中学生标准学术能力诊断性测试 2023 年 9 月测试
数学试卷
本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟 。
一、 单项 选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1． 设集合 ? ?11 , , 1 5
22xA x x B x xx ???= ? ? = ? ? ???+?? RN，则 AB=
A． ??2 B． ? ?2,3 C． ? ?3,4 D． ? ?2,3,4
2． 欧拉公式 ie cos i sin? ??=+把自然对数的底数 e 、虚数单位 i 、三角函数联系在一起，充分体现
了数学的和谐美 ． 已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂，则 ii=
A． 2e? B． 2e?? C． e? D． e??
3． 已知等比数列 ??na 的前 n项和为 nS ，若 12 4 816S S S=+ ，则公比 q=
A． 3 B． 2? C． 2 D． 3?
4． 已知向量 6AB AC?=，线段 BC 的中点为 M ，且 6AM= ，则 BC=
A． 230 B． 330 C． 226 D． 326
5． 已知函数 ( ) ( )s i n 0
3f x x?????= + ?????的周期为 T ，且满足 2T??， 若函数 ()fx在区间
,64????????不单调，则 ? 的取值范围是
A． ,1
4???????
B． 1,1
2??????
C． 2,1
3??????
D． 4,1
5??????
6． 三棱锥 A BCD? 中， 3 , 4 2 , ,43A B B C B D A B C A B D D B C??= = = ? = ? = ? =，则直线 AD
与平面 ABC所成角的正弦值是
A． 417
17
B． 429
29
C． 317
17
D． 329
29
7． 已知三角形 ABC中， 3BC= ，角 A 的平分线交 BC 于点 D ，若 12BDDC= ，则三角形 ABC面 积
的最大值为
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
8． 比较
0 .11 1 1 0 1, l n 1 .2 ,1 0 1 1 5 ea b c= ? = =
的大小
A． a c b?? B． b c a?? C． bac?? D． abc??
二 、 多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求．全部选对得 5分，部分选对但不全得 3分，有错选的得 0分 .
9． 已知实数 abc?? 满足 abc??，且 1abc= ，则下列说法正确的是
A． ( )2 1ac b+?
C． 22ab?
B． 11a c b c???
D． ( )( )221 1 0a b ab? ? ?
10． 已知 10 个样本数据，若去掉其中最大和 最小的数据， 设 剩下的 8 个样本数据的方差为 21s ，平均
数 1x ；最大和最小两个数据的方差为 22s ，平均数 2x ；原样本数据的方差为 2S ，平均数 x ，若
12xx= ，则
A．剩下的 8个样本数据与原样本数据的中位数不变
B． 1xx=
C．剩下 8个数据的下四分位数大于与原样本数据的下四分位数
D． 2 2 2
124155S s s=+
11． 已知函数 ( ) c o s 2 2 s inf x x x=+，则
A．函数 ()fx在区间 ,
62????????上单调递增
B．直线 2x ?= 是函数 ()fx图象 的一条对称轴
C．函数 ()fx的值域为 31,
2??????
D．方程 ( ) ( )( )0 , 2f x a x= ? ?最多有 8个根，且这些根之和为 ??
12． 已知椭圆 2 2:1
2xCy+=
的中心为 O ， ,AB是 C 上的两个不同的点且满足 OA OB⊥ ， 则
A． 点 O 在直线 AB 上投影的轨迹为圆
B． AOB? 的平分线交 AB 于 D 点 ， OD 的最小值为 6
3
C． AOB? 面积 的 最小值为 23
D． AOB? 中， AB 边上中线长的最小值为 23
3
三 、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13． 已知 tan 2?= ，则 sin4?= ．
14． 若 ( ) 52 2 1 0
0 1 2 1 03x x a a x a x a x? ? = + + + +
，则 1 2 3 4 5a a a a a+ + + = ．
15． 已知四棱锥的各个顶点都在同一个球面上． 若该球的体积为 36? ，则该四棱锥体积的最大值
是 ．
16． 已知函数 ( ) ( )21e s i n 1 12xf x m x x m x= + ? ? + +， 在 0x= 处取到极小值，则实数 m= ．
四 、 解答 题：本题共 6 小题，共 70 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17． （ 10 分） 已知 ??na 是各项均为正数的等比数列，设 3lognnca= ，若数列 ??nc 的前 n 项和
22
n nnS +=
．
（ 1） 求数列 ??na 的通项公式 ；
（ 2） 记 ( )22 6 5
nnd a n n= ? + +
，求数列 ??nd 的前 n 项和 nT ．
18． （ 12 分 ） 记 ABC? 的内角 ,,ABC 的对边分别为 ,,abc， 已知 2 c o s c o s c o s 2c a A B b A=?
( )AB? ．
（ 1） 求 A ；
（ 2） 若 D 是 BC 上的一点，且 : 1 : 2 , 2BD DC AD==， 求 a 的最小值 ．
19． （ 12分） 某单位组织知识竞赛，有甲、乙两类问题 ． 现有 A， B， C三位员工参加比赛，比赛规
则为：先从甲类问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该员工比赛结束；若回答正确再从
乙类问题中随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该员工比赛结束 ． 每人两次回答问题的
过程相互独立 ． 三人回答问题也相互独立 ． 甲类问题中每个问题回答正确得 20分，否则得 0分；
乙类问题中每个问题回答正确得 80分 ， 否则得 0分 ． 已知 A员工能正确回答甲类问题的概率为
0.5，能正确回答乙类问题的概率为 0.6； B员工能正确回答甲类问题的概率为 0.6，能正确回答
乙类问 题的概率为 0.5； C 员工能正确回答甲类问题的概率为 0.4，能正确回答乙类问题的概率
为 0.75．
（ 1） 求 3人得分之和为 20分的概率 ；
（ 2） 设随机变量 X为 3人中得分为 100的人数，求随机变量 X的数学期望 ．
20． （ 12 分） 已知四棱锥 S ABCD? 中，底面 ABCD 是矩形 ，
2, 2S A B D S A A D C D⊥ = =， M 是 SB 的中点 ．
（ 1） 证明： MC BD⊥ ；
（ 2） 若 ,2SA AD SA⊥=， 点 P 是 SC 上的动点，直线 AP 与平
面 AMC 所成角的正弦值为 1010 ，求 SPSC ．
21． （ 12分） 已知椭圆 ( )22
2: 1 06xyCbb+ = ?
的左右焦点分别为 12,FF， C是椭圆的中心，点 M为
其上的一点满足 12 5 , 2M F M F M C? = =．
（ 1） 求椭圆 C的方程 ；
（ 2） 设定点 ( ),0Tt ，过点 T 的直线 l 交椭圆 C于 ,PQ两点，若在 C上存在一点 A ，使得直线 AP
的斜率与直线 AQ 的斜率之和为定值，求 t 的范围 ．
22． （ 12分） 已知函数 ( ) ( )lne e e 0ax xf x a xx= ? ? ?．
（ 1） 当 1a= 时，求函 数 ( ) ( )1e
eax fxg x x a?= ? + ?
的单调区间 ；
（ 2） 证明 ： 当 2ea ??? 时，不等式 ( ) 0fx? 恒成立 ．
（第 20题图）
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