《數理精藴》之體積高次方程題上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo Xiāng Guǎn 112何世強 Ho Sai Keung提要：本文主要
談及立方體或長方體之體積和或差，亦涉及其邊長之計算。很多題目涉及帶縱開高次乘方法。解錢糧船與銀鞘題乃經典之題。關鍵詞：解錢糧船
銀鞘 正方體 扁方體本文數學題取材自《御製數理精藴?下編?卷三十六?末部六》﹝簡稱為《數理精藴》﹞分題為“借根方比例體類”之“
體類”。“借根方比例?體類”其實是涉及正立方或長方體體積之方程式。《數理精藴》每題均列出算法圖，但大部分均欠完整步驟，宜參閱筆者之
列式。本文涉及開高次方，開高次方可查閱《數理精藴》之高次乘方表。注意“三乘方”即x4。“開三乘方”即今之求四次方根。“n乘方”即x
n + 1。“開n乘方”即今之求n + 1次方根。解錢糧船與銀鞘題乃經典之題，此乃清代押解錢糧之寫照。筆者已有文名為〈《衘製數理精
藴》之含面積方程式〉、〈《數理精藴》之體積長闊高成連比例方程題〉及〈《數理精藴》之勾股形及十八邊形方程題〉，本文乃上文之延續。〈第
一題〉至〈第二十七題〉見另文。本文之題目表面性質相近，但實際上有差異，值得現代人參考。〈第二十八題〉設如有大小二正方面，大方毎邊為
小方毎邊之二倍，若以兩面積相乘，得五萬八千五百六十四尺。問：二方邊面積各幾何？解：若“兩面積相乘”，則涉及單位“尺4”。注意“正方
面”即正方形。注意“三乘方”即x4。“開三乘方”即今之求四次方根。今設小方邊之長為 x 尺，大方毎邊長為 2x 尺，依題意可列出以
下方程式﹝單位略去﹞：x2 × (2x)2 = 585644x4 = 58564x4 = 14641x2 = 121x = 11。
本題先開方再開一次方。所以小方邊之長為 11 尺，面積為121方尺。大方毎邊長為 22 尺，面積為484方尺。以下為《數理精藴》之
算式圖：以下為上圖所表示之式：小 xx2大 2x4x2 四三乘方4x4 = 58564x4 = 14641x = 11。以下為《
數理精藴》之算法：法：借一根 (x) 為小方毎邊之數，則大方毎邊數為二根 (2x)。以一根自乘得一平方為小方之面積 (x2)，以二
根自乘得四平方為大方之面積 (4x2)。以一平方與四平方相乘得四三乘方 [x2 × (2x)2 = 4x4]，為兩方面積相乘之數，
與五萬八千五百六十四尺相等 (4x4 = 58564)。四三乘方旣與五萬八千五百六十四尺相等，則一三乘方必與一萬四千六百四十一尺相
等 (x4 = 14641)，乃以一萬四千六百四十一尺為三乘方積，用開三乘方法算之得十一尺為一根之數 (x = 11)，卽小方每邊
之數。倍之得二十二尺 (22)，卽大方每邊之數，以十一尺自乘得一百二十一尺 (112 = 121)，卽小方之面積，以二十二尺自乘得
四百八十四尺(222 = 484)，卽大方之面積。兩面積相乘得五萬八千五百六十四尺 (121 × 484 = 58564 尺4)，
以合原數也﹝此開三乘方法﹞。末段即還原法。〈第二十九題〉設如有解錢糧船不言數，但知每船所載銀鞘之數，比船數加一倍。每鞘內銀數與共鞘
數等，其共銀數為五百三十四萬五千三百四十四兩。問：船數、鞘數各若干？解：注意“解錢糧船”即負責押解錢糧之船，不知其數目。清代之“銀
鞘”乃將一段長木挖空，以盛載銀子。“銀鞘”長形。《儒林外史》第三四回曰：只聽得門外騾鈴亂響，來了一起銀鞘，有百十個牲口。…那解官督
率著腳夫將銀鞘搬入店內，牲口趕到槽上。今設船數為 x ，銀鞘數為 2x ，依題意可列出以下方程式﹝單位略去﹞：x × (2x) ×
(2x2) = 53453444x4 = 5345344x4 = 1336336x2 = 1156x = 34。即船數為 34
，銀鞘數為 2x = 2 × 34 = 68。以下為《數理精藴》之算式圖：以下為上圖所表示之式：船 x鞘 2x共鞘 2x2共銀四
三乘4x4 = 5345344一三乘 x4 = 1336336x = 34。以下為《數理精藴》之算法：法借一根 (x) 為船數，則
每船所載鞘數為二根 (2x)，以一根與二根相乘得二平方為共鞘數 (2x2)，亦為每鞘內銀數。自乘得四三乘方與五百三十四萬五千三百四
十四兩相等 (4x4 = 5345344) 。四三乘方旣與五百三十四萬五千三百四十四兩相等，則一三乘方必與一百三十三萬六千三百三十
六兩相等 (x4 = 1336336)，乃以一百三十三萬六千三百三十六兩為三乘方積，用開三乘方法算之，得三十四為一根之數 (x =
34)，卽船數。倍之得六十八 (2 × 34 = 68)，卽每船之鞘數，以船數三十四與每船所載鞘數六十八相乘得二千三百一十二為共
鞘數 (68 × 34 = 2312)，亦卽每鞘內之銀數，自乘得五百三十四萬五千三百四十四兩 (23122 = 5345344)，
以合原數也﹝此開三乘方法﹞。〈第三十題〉設如有一正方又有一長方，二方面積共二十三萬六千一百九十六尺，長方之長比正方面積多二十四尺，
長方之闊比正方面積少二十尺。問：二方邊、面積各幾何？解：今設正方之邊長為 x ﹝尺﹞，長方之長 x2 + 24，長方之闊 x2 –
20 ，依題意可列出以下方程式﹝單位略去﹞：x2 + (x2 + 24)(x2 – 20) = 236196x2 + x4 –
20x2 + 24x2 – 480 = 236196x4 + 5x2 – 480 = 236196x4 + 5x2 – 23667
6 = 0分解因式得 (x2 – 484)(x2 + 489) = 0x2 – 484 = 0x = 22。即正方之邊長為 22
尺，長方之長 x2 + 24 = 484 + 24 = 508﹝尺﹞，長方之闊 x2 – 20 = 484 – 20 = 464﹝
尺﹞。以下為《數理精藴》之算式圖：以下為上圖所表示之式：正方 x 正方積 x2長方之長 x2 + 24長方之闊 x2 – 20
長方積x4 + 4x2 – 480x4 + 5x2 – 480 = 236196x4 + 5x2 = 236676x = 22。以
下為《數理精藴》之算法：法：借一根 (x) 為正方每邊之數，自乘得一平方為正方之面積 (x2)，則長方之長為一平方多二十四尺 (x
2 + 24)，長方之闊為一平方少二十尺 (x2 – 20)，長闊相乘得一三乘方多四平方少四百八十尺為長方面積 (x4 + 4x2
– 480)，加正方面積之一平方，得一三乘方多五平方少四百八十尺為二方之共面積，與二十三萬六千一百九十六尺相等 (x4 + 5x
2 – 480 = 236196)。兩邊各加四百八十尺得一三乘方多五平方與二十三萬六千六百七十六尺相等 (x4 + 5x2 = 2
36676)，乃以二十三萬六千六百七十六尺為帶縱三乘方積，用帶縱開三乘方法算之得二十二為一根之數 (x = 22)，卽正方每邊之數
，自乘得四百八十四尺 (222 = 484)，為正方面積。加二十四尺得五百零八尺 (484 + 24 = 508)，為長方之長，減
二十尺得四百六十四尺，為長方之闊 (484 – 20 = 464)。長闊相乘得二十三萬五千七百一十二尺為長方面積 (508 × 4
64 = 235712)，兩面積相加得二十三萬六千一百九十六尺 (484 + 235712 = 236196)，以合原數也﹝此帶縱
開三乘方法﹞。〈第三十一題〉設如有一長方，其面積五百二十七丈，又有大小二正方其面積共一千二百五十丈。大正方邊與長方之長等，小正方邊
與長方之闊等。問：長方之長、闊各幾何？解：面積單位應為方丈。今設大正方之邊長為 x 丈，闊 = ﹝丈﹞，依題意可列出以下方程式﹝單
位略去﹞：x2 + = 1250x2 + = 1250x4 + 277729 = 1250x2x4 – 1250x2 + 27
7729 = 0分解因式得 (x2 – 961)(x2 – 289) = 0取x2 – 961 = 0x2 = 961x = 31
。大正方之邊長為 31 ﹝丈﹞，闊 = = 17﹝丈﹞。以下為《數理精藴》之算式圖：以下為上圖所表示之式：大正方 x2小正方
1250 – x2長方積 5271250x2 – x4 = 277729x = 31以下為《數理精藴》之算法：法：借一根 (x
) 為大方每邊之數，自乘得一平方 (x2) 為大方之面積，則小方之面積為一千二百五十丈少一平方 (1250 – x2)，此大方面積
與長方面積及小方面積為相連比例三率，乃以首率大方面積一平方與末率小方面積一千二百五十丈少一平方相乘 (1250 – x2)，得一千
二百五十平方少一三乘方 (1250x2 – x4)，又以長方面積五百二十七丈 (527) 為中率，自乘得二十七萬七千七百二十九丈
(5272 = 277729)，此兩數為相等。以上文意指大方面積：長方面積 = 長方面積：小方面積，大方面積 = x2，長方面積
= 527，小方面積 = 1250 – x2，即可得：x2(1250 – x2) = 52721250x2 – x4 = 2777
29x = 31。乃以二十七萬七千七百二十九丈為帶縱三乘方積，用帶縱開三乘方法算之得三十一為一根之數 (x = 31)，卽大方每邊
之數，亦卽長方之長，以長三十一丈除長方面積五百二十七丈，得十七丈 ( = 17﹝丈﹞)，卽長方之闊，亦卽小正方每邊之數。乃以三十一
丈自乗，得九百六十一丈 (312 = 961 方丈) 為大方面積，以十七丈自乘得二百八十九丈 (172 = 289 方丈) 為小方
面積，兩面積相加得一千二百五十丈 (961 + 289 = 1250方丈)，以合原數也﹝此帶縱開三乘方法﹞。〈第三十二題〉設如有一
方臺，俱係正方石砌成，其用石之塊數與每一石之面積等，其共石之體積為五十三萬七千八百二十四寸。問：用石之塊數及每一石之邊數若干？解：
今設每一石之邊長為 x 寸，所用石之塊數為x2 ，每一石之體積為x3 立方寸，依題意可列出以下方程式﹝單位略去﹞：x2 × x3
= 537824x5 = 537824x = 14。求 x 可查閱《數理精藴》之四乘方表。即每一石之邊長為 14 寸，所用石之塊數
為x2 = 142 = 196。以下為《數理精藴》之算式圖：以下為上圖所表示之式：邊 x面 x2積 x3共積一四乘 x5 =
537824x = 14以下為《數理精藴》之算法：法：借一根 (x) 為每一石之邊數，自乘得一平方 (x2) 為每一石之面積，亦
卽所用石之塊數。再乘得一立方為每一石之體積 (x3)，與所用石之塊數一平方相乘，得一四乘方 (x5) 為共石之體積，與五十三萬七千
八百二十四寸相等 (x5 = 537824)。乃以五十三萬七千八百二十四寸為四乘方積，用開四乘方法算之，得一十四寸為一根之數 (x
= 14)，卽每一石之邊數。自乘得一百九十六寸為每一石之面積 (142 = 196)，亦卽所用石之塊數。再乘得二千七百四十四寸為
每一石之體積 (196 × 14 = 2744)，與所用石之塊數相乘得五十三萬七千八百二十四寸 (2744 × 196 = 537
824)，以合原數也﹝此開四乘方法﹞﹞。〈第三十三題〉設如有二十四正方體，又有一扁方體，共積八百二十九萬四千四百寸，扁方體之髙與正
方體之邊數等，扁方體之長與闊俱與正方體之面積等。問：正方體、扁方體之邊數各若干？解：今設正方體每一邊之長為 x 寸，扁方體之髙數為
x ，扁方體之長與闊為x2 ，依題意可列出以下方程式﹝單位略去﹞：24x3 + x2 × x2 × x = 8294400x5 +
24x3 = 8294400x5 + 24x3 – 8294400 = 0分解因式得 (x – 24)(x4 + 24x3 +
600x2 + 14400x + 354600) = 0取 x = 24。正方體每一邊之長為 24 寸，扁方體之髙數亦為24 寸，
扁方體之長與闊皆為x2 = 242 = 576以下為《數理精藴》之算式圖：以下為上圖所表示之式：一邊 x正立方體 x3共正 2
4x3扁方體 x5x5 + 24x3 = 8294400x = 24 以下為《數理精藴》之算法：法：借一根 (x) 為正方體每邊之
數，亦卽扁方體之髙數。以一根自乘得一平方 (x2) 為正方體之面積，亦卽扁方體之長與闊，再乘得一立方為正方體之積，以二十四乘之得二
十四立方 (24x3)，為二十四正方體之共積。又以扁方體之長、闊一平方自乘，得一三乘方 (x4)，再以髙一根乘之，得一四乘方為扁方
體之積 (x5)。兩積數相加得一四乘方多二十四立方與共體積八百二十九萬四千四百寸相等 (x5 + 24x3 = 8294400)，
乃以八百二十九萬四千四百寸為帶縱四乘方積，用帶縱開四乘方法算之得二十四寸為一根之數 (x = 24)，卽正方體之每邊，亦卽扁方體之
髙，自乘得五百七十六寸為正方體之面積 (242 = 576)，亦卽扁方體之長與闊，再乘得一萬三千八百二十四寸為一正方體之積 (57
6 × 24 = 13824)，以二十四乘之得三十三萬一千七百七十六寸為二十四正方體之共積 (24 × 13824 = 33177
6)。又以扁方體之長闊五百七十六寸自乘，再以髙二十四寸乘之，得七百九十六萬二千六百二十四寸為一扁方體積 (5762 × 24 =
7962624)，兩積相加得八百二十九萬四千四百寸 (7962624 + 331776 = 8294400)，以合原數也﹝此帶縱開
四乘方法﹞。〈第三十四題〉設如有商人貿易，第一次之銀數比原本銀加一倍，第二次之銀數與第一次銀自乘再乘之數等，第三次之銀數與第一次銀
自乘又乘第二次銀之數等，將第三次之銀數與第二次之銀數相加，得三萬三千二百八十兩。問：原本銀數及每次銀數各若干？解：今設原本銀數為
x ，第一次之銀數﹝即貿易一次後﹞為 2x，第二次之銀數為 8x3，第三次之銀數為 (2x)2 × 8x3 = 32x5，依題意可
列出以下方程式﹝單位略去﹞：32x5 + 8x3 = 332804x5 + x3 = 4160分解因式得 (x – 4)(4x4
+ 16x3 + 65x2 + 260x + 1040) = 0取 x = 4。因此原本銀數為 4兩 ，第一次之銀數為 2x =
8 兩，第二次之銀數為 8x3 = 512 兩，第三次之銀數為 (2x)2 × 8x3 = 32x5 = 32768 兩。以下為《
數理精藴》之算式圖：以下為上圖所表示之式：本 x一次 2x二次 8x3三次 32x532x5 + 8x3 = 33280x
5 + x3 = 1040x = 4。以下為《數理精藴》之算法：法借一根 (x) 為原本銀數，則第一次之銀數為二根 [(2x)3
= 8x3] 自乘再乘得八立方，為第二次之銀數，以第一次自乘之四平方 (4x2) 與第二次之八立方相乘得三十二四乘方 (32x5)
為第三次之銀數，與第二次之銀數八立方相加得三十二四乘方多八立方 (32x5 + 8x3)，與三萬三千二百八十兩相等 (32x5
+ 8x3 = 33280)。三十二四乘方多八立方旣與三萬三千二百八十兩相等，則一四乘方多四分立方之一必與一千零四十兩相等 (x5
+ x3 = 1040)。乃以一千零四十兩為帶縱四乘方積，用帶縱開四乘方法算之，得四兩為一根之數 (x = 4)，卽原本銀數也。
倍之得八兩 (8) 為第一次之銀數，自乘再乘得五百一十二兩 (83 = 512) 為第二次之銀數，又以第一次銀數八兩自乘之，六十四
兩與第二次之銀數五百一十二兩相乘得三萬二千七百六十八兩 (64 × 512 = 32768) 為第三次之銀數，與第二次之銀數相加得
三萬三千二百八十兩 (32768 + 512 = 33280)，以合原數也﹝此帶縱開四乘方法﹞。〈第三十五題〉設如有一小長方體，闊
為髙之二倍，長為髙之三倍。又有一大長方體其每邊之比例與小長方體同，其髙數與小長方體長闊相乘之數等體積，八萬二千九百四十四尺。問：二
長方體長、闊、髙各幾何？解：今設小長方體之髙為 x ，闊為 2x ，長為3x ，因大長方體其每邊之比例與小長方體同，於是可設大長方
體之髙為 kx ，闊為 2kx ，長為3kx ，依題意可知：kx = 2x × 3x = 6x2，所以k = 6x，因此大長方體之
髙為 6x2 ，闊為 12x2，長為18x2，依題意可列出以下方程式﹝單位略去﹞：6x2 × 12x2 × 18x2 = 8294
41296x6 = 82944x6 = 64x3 = 8x = 2。所以小長方體之髙為 2 尺，闊為 4尺 ，長為6 尺。k =
6x = 12，於是大長方體之髙為 kx = 24尺，闊為 2kx = 48尺，長為3kx = 72尺。以下為《數理精藴》之算式圖
：以下為上圖所表示之式：小高 x大高 6x2闊 12x2長18x2積1296x6 = 82944x6 = 64x = 2。以
下為《數理精藴》之算法：法：借一根 (x) 為小長方體之髙，則闊為二根 (2x) ，長為三根 (3x)。長闊相乘得六平方 (6x2
) 為大長方體 之髙，倍之得十二平方 (12x2) 為大長方體之闊，三因之得十八平方 (18x2) 為大長方體之長，長闊相乘再以髙
乘之得一千二百九十六五乘方為大長方體積 (1296x6)，與八萬二千九百四十四尺相等 (1296x6 = 82944) 。一千二百
九十六五乘方旣與八萬二千九百四十四尺相等，則一五乘方必與六十四尺相等 (x6 = 64) 。乃以六十四尺為五乘方積，用開五乘方法算
之得二尺為一根之數 (x = 2)，卽小長方體之髙，倍之得四尺 (4) 卽小長方體之闊，三因之得六尺 (6) 卽小長方體之長。長、
闊相乘得二十四尺 (4 × 6 = 24) 卽大長方體之髙，倍之得四十八尺 (48)，卽大長方體之闊，三因之得七十二尺 (3 ×
24 = 72)，卽大長方體之長。長、闊相乘再以髙乘之得八萬二千九百四十四尺 (72 × 48 × 24 = 82944)，以合原
數也﹝此開五乘方法﹞。〈第三十六題〉設如有大、小二正方體，大方體積比小方體積多一千七百四十四寸，以小方邊與大方邊相乘得一百四十寸。
問：二正方體之邊數、體積各幾何？解：體積單位為立方寸。今設小立方體之邊長為 x ，小立方體積為 x3 ，大立方體積為 x3 + 1
744，大立方體一邊之長為 。依題意可列出以下方程式﹝單位略去﹞：x = 140x3(x3 + 1744) = 1403x6 +
1744x3 = 2744000x6 + 1744x3 – 2744000 = 0分解因式得 (x3 – 1000)(x3 + 2
744) = 0取 x3 – 1000 = 0即x3 = 1000x = 10。所以小方體之邊長為 10寸，小方體積為 1000
立方寸；x3 ，大方體之邊長為 14寸 ，大方體積為 1000 + 1744 = 2744立方寸。以下為《數理精藴》之算式圖：以下
為上圖所表示之式：小邊 x大邊 小積 x3大積 1744 = – x3﹝大小立方之體積差﹞1744x3 = 2744000
– x6x6 + 1744x3 = 2744000x = 10以下為《數理精藴》之算法：法：借一根 (x) 為小方體每邊之數，以一根除一百四十寸得一根之一百四十寸為大方體每邊之數 ()。以一根自乘再乘得一立方 (x3) 為小方體積數，以一根之一百四十寸自乘再乘得一立方之二百七十四萬四千寸為大方體積 ()，內減小方體積一立方，餘一立方之二百七十四萬四千寸少一立方與一千七百四十四寸相等 (1744 = – x3)，兩邊各以立方乘之，得一千七百四十四立方與二百七十四萬四千寸少一五乘方相等 (1744x3 = 2744000 – x6)。兩邊各加一五乘方得一五乘方多一千七百四十四立方與二百七十四萬四千寸相等 (x6 + 1744x3 = 2744000)，乃以二百七十四萬四千寸為帶縱五乘方積，用帶縱開五乘方法算之，得十寸為一根之數 (x = 10)，卽小方體每邊之數。以十寸除一百四十寸得一十四寸 ( = 14)，卽大方體每邊之數，以小方體每邊十寸自乘再乘得一千寸 (103 = 1000 ﹝立方寸﹞) 為小方體積，以大方體每邊十四寸自乘再乘得二千七百四十四寸 (143 = 2744﹝立方寸﹞) 為大方體積，兩體積相減餘一千七百四十四寸 (2744 – 1000 = 1744) ﹝立方寸﹞，以合原數也﹝此帶縱開五乘方法﹞。(1) |
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