcos C ? 2sin C cos B ? sin B
8.【解析】（1）由题意得 ，
1 2 ?
sin B ? 0 cos C ? ? C C ?
因为 ，所以 ，由 为三角形内角得 ；
2 3
S A D 1
? A C D
? ?
C D C C A C B h
（2）因为 平分 ，则 D到 ， 的距离相等，设为 ，因为 ，所以 B D ? 2 A D，
A B 3
? A B C
- 29 -1
2 2
a ? ( a) ? 9
b A D 1 1 2 ? 1
6 7
2
? ?
? ? b ? a A B ? 3 C ?
由角平分线性质得 ，所以 ，因为 ， ，由余弦定理得 ，得 a ? ，
1
a D B 2 2 3 2
7
2 a ? a
2
3 7 1 3 7 6 7 3 18 21 1 3 7 3 1 18 21
故 ，因为 ， ，
A C ? b ? S ? ? ? ? ? S ? ? C D ? ? ?
? A B C ? A C D
7 2 7 7 2 196 2 7 2 3 196
2 7
解得 C D ? .
7
S A D 1
? A C D
? ?
C D C C A C B h
（3）因为 平分 ，则 D到 ， 的距离相等，设为 ，因为 ，所以 B D ? 2 A D，
A B 3
? A B C
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
b A D 1 1 2 1
? ? b ? a C D ? C A ? C B
由角平分线性质得 ，所以 .故
a D B 2 2 3 3
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2
2 2
4 1 4 4 1 4 2 ?
2 2
C D ? C A ? C B ? C A ? C B 4 ? b ? a ? abcos
又 即
? ?
9 9 9 9 9 9 3
2 ?
2 2 2
解得： b ? A C ? 3, B C ? 6由余弦定理可得: A B ? A C ? B C ? 2 A C ? B C cos 解得 .
A B ? 3 7
3
?
A ? C ? 2 B A ? B ? C ? ? B ?
9． 【解析】（1）因为 ， ，所以 ；
3
1 3 3
因为 S ? ac sin B ? ac ? a ，所以 c ? 1．
2 4 4
a c ?
? B ? ， c ? 1
（2）在△ A B C中，由正弦定理 ， 由（1）知 ，代入上式得：
sin A sin C 3
?
1 3
? ?
sin( C ? ) sin C ? cos C
C ? ( ， )
sin A 1 3 ， 因为 △ A B C为锐角三角形，所以 ，
3 2 2
a ? ? ? ? ?
6 2
sin C sin C sin C 2 2 tan C
3 1 3 1
所以 tan C ?( ， ? ?) ，所以 a ? ? ? ( ， 2)．
3 2 2 tan C 2
专题二 数列与不等式
1.【答案】
B D
2. 【 解 析 】 法 1 ： 由 题 意 ， 设 z ? a ? 2 b ? 6 ? ( a ? 2) ? 2( b ? 2) ， 又 由
3 a ? 2 3 a ? 2
3 3 6( b ? 2) ? ? 6( b ? 2) ? ?
当 且 仅 当
[( a ? 2) ? 2( b ? 2)] ?( ? ) ? 9 ? ? ? 9 ? 2 ? ? 9 ? 6 2
a ? 2 b ? 2 a ? 2 b ? 2 a ? 2 b ? 2
3 a ? 2
6( b ? 2) ? ?
z
时，即 时等号成立，即 的最小值为 ，所以 的最小值是
= a ? 2 ? 2( b ? 2) a ? 2 b
9 ? 6 2
a ? 2 b ? 2
.故答案为 .
6 2 ? 3 6 2 ? 3
n
?
a ? ( ?2) , n为奇数,
n 1 3 3 3
a ?1 a ? a ? 1 ? ( ?2) ? ?1 a ? ?1 ? 2 a ? ?1 ? 2 ? ( ?2) ? ?1
3. 【解析】因为 ， ，所以 , ， ，
?
1 n ?1 2 3 4
n ?1
a ? 2 , n为偶数,
n
?
5
5 7 9 11
a ? ?1 ? 2 a ? ?1 ? 2 a ? ?1 a ? ?1 ? 2 a ? ?1 a ? ?1 ? 2 a ? ?1
, a ? a ? ?2 ? ?1 ， , ， ， ， ， ，
? ?
5 7 8 9 10 11 12
6 5
13
a ? ?1 ? 2 ? 8191，可以看出：偶数项为常数列，可看作是以 1 为公比的等比数列，奇数项不是等差数列，
13
3 5
S ? a ? a ? a ? a ? a ? a ? a ? a ? a ? a ? 1 ? ?1 ? ?1 ? 2 ? ?1 ? ?1 ? 2
? ? ? ?
? ? ? ?
10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
- 30 -3 4
2 1 ? 4
7 9 3 5 7 9 ? ?
? ? ?1 ? ? ?1 ? 2 ? ? ?1 ? ? ?1 ? 2 ? ? ?1 ? ?1 ? 9 ? ? ?1 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2
? ? ? ? ? ? ，故选：BC.
? ?8 ? ? 672
1 ? 4
3
? ?
a ? 4 a ? 3 a ? a ? k a ? ? k ? 4 ? a ? 3 a ? ? k ? 4 ? a ? a
4. 【 解 析 】 根 据 题 意 得 ， 令
n ?1 n n ?1 n ?1 n n n ?1 n n ?1
? ?
k ? 4
? ?
3
2
k ? ? ? k ? 4 k ? 3 ? 0 ? k ? ?1 a ? a ? 3 a ? a a ? 3 a ? a ? 3 a
或 k ? ?3，所以可得： ? ?或 ，所以数列
n ?1 n n n ?1
n ?1 n n n ?1
k ? 4
? a ? a ? a ? 3 a
为公比为 3 的等比数列，故选项 A 正确；数列 ? ?为常数列，即为公差为 0 的等差数列，故选项 B
n ?1 n
n ?1 n
n ?1
3 ?1
n ?1
a ?3 a ? ?1
正确；所以 a ? a ? 1 ? 3 ，且 ，解得 ，所以 C 错误，
a ?
n ?1 n n ?1 n
n
2
0 1 n ?1 n n
1 n
3 ?1 3 ?1 3 ?1 1 1 ? 3 n 3 ?1 n
0 1 n ?1
S ? a ? a ? ? ? ? ? a
? 3 ? 3 ? ? ? ? ? 3 ?
所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，所以D正确，
n 1 2 n
2 2
2 2 2 2 1 ? 3 2 4 2
故选：ABD．
S
d d d d
2
n
n
5. 【解析】等差数列 a 的前 项和为 S ，则 S ? n ? ( a ? ) n ? ? n ? ( a ? ) ? d ? 2
? ?
n n n 1 1
2 2 n 2 2
( a ? a )10
1 10
s 10 a ?10
10 2 1
? ? ? ? 4
? a ? a ? d ? 3 a ? d ? 2 a， a ? a ? ( n ?1)2 a ? (2 n ?1) a ；
2 1 1 1 n 1 1 1
( a ? a )5
s 5 a ?5
1 5
5 1
2
9( a ? a ) n( a ? a ) n( a ? a )
1 9 1 n 5 n ?4
? S = ? 9 a ?18 ? a ? 2 又 a ? 30, ? s ? 240 ? ? ? 16 n ? n ? 15
9 5 5 n ?4 n
2 2 2
a ? a ? a =3 a ?12 d ? 3( a ? 4 d ) ? 3 a ? 6
.
2 4 9 1 1 5
n
6. 【解析】由 a ? ( ?1) a ? 2 n ?1得，
n ?1 n
n n n ?1 n
a ? ( ?1) a ? 2 n ? 1 ? ( ?1) [( ?1) a ? 2 n ?1] ? 2 n ? 1 ? ? a ? ( ?1) (2 n ?1) ? 2 n ? 1
，
n ?2 n ?1 n n
n n
a ? a ? ( ?1)（2 n ?1） ? 2 n ?1 a ? a ? ?( ?1)（2 n ? 1） ? 2 n ? 3
即 ， 也 有 ， 两 式 相 加 得
n ?2 n n ?3 n ?1
n
a ? a ? a ? a ? ?2( ?1) ? 4 n ? 4，设 k 为整数，
n n ?1 n ?2 n ?3
4 k ?1
则 a ? a ? a ? a ? ?2( ?1) ? 4(4 k ? 1) ? 4 ? 16 k ?`10，
4 k ?1 4 k ?2 4 k ?3 4 k ?4
14 14
S ? ( a ? a ? a ? a ) ? (16 k ?`10) ? 1830
于是
60 ? 4 k ?1 4 k ?2 4 k ?3 4 k ?4 ?
K ?0 K ?0
q
a a ? 0, q ? 0.
7. 【解析】 （1）设数列 ? ?的公比为 ，则由 得
n n
2 n
q ? 4 ? q ? 0 ? q ? 4.
方案一：选①，由已知得， 或 ， a ? 4 , b ? 2 n；
q ? 4 q ? 32 ? 0, q ? ?8
n n
n
a ? T ? 4, a ?16, ? q ? 4 a ? 4 , b ? 2 n
方案二：选②，由已知得 ， ；
n n
1 1 2
2 ?1
4 ? 4
n
a ? 4 , b ? 2 n
方案三：选③，由已知得 a ? T ? 4, T ? ? 20, ? a ? 16, ? q ? 4， ；
n n
1 1 2 2
3
- 31 -n(2 ? 2 n)
S ? n( n ?1)
由（1）可得， S ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2 n ? ，即
n
n
2
1 1 1 1
? ? ? ?
S n( n ?1) n n ?1
n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 0.96
S S S S 2 2 3 n n ?1 n ?1
1 2 3 n
? n ? 24,
n
所以 的最小值为 24.
3 3 1 1 2
? 2 ? ? ?
2 a a ? 3 a ? 3 a a ?1
8.【解析】(1)∵ ，∴ ，即 ，又 ，
n n ?1 n ?1 n 1
a a a a 3
n ?1 n n ?1 n
? ? 1 2 2 1 2 n ?1
1 2 3
?1 ? n ?1 ? n ? ?
? ?
∴数列 是首项为 1，公差为 的等差数列，∴ ，∴ a ? ；
? ?
n
3
a a 3 3 3 3
2 n ?1
n
? n ?
1 ? ?
1 1 1 1 1 4 1
n ?1
c ? ( ?1)
c ? c ? ? ? ? ? ? ?
(2)∵ ，∴ ，
n ? ?
2 n ?1 2 n
a a a a a a a a a 3 a
n n ?1
2 n ?1 2 n 2 n 2 n ?1 2 n ? 2 n ?1 2 n ?1 ? 2 n
5 4 1
? ?
1 1 1 1 1 1 ? ?
4 1 1 1 n ? n ? 8 4
? ? 2
T ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? n ? n
∴ 2 n 4 3 3 3 .
? ? ? ?
a a a a a a a a a a a a ? ? ?
3 a a a 9 3
1 2 2 3 3 4 4 5 2 n ?1 2 n 2 n 2 n ?1
? 2 4 2 n ?
3 2
n n-1
A ? 2 ?1 n =1, a =1, n 3 2, a = A - A = 2 n =1, a =1, q = 2 q ? ?1
9.【解析】(1) ， , 也适合上式解得 或 （舍），
1 1
n n n n-1
n-1
a = 2
所以 .
n
? 2, n为奇数,
n
2 a , n为奇数, ? b
? 2 , n为奇数,
?
n n
c ?
b ? b ? c ?
(2)因为 ，所以 令 ，则
? ? n ? n ?1
n n n
a
log a , n为偶数.
n ?1, n为偶数. , n为偶数.
n
? 2 n
? ? n ?1
? 2
S ? c ? c ? c ? ? ? ? ? c ? c ? c ? c ? ? ? ? ? c ? c ? c ? ? ? ? ? c
所以 ? ? ? ?
2 n 1 2 3 2 n ?1 2 n 1 3 2 n ?1 2 4 2 n
T ? c ? c ? ? ? ? ? c R ? c ? c ? ? ? ? ? c
令 ， .
n 1 3 2 n ?1 n 2 4 2 n
1 3 2 n ?1 1 3 2 n ?1
T ? c ? c ? ? ? ? ? c ? 2 n R ? c ? c ? ? ? ? ? c ? ? ? ? ? ? ? 4 R ? ? ? ? ? ? ?
则 . ,则 ，
n 1 3 2 n ?1
n 2 4 2 n n
1 3 2 n ?1 ?1 1 2 n ?3
2 2 2 2 2 2
1 1
? ?
? 1 ?
? n ?1 ?
1 1 1 2 n ?1
? ? 2 n ?1 10 6 n ? 5
2 4
? ?
3 R ? 2 ? 2 ? ? ? ?
作差可得： ? 2 ? 2 ? ? ? ，
n
? 1 3 2 n ?3 ? 2 n ?1
2 n ?1 2 n ?1
2 2 2 2 1
? ? 2 3 3 ?2
1 ?
4
10 6 n ? 5 10 6 n ? 5
R ? ? S ? T ? R ? 2 n ? ?
所以 ，所以 .
n 2 n ?1 2 n n n 2 n ?1
9 9 ? 2 9 9 ? 2
1 1
2 2
n n n n n 1 n ?1
? ?
（3） ? c ? 3 ? 2 ? 3 [1 ? ( ) ] ? 3 [1 ? ( ) ] ? 3
n n ?1
c 3
3 3
n
1
n ?1
1 ? ( )
1 1 1 1 1 1 3 1 3
n ?1
3
? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? [1 ? ( ) ] ?
2 n ?1
1
c c c 3 3 3 2 3 2
1 2 n
1 ?
3
专题三 立体几何
- 32 -2
2
1.【解析】矩形的对角线的长为： ，所以球心到矩形的距 离 为
6 + 2 3 =4 3
? ?
2
1
2
，所以棱锥 O-ABCD 的体积为 ? 6 ? 2 3 ? 2=8 3 ，故答案 为
4 ? 2 3 =2 8 3
? ?
3
2.【解析】（法 1）将正方体两侧面 A A B B和 A A D D展开平面图，
1 1 1 1
P( x, y)
P A ? 2 P A
建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ， 设 动 点 ， 因 为 ， 所 以
1
2 2 2 2 2 2
x ? ( y ? 3) ? 4( x ? y )，化简得 x ? ( y ?1) ? 4，
1 ? 2 ?
O(0,1) cos ? A O M ? cos ? A O M ? ? M O N ?
在两侧面内轨迹为以 为心，以 2 为半径的圆弧，因为 ，所以 ，于是 ，
1 1
2 3 3
2 ? 4 ? 1
? 2 ? A B C D A
所以在两侧面内轨迹长度为 ，在顶面 内，轨迹为以 为圆心，以 为半径的 圆弧，
3
1 1 1 1 1
3 3 4
1 3 ?
此时满 P A ? 2 P A 条件，所以在顶面轨迹长度为 ．所以点 形成
? 2 ? ? 3 ? P
1
4 2
4 ? 3 ?
的轨迹的长度为 ? ．
3 2
（法 2）分别以 为 轴，建立空间直角坐标系，
则 + + ],
化简得 ,即点 为球心，
2为半径的球上，转化为正方体表面截球问题，与解法一相同
A C A C C A D F // A A
3.【解析】取 A C中点 D， 中点 F ，连接 D F，矩形 中可得 ，
1 1 1 1 1
D F ? A A A A ?
， 平面 A B C，所以 平面 A B C， ? A B C ? 90 ?，所以 是 ? A B C
D F ? D
1 1
△ A B C
外心，同理 F 是 的外心，所以 D F 的中点 O是直三棱柱外接球的球心，
1 1 1
1
2 2 6
2 2
O D ? A A ?1
由已知 ， ，又 ，所以 ，
A C ? 2 C D ? O C ? ( ) ?1 ?
1
2
2 2 2
4 6
3
所以外接球的体积为 ；
V ? ? ?( ) ? 6 ?
3 2
2 2
? A E C B B C C A B B A
中， ，把矩形 与矩形 摊平，得正方
1 A C ? ( 2) ? 2 ? 6 1 1
1 1
1
?
A A C '' C '' A E ? E C ? A E C
形 ，当 共线时， 最短，最短为 ，所以截面 周长的
A, E, C 2 2
1 1 1 1
1
最小值为 ．
2 2 ? 6
4.【解析】选 ACD 由线面垂直的性质知 c⊥β，故 A 正确；B显然错误，故 B 错误；由
三垂线逆定理知 b⊥c，故 C 正确；D 由线面平行判定定理可得 c∥α，故 D正确．
5.【解析】A 选项：线段 P M 的长度最小值应该是点 M 到平面 A D D '' A''的距离 ，最大值为 ,故
3 M A '' ? M D '' ? 2 2
? ?
? ?
，
A正确；B 选项：直线 A P 与 D C的夹角，就是直线 A P 与 A B 的夹角,取值范围应该是 ，故 B错误；C选项：
? ?
3 2
? ?
- 33 -C F
如图所示： E 为 A A ''中点， F 为 A B '' 中点， D E // ,故点 P在 D E 上运动， P D与底面夹角正切值
1
为 ，C 错误；D选项：如图， O在平面 ABB '' A''内，且 O M ? A B, O在平面 A D D '' A''的投影为 O '' ，
2
设外接球半径 R，
O O '' ? 3
2 2 2
，所以点 在棱 中点时四棱锥 P ? A B C D外接球半径 最小，此时 O '' P ? A '' D '' ,
P A '' D '' R
R ? O P ? 3 ? O '' P
2
3
2 73
2 2 2
设 O M ? x ，则 O '' P ? 2 ? x , ，解得 x ? ， ,故 D 正确.故选：AD.
R ? 2 ? x ? 3 ? x ? 2 R ?
? ?
? ?
4 4
y
z
6.【解析】如图，以 D为坐标原点，建立空间直角坐标系，延长 A E 与 轴交于 P 点，连接 P F 与 轴交于点 M ，
? ?
C
则平面 由平面 A E F 扩展为平面 A P M ，可得截面不可能为三角形，当点 F 与点 重合时，平面 截正方体的截
1
2 2 2
(2 5) ? (2 5) ? (4 2)
cos ? E A M ?
面为边长为 的菱形，且
4 ?1 ? 5
22 ? 2 5 ? 2 5
1 1 2 6
2 6
?
，则 sin ? E A M ? 1 ? ? ，所以截面的面积为 5 ? 5 ? ? 2 6 ；
5
25 5 5
?
C C
当 F 为 的中点时，平面 截正方体的截面为五边形，故 A错误， B， D正确；
1
2 t
M (0 t 0)( t ?[2 4])
考虑选项 C ．设 ， ， ， ，则 到直线 的距离为 ，
D A M
2
4 ? t
2
2
1 20 t ? 64
20 t ? 64 2 2
则可得 到直线 的距离为 ，可得 的面积 S ? ? 4 ? t ? ? 5 t ?16，
P A M ? A P M
2
2
2
4 ? t
4 ? t
1 1 1
2
?
设 到平面 的距离为 h，运用等积法可得 V ? V ，即 h ? 5 t ?16 ? t ? ? 2 ? 4，
D
D ? A P M M ? P A D
3 3 2
4 t 4
h ? ?
2 6
2
可得 ，当 t ? 4时， h取得最大值 ，故 C 正确．
16
5 t ?16
5 ?
3
2
t
7.【解析】对于 A ，假设 A 对，即 B F ?平面 E A B ，于是 B F ? A B ，
A B F P Q H
? A B F ? 90 ?，但六边形 为正六边形， ? A B F ? 120 ?，矛盾，所
以 A错；对于 B ，补齐八个角构成棱长为 2的正方体，则该二十四等边体
1 1 20
3
2 ? 8 ? ? ?1 ?1 ?1 ?
的体积为 ，所以 B 对；对于 C ，取正方形 A C P M 对
3 2 3
角线交点 O，即为该二十四等边体外接球的球心，其半径为 ，其
R ? 2
2
C P N E B F N
表面积为 ，所以 对；对于 D，因为 在平面 内射影
4 ? R ? 8 ?
- 34 -P S 1 2
为 N S ，所以 P N 与平面 E B F N 所成角即为 ? P N S ，其正弦值为 ? ? ，所以 D对．
P N 2
2
8.【解析】
1
A N = A B A C ?
9.【解析】 （1）当 时, 平面 B MN 证明如下：
1
3
z
A
1
C E C M 1
A
1
= =
B M ? B C= E A N = A B
设 ，连接 E N ，则 ， 由 ，
1 1
B E B B 2 N
3
1 1
M
C
1
C
A N 1
= E
得 ? A C ? N E 又 平面 ，
? A C ? B MN o
B N 2
1
y
B
B
1
x
平面 ， ? A C ? 平面 .
N E ? B M N B MN
B O
（2）取 B C中点 O，连接 A O， ? A C= A B=2, ? A O ? B C
1
? B B C C B B C C= B C
又 平面 A B C 平面 ，平面 A B C ?平面 ， A O ?
?
? B C=2 2 ? A O= B O= 2 1 1 1 1
2 2 2
B B C C ? A B= B B =2 ? A B B ? 60 ? ? A B =2
平面 A B C ， ? A O ?平面 . ， ， O B ? A B ? A O ? 2
1 1 1 1 1
1 1
- 35 -2 2 2
y
? O B ? O B O B, O B , O A x z
? O B ? 2 ， O B ? B O ? B B . 以 O为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴
1 1
1 1 1
建立如图所示的空间直角坐标系，则， A(0,0, 2)， B( 2,0,0)， , C ( ?2 2, 2,0)， B (0, 2,0)，
C( ? 2,0,0)
1 1
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
5 2 2 1 2 2
3 2 2
M ? , ,0 B M ? ? , ,0 A N ? A B ? 0, , ?
， , A B ? (0, 2, ? 2), ， ，
? ? B A ? ( ? 2,0, 2) ? ? ? ?
1
1
? ?
? ? ? ?
2 2
2 2 3 3 3
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
B N ?n ? 0
2 2 2
?
B N ? B A ? A N ? ? 2, , n ? ( x, y, z)
，设平面 B MN 法向量 ，则 ? ? ? ? ?
? ? ?
? ?
3 3
B M ?n ? 0
?
? ? ?
?
2 2 2
? 2 x ? y ? z ? 0
?
y ? 5 x
?
?
3 3
?
解得 令 ，得 n ? (1,5, ?1)
? x ? 1
?
z ? ? x
5 2 2
? ?
? x ? y ? 0
?
? 2 2
m ?n ? 3
B B C C m ? (0,0,1) ? B B C C
取平面 法向量 , cos ? m, n ? ? ? 平面 B MN 与平面 所成锐二
1 1 1 1
| m | ?| n | 9
3
面角的余弦值 ．
9
?
10.【解析】 （1）证明： 点 P 在平面 A B C D上的射影为点 A， ? P A ?平面 A B C D，
?
? C D ?平面 A B C D， ? P A ? C D ， 等腰 Rt ?ADP，且 C 为 的中点， ? A C ? C D ，
D P
? P A A C ? A ?
， P A、 A C ? 平面 P A C ， ? C D ?平面 P A C ，又 C D ?平面 P C D， 平面 P A C ?平面 P C D．
?
- 36 -解法二： 平面 A B C D，
? P A ?
A B
?
cos ? ?
? ? A B P为直线 P B与平面 A B C D所成的角，设其大小为 ，则 ，
P B
过点 B 作 B M ? A E，交 A E于点 M ，连接 P M ， ? P A ?平面 A B C D， ? P A ? B M ，
A E P A ? A
又 ， A E、 P A ?平面 P A E， ? B M ?平面 P A E，
?
B M
? sin ? ?
? ? B P M 为直线 P B与平面 P A E所成的角，设其大小为 ，则 ，
P B
26
?
直线 P B与平面 A B C D所成角的余弦值是直线 P B与平面 P A E所成角的正弦值的 倍，
5
5
26 26 1 t 2
B M ? t
A B ? t(0 ? t ? 3)
?cos ? ? sin ? ，即 A B ? B M ，设 ，则 ， D E ? C D ? P D ? t ，
26
5 5 2 6 2
DE A D
设 ? A B M ? ? D A E ? ? ，在 中，由正弦定理知， ? ，
? A D E
sin ? DA E sin ? A E D
- 37 -2
t
t ?
3
2
2 2
? ? sin ? ? cos ? ? ? (0, )
，得 ， ?sin ? ? cos ? ?1，且 ，
3 ?
6 ? t 2
sin ?
sin( ? ?)
4
6 ? t t(6 ? t) 5
?cos ? ? ? B M ?
B M ? t
， ，又 ，
2 2
26
2 t ?12 t ? 36 2 t ?12 t ? 36
t(6 ? t) 5
3
2
? t
? t ? 1 ?
，化简整理得， 2 t ? t ? 3 ? 0，解得 或 （舍负），
2
26
2
2 t ?12 t ? 36
26
故当 A B ?1时，直线 P B与平面 A B C D所成角的余弦值是直线 P B与平面 P A E所成角的正弦值的 倍．
5
C '' A ,
11.【解析】 （1）连接 因为平面 A C C '' A '' ?平面 A B B '' A '' ，且 A B ? A A '' ,
所以 A B ?平面 A C C '' A '' ， A '' C ? 平面 A C C '' A '' ，所以 A B ? C A ''
又因为四边形 A C C '' A '' 为菱形，则 C '' A ? C A '' , C '' A ? A B ? A,
故 C A '' ?平面 C '' A B ,因为 B C '' ?平面 C '' A B ，故 C A '' ? B C '' ;
（2）如图建系
A '' 0 ,0 ,0 , B 2 ,2 ,0 , B '' 0 ,2 ,0 , C '' ?1 ,0 , 3
? ? ? ? ? ? ,
? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
设 A '' M ? ? A '' B '' ? ? A '' C '' , ? ? ? ? 1 , 则
? ? ? ? ? ?
A '' M ? ? ? ,2 ? , 3 ? ? ? ? ,2 ? 2 ? , 3 ? ,
? ? ? ?
? ? ?
n ? x , y , z
设平面 B A '' M 的一个法向量为 ? ?，
1
2 x ? 2 y ? 0 ? ? ?
?
?
n ? ? 3 ? , 3 ? , ? ? 2
则 整理得 ，
? 1 ? ?
? ? x ? 2 ? 2 ? y ? 3 ? z ? 0
? ?
?
?
? ? ?
n ? 0 ,0 ,1
平面 A '' B B '' 的一个法向量可取 ? ?，
2
? ? ? ? ? ?
? ? 2 15 1
2
c os ? n , n ? ? ? ? ? ?1
2 ? ? ? ?1 ? 0 ? ? ,
故 ，整理得 解得 或 （舍）
1 2
2 2
5 2
6 ? ? ? ? 4 ? ? 4
? ? ? ? ? ? ? ?
A '' C ? n 2 3 4 5
? ? ?
? ? 1
? 3 3 3
? ? ? ? ?
n ? , , ? C 1 ,0 , 3
故 ? ?，所以，点 到平面 B M A '' 的距离为 .
? ?
1
5
? ? 15
n
2 2 2
1
? ?
4
专题四 概率统计
5
n ? C ? 56
1.【解析】基本事件总数 ,该院呼吸科、重症科和急诊科医生都至少选派 1 人按人数分为 311,221，不同
8
1 3 1 1 2 2 1 1 1 2 2
的选派方法有： m ? C C C C ? C C C ? C C C C ? 4 8,
2 3 3 2 3 3 2 2 3 3 2
m 48 6
P ? ? ? .
则该院呼吸科、重症科和急诊科医生都至少有 1人的概率为 故选项 D.
n 56 7
A A A
2.【解析】因为每次取一球，所以 ， ， 是两两互斥的事件，故 D 正确；
1 2 3
5 5
?
5 2 3 P( B A ) 5
10 11
1
P A ? , P A ? , P A ? P( B A ) ? ? ?
因为 ? ? ? ? ? ? ，所以 ，故 B 正确；
1
1 2 3
5
P( A ) 11
10 10 10
1
10
- 38 -2 4 3 4
? ?
P( B A ) P( B A )
4 4
2 10 11 3 10 11
P( B A ) ? ? ? , P( B A ) ? ? ?
同理 ，
2 3
2 3
P( A ) 11 P( A ) 11
2 3
10 10
5 5 2 4 3 4 9
所以 P( B) ? P( B A ) ? P( B A ) ? P( B A ) ? ? ? ? ? ? ? ，故 AC 错误；故选：BD
1 2 3
10 11 10 11 10 11 22
B n, p E X ? 30 D X ? 20 n p ? 30 n p 1 ? p ? 20
3.【解析】对于选项 A：随机变量服从二项分布 ? ?， ? ? ， ? ? ，可得 ， ? ? ，
1
p ?
则 ，故选项 A错误；对于选项 B：相关性越强,则线性相关系数 r的值越接近于+1，故选项 B错误；
3
对于选项 C：在残差图中,残差点分布的水平带状区域越窄,说明模型的拟合精度越高，故选项 C 正确；
X ~ B 10,0.8
对于选项 D：因为在 10 次射击中，击中目标的次数为 ， ? ? ，当 x ? k 时，对应的概率，
X
P （ X ? k） ? P （ X ? k ? 1）
?
k k 10 ? k
P x ? k ? C ? ??? ? 0.2 ,由 P x ? 8
? ? 解得 k = 8时，概率 ? ?最大，故选项 D 正确.
?
10
P （ X ? k） ? P （ X ? k ?1）
?
( n ?1) p ?1 ? k ? ( n ?1) p
注：此处有公式
4.【解析】已知总体划分为 3 层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：
2 2 2 2
l, x, s ; m, y, s ; n, z, s .记总的样本平均数为 ，样本方差为 ，则：
? s
1 2 3
l m n
① ? ? x ? y ? z;
l ? m ? n l ? m ? n l ? m ? n
1
2 2 2 2 2 2 2
② s ? { l[ s ? ( x ? ?) ] ? m[ s ? ( y ? ?) ] ? n[ s ? ( z ? ?) ].
1 2 3
l ? m ? n
4 5 4 5
2 2 2
? ? ? ?
由以上公式可得 X ? ? 95 ? ?86 ? 90， S ? ? 15 ? (95 ? 90) ? ? 24 ? (86 ? 90) ? 40
? ? ? ?
9 9 9 9
7.8＋x
5． 【解析】由于 30×60%＝18，设第 19个数据为 ，则 ＝8.2，解得 x＝8.6，即 19 个数据是 8.6.
x
2
6.【解析】(1)因为展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以 n=10.
r
5 r
10 ? r 5 ?
2
? ? r
r r
2
， r ? 2时，常数项为180.
T ? C ? x ? ? ? ? ? 2 ? C x
? ?
r ?1 10 10
2
x
? ?
9
9 2 3 9
(2) 对任意实数 ，有 (2 x ?3) = a ? a x ?1 ? a ( x ?1) ? a ( x ?1) ? ? ? a ( x ?1) ? ?1 ? 2( x ?1)
? ? ? ?
x
0 1 2 3 9
2
a ? ?1
∴ a ? ? C ? 4 ? ?144，故 A 正确；故令 ，可得 ，故 B 不正确；
0
2 9 x ?1
a ? a ? a ? ? ? a ?1 a ? a ? a ? a ? ? a ? ?39
令 ，可得 ，故 C 正确；令 ，可得 ，故 D 正确；
0 1 2 9 0 1 2 3 9
x ? 2 x ? 0
故选 ACD.
6
u y ? n u y
? i i
194.14 ? 6 ?1.5 ?19
i ?1
?
?
? b ? ? ? 17 ? ?
7.【解析】（1）由题知， u ? 1.5, y ? 19， ， a ? y ? b u ? 19 ? 17 ?1.5 ? ?6.5，
6
2
2
2 14.87 ? 6 ?1.5
u ? n u
? i
i ?1
y u ? y x ?
? y ? 17 u ? 6.5 ? y ? 17ln x ? 6.5
关于 的回归方程为： ， 关于 的回归方程为： ．
- 39 -x
15 ? x
（2）设该公司本年对 A 产品的投入资金为 ，则对 B 产品的投入资金为 ，
A, B S( x) ?17ln x ? 6.5 ? 2(15 ? x) ?17ln x ? 2 x ? 23.5 (0 ? x≤15)
由（1）知该公司 产品的总收入 ，
17 2( x ?8.5)
? ?
? S ( x) ? ? 2 ? ? ? 0 ? x ? 8.5 S ( x) ? 0
， 当 时， ，
x x
S ?( x) ? 0 ? S( x) (0,8.5) (8.5, ? ?)
x ? 8.5
当 时， ， 在区间 上为增函数，在区间 上是减函数，
? x ? 8.5 S( x) ? A, B
当 时， 取最大值， 当今年 A 产品投入 8.5百万元，B 产品投入 6.5百万元，该公司 总收入最多．
? ?
2 1 2
1 1

P ? ? ? P ?
8.【解析】（1）依题意，P ? P ? ? 1 ? P ? ，则 当 时，可得
? ? (n ? 1 ,n ? N ) n ? 1
? ?
n ? 1 n n n ? 1 n
4 2 5 4 5
? ?
? ?
2 4 2 4 1 2 1 6 1
n
P ? ? P ? ? P ? ? ? ( ? )
，∴数列 是首项为 公比为 的等比数列.
? ?
1 n n
5 1 5 5 1 5 4 5 1 5 4
? ?
2 1 1 1 1 2 3 1 1 2
P ? ? ? ? ? P ? ? ? ? ?
（2）第二天选择 A 类套餐的概率 ；第二天选择 B 类套餐的概率
A B
3 4 3 2 3 3 4 3 2 3
∴3 人在第二天的有X 个人选择A套餐，X 的所有可能取值为 0、1、2、3
k 3 ?k
? ? ? ?
k 1 2
有P X ? k ? C k ? 0 , 1 , 2 , 3 ，
? ? ? ?
3 ? ? ? ?
3 3
? ? ? ?
∴X 的分布列为
0 1 2 3
X
8 4 2 1
P
2 7 9 9 2 7
8 4 2 1
E X ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 1
故 .
? ?
2 7 9 9 2 7
2 1 6 1 2 2
1 0
P ? ? ? ( ? ) P ?
（3）由(1)知： ∴ ，即第 30次以后购买A套餐的概率约为 .
n n
5 1 5 4 5 5
∴负责 套餐的 8人，负责 套餐的 12人.
A B
9.【解析】（1）由题意可得，随机变量 X 服从二项分布 B（n，p），
则 E（X）＝np＝10000×0.1＝1000，D（X）＝np（1﹣p）＝10000×0.1×0.9＝900；
（2）（i）由于（1）中二项分布的 n 值较大，故可以认为随机变量 X 服从正态分布，
由（1）可得，μ＝1000，σ＝30，由题意，可得 X～N（1000，900），
则 ～N（0，1） ，则 P（X＜994）＝P（ 0.2）＝Φ（﹣0.2） ，
由标准正态分布性质可得，Φ（﹣0.2）＝1﹣Φ（0.2），
故 P（X＜994）＝1﹣Φ（0.2），则 P（X≥994）＝1﹣P（X＜994）＝Φ（0.2）＝0.5793，
故阅览室晚上座位不够用的概率为 0.5793；
（ii）查表可得，Φ（0.53）＝0.7019，
则 P（ 0.53）＝0.7019，即 P（X＜1015.9）＝0.7019，
又 P（X＜1015）＝P（ 0.5）＝Φ（0.5）＝0.6915＜0.7，
故座位数至少要 1016个，由于 1016﹣994＝22，所以阅览室至少还需要增加 22个座位．
10. 【 解 析 】 （ 1 ） 这 60 人 年 龄 的 平 均 数 为
15 ? 0.15 ? 25 ? 0.2 ? 35 ? 0.3 ? 45 ? 0.15 ? 55 ? 0.1 ? 65 ? 0.05 ? 75 ? 0.05 ? 37 前 两 组 所 占 频 率 之 和 为
（0.015 ? 0.020） ?10 ? 0.35，
前三组数据频率之和为（0.015 ? 0.020 ? 0.030） ?10 ? 0.65，
- 40 -x 0.35 ? 0.030 ?10 ? ( x ? 30) ? 0.5
设中位数估计值为 ，则 ，解得 x ? 35.由题意可知，年龄在[50，60）内的人数
为 6，[60，70）内的人数为 3，X的可能取值有 0，1，2，3
3 0 2 1 1 2 0 3
C C 20 5 C C 45 15 C C 18 3 C C 1
6 3 6 3 6 3 6 3
p( X ? 0) ? ? ? ， P( X ? 1) ? ? ? ， P( X ? 2) ? ? ? P( X ? 3) ? ?
3 3 3 3
84 21 84 28 84 14 84
C C C C
9 9 9 9
? X的分布列为
X 0 1 2 3
P 5 15 3 1
21 28 14 84
（若无求概率过程直接列表，则表中只要错 1 个数据就不得分）
45 ? 36 ? 3
E( X ) ? ? 1
84
由题意队伍中男士共 75 人，女士 125 人，则 2 ? 2列联表如下：
40岁以下 40岁以上 合计
男士 30 45 75
女士 70 55 125
合计 100 100 200
2
200 ?(30 ?55 ? 70 ?45)
2
00(一般保留小数点后三位）
K ? ? 4.8
100 ?100 ?75 ?125
? 4.800 ? 3.841 所以，有 95％的把握认为 40 岁以下的群众是否参与健步走活动与性别有关
专题五 解析几何答案
1．
3
A( ?2,0), B(2,0) D( x ,0) M ( x , y ) N( x , ? y )
2． 4 : 5 【解析】由题意得 ，设 ， ， ，
0 0 0 0 0
y x ? 2
0 0
k ? k ? ?
由于 ，所以 ，
A M D E
x ? 2 y
0 0
x ? 2
0
y ? ? ( x ? x )
所以直线 DE的方程是 ①，
0
y
0
? y
0
y ? ( x ? 2)
直线 BN 的方程是 ②，由①②得
x ? 2
0
2
? y x ? 2
y x ? x
0 0
0 0
( x ? 2) ? ? ( x ? x )
?
，即 ，
0
2
x ? 2 y
x ? 4 x ? 2
0 0
0
2
?1 x ? x 2 ? 4 x
x
2 0 0
0
? x ?
而 ? y ? 1，所以 ，解得 ，代入①得 E的
0
4 x ? 2 5
4
- 41 -4
? y
0
S y 4
4
? B D E E 5
y ? ? y ? ? ?
纵坐标为 ，所以 .
E 0
S y ? y 5
5
? B D N N 0
5
3．
7
1
? ?
4． , 2 ?1 【解析】如图，根据椭圆的对称性知，点 及关于 x轴，y轴，原点对称的其它 3点，即为椭圆
P C
? ?
3
? ?
满足条件的 4 个不同的点．根据题意可知 ? F F P 是以 F F ， F P为两腰的等腰三角形，故 F P ? F F ? 2 c ，即点
1
1 2 1 2 1 1 2
F F F F
P 在以 为圆心， 为半径的圆上，由题知以 为圆心，2c 为半径的圆与椭圆有两个交点，即可存在两个满足
1 1 2 1
1
? F F P F P ? A F e ?
条件的等腰 ，此时必有 ，即 2 c ? a ? c，即 a ? 3 c，所以离心率 ；
1 2 1 1
3
2 2 2
2 2 2
? P F F cos ? P F F ? 0
又 为钝角，则 ，利用余弦定理知| F P | ? | F F | ?| F P | ，即 (2 c) ? (2 c) ? (2 a ? 2 c) ，
1 2 1 2
1 1 2 2
2 2 2 2
整理得 ，两边同除以 得， ，解得：
c ? 2 a c ? a ? 0 a e ? 2 e ?1 ? 0
1
，综上，可知椭圆 的离心率的取值范围是 ? e ? 2 ?1．
C
0 ? e ? 2 ?1
3
2 2
[6, ? ?) 1,1
5． 【解析】由圆 C： ( x ?1) ? ( y ?1) ? 2 可知圆心 C ? ?，半
径为 ，因为 M 是 AB 的中点，所以 C M ? A B ，又因为 A C ? B C ，所
2
以三角形 ABC 为等腰直角三角形，所以 C M ?1，即点 M 在以 C 为圆心，1 为半径的圆上，点 M 所在圆的方程为
?
2 2
，要使得 ? P M Q ? 恒成立，则点 M所在的圆在以 PQ 为直径的圆的内部，而 P，Q 在直线 l：
( x ?1) ? ( y ?1) ? 1
2
| 3 ? 4 ? 9 |
d ? ? 2
3 x ? 4 y ? 9 ? 0 3 x ? 4 y ? 9 ? 0
上，点 C 到直线 l： 的距离 ，所以以 PQ 为直径的圆的半径的最
2 2
3 ? 4
小值为 ，所以 PQ的最小值为 .
r ? 2 ?1 ? 3 2 r ? 6
6． ABD
2
7． 【解析】（1）抛物线 的焦点即为椭圆 E 的顶点，即 ，
y ? 4 2 x
a ? 2
2 c 2
2 2
∵离心率为 ， ，
? c ? 1
? e ? ? ? b ? a ? c ? 1
2 a 2
2
x
2
∴椭圆 E 的方程为 ? y ? 1；
2
A( x ， y ) B( x ， y )
1 1 2 2
（2）设 ， ，则
2 2 2
1 ? 2 k x ? 4 k m x ? 2 m ? 2 ? 0
? ?
直线方程代入椭圆方程，可得
2
2 m
?4 k m
2 m ? 2
? x ? x ? y ? y ?
x x ?
1 2 1 2
2 1 2 2
2
1 ? 2 k 1 ? 2 k 1 ? 2 k
，
- 42 -2
?4 k m
? ?
?4 k m 2 m
? ?
2
? ? 2 2
2
? P ,
代入椭圆方程可得 2 m
1 ? 2 k ? ? ?4 m ? 2 k ?1
? ? ? ?
2 2
1 ? 2 k 1 ? 2 k ? ? 1
? ?
? ?
2
2 1 ? 2 k
? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
?4 k m 2 m
? ?
O P ? ,
设 T（t，0），Q（﹣4，m﹣4k）， ? T Q ? ?4 ? t, m ? 4 k ，
? ?
? 2 2 ?
1 ? 2 k 1 ? 2 k
? ?
2
? ? ? ? ? ? ? ?
?4 k m 2 m 2 m ? 8 k m ? 4 k m t
∴
? O P ? T Q ? ? ?4 ? t ? ? m ? 4 k ?
? ? ? ?
2 2 2
1 ? 2 k 1 ? 2 k 1 ? 2 k
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
k 2 ? t
1 ? ?
2 2
∴要使 为定值，只需 2 ? t ? 0
?4 m ? 2 k ?1 ? O P ? T Q ? ? O P ? T Q
2 m
? ? ? ? ? ? ? ?
1
O P ? T Q ?
? t ? ?2∴在 x轴上存在一点 T（ ，0） ，使得 ．
?2
2
2 2
P( x， y)
8． 【解析】（1）设 ，由已知得 ( x ?1) ? y ?| x | ?1，
2 2 2 2 2 2 2
x ? 0 y ? 0
当 时， ( x ?1) ? y ? ( x ?1) ，得 y ? 4 x； 当 x ? 0时， ( x ?1) ? y ? ( ? x ?1) ，得 ；
2
y ? 0( x ? 0)
所以 点 P 的轨迹方程为 y ? 4 x或 .
2
Q( ?1， t) F P ? F Q
P( x ， y )( x ? 0， y ? 0) y ? 4 x
（2）设 ， ，则 ，因为 ，
0 0 0 0
0 0
? ? ? ? ? ? ? ? y y ? t
0 0
k ? k ?
t y ? 2( x ?1) k ? ? t
所以 F P ? F Q ? ?2( x ?1) ? t y ? 0，即 ，因为 1 ， ， 3 ，
0 0 2
0 0
x x ?1
0 0
2
? t y ( y ? t) ? t( y ? t y ) ? t[4 x ? 2( x ?1)] ?2 t
0 0 0 0 0 0
k k k ? ? ? ?
所以
1 2 3
x ( x ?1) x ( x ?1) x ( x ?1) x
0 0 0 0 0 0 0
2
?4( x ?1) ?4( y ? 4)
1 4 4 1
0 0
? ? ? ?4( ? ) ? 4( ? )
，
3 3 3
x y y y y y y
0 0 0 0 0 0 0
3
3 2
f ?( x) ? 0
f ( x) ? 4 x ? x( x ? 0) f ?( x) ?12 x ?1
构造 ，所以 ，令 ，得 x ? ，
6
3 3
f ( x)
所以 在 (0， ]上单调递减，在[ ， ? ?)上单调递增，
6 6
4 1
3 3 3
?
所以 f ( x) ? f ( ) ? ? ，即 的最小值为 ? ，
3
min
y y
6 9 9
0 0
4 3
k k k
所以 的最小值为 ? .
1 2 3
9
2 2
x y 3
9． 【解析】（1）由题意可知， c ? 1，设椭圆方程为 ? ? 1，将点 (1， )代入椭圆方程，
2 2
a a ?1 2
2 2
1
x y
2 2 2
2
a ? 4 4 a ?1 ? 0 a ? ? ? 1
解得 ? ? ? ? ，所以 (舍)， a ? 4，所以 椭圆方程为 ．
4
4 3
M ( x ， y ) Q( x ， y ) N( x ， y ) P( x ， y ) T (1， 1)
（2）设 ， ， ， ， ，
1 1 2 2 3 3 4 4
- 43 -4 ? x
?
1
x ?
2
?
?1 ? x ? 3 ? x ?1 ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? 1 2 ?
3
M ( x ， y ) Q ( x ， y )
因为 M T ? 3 T Q ，所以 ? ，即 ? ，又 ， 都在椭圆上，
1 1 2 2
4 ? y
1 ? y ? 3 y ?1
? ?
? 1
1 2 ?
?
y ?
2
?
3
?
2 2
2 2
1 4 ? x 1 4 ? y
x y ? ? ? ?
1 1 1 1
所以 ? ? 1， ? ? 1，
? ? ? ?
4 3 3 3
4 3
? ? ? ?
2 2
?
x y
1 1
? ? 1 ? ?①
?
?
4 3
即 ? ，
1 1
2 2
?
4 ? x ? 4 ? y ? 9 ? ?②
? ? ? ?
1 1
?
? 4 3
1 1 1 1
② ?① ?4 ? 2 x ? ? 4 ? ?4 ? 2 y ? ? 4 ? 8 ?2 ? x ? ? ?2 ? y ? ?1 ? ?③
得， ，即 ，
1 1 1 1
4 3 4 3
? ? ? ? ? ? ? 1 1
2 ? x ? 2 ? y ?1 ? ?④
又 ，同理得 ? ? ? ?
N T ? 3 T P
3 3
4 3
1
?
y ? y
1 1 3
1 3 4
k ? ? ? ?
④ ?③ ? x ? x ? ? ? y ? y ? ? 0
得 ，所以 ．
1 3 1 3 M N
1
4 3 x ? x 4
1 3
3
c c
10．【解析】 （1）因为 实轴长为 4，即 2 a ? 4， a ? 2．又因为 双曲线离心率 e ? ，可知 ? 2，
a a
2 2
y x
2 2 2
? ?1
所以 ， b ? c ? a ? 4，故 C的方程为 ．
c ? 2 2
4 4
O， A， N， M
（2）由 四点共圆可知， ? A N M ? ? A O M ? ?，又 ? M O P ? ? A O M ? ?，
1
即 ? A N M ? ? M O P ，故 tan ? A N M ? tan ? M OP ? ，
tan ? OMP
1
? k ?
k ? k ?1 G( x ， y ) H( x ， y ) M ( x ， y )
即 ，所以 ．设 ， ， ，由题意可
A N
A N O M 1 1 2 2 M M
? k
O M
y ? 2 y ? 2
1 2
y ? x ? 2 y ? x ? 2
A(0， ? 2) A G
知 ，则 直线 ： ，直线 A H ： ，
x x
1 2
( t ? 2) x
1
x ?
y ? t
因为 M 在直线 l上，所以 ，代入直线 A G方程，可知 ，
M
M
y ? 2
1
? ?
( t ? 2) x t( y ? 2) y ? 2
1 2
1
k ? k ? k ?
， t
故 M 坐标为 ， 所以 ， ，
? ? O M A N A H
( t ? 2) x x
y ? 2
1 2
? 1 ?
t( y ? 2) y ? 2 t ? 2 ( y ? 2)( y ? 2)
1 2 1 2
? ? 1 ?
k ? k ?1
由 ，可知 ，整理可知 ，
A N O M
( t ? 2) x x t x x
1 2 1 2
当直线 G H 斜率不存在时，显然不符合题意
2 2
y x
G H y ? k x ? t
故设直线 ： ，联立双曲线方程： ? ? 1，
4 4
2
?2 kt t ? 4
2 2 2
x ? x ?
可得 ( k ?1) x ? 2 k t x ? t ? 4 ? 0，所以 ， x x ? ，
1 2
2 1 2 2
k ?1
k ?1
又 ( y ? 2)( y ? 2) ? ( k x ? t ? 2)( k x ? t ? 2)
1 2 1 2
2
t ? 4 ?2 k t
2 2 2 2
? k x x ? k( t ? 2)( x ? x ) ? ( t ? 2) ? k ? ? k( t ? 2) ? ? ( t ? 2)
1 2 1 2
2 2
k ?1 k ?1
- 44 -2 2
? t ? 4 t ? 4 ?( t ? 2)
整理可得 ( y ? 2)( y ? 2) ? ? ，
1 2 2 2
k ?1 k ?1
2
?( t ? 2)
2
2
t ? 2 ( y ? 2)( y ? 2) ?( t ? 2) ?( t ? 2)
1 2 k ?1
? ? ? ? t ? 2 ? 0
所以 ，( )，
2 2
t ? 4
t x x t ? 4 t ? 2
1 2
2
k ?1
t ? 2 ? t t ?1 (0， 1)
故 ，即 ，点 P 坐标为 ．
专题六函数与导数
f 2 ? x ? f 2 ? x
1.【解析】因为函数 f x ? 2 为偶函数，则 ? ? ? ?②，可得 f x ?3 ? f 1 ? x ，
? ? ? ? ? ?
f 2 x ?1 f 1 ? 2 x ? ? f 2 x ?1 f 1 ? x ? ? f x ?1
因为函数 ? ?为奇函数，则 ? ? ? ?，所以， ? ? ? ?①，
f x ? 3 ? ? f x ?1 ? f x ?1 f x ? f x ? 4 f x
所以， ? ? ? ? ? ?，即 ? ? ? ?，故函数 ? ?是以 为周期的周期函数，
4
f 0 ? ? f 2 ? ? 4 a ? b f 3 ? f 1 ? a ? b
令 x ?1，由①得： ? ? ? ? ? ?，由②得： ? ? ? ? ，
f 0 ? f 3 ? 6 ? 4 a ? b ? a ? b ? 6 ? a ? ?2
因为 ? ? ? ? ，所以 ? ? ，
2
令 ，由①得： f 1 ? ? f 1 ? f 1 ? 0 ? b ? 2，所以 f x ? ?2 x ? 2．
x ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ?
9 1 3 5
? ? ? ? ? ?
由两个对称性可知，函数 f ? x ?的周期 ．所以 f ? f ? ? f ? ．故选：D．
T ? 4
? ? ? ? ? ?
2 2 2 2
? ? ? ? ? ?
【知识拓展】函数图象的对称性
(1) 一个函数图象关于点对称：
①奇函数关于原点对称
②若 f ? a ? x ? ? ? f ? a ? x ? ? f ?2 a ? x ? ? ? f ? ? x ?，则函数 y ? f ? x ? 的图象关于点 ? a,0 ?对称；
a ? b
③若 f ? x ? a ? ? f ? b ? x ? ? 2 m ，则 f ( x) 关于 ( ,m)对称.
2
(2) 一个函数图象关于直线对称：
a ? b
y
f ( a ? x) ? f ( b ? x) f ( x)
①偶函数关于 轴对称；②若 ，则 关于 x ? 对称；
2
x ? a
③若 f ? a ? x ? ? f ? a ? x ?或 f ? x ? ? f ?2 a ? x ?，那么函数 y ? f ? x ? 的图象关于直线 对称.
2
1
( x ?1)(2 x ?1)( x ? ax ? b)
x
2.【解析】 ，对任意非零实数 ，都有 f ( x) ? f ( ? )成立，
? f ( x) ?
2
x
x
? 1 ? a ? b ? 0 ? a ? ?1
1
； .
? f (1) ? f ( ?1) ? 0, f (2) ? f ( ? ) ? 0,即 解得
? ?
2 4 ? 2 a ? b ? 0 b ? ?2
? ?
2 2 2
( x ?1)(2 x ?1)( x ? x ? 2) ( x ?1)( x ?1)(2 x ?1)( x ? 2) ( x ?1)(2 x ? 3 x ? 2)
? f ( x) ? ? ?
2 2 2
x x x
1 1 1 1 1 3 9 9 1 3
2 2
? ( x ? )[2( x ? ) ? 3] ? 2( x ? ) ? 3( x ? ) ? 2[( x ? ) ? ] ? ? ? ，当 x ? ? 时，取到最小值.故答案
x x x x x 4 8 8 x 4
- 45 -9
为： 0, ? .
8
， ，
g( x) ? f ( x) ? sin x, g( x) ? g( ? x), g( x) x ? 0, g( x)
3.【解析】 令 则 g ( x) ? f ( x) ? cos x ? 0,又 则 为偶函数，且
? ? ?
单 调 递 减 . 由 f ( x ? ) ? f ( x) ? sin x ? cos x, 变 形 得 f ( x ? ) ? sin( x ? ) ? f ( x) ? sin x, 即
2 2 2
? ? ? ? ?
g( x ? ) ? g( x), ? g(| x ? |) ? g(| x |), | x ? | ?| x |, x ? ? , ( ? ?, ? ),
则 解得 所以解集为 故选 C.
2 2 2 4 4
x x x x
4.【解析】 y ln x ? y ln y ? y ln x y ? e , x y ln x y ? x e , f ( x) ? x e ,在 单增，所以 x y ? e ，
（0，+ ?）
x x
x
x y ? 2 x ? g( x) x y ? 2 x
= 令 g( x) ? e ? 2 x， g ( x) ? e ? 2，可得 在 单减， 单增，
e ? 2 x （0，ln2） （ln2，+ ?）
的最小值是
2 ? 2ln 2.
x ? x
? ?
5. 【 解 析 】 函 数 有 意 义 , 需 使 , 其 定 义 域 为 x | x ? 0 , 排 除 C,D, 又 因 为
e ? e ? 0
x ? x 2 x
e ? e e ?1 2
,所以当 x ? 0时函数,为减函数,故选 A.
y ? ? ? 1 ?
x ? x 2 x 2 x
e ? e e ?1 e ?1
4
4
4
z ? y 3
z
6.【解析】作商，由对数的性质、运算及基本不等式可比较出 ，再由 ? log 3 ，可比较出 与 的大小
3
3
3
x, z
? y ? log 5 ?1, z ? log 4 ?1
即可得出 的大小关系. ，
4 3
2 2
2
y log 5 log 5 ? log 3 log 15
? ? ? ? 2
4 4 4 4
? ? ? log 5 ?log 3 ? ? ? log 15 ? log 4 ?1，
? ?
? ?
4 4 ? ? ? ? 4 4
z log 4 2 2
? ? ? ?
3
3 5
4 4 4 1
? ?
4 4 4
4 3 4 4 4
3 3 3 ? ? ? ?
z ? y
? x ? z
即 ， ，而 ， ，又 ， ，
? ? log 3 3 ? 3 ? 81 ? 4 ? 64 ? ? log 3 ? log 4
? ? ? ?
3 3 3
? ? ? ?
3 3
3 3 3
? ? ? ? ? ?
x ? z ? y
综上， ，故选：D.
7.【解析】当 k ? 0时,取 x ? 1，有 f (1) ? 1 ? ln 2 ? 0,故 k ? 0不合题意；
2 2
当 k ? 0时，令 g( x) ? f ( x) ? k x ,即 g( x) ? x ? ln( x ?1) ? k x
x ? x[2 k x ? (1 ? 2 k )] 1 ? 2 k
'' ''
g ( x) ? ? 2 k x ? ,令 g ( x) ? 0, 得 x ? 0, x ? ? ?1.
1 2
x ?1 x ?1 2 k
1 1 ? 2 k
''
（1）当 k ? 时, ? 0, g ( x) ? 0在(0, ? ?)上恒成立，因此 g( x)在 [0, ? ?)上单调
2 2 k
'' 2
递减，从而对于任意的 x ?[0, ? ?)，总有 g( x) ? g (0) ? 0，即 f ( x) ? k x在[0, ? ?)恒成立
1
故 k ? 符合题意.
2
1 1 ? 2 k 1 ? 2 k 1 ? 2 k
''
(2)当0 ? k ? , ? 0,对于 x ?(0, ), g ( x) ? 0, 故 g( x)在(0, )
2 2 k 2 k 2 k
1 ? 2 k
2
内单调递增，因此当取 x ?(0, )时, g( x ) ? g(0) ? 0,即 f ( x ) ? k x 不成立
0 0 0 0
2 k
- 46 -1 1
故0 ? k ? 不合题意，综上， k的最小值为 .
2 2
（2）证明：当 n ? 1时，不等式左边 ? 2 ? ln 3 ? 2 ? 右边，所以不等式成立。
n n
2 2 2
f ( ) ? [ ? ln(1 ? )]
当 n ? 2时，
? ?
2 i ?1 2 i ?1 2 i ?1
i ?1 i ?1
n n n
2 2
? ? [ln(2 i ?1) ? ln(2 i ?1)] ? ? ln(2 n ?1).
? ? ?
2 i ?1 2 i ?1
i ?1 i ?1 i ?1
2
2 2 2
1 x
f ( ) ? ? ( i ? N , i ? 2).
在（1）中得出
k ? ,得 f ( x) ? ( x ? 0),从而
2
2 i ?1 (2 i ?1) (2 i ? 3)(2 i ?1)
2 2
n n n n
2 2 2 2
? ln(2 n ?1) ? f ( ) ? f (2) ? f ( ) ? 2 ? ln 3 ?
所以有
? ? ? ?
2 i ?1 2 i ?1 2 i ?1 (2 i ? 3)(2 i ?1)
i ?1 i ?1 i ?2 i ?2
n n
1 1 1 2

=2 ? ln 3 ? ( ? ) ? 2 ? ln 3 ?1 ? ? 2，综上 ? ln(2 n ?1) ? 2, n ? N .
? ?
2 i ? 3 2 i ?1 2 n ?1 2 i ?1
i ?2 i ?1
x
x 2
?
8.【解析】(1)当 a ? 1时， f ? x ? ? e ? x ? x， f x ? e ? 2 x ?1，
? ?
x
? ? ?
f x ? e ? 2 ? 0 f '' x f 0 ? 0
由于 ? ? ，故 ? ?单调递增，注意到 ? ? ，故：
? ?
x ? ? ?,0 f x ? 0, f x x ? 0, ? ? f x ? 0, f x
当 ? ?时， ? ? ? ?单调递减，当 ? ?时， ? ? ? ?单调递增.
1 1
3 x 2 3
f x ? x ?1 e ? a x ? x ? x ?1
(2)由 ? ? 得， ，其中 x ? 0，
2
2
①.当 x=0 时，不等式为： ，显然成立，符合题意；
1 ?1
1
x 3
e ? x ? x ?1
②.当 x ? 0时，分离参数 a 得， ，
2
a ? ?
2
x
? 1 ?
1
x 2
x 3
x ? 2 e ? x ? x ?1
e ? x ? x ?1 ? ?
? ?
记 ， ，
2
2
? ?
g ? x ? ? ? ?
g x ? ?
? ?
2
3
x
x
1
x x
x 2
? ? ?
h x ? e ? x ? x ?1 x ? 0 h x ? e ? x ?1 h x ? e ?1 ? 0
令 ? ? ? ?，则 ? ? ， ? ? ，
2
? ?
h'' x h x ? h 0 ? 0 h x h x ? h 0 ? 0
故 ? ?单调递增， ? ? ? ? ，故函数 ? ?单调递增， ? ? ? ? ，
1
x 2
h x ? 0 x ? 0,2 g ? x ? 0 g x
由 ? ? 可得： e ? x ? x ?1 ? 0恒成立，故当 ? ?时， ? ? ， ? ?单调递增；
2
2
7 ? e
x ? 2, ? ? g ? x ? 0 g x
当 ? ?时， ? ? ， ? ?单调递减；因此， ,
? g x ? ? g 2 ?
? ? ? ?
? ?
max
4
2
?7 ? e ?
a , ? ?
综上可得，实数 的取值范围是 .
? ?
4
? ?
- 47 -? ?
f x ? xsin x x ? 0, ? ? f x ? 0 ? f x 0, ?
9.【解析】(1)由题意得： ? ? ；当 ? ?时， sin x ? 0， ? ? ， ? ?在 ? ?上单调递增，
? f x ? f 0 ? 0
? ? ? ? .
g x ? sin x ? xcos x ? x g ? x ? xsin x ?1 ? g ? ? sin ? ? ? cos ? ? ? ? 0 ? x ? ? g x
(2) ? ? ， ? ? ， ? ? ， 是 ? ?的一个零点；
?
? ?
x ? 0, h x ? sin x ? x h ? x ? cos x ?1 ? 0
? ? ? ?
①当 时，设 ，则 ，
?
?
2
? ?
? ?
? ? ? ?
? h ? x ? 0, \ h( x)< h(0)= 0 ? g ? x ? ? 0 g ? x ? 0,
在 上单调递减， ，又 ? x cos x ? 0， ，即 在 上无零点；
? ?
? ?
2 2
? ? ? ?
?
? ?
? ? ? ? ?
x ? , ? g x ? sin x ? xcos x g x ? 2cos x ? xsin x ? 0
②当 时， ? ? ， ? ? ，
? ?
2
? ?
π ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? g x , π g ?1 ? 0 g ? ? ? ? ? 0 ? ? x ? , ? g x ? 0
? ?在 上单调递减，又 ， ? ? ， ，使得 ? ? ，
? ? ? ? 0 ? ? 0
2 2 2
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
x ? , x g ? ? x ? 0 x ? x , ? g x ? 0 ? g ? x , x x , ?
当 时， ? ? ；当 ? ?时， ? ? ； ? ?在 上单调递增，在 ? ?上单调递减；
? 0 ? 0 ? 0 ? 0
2 2
? ? ? ?
? ? π
? ? ? ?
? g ? x ? g ? ? ? 1 ? 0 g ? ? ? ?1 ? 0 ? , π
? ? ? ? ? g ? x ? x
， ， 在 上存在唯一零点 ，
0 ? ? ? ?
1
2 2 2
? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
? ?
x ? , x g ? x ? ? 0 x ? ? x , ? ? g ? x ? ? 0 ? g ? x ? , x x , ?
当 时， ；当 时， ； 在 上单调递增，在 ? ?上单调递减，
? 1 ? 1 ? 1 ?
1
2 2
? ? ? ?
? ? π
? ? ? ?
? g x ? g ? ? 0 g ?1 ? ? 0 ? g x , π
? ? ? ? ， ， ? ?在 有唯一零点；
1
? ? ? ?
2 2 2
? ? ? ?
?
x ? ?,2 ? ? g x ? 0 ? g x ?,2 ?
③当 ? ?时， sin x ? 0， ? ? ， ? ?在 ? ?上单调递减，
? g x ? g ? ? 0 ? g x ?,2 ? g x 0,2 ?
? ? ? ? ， ? ?在 ? ?上无零点；综上所述： ? ?在 ? ?上有两个零点；
? g ? x ? ?sin x ? x cos x ? x ? ? g x ? g x
? ? ? ? ? ?
， 为奇函数，图象关于原点对称，
? g ? x ? ? ?2 ? ,0 ? g ?0 ? ? 0 ? g ? x ? ? ?2 ? ,2 ? ?
在 上有两个零点；又 ， 在 上共有 5个零点.
【拓展】本题考查利用导数研究函数零点个数的问题，解题基本思路是能够根据导函数的形式，对所给区间进行分
段，通过说明导函数在每段区间内的符号，得到原函数在区间内的单调性，结合零点存在定理确定零点个数.
? ?
f x ? ln x ? m x f x x x x x f x ? 0
10.【解析】 ? ? ，若 ? ?有两个极值点 ， ，即 ， 是方程 ? ? 的两个不同实根．
1 2 1 2
ln x ? m x ? 0
?
1 1
于是有 （★）
?
ln x ? m x ? 0
? 2 2
2
F( x) ? f ( x) ? f (2 x ? x) x x ? e ln x ? ln x ? 2
解法一 （构造函数 1 ） ：要证 ，即证
0 1 2
1 2
2
ln x ? ln x ? m ? x ? x ? m ? x ? x ? ? 2 x ? x ?
由（★）得由 ，即证 ，即证 ．
1 2 1 2 1 2
1 2
m
1 1
1 1 ? m x ? ? ? ? 1
?
f ? ? x ? ? m ? f ? x ? 0, ? , ? ? ? 0 ? x ? ? x
由于 ? ? ，故 在 ， ，且
? ? ? ? 1 2
x x m m m
? ? ? ?
2
2 ? 1 ? 2 m x ?1
? ? ? ? ? ?
''
? ?
F x ? f x ? f ? x x ? 0,
令 ? ? ? ? ， F ? x ? ? ? 0，
? ? ? ? ? ?
m m
? ? ? ? x 2 ? m x
? ? ? ?
1 1 2
? ? ? ? ? ?
? ?
F ? x ? 0, ? F ? x ? ? F ? 0 f ? x ? ? f ? x
故 在 ，即 ，故 ．
? ? ? ? ? ?
m m m
? ? ? ? ? ?
- 48 -2 2 1 1
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
f ? x ? ? f ? x ? ? f ? x x ? x ? , ? ? f ? x ? , ? ? ?
则 ，又因为 ， ， 在 ，
2 1 1 1
? ? 2 ? ? ? ?
m m m m
? ? ? ? ? ?
2 2
x ? ? x x ? x ?
故有 ，即 ．
2 1 1 2
m m
2
x
0
解法二 （构造函数 2 ） ：
F( x) ? f ( x) ? f ( )
x
ln x ln x
f ? x ? 0 g x ? g x
x x ? ? m ? g ? x ? ? ? ? ? ?
由 ， 是方程 ，即 的两个不同实根得，令 ，则 ，
1 2 1 2
x x
1 ? ln x
?
g x ? g ? x ? 1,e ? e, ? ? ?
由于 ? ? ，因此， 在 ? ? ， ? ? ．
2
x
2
e
2
1 ? x ? e ? x x ? ? ?1,e ?
设 ，需证明 x x ? e ，只需证明 ．
1
1 2 1 2
x
2
2
2 2
? e ?
?1 ? ln x ? e ? x
? ?
''
F x ? g x ? g x ? 1,e F ? x ? 1,e ?
令 ? ? ? ? ? ? ? ?， ，故 在 ? ? ，
? ?
F x ? ? 0
? ?
2 2
x
? ? x e
2 2
2
? ?
e ? e ? e
F ? x ? ? F ?e ? ? 0 g ? x ? ? g g x ? g x ? g x ? ?e, ? ? ? g ? x ?
故 ，即 ．则 ? ? ? ? ，因为 ， ，
? ? ? ?
2 1 2
x x x
? ? 1
? 1 ?
2
e
2
e, ? ? ? x ?
在 ? ? ，所以 ，即 x x ? e ．
2
1 2
x
1
x ln x ? ln x
2 1 2
t ? m ?
ln x ? ln x ? m ? x ? x ?
解法三比值替换 ） ：由（★）得 ①， ②；
2 1 2 1
x x ? x
1 1 2
? ?
x x
2 2
1 ? ln
? ?
ln x ? ln x ln x ? ln x
ln x ? ln x x ? x x x
? ? ? ?
2 1 1 2
2 1 2 1 ? 1 ? 1
?
则 ，即 ln x ? ln x ? ? ．
1 2
x ? x x ? x
x
x ? x
2 1 1 2
2
2 1
?1
x
1
x
t ?1 ln t 2 t ?1
? ? ? ?
2
2
t ? ? (1, ? ?)
x x ? e ln x ? ln x ? 2
要证 ，即证 ，令 ，即证 ? 2，即证 ln t ? ? 0 ，
1 2
1 2
x
t ?1 t ?1
1
2
2 ? t ?1 ? ? 2 ? t ?1 ? ? t ?1 ?
2 t ?1 1
? ?
( t ?1) h ? t ? ? ? ? 0
? ?
令 h t ? ln t ? ， ，则 ，
? ?
2 2
t
t ?1 t ?1 t t ?1
? ? ? ?
h t 1. ? ? h 1 ? 0 h t ? h 1 ? 0
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
所以， 为 上的增函数．又 ，因此， ．
2
ln x ? ln x ? 2
所以，有 成立，即 x x ? e ．
1 2 1 2
ln x ? ln x
1 2
m ?
ln x ? ln x ? m x ? x
解法四 （对均不等式）：由（★）得 ①， ? ?②；
2 1 2 1
x ? x
1 2
x ? x x ? x 1 x ? x x ? x
1 2 1 2 2 1 1 2
2
? ? ? ?
ln x x ? 2 ? x x ? e
则 ，即 ．
1 2 1 2
ln x x ln x ?ln x m ln x ?ln x 2
1 2 1 2 2 1
f x ? x a x ? a ? ln x ≥0
? ? ? ? x ? 0 a x ? a ? ln x≥ 0
11.【解析】⑴ 因为 ， ，所以 ．
1 a x ?1
g x ? a x ? a ? ln x g 1 ? 0 ?
? ? ? ? g x ? a ? ?
令 ，则 ， ? ? ，
x x
?
g ? x ? ? 0 g ? x ? g ?1 ? ? 0 g ? x ? ? 0
当 a≤ 0时， ， 单调递减，但 ， x ?1时， ；
- 49 -1
?
g ? x ? ? 0 x ?
当 a ? 0时，令 ，得 ．
a
1 1
? ?
0 ? x ? g x ? 0 g x x ? g x ? 0 g x
当 时， ? ? ， ? ?单调减；当 时， ? ? ， ? ?单调增．
a a
? 1 ? ? 1 ?
g x 1， g ? g 1 ? 0
若 0 ? a ?1，则 ? ?在 上单调减， ? ? ；
? ? ? ?
a a
? ? ? ?
1 1
? ? ? ?
g x ， 1 g ? g 1 ? 0
a ?1 ? ? ? ?
若 ，则 在 上单调增， ；
? ? ? ?
a a
? ? ? ?
1
? ?
g x ? g ? g 1 ? 0 g x ≥ 0
? ? ? ? ? ?
若 a ?1，则 ， ．综上， a ?1．
? ?
min
a
? ?
2
?
f x ? x ? x ? xln x f ? x ? ? 2 x ? 2 ? ln x
⑵ ? ? ， ， x ? 0．
1 2 x ?1
h x ? 2 x ? 2 ? ln x h ? x ? 2 ? ?
令 ? ? ，则 ? ? ， x ? 0．
x x
1 1 1
? ? ?
h x ? 0 h x ? 0 h x h x ? 0 h x
令 ? ? 得 x ? ，当 0 ? x ? 时， ? ? ， ? ?单调递减；当 x ? 时， ? ? ， ? ?单调递增．
2 2 2
1 1 1
? ? ? ? ? ?
?2 ?2 ?2
h x ? h ? 1 ? 2 ? ln 2 ? 0 h 2 ? 2 ? ln 2 ? 0 e ? 0， 2 ? ， ? ?
? ? h e ? 2e ? 0 ? ?
所以， ．因为 ? ? ， ， ， ，
? ? ? ? ? ?
min
2 2 2
? ? ? ? ? ?
1 1
? ? ? ?
0， ， ? ? h x f ? x
? ? ? ?
所以在 和 上， 即 各有一个零点．
? ? ? ?
2 2
? ? ? ?
1 1 1
? ? ? ? ? ?
? ?
f ? x ? 0， ， ? ? x ， x f ? x ? 0，
设 在 和 上的零点分别为 ，因为 在 上单调减，
? ? ? ? ? ?
0 2
2 2 2
? ? ? ? ? ?
1
? ?
f x ? 0 f x x ? x ? f x ? 0 f x f x
所以当 0 ? x ? x 时， ? ? ， ? ?单调增；当 时， ? ? ， ? ?单调减．因此， x 是 ? ?的极
0 0 0
2
? 1 ? 1
? ?
f x ， ? ? f x ? 0 f x f x
大值点．因为， ? ?在 上单调增，所以当 ? x ? x 时， ? ? ， ? ?单调减， x ? x 时， ? ?单调
? ? 2
2
2
? ? 2
f x f x
x ? ? ? ? x
增，因此 是 的极小值点．所以， 有唯一的极大值点 ．
2 0
1
? ?
?2 ?2 ?4 ?2 ?2
x ? e ，
f x ? f e ? e ? e ? e
由前面的证明可知， ，则 ? ? ? ? ．
0 ? ?
0
2
? ?
1
2 2
?
f ? x ? ? 2 x ? 2 ? ln x ? 0 ln x ? 2 x ? 2 f x ? x ? x ? x 2 x ? 2 ? x ? x 0 ? x ?
因为 ，所以 ，则又 ? ? ? ? ，因为 ，
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2
1 1
?2
f x ? e ? f x ?
所以 ? ? ．因此， ? ? ．
0 0
4 4
- 50 -