隐 圆 问题
隐圆问 题
在直线 与圆 的综 合考 查中 ， 有时题 设条 件并 没有 直接 给出相 关圆 的信 息 ， 而 是隐 含在题 目中 ，
要通过 分析 和转 化 ， 发 现 圆的方 程或 圆的 定义 ， 从 而可以 利用 圆的 知识 来求 解， 这类 问题 常
被称为“隐圆” 问 题． 此类 问题在 高考 中出 现的 频率 比较高 ， 通过 对以 往考 题的 分 析与 研究 ，
可以总 结为 如下 的几 种题 型．
1．利 用圆 的定 义（ 到定 点 的距离 等于 定长 的点 的轨 迹）可 确定 隐圆
题目中 若已 知到 定点 的距 离等于 定长 或者 能求 出到 定点的 距离 为定 常数 ， 则 可 以得到 点的 轨
迹为圆 ．
22 22
例 1 已知 圆O:1 x+= y ，圆M : (x ?a) + (y ?a + 4) =1 ．若圆 M 上存 在点 P ， 过点 P 作
O A B a ________
圆 的 两条 切线 ，切点 为 ， ， 使得 ?APB = 60 ? ，则 实 数 的 取值范 围为 ．
M a ，a ? 4 xy ? ?40 =
解 由 题意 得， 圆心 ( ) 在直 线 上运 动，
xy ? ?40 =
则动 圆 M 是 圆心 在直 线 上，半径 为 1 的圆 ．
M P P O A B
又因为 圆 上存 在 点 ， 使经过 点 作圆 的 两条 切线， 切点 为 ， ，使 ?APB = 60 ? ，
所以OP = 2 ，
22
即点 P 也在xy += 4 上，记 为圆 E ，
则圆 E 与圆 O 一 定有 公共 点．
22
于是 ，
2 ?1 ?aa + ( ? 4) ? 2 +1
22
即 ，
1 ?aa + ( ? 4) ? 3
??
22
22 ?+ ，
所以实 数 a 的取 值范 围是 ．
??
22
??
2．利 用圆 的性 质（ 动点 到 两定点 的夹 角为 直角 ）可 确定隐 圆
题目中 若动 点到 两定 点的 夹角为 直角 ，则 可以 得到 点的轨 迹为 圆．
xOy l :kx?+= y 2 0 l :x +ky ? 2 = 0
例 2 在平 面直 角坐 标系 中， 直 线 与直线 相交 于点 P，则
1 2
xy ? ?40 =
当实 数 k 变 化时 ， 点 P 到 直线 的距离 的最 大值 为_______ ．
ll ， ll ⊥
1 AB (0 ， 2 ) ， (2 ， 0 ) P C
解法 直线 分别经 过定 点 ， 且 ， 所以 点 在以AB 为直 径的 圆
12 12
上． C 11 ，
则圆 C 的 圆心 为 ( ) ，半径 ．
r = 2
1?? 1 4
l :x ?y ? 4 = 0 d== 22
因为圆 心 C 到 直线 的距 离 为 ，
2
P l
所以， 点 到 直线 的 距 离的最 大值 为 ．
dr +=32
2 P 22 ， xy ? ?40 =
解法 当k = 0 时， 点 ( ) 到直线 的距离 为 ；
22
kx?+= y 20 ，
? 2?+ 2kk 2 2
??
，
P
当k ? 0 时， 解方 程组 得两 直线 交点 的 坐标 为 ，
? ??
22
x +ky ?20 = ， 11 ++ kk
??
?
2?+ 2k 2 2k k
? ? 4 4 +1
2 2 2
xy ? ?40 =
P
所以， 点 到 直线 的距 离 为 1 +k 1 +k 1 +k ，
=
22
显然 当 k 为 正数 时取 得最 大值，
k 11
=?
2
1
则有 ，
12 +k
+k
k
k
3
41 +
4 ?
2
所以 1 +k ．
2
?= 32
22
P l
综上可 知， 点 到 直线 的距离 的最 大值 为 ．
dr +=32
3．已 知两 定点 A ，B ，动 点 P 满足 为定 值可 确定 隐 圆
PA ?PB
A B P
已知两 定 点 ， ， 动点 满足 为定值 的轨 迹为 圆．
PA ?PB
22
AB ?1 ， 0 ， 1 ， 0 (x ?a +1) + (y ?a ? 2) =1
例 3 已知 点 ( ) ( ) ， 若圆 上存在 点 M 满足 ，
MA?= MB 3
则实 数 a 的 取值 范围 是________ ．
M x ，y
解 设 ( ) ，
因为
MA?= MB 3
?1 ?x ， ?y ? 1 ?x ， ?y = 3
所以 ( ) ( ) ，
22
即xy += 4 ，表 示圆 ．
22
M (x ?a +1) + (y ?a ? 2) =1
又因为 点 在圆 上，
22
所以两 圆必 有交 点， 2 ?1 ? (0 ?aa +1) + (0 ? ? 2) ?1 + 2 ，
2
?7 ? (2a +1) ? 9
即 ，
解得 ?21 ?a ? ． 22
4．已 知两 定点 A ，B ，动 点 P 满足 为定 值可 确定 隐 圆
PA +PB
22
A B P
已知两 定 点 ， ， 动点 满足PA +PB 为定值 的轨 迹是 圆．
22
4 1 xOy C :x + y ? 4x = 0 AB ?1 ， 0 ， 1 ， 2
例 如图 ， 在 平面 直角 坐标系 中 ， 已 知圆 及点 ( ) ( )．在
22
圆 C 上是 否存 在点 P ， 使 得 ？若 存在 ， 求 点 P 的 个 数， 若不 存在 ， 说明 理由 ．
PA+= PB 12
22
解 圆 C 的标 准方 程为 (xy ? 2) + = 4 ，
C 20 ，
所以 圆心 ( ) ，半 径 为 2．
假设 圆 C 上存 在点 P ，
22
P x ，y
设 ( ) ，则 (xy ? 2) + = 4 ，
2 2 2 2 2 2
又PA +PB = (x +1) + (y ? 0) + (x ?1) + (y ? 2) =12 ，
22
01 ，
即xy + ( ?1) = 4 ，是 圆心 为 ( ) ，半径 为 2 的圆．
22
因为 2 ? 2 ? (2 ? 0) + (0 ?1) ? 2 + 2 ，
22 22
(xy ? 2) + = 4 xy + ( ?1) = 4
所以圆 与 圆 相交 ，
所以 点 P 的个 数为 2 ．
AP = λBP( λ ? 0 ， λ ? 1)
5 A B P
．给 定两 定点 ， ，动 点 满足 的关 系可 确定 隐 圆
AP = ?BP( ? ? 0 ， ? ? 1)
若给定 两定 点 A ，B ， 动 点 P 满足 的关 系， 则 P 点的 轨迹为 隐圆， 我
们称为 阿波 罗尼 斯圆 ．
5 O AB (2 ， 0 ) ， ( ?1 ， 0 ) _______
例 已知 为原 点， ，若 ，则MB 的最 大值 为 ．
MA = 2MO
M x ，y
解 设 ( ) ，
2 2 2 2
(x ? 2) + y = 2 x + y
由 ，得 ( ) ，
MA = 2MO
22
即 (xy + 2) + = 8 ，记 为 圆 C ． C ?20 ，
所以 M 的轨 迹的 圆心 为 ( ) ，半径为 的圆 ．
22
又BC =1 ，所 以MB =BC +r =1 + 2 2 ．
max
6．利 用轨 迹法 确定 圆
所谓轨 迹法 就是 通过 设点 ， 根 据题 目中 所给 的条 件 得到轨 迹方 程 ． 常 见求 轨 迹的方 法有 ： 直
接法、 定义 法、 相关 点法 、参数 法．
22
xOy
6 AB ( ?1 ， 0 ) ， (5 ， 0 ) M : (x ? 4) + (y ?m) = 4
例 在平 面直 角坐 标系 中， 已知 点 ， 若 圆 上
存在唯 一 点 P ， 使得 直线PA ，PB 在 y 轴 上的 截距 之积 为 5 ，则实 数 m 的值 为________ ．
y y
0 0
yx =+ 1
P x ，y ( )
解 设点 ( ) ，则直 线PA 方程为 ，它 在 y 轴 上的 截距 为 ，
00
x +1 x +1
0 0
5y
0
?
同理PB 在 y 轴 上的 截距 为 ，
x ? 5
0
5yy
2
00
2
? ? = 5
5 xy ?29 + =
由截距 之积 为 ，得 ，化 简得 ( ) ，
00
xx ?+ 51
00
2
2
AB ?1 ， 0 ， 5 ， 0
又 ( ) ( ) 满足 (xy ?29 ) + = ，
00
20 ，
所以 点 P 的轨 迹是 以 ( ) 为圆 心，半 径 为 3 的 圆．
由题 意 P 的轨 迹应 与圆 M 恰有一 个适 合题 意的 点， 则：
22
A B M
① 若 ， 不在 圆 上， 则两圆 相切 ， 所 以圆 心距 等于半 径之 和或 差， ， 解 得
25 += m
22
；或 ，m 无 解；
m =? 21 21 += m
② 若 A 或 B 在圆 M 上 ， 把 点 A 代 入圆 M 可知 不合 题 意， 把点 B 代入 圆 M ， 解 得 ，
m =? 3
经检验 也成 立．
综上可 知， 或m =? 3 为所求 ．
m =? 21
例 7 若实 数 x 、y 满足x ?42 y = x ?y ，则 x 的 取值 范围 是________ ．
22
x = y + x ?y =a +b
解析： 令a = y ，b = x ?y ，其中a ? 0 ，b ? 0 ．则 ( ) ．方程22
22
(a ? 2) + (b ?1) = 5 a ? 0 ，b ? 0
x ?42 y = x ?y 可化为a +b ?42 a = b ，即 ( ) ， 如 图 1，在
ab ， C 21 ，
aOb 平面内 ， 点 ( ) 的轨 迹是 以 ( ) 为圆心， 为半 径的 圆在ab ?? 00 ， 的部 分， 即
5
O A B x y
圆弧 与原 点 的 并集， 其 中， 、 分别 为圆 弧 与 轴、 轴的 交点 ，又 因为
ADB ADB
2
2 2 2 2
ab ， O
x =a +b = a +b 的几何 意义 是点 ( ) 与原 点 两点的 距离 的平 方． 易知
( )
22
22
??
ab +? 2 ， 2 5 0 4 ， 20 0
? ? ，所以x=+ a b 的取 值范 围是 ? ? ? ? ．
??
2
1 ?x
例 8 函数 的值 域是________ ．
y =
x + 2
2
1 ?x
2
M x ，y
解析： 设函 数 ，令 ，则点 ( ) 位于一 个单 位 圆 x 轴 的上 半部
fx = yx =? 1
( )
x + 2
2
y ? 0
1 ?x
fx =
( ) A ?20 ，
分，如 图 3 所示 ．将 函数 改写为 ，它 表示 定点 ( ) 与点
fx =
( )
x?? 2
( )
x + 2
M x ，y
( ) 所连直 线MA 的斜率 ．直 线MA 与上半单 位圆 相切 时， 在直 角三角 形MOA 中，
??
3
3
k = 0 fx ? 0 ，
MO =1 ，OA = 2 ， ?MAO = 30 ? ， 所 以 ．又 ， 所 以 ( ) ．即
k =tan30 ? = ??
AO
MA
3
3
??
2
??
3
1 ?x
0 ，
函数 的值域 为 ．
y = ??
3
x + 2
??
7. 当 两个 定点 到某 直线 的 距离分 别确 定时
9 A (10 ， ) B (40 ， ) 1 2 ______
例 若点 和点 到直 线的 距离依 次 为 和 ， 则这 样的直 线有 条．
解析 ：如 图 1 ， 分别 以 A ，B 为 圆心 ，1 ，2 为半 径 作圆依 题意 知 ，直 线 l 是圆 A 的 切线 ，A
到 l 的距 离 为 1，直 线 l 也是 圆 B 的切 线，B 到 l 的距 离为 2 ，所 以直 线 l 是 两圆 的 公切 线，
共 3 条（2 条外 公切 线，1 条内公 切线 ） ．
故满足 题意 的直 线 有 3 条．
评注 ： 本 题已 知条 件中 虽 然没有 直接 出现 圆 ， 但 由 题意并 数形 结合 ， 把原 问 题转化 为直 线与
圆、圆 与圆 的位 置关 系问 题．
8. “ 四 点共 圆”模型
我们知 道判 定某 一四 边形 有外接 圆的 常见 方法 有两 个，一 种方 法是 四边 形的 一组对角 互补 ，
另一方 法是 某一 边分 别与 其对边 的两 个端 点构 成的 角大小 相等 ， 根 据圆 的内 接 四边形 的这 两
个性质 ，若 题中 出现 的向 量可以 构造 出四 边形 且符 合这两 种情 况， 则构 造四 点共圆 ．
1
10 m n p mn == 2 m ? p ? n ? p = ? m ? p ? n ? p
例 向量 ， ， 满足： ，mn ? = ?2 ， ( ) ( ) ，则
2
p
最大值 为（ ）
A ．2 B ． C ．1 D ．4
2
mn == 2 mn ? = ?2
解析 因为 及 ，
所以 m ，n 的 夹角 为120 ? ．
1
因为 (m ? p ) ? (n ? p ) = m ? p ? n ? p ，
2
mp ? np ?
60 ?
所以 与 的夹 角为 ．
设OA =m ， OB =n ， OC = p ，
则m ? p =CA ，n ? p =CB ，
于是 ?AOB =120 ? ， ?ACB = 60 ? ．
发现 ?AOB + ?ACB =180 ? ，且 ?AOB = 2 ?ACB ，
故构造 如 图 4、图 5 两个 圆，易 知两 圆半 径长 均 为 2，点 C 均在 优弧 上， 结合 圆的性 质
AB
OC ? 24 ， p
知 ? ? ，所 以 的最大 值 为 4．
同步练 习
2 2
1． 在 平面 直角 坐标 系 x O y 中， 已知 A ， B 为圆 C：（ x ＋4） ＋（ y －a ） ＝16 上 的两个 动点 ，
AB l y 2 x P a
且 ＝ ，若 直线 ： ＝ 上存在 唯一 的一 个 点 ， 使得 ，则实 数 的
2 11 PA+= PB OC
值为________ ．
xOy l :kx?+= y 2 0 l :x + ky ? 2 = 0
2． 在 平面 直角 坐标 系 中， 直线 与直线 相交 于点P ， 则 当
1 2
xy ? ?40 =
k P ______.
实数 变化时 ，点 到直 线 的距离的 最大 值为
3． 已 知平 面上 两定 点 A 、 B，且 AB = 2 ， 动点 P 满足PA ?PB = ?? ( ? 0) ， 若 点 P 总 不在 以点1
B 为 圆心 ， 为半径 的圆 内 ，则负 数 ? 的最大 值为_______ ．
2
f a = a ? 3 + 12 ? 3a
4．函 数 ( ) 的最大 值为________ ．
xOy A 03 ， l :y=? 2x 4
5．在 平面 直角 坐标 系 中， 点 ( ) ，直 线 ，设 圆 C 的 半径 为 1， 圆心 在 l
MA = 2 MO
C M C a
上，若 圆 上存 在点 ，使 ，求 圆 心 的 横坐 标 的取值 范围 ．
22
6 xOy BC , xy += 4 A(1,1)
．在 平面 直角 坐标 系 中， 已知 为圆 上两点 ，点 ，且AB ⊥ AC ，
则线段BC 的长 的取 值范 围是____________ ．
22
xy 、 ?R
7．设 ，则P = (x +1 ? cosy) + (x ?1 + siny) 的最 小值 是_______ ．
a = b =21 a ?b =
8
． 已 知向 量 ， ， 为平 面向 量 ， ，且 使得 与 所成夹 角为60 ，
a b c c ca ? 2 cb ?
c
则 的最 大值 为（ ）
A ． 31 + B ． C ．1 D ． 71 +
3
S
9．若 ，则 的最 大值 是
AB== 2,AC 2BC
?ABC隐 圆 问题
隐圆问 题
在直线 与圆 的综 合考 查中 ， 有时题 设条 件并 没有 直接 给出相 关圆 的信 息 ， 而 是隐 含在题 目中 ，
要通过 分析 和转 化， 发现 圆的方 程或 圆的 定义 ， 从 而可以 利用 圆的 知识 来求 解， 这类 问题 常
被称为“隐圆” 问 题． 此类 问题在 高考 中出 现的 频率 比较高 ，通 过 对以 往考 题的 分 析与 研究 ，
可以总 结为 如下 的几 种题 型．
1．利 用圆 的定 义（ 到定 点 的距离 等于 定长 的点 的轨 迹）可 确定 隐圆
题目中 若已 知到 定点 的距 离等于 定长 或者 能求 出到 定点的 距离 为定 常数 ， 则可 以得到 点的 轨
迹为圆 ．
22 22
例 1 已知 圆O:1 x+= y ，圆M : (x ?a) + (y ?a + 4) =1 ．若圆 M 上存 在点 P ， 过点 P 作
圆 O 的 两条 切线 ，切点 为 A ，B ， 使得 ?APB = 60 ? ，则 实 数 a 的 取值范 围为________ ．
xy ? ?40 =
M (a ，a ? 4 )
解 由 题意 得， 圆心 在直 线 上运 动，
xy ? ?40 =
则动 圆 M 是 圆心 在直 线 上，半径 为 1 的圆 ．
M P P O A B
又因为 圆 上存 在 点 ， 使经过 点 作圆 的 两条 切线， 切点 为 ， ，使 ?APB = 60 ? ，
所以OP = 2 ，
22
P xy += 4 E
即点 也在 上，记 为圆 ，
则圆 E 与圆 O 一 定有 公共 点．
22
于是 2 ?1 ?aa + ( ? 4) ? 2 +1 ，
22
即1 ?aa + ( ? 4) ? 3 ，
??
22
22 ?+ ，
所以实 数 a 的取 值范 围是 ．
??
22
??
2．利 用圆 的性 质（ 动点 到 两定点 的夹 角为 直角 ）可 确定隐 圆
题目中 若动 点到 两定 点的 夹角为 直角 ，则 可以 得到 点的轨 迹为 圆．
xOy l :kx?+= y 2 0 l :x +ky ? 2 = 0
例 2 在平 面直 角坐 标系 中，直 线 与直线 相交 于 点 P ，
1 2
xy ? ?40 =
则当实 数 k 变化 时， 点 P 到直线 的距 离的 最大 值为_______ ．
ll ， ll ⊥
1 AB (0 ， 2 ) ， (2 ， 0 ) P C
解法 直线 分别经 过定 点 ，且 ， 所 以点 在以AB 为直 径的 圆
12 12
上．
C C (11 ， )
则圆 的 圆心 为 ，半径 ．
r = 2
1?? 1 4
l :x ?y ? 4 = 0 d== 22
因为圆 心 C 到 直线 的距 离 为 ，
2
所以， 点 P 到 直线 l 的 距 离的最 大值 为 ．
dr +=32
P 22 ， xy ? ?40 =
解法 2 当k = 0 时， 点 ( ) 到直线 的距离 为 ；
22kx?+= y 20 ，
? 2?+ 2kk 2 2
??
，
当k ? 0 时， 解方 程 组 得两 直线 交点 P 的 坐标 为 ，
?
?? 22
x +ky ?20 = ， 11 ++ kk
??
?
2?+ 2k 2 2k k
? ? 4 4 +1
2 2 2
xy ? ?40 =
所以， 点 P 到 直线 的距 离 为 1 +k 1 +k 1 +k ，
=
22
显然 当 k 为 正数 时取 得最 大值，
k 11
=?
2
1
则有 ，
12 +k
+k
k
k
3
41 +
4 ?
2
所以 1 +k ．
2
?= 32
22
综上可 知， 点 P 到 直线 l 的距离 的最 大值 为 ．
dr +=32
3 A B P
．已 知两 定点 ， ，动 点 满足 为定 值可 确定 隐 圆
PA ?PB
已知两 定 点 A ，B ， 动点 P 满足 为定值 的轨 迹为 圆．
PA ?PB
22
AB ?1 ， 0 ， 1 ， 0
例 3 已知 点 ( ) ( ) ， 若圆(x ?a +1) + (y ?a ? 2) =1 上存在 点 M 满足 ，
MA?= MB 3
a ________
则实 数 的 取值 范围 是 ．
M x ，y
解 设 ( ) ，
因为
MA?= MB 3
( ?1 ?x ， ?y ) ? (1 ?x ， ?y ) = 3
所以 ，
22
即xy += 4 ，表 示圆 ．
22
又因为 点 M 在圆 (x ?a +1) + (y ?a ? 2) =1 上，
22
所以两 圆必 有交 点， ，
2 ?1 ? (0 ?aa +1) + (0 ? ? 2) ?1 + 2
2
?7 ? (2a +1) ? 9
即 ，
解得 ?21 ?a ? ．
22
4 A B P
．已 知两 定点 ， ，动 点 满足 为定 值可 确定 隐 圆
PA +PB
22
已知两 定 点 A ，B ， 动点 P 满足 为定值 的轨 迹是 圆．
PA +PB
22
xOy
4 1 C :x + y ? 4x = 0 AB ( ?1 ， 0 ) ， (1 ， 2 )
例 如图 ， 在平 面直 角 坐标系 中 ， 已 知圆 及点 ．在
22
圆 C 上是 否存 在点 P ， 使 得 ？若 存在 ， 求点 P 的 个 数， 若不 存在 ， 说 明理 由．
PA+= PB 12
22
解 圆 C 的标 准方 程为 (xy ? 2) + = 4 ，
C (20 ， ) 2
所以 圆心 ，半 径 为 ．
假设 圆 C 上存 在点 P ，
22
P (x ，y ) (xy ? 2) + = 4
设 ，则 ，
2 2 2 2 2 2
又PA +PB = (x +1) + (y ? 0) + (x ?1) + (y ? 2) =12 ，
22
01 ，
即xy + ( ?1) = 4 ，是 圆心 为 ( ) ，半径 为 2 的圆．
22
因为 2 ? 2 ? (2 ? 0) + (0 ?1) ? 2 + 2 ，
22 22
所以圆 (xy ? 2) + = 4 与圆xy + ( ?1) = 4 相交 ，
所以 点 P 的个 数为 2 ．
AP = λBP( λ ? 0 ， λ ? 1)
5．给 定两 定点 A ，B ，动 点 P 满足 的关 系可 确定 隐 圆
AP = ?BP( ? ? 0 ， ? ? 1)
若给定 两定 点 A ，B ， 动 点 P 满足 的关 系 ， 则 P 点 的 轨迹为 隐圆 ， 我
们称为 阿波 罗尼 斯圆 ．
AB 2 ， 0 ， ?1 ， 0
例 5 已知 O 为原 点， ( ) ( ) ，若 ，则MB 的最 大值 为_______ ．
MA = 2MO
M (x ，y )
解 设 ，
2 2 2 2
(x ? 2) + y = 2 x + y
由 ，得 ( ) ，
MA = 2MO
22
即 (xy + 2) + = 8 ，记 为 圆 C ．
C ?20 ，
所以 M 的轨 迹的 圆心 为 ( ) ，半径为 的圆 ．
22
又BC =1 ，所 以MB =BC +r =1 + 2 2 ．
max
6．利 用轨 迹法 确定 圆
所谓轨 迹法 就是 通过 设点 ， 根 据题 目中 所给的 条件 得到轨 迹方 程 ． 常见 求轨 迹的方 法有 ： 直
接法、 定义 法、 相关 点法 、参数 法．
22
xOy AB ?1 ， 0 ， 5 ， 0
6 ( ) ( ) M : (x ? 4) + (y ?m) = 4
例 在平 面直 角坐 标系 中， 已 知点 ， 若圆 上
存在唯 一 点 P ， 使得 直线PA ，PB 在 y 轴 上的 截距 之积 为 5 ，则实 数 m 的值 为________ ．
y y
0 0
yx =+ ( 1 )
P x ，y
解 设点 ( ) ，则直 线PA 方程为 ，它 在 y 轴 上的 截距 为 ，
00
x +1 x +1
0 05y
0
?
同理PB 在 y 轴 上的 截距 为 ，
x ? 5
0
5yy
2
00
2
? ? = 5
由截距 之积 为 5 ，得 ，化 简得xy ?29 + = ，
( )
00
xx ?+ 51
00
2
2
AB ?1 ， 0 ， 5 ， 0
又 ( ) ( ) 满足xy ?29 + = ，
( )
00
P 20 ， 3
所以 点 的轨 迹是 以 ( ) 为圆 心，半 径 为 的 圆．
由题 意 P 的轨 迹应 与圆 M 恰有一 个适 合题 意的 点， 则：
22
① 若 A ，B 不 在圆 M 上 ， 则两圆 相切 ， 所以 圆心 距 等于半 径之 和或 差 ， ， 解 得
25 += m
22
；或 ，m 无 解；
m =? 21
21 += m
A B M A M B M
② 若 或 在圆 上 ， 把 点 代 入圆 可知 不合 题 意， 把点 代入圆 ， 解得m =? 3 ，
经检验 也成 立．
综上可 知， 或 为所求 ．
m =? 21 m =? 3
例 7 若实 数 x 、y 满足x ?42 y = x ?y ，则 x 的 取值 范围 是________ ．
22
x = y + x ?y =a +b
解析： 令a = y ，b = x ?y ，其中a ? 0 ，b ? 0 ．则 ( ) ．方程
22
22
(a ? 2) + (b ?1) = 5 (a ? 0 ，b ? 0 ) 1
x ?42 y = x ?y 可化为a +b ?42 a = b ，即 ， 如 图 ，在
ab ， C 21 ，
aOb 平面内 ， 点 ( ) 的轨 迹是 以 ( ) 为圆心， 为半 径的 圆在ab ?? 00 ， 的部 分， 即
5
O A B x y
圆弧 与原 点 的 并集， 其 中， 、 分别 为圆 弧 与 轴、 轴的 交点 ，又 因为
ADB ADB
2
2 2 2 2
ab ，
x =a +b = a +b 的几何 意义 是点 ( ) 与原 点 O 两点的 距离 的平 方． 易知
( )
22
22
??
4 ， 20 0
ab +? 2 ， 2 5 ?0 ? ，所以 的取 值范 围是 ? ? ? ? ．
x=+ a b
??
2
1 ?x
8 ________
例 函数y = 的值 域是 ．
x + 2
2
1 ?x
2
M x ，y
( ) x
解析： 设函 数 ，令 ，则点 位于一 个单 位 圆 轴 的上 半部
fx ( ) = yx =? 1
x + 2
2
y ? 0
1 ?x
fx =
( ) A ?20 ，
分，如 图 3 所示 ．将 函数 改写为 ，它 表示 定点 ( ) 与点
fx =
( )
x?? 2
( )
x + 2
M x ，y
( ) 所连直 线MA 的斜率 ．直 线MA 与上半单 位圆 相切 时， 在直 角三角 形MOA 中，
??
3
3
k = 0 fx ? 0 ，
MO =1 ，OA = 2 ， ?MAO = 30 ? ， 所 以 ．又 ， 所以 ( ) ．即
k =tan30 ? = ??
AO
MA
3
3
??
2
??
3
1 ?x
0 ，
函数 的值域 为?? ．
y =
3
x + 2
??
7. 当 两个 定点 到某 直线 的 距离分 别确 定时
A 10 ， B 40 ，
例 9 若点 ( ) 和点 ( ) 到直 线的 距离依 次 为 1 和 2， 则这 样的直 线有______条．
解析： 如图 1， 分 别以 A ，B 为 圆心 ，1，2 为 半径 作圆依 题意 知， 直线 l 是圆 A 的 切线，A
到 l 的距 离 为 1， 直线 l 也是 圆 B 的切 线，B 到 l 的距 离为 2 ，所 以直 线 l 是 两圆 的 公切 线，
共 3 条（2 条外 公切 线，1 条内公 切线 ） ．
故满足 题意 的直 线 有 3 条．
评注 ： 本 题已 知条件 中虽 然没有 直接 出现 圆， 但由 题意并 数形 结合 ， 把 原问 题转化 为直 线 与
圆、圆 与圆 的位 置关 系问 题．
8. “ 四 点共 圆”模型
我们知 道判 定某 一四 边形 有外接 圆的 常见 方法 有两 个，一 种方 法是 四边 形的 一组对 角互补 ，
另一方 法是 某一 边分 别与 其对边 的两 个端 点构 成的 角大小 相等 ， 根据 圆的 内接 四边形 的这 两
个性质 ，若 题中 出现 的向 量可以 构造 出四 边形 且符 合这两 种情 况， 则构 造四 点共圆 ．
1
mn == 2
10 m n p mn ? = ?2 m ? p ? n ? p = ? m ? p ? n ? p
例 向量 ， ， 满足 ： ， ， ( ) ( ) ，则
2
p
最大值 为（ ） A ．2 B ． C ．1 D ．4
2
mn == 2
mn ? = ?2
解析 因为 及 ，
所以 m ，n 的 夹角 为120 ? ．
1
m ? p ? n ? p = m ? p ? n ? p
因为 ( ) ( ) ，
2
mp ? np ?
所以 与 的夹 角为 60 ? ．
设OA =m ， OB =n ， OC = p ，
则m ? p =CA ，n ? p =CB ，
于是 ?AOB =120 ? ， ?ACB = 60 ? ．
发现 ?AOB + ?ACB =180 ? ，且 ?AOB = 2 ?ACB ，
故构造 如 图 4、图 5 两个 圆，易 知两 圆半 径长 均 为 2，点 C 均在 优弧 上， 结合 圆的性 质
AB
OC ? 24 ， p
知 ? ? ，所 以 的最大 值 为 4．
同步练 习
2 2
1． 在平 面直 角坐 标系 x O y 中， 已 知 A ， B 为圆 C：（ x ＋4 ） ＋（ y －a） ＝16 上 的两个 动点 ，
且 AB ＝ ，若 直线 l ： y ＝2 x 上存在 唯一 的一 个 点 P ， 使得 ，则实 数 a 的
2 11
PA+= PB OC
________
值为 ．
xOy l :kx?+= y 2 0 l :x + ky ? 2 = 0
2． 在 平面 直角 坐标 系 中， 直线 与直线 相交 于点P ， 则 当
1 2
xy ? ?40 =
实数k 变化时 ，点P 到直 线 的距离的 最大 值为______.
3． 已知 平面 上两 定点 A 、 B，且 AB = 2 ， 动点 P 满足PA ?PB = ?? ( ? 0) ， 若 点 P 总 不在 以点
1
B 为 圆心 ， 为半径 的圆 内 ，则负 数 ? 的最大 值为_______ ．
2
f a = a ? 3 + 12 ? 3a
4．函 数 ( ) 的最大 值为________ ．
xOy A (03 ， ) l :y=? 2x 4
5．在 平面 直角 坐标 系 中， 点 ，直 线 ，设 圆 C 的 半径 为 1， 圆心 在 l
MA = 2 MO
上，若 圆 C 上存 在点 M ，使 ，求 圆 心 C 的 横坐 标 a 的取值 范围 ．
22
xOy BC , xy += 4 A(1,1)
6．在 平面 直角 坐标 系 中， 已知 为圆 上两点 ，点 ，且AB ⊥ AC ，
BC ____________
则线段 的长 的取 值范 围是 ．
22
xy 、 ?R
7．设 ，则P = (x +1 ? cosy) + (x ?1 + siny) 的最 小值 是_______ ．
a = b =21 a ?b =
8． 已知 向量 ， ， 为平 面向 量 ， ，且 使得 与 所成 夹角 为 ，
a b c c ca ? 2 cb ? 60
c
则 的最 大值 为（ ）
A ． 31 + B ． 3 C ．1 D ． 71 +
S
9 .
．若AB== 2,AC 2BC ，则 的最 大值 是
?ABC
参考答 案：
1．2 或－18
【解析 】 由“ 圆 C 的弦 AB 长度为 定 值 AB ＝ ” 知， 弦 AB 的 中点 M 的轨 迹是 以 点 C 为圆
2 11
“ ” P l
心的圆 ， 由 得 ， 可求 得动 点 的轨 迹也 在圆 上， 此 时直 线 上存
PA+= PB OC 2PM =OC
在唯一 的一 个 点 P 符合 要 求，故 直 线 l 和动 点 P 的 轨迹（ 圆） 相切 ．
【详解 】 设 AB 的 中点 为 M （x ， y ）， P （x ， y ） ， 则 由 AB ＝ 得， CM ＝ ，
0 0 2 11 16?= 11 5
1
2 2
即点 M 的轨 迹为 （ x ＋4 ）＋（ y －a） ＝5. 又因 为 ， 所以PM=? OC,C( 4,a) ，
0 0
PA+= PB OC
2
xx =? 2
?
0
a ?
即（ x － x ，y － y）＝ ( ?2, ) ，从 而 ，
0 0 ? a
2 yy =+
? 0
? 2
a
22
则动 点 P 的轨 迹方 程为 (xy + 2) + ( ? ) = 5 ， 又因为 直 线 l 上存 在唯 一 的一个 点 P ， 所 以直
2
a
?? 4
2
线 l 和动 点 P 的 轨迹 （圆 ）相切 ，则 ，解 得， a＝2 或 a＝－18.
= 5
22
2 +? ( 1)
故答案 为：2 或－18
【点睛 】 此 题考 查直 线与 圆的位 置关 系， 结合 弦长 分析 点 M 的 轨迹 ， 转 化成 直线与 圆相 切 ，
充分体 现了 转化 与化 归思 想.
2．
32
l :kx?+= y 2 0 A(0,2)
k ,
【详解 】 由题 意得 ，直 线 的斜率 为 ，且经 过点
1
1
l :x +ky ? 2 = 0 ? B(2,0) ll ⊥
直线 的斜率 为 ，且经 过点 ，且直 线
2 12
k
C(1,1)
所以点P 落在 以AB 为直径 的圆C 上，其 中圆 心坐 标 ，半径 为 ，
r = 2
1?? 1 4
xy ? ?40 =
则圆心 到直 线 的距离 为d== 22 ，
2
xy ? ?40 =
所以点P 到直 线 的最大 距离 为 ．
dr + = 2 2 + 2 = 3 2
3
?
3． ##-0.75
4
【分析 】利 用解 析方 法， 以AB 所在 直线 为 x 轴 ，线 段AB 的垂直 平分 线 为 y 轴， 建 立平面
22
P xy + =1 + ? ? =?1 ?10 ? ? ?
直角坐 标系 ， 得 到动 点 点的 轨迹 方程 ，分 和 两种情 况 讨论，
当 ?10 ? ? ? 时， 利用 两圆 的位 置关 系得到 关于 ? 的不 等式 ，进 而求解 得到 ? 的取 值范 围.
【详解 】以AB 所在 直线 为 x 轴，线 段AB 的垂直 平分 线 为 y 轴 ，建 立平 面直 角坐 标系 ，则 AB ?1 ， 0 ， 1 ， 0
( ) ( ) ．
P x ，y
设 ( ) ，且 动 点 P 满足 ，
PA?= PB ?
?11 ?x ， ?y ? ?x ， ?y = ?
即 ( ) ( ) ，
22
xy + =1 + ?
则 ，
? =?1
当 时， 满足 题意 ；
当 ?10 ? ? ? 时， 点 P 在以 原点 为圆 心， 为半径 的圆 上， 同时 点 P 总 不在 以点 B 为圆
1 + ?
1
心， 为半径 的圆 内，
2
1
22 22
即圆xy + =1 +?? ( ?1 ? ? 0) 与圆(xy ?+= 1) 相离或 外切 内切 或内含 ，
4
1 1
11 + ? + ? 11 + ? ? ?
所以 或 ，
2 2
5
3
?1 ? ? ? ? ? ?
解得 或 （舍 去） ，
4 4
3
?
所以负 数 ? 的最大 值为 ．
4
3
?
故答案 为： .
4
4．2
22
x + y =1 ，x ? 0 ，y ? 0
【分析 】令 a ?34 = x ， ?a = y ，则 ，原 问题 可化为 在条 件
22
?
xy += 1
? 下，求z=+ x 3y 的最 大值 问题 ，利 用线性 规划 思想 求得 最大 值.
xy ?? 00 ，
?
22
x + y =1 ，x ? 0 ，y ? 0
【详解 】令 a ?34 = x ， ?a = y ，则 ， f a = a ? 3 + 3 ? 4 ?a = x + 3y
( ) ．
22
?
xy += 1
原问题 可化 为在 条件 下， 求z=+ x 3y 的最 大值 问题.
?
xy ?? 00 ，
?
33 3
将目标 函数 化为y = ? x + z ，其 图象 是一条 与 平行的 直线 ．
yx =?
33 3
33
当直线 与圆 弧相 切时 ， z 取 最大值 ，
y = ? x + z
33
z
此时， 由圆 心到 直线 的距 离等于 半径 ，易 知 =1 ，得z = 2 （舍去负 值） ，
2
fa ( )
所以函 数 的最大 值 为 2．
故答案 为：2.
?? 12
0 ，
5．
??
5
??
M (x,y) MA = 2 MO
M C
【分析 】 设 ，由 得出 点的 轨迹方 程 ， 轨 迹是 圆， 由 此圆与 圆 有公共
点可得 ．
l :y=? 2x 4
【详解 】因 为圆 心 C 在直 线 ．
22
C (a ，24 a ? ) C (x ?a) +[y ? (2a ? 4 )] =1
可设圆 心 ，则 圆 的 方程 为 ．
2 2 2 2
M x ，y MA = 2 MO
设 ( ) ，由 ，得 x + (y ?3) = 2 x + y ，
22
化简整 理得xy + ( +1) = 4 ，
D01 ， ?
所以 点 M 在以 ( ) 为圆 心，2 为半径 的圆 上，
由题意 得 点 M 也在 圆 C 上，
所以 圆 D 和圆 C 有 公共 部 分， 12
22
2 ?1 ? CD ? 2 +1 0?? a
即 ， ，解得 ，
1 ?aa + (2 ?3) ? 3
5
12
??
0 ，
故圆 心 C 的 横坐 标 a 的取 值范围 ．
??
5
??
6．
[ 6?+ 2, 6 2]
M (x,y)
BC M BC = 2 AM M
【分析 】设 的中 点为 ，由 已知 ，因此 可设 ，求 出 点的轨迹 方
程知M 点轨迹 是圆 ，从 而易 得AM 的取 值范 围．
2 2 2 22
M (x,y)
【详解 】设BC 的中 点为 ，因 为 OB=+ OM BM=+ OM AM ，
1 1 3
2 2 2 2 22
所以 4 = x + y + (x ?1) + (y ?1) ，化简 得(xy ? ) + ( ? ) = ，
2 2 2
11
6
M ( , )
即点 的轨迹 是以 为圆 心， 为半径 的圆 ，
22
2
6?+ 2 6 2
所以AM 的取值 范围 是 ，从而BC 的取值 范围 是[ 6?+ 2, 6 2] ．
[ , ]
22
故答案 为：[ 6?+ 2, 6 2] ．
【点睛 】 本题 考查 动点 的 轨迹的 求法 以及 点与 圆的 位置关 系中 的最 值问 题 ， 对于圆 中的 弦长
问题， 注意 通过 弦心 距进 行转化 ，本 题属 于中 档题.
7．
3 ? 2 2
22
P = (x +1 ? cosy) + (x ?1 + siny) A (x+? 11 ，x ) B (cosy ， ?siny )
【分析 】 的几何 意义 为点 与点
AB ,
之间的 距离 的平 方． 利用 参 数方 程思 想分 别考 察 的轨迹， 得到 在直 角坐 标系aOb 中，
22
点 A 在 直线ab ? ?20 = 上， 点 B 在半径R =1 的圆 上． 利用 点到 直线 的距离 公
O:1 a+= b
|| AB
.
式和圆 的性 质求 得 ，然后 平方即 得所 求
min
22
P = (x +1 ? cosy) + (x ?1 + siny) A x+? 11 ，x B cosy ， ?siny
【详解 】 的几何 意义 为点 ( ) 与点 ( )之间的 距离 的平 方．
ax =+ 1
?
设 ，则 点 A 在直 线ab ? ?20 = 上；
?
bx =? 1
?
ay = cos
?
22
设 ，则 点 B 在半 径R =1 的圆O:1 a+= b 上．
?
by =?sin
?
如图， 在直 角 坐 标系aOb 中，
0?? 0 2
d== 2
圆心 O 到直 线ab ? ?20 = 的距离 ，则|AB | =d ?R = 2 ?1 ．
min
22
1 +? ( 1)
2
所以 P 的最 小值 为 ( 2 1) 3 2 2 ． 故答 案为： .
3 ? 2 2
8．A
??
13
A , B 10 ,
【分析 】 先根 据已 知条 件求 出向量 ， 的夹 角 ， 建 立平 面 直角坐 标系 ， 设 ， ( ) ，
??
a b
??
22
??
设 ， ， ? ， 根 据线 性运 算可 得 ? ， ，?= ACB 60 ，
OA =a OB =b OA = 2a c ? 2a =AC c?= b BC
C,, M O
结合正 弦定 理可 求出 点C 的轨迹， 当 三点共 线时 取得 最大值 ，即 可求 解.
1
a = b =21 a ?b = 2 a ?b cos a ?b =1
【详解 】因 为 ，所以 ，可 得 cos ab ?= ，
2
0 ? ab ? ?180 ab ?= 60
因为 ，所以 ，
??
13
A , B 10 ,
如图所 示： 在平 面直 角坐 标系中 ， ， ( ) ，
??
??
22
??
?
OA OA = AA ?
不妨设 ， ，延长 到OA 使得 ，则 ? ，
OA =a OB =b OA = 2a
点C 为平 面直 角坐 标系 中的 点， ，则 ， ，
OC =c c ? 2a =AC ? c?= b BC
? AB ? = 3
则满足 题意 时，?= ACB 60 ，结 合点A ，B 为定 点， 且 ，
AB ?
= 2R R =1
由正弦 定理 可得 ： ，可得 ，
sin 60??
33
M ,
则点C 的轨迹 是以?? 为圆 心，1 为半径 的优 弧上 ，
??
22
??
c
C,, M O
当 三点 共线 ，即 点C 位于图 中点I 位置时 ， 取得最 大值 ，
2
2
??
33
??
其最大 值为 OM +R = + +1 = 3 +1 ，
??
??
??
22
??
??
故选：A.
9．
22
【详解 】设 ，则 ，根 据面 积公式 得，
①
根据余 弦定 理得 ， ，
将其代 入 ① 式得 ，
，
由三角 形三 边关 系有 ，解 得 ，
故当 时， 取得最 大值
考点： 解三 角形
点评： 主要 是考 查了 三角 形的面 积公 式的 运用 ，属 于基础 题 |
|
