绝密?启用前
2023年普通高等学校招生“圆梦杯”统一模拟考试（三）
数学试卷
本试卷共4页，22题。全卷满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证
号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在
试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用
黑色字迹的签字笔分别填写在试题卷和答题卡规定的位置上。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.已知向量a = (1,1)，b = (1,?1)，则a与b的夹角为
A. π4 B. π3 C. π2 D. π
2.若集合M = {?1,0,2,3}，N = {x | ln(x + 1) ? 1}，则M ∩N的子集个数为
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
3.二项式(x +√x)4的展开式中，x3的系数为
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
4.圆梦杯第二届考试中，有23考生的成绩超过70分，有16考生的成绩超过100分，若某考生
的成绩超过70分，则该考生的成绩超过100分的概率为
A. 15 B. 14 C. 13 D. 12
5.已知圆台的上下底面半径分别为1和2，高为2，则该圆台的侧面积为
A. √5π B. 2√5π C. 3√5π D. 4√5π
试题卷第1页（共4页）
6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 > 5，命题p：“S10 > 10”，命题q：“d > 0”，
则命题p是命题q的
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
7.若函数f(x) = ex + ax2单调递增，则a的取值范围为
A. [?e,0] B.
[
?e2,0
]
C.
[
?e2,1
]
D. [1,+∞)
8.我国在2022年完成了天宫空间站的建设，根据开普勒第一定律，天宫空间站的运行轨道可
以近似为椭圆，地球处于该椭圆的一个焦点上.已知某次变轨任务前后，天宫空间站的近地
距离（天宫空间站与地球距离的最小值）不变，远地距离（天宫空间站与地球距离的最大值）
扩大为变轨前的3倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2倍，则此次变轨任务前的椭圆轨
道的离心率为
A. 13 B.
√2?1
2 C.
√3?1
2 D.
√3?1
3
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则
A.若m//α，m⊥β，则α⊥β
B.若m ? α，n ?? α，则m与n为异面直线
C.若m//n，n//α，则m//α
D.若m⊥α，n//α，则m⊥n
10.若0 < α < β < π2，且cosαcosβ = 12，tanαtanβ = 23，则
A. cos(α + β) = 16 B. sin(α?β) =
√11
6 C. cos2α =
5
36 D. β >
π
4
11.已知双曲线C : x
2
3 ?y
2 = 1的右焦点为F，动点M，N在直线l : x = 3
2上，且FM⊥FN，
线段FM，FN分别交C于P，Q两点，过P作l的垂线，垂足为R.设△FMN的面积
为S1，△FPQ的面积为S2，则
A. S1 ? 12 B. |PR||PF| =
√3
2
C. |MP|·|NF||MN|·|PF|恒为定值D. S1S
2
的最小值为2√6
12.已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 1，an+1(an + 1) = 2an + 1，则
A.
§ 1
an
“
为等差数列B. an < an+1
C. an + an+2 < 2an+1 D. SnSn+2 < S2n+1
试题卷第2页（共4页）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若过点(3,1)的圆与两坐标轴都相切，则该圆的半径为s .
14.若复数z1，z2满足|z1| = |z2| = 1，|z1 ?z2| = √3，则|z1 + z2| = s .
15.已知函数f(x) = sinωx ? 12(ω > 0)在区间
(π
4,π
)
有且仅有1个零点，则ω的取值范围
为s .
16.正四棱锥的外接球半径与内切球半径之比的最小值为s .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）
已知数列{an}满足a1 = 4，a2 = 10，{an+1 ?3an}是公比为2的等比数列.
（I）证明：{an ?2n}是等比数列；
（II）求{an}的前n项和Sn.
18.（12分）
在三棱锥A?BCE中，点D在AB上，∠ACD = ∠BCD =
60?，∠AEC = ∠BEC，EA = EB.
（I）证明：平面ABC⊥平面CDE；
（II）若CD = 1，CE = 2，当三棱锥A?BCE的体积最大
时，求二面角A?BE ?C的余弦值. B E
A
C
D
19.（12分）
记钝角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c = 1，cosC = bcosB.
（I）若B = π6，求△ABC的面积；
（II）若线段BC上存在点D，使得|BD| = 2|AD|，求a的取值范围.
试题卷第3页（共4页）
20.（12分）
某市教育局为了调查学生热爱数学是否与学生的年级有关，从全市随机抽取了50位高二学
生和m（m > 50）位高三学生进行调查，每位学生对“是否热爱数学”提出“热爱”或“不
热爱”的观点，得到如下数据：
高二高三
热爱30 20
不热爱20
（I）以该50名高二学生热爱数学的频率作为全市高二学生热爱数学的概率，从全市的高二
学生中随机抽取3名学生，记X为这3名学生中热爱数学的学生人数，求X的分布列和期
望；
（II）若至少有99%的把握认为热爱数学与学生的年级有关，求m的最小值.
附：χ2 = n(ad?bc)
2
(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)，
P(χ2 ?k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
21.（12分）
已知函数f(x) =
(
x + a + xa + 3
)
lnx.
（I）若x = 1是f(x)的极值点，求a；
（II）讨论函数g(x) = f(x)?4(x?1)的零点个数.
22.（12分）
已知椭圆C : x
2
4 + y
2 = 1的左焦点为F，直线l与圆M : x2 + y2 = 1相切于点P，且与C
交于A，B两点，其中A在第一象限，B在第四象限.
（I）求|AB|的最小值；
（II）设O为坐标原点，若∠ABF = 2∠AOP，求l的方程.
试题卷第4页（共4页）
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