准考证号姓名
(在此卷上答题无效)
福建省漳州市２０２４届高三毕业班第一次教学质量检测
数学试题
本试卷共６页? ２２小题?满分１５０分?考试时间１２０分钟?
考生注意:
１??答题前?考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名?考生要
认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致?
２??回答选择题时?选出每小题答案后?用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑?
如需改动?用橡皮擦干净后?再选涂其它答案标号?回答非选择题时?用０?? ５ｍｍ黑色签字笔
将答案写在答题卡上?写在本试卷上无效?
３??考试结束?考生必须将试题卷和答题卡一并交回?
一、单项选择题(本大题共８小题?每小题５分?共４０分?在每小题给出的四个
选项中?只有一项是符合题目要求的)
１.设全集Ｕ ＝ Ｒ?若集合Ａ ＝ ｘ ｜ １ ≤ ２ ｘ ≤ ４{ } ? Ｂ ＝ ｘ ｜ ｙ ＝ ｘ － １{ } ?则如图所示
的阴影部分表示的集合为
Ａ. －∞?? ０( ) Ｂ. １?? ２[ ]
Ｃ. ２?? ＋∞( ) Ｄ. －∞?? ０( ) ∪ ２?? ＋∞( )
２.已知复数ｚ满足ｚ ＋ ｚ － １( ) ｉ ＝ ３(ｉ为虚数单位)?则｜ ｚ ｜ ＝
Ａ. １ Ｂ. ３ Ｃ. ２ Ｄ. ５
３.已知函数ｆ ｘ( ) ＝ ２ｘ ＋ ｘ?? ｇ ｘ( ) ＝ ｌｏｇ２ｘ ＋ ｘ?? ｈ ｘ( ) ＝ ｘ３ ＋ ｘ的零点分别是ａ?? ｂ?? ｃ?则
ａ?? ｂ?? ｃ的大小关系是
Ａ. ａ>ｂ>ｃ Ｂ. ｂ>ｃ>ａ Ｃ. ｃ>ａ>ｂ Ｄ. ｂ>ａ>ｃ
４.已知向量ａ→ ＝ － １?? １( ) ?? ｂ→ ＝ ２?? ｘ( ) ?若ａ→ ⊥ ｂ→ ?则ａ→ － ｂ→ ＝
Ａ. ２ Ｂ. ２ ２ Ｃ. １０ Ｄ. ２ ３
５.已知双曲线ｘ
２
ａ２ －
ｙ２
ｂ２ ＝ １ ａ>０?? ｂ>０( )的一条渐近线被圆ｘ － ２( )
２ ＋ ｙ２ ＝ ４所截得的弦
长为２?则双曲线的离心率为
Ａ. ３ Ｂ. ２ Ｃ. ５ Ｄ. １０
数学第一次教学质量检测 第１页(共６页)
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６.已知ｓｉｎ α － π４?
è?
?
?÷
＝ １３ ?则ｓｉｎ２α ＝
Ａ. － ７９ Ｂ. － ４ ２９ Ｃ. ４ ２９ Ｄ. ７９
A
F
D
E
C
B
７.如图?在五面体ＡＢＣＤＥＦ中?底面ＡＢＣＤ是矩
形? ＥＦ<ＡＢ? ＥＦ ∥ ＡＢ?若ＡＢ ＝ ２５? ＡＤ ＝ １０?
且底面ＡＢＣＤ与其余各面所成角的正切值均为
３
５ ?则该五面体的体积是
Ａ. ２２５ Ｂ. ２５０ Ｃ. ３２５ Ｄ. ３７５
８.已知直线ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂ是曲线ｙ ＝ ｘ２ － ａ ＋ １( )的切线?也是曲线ｙ ＝ ａｌｎｘ － １的切
线?则ｋ的最大值是
Ａ. ２ｅ Ｂ. ４ｅ Ｃ. ２ｅ Ｄ. ４ｅ
二、多项选择题(本大题共４小题?每小题５分?共２０分.在每小题给出的四个选
项中?有多项符合题目要求.全部选对的得５分?选对但不全的得２分?有选
错的得０分)
９.将１００个数据整理并绘制成频率分布直方图(如图所示)?则下列结论正确的是
0.175
0.125
0.025
100 102 104 106 108 110
UNI5206UNI7ec4
UNI9891UNI7387/UNI7ec4UNI8ddd
a
Ａ. ａ ＝ ０?? １００
Ｂ.该组数据的平均数的估计值大于众数的估计值
Ｃ.该组数据的第９０百分位数约为１０９?? ２
Ｄ.在该组数据中随机选取一个数据记为ｎ?已知ｎ∈ １ ００?? １０４[ ) ?则
ｎ∈ １ ００?? １０２[ )的概率为１２
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１０.函数ｆ ｘ( ) ＝ Ａｓｉｎ ωｘ ＋ φ( ) Ａ>０?? ω>０?? φ < π２?
è?
?
?÷
的部分图象如图所示?则下列结
12
3
O
x
y
2
-2
论正确的是
Ａ. ω ＝ ２
Ｂ. ｙ ＝ ｆ ｘ( )的图象关于直线ｘ ＝－ ５π１２对称
Ｃ.将ｙ ＝ｆ ｘ( )的图象向右平移π３个单位长度后?得到
的图象关于原点对称
Ｄ.若ｙ ＝ ｆ λｘ( ) λ>０( )在０?? π[ ]上有且仅有一个零点?则λ∈ １３ ?? ５６é
?
êê ?
?÷
１１.已知正项等比数列ａｎ{ }的前ｎ项积为Ｔｎ?且ａ１>１?则下列结论正确的是
Ａ.若Ｔ６ ＝ Ｔ８?则Ｔ１４ ＝ １ Ｂ.若Ｔ６ ＝ Ｔ８?则Ｔｎ ≤ Ｔ７
Ｃ.若Ｔ６ < Ｔ７?则Ｔ７ < Ｔ８ Ｄ.若Ｔ６>Ｔ７?则Ｔ７>Ｔ８
１２.已知定义在Ｒ上的函数ｆ ｘ( ) ?其导函数ｆ ′ ｘ( )的定义域也为Ｒ.
若ｆ ｘ ＋ ２( ) ＝－ ｆ ｘ( ) ?且ｆ ｘ － １( )为奇函数?则
Ａ. ｆ １( ) ＝ ０ Ｂ. ｆ ２０２４( ) ＝ ０
Ｃ. ｆ ′ ｘ( ) ＝－ ｆ ′ － ｘ( ) Ｄ. ｆ ′ ｘ( ) ＝ ｆ ′ ２０２２ － ｘ( )
三、填空题(本大题共４小题?每小题５分?共２０分)
１３. １ｘ ＋ ｘ２?
è?
?
?÷
６
的展开式中的常数项是.
１４.有一批同一型号的产品?其中甲工厂生产的占４０％?乙工厂生产的占６０％.已
知甲、乙两工厂生产的该型号产品的次品率分别为３％? ２％?则从这批产品中
任取一件是次品的概率是.
１５.已知抛物线ｙ２ ＝ ２ｘ的焦点为Ｆ?过点Ｆ的直线与抛物线交于Ａ? Ｂ两点?则
４ ＡＦ ＋ ＢＦ的最小值是.
１６.一个封闭的圆台容器(容器壁厚度忽略不计)的上底面半径为１?下底面半径为
６?母线与底面所成的角为６０°.在圆台容器内放置一个可以任意转动的正方
体?则正方体的棱长的最大值是.
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四、解答题(本大题共６小题?共７０分?解答应写出文字说明?证明过程或演算步
骤)
１７. (本小题满分１０分)
如图?正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的棱长为２? Ｅ为棱ＤＤ１的中点.
(１)证明: ＢＤ１ ∥平面ＡＣＥ?
(２)若Ｆ是棱ＢＢ１上一点?且二面角Ｆ － ＡＣ － Ｅ的余弦值为－ ３３ ?求ＢＦ.
１８. (本小题满分１２分)
已知△ ＡＢＣ的内角Ａ? Ｂ? Ｃ的对边分别为ａ? ｂ? ｃ?且ａｓｉｎＢ ＝ ｂｓｉｎ Ｂ ＋ Ｃ２ .
(１)求Ａ?
(２)若Ｄ为边ＢＣ上一点?且ＢＤ ＝ １３ ＢＣ? ＡＤ ＝ ２ ３３ ｃ?证明: △ ＡＢＣ为直角三
角形.
１９. (本小题满分１２分)
已知数列ａｎ{ } ? ｂｎ{ }满足ａ１ ＝ ｂ１ ＝ １? ｂｎ＋１ ＝ ａｎａ
ｎ＋２
ｂｎ?记Ｔｎ为ｂｎ{ }的前ｎ项和.
(１)若ａｎ{ }为等比数列?其公比ｑ ＝ ２?求Ｔｎ?
(２)若ａｎ{ }为等差数列?其公差ｄ ＝ ２?证明: Ｔｎ < ３２ .
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２０. (本小题满分１２分)
甲、乙两选手进行一场体育竞技比赛?采用２ｎ － １ ｎ∈ Ｎ?( )局ｎ胜制(当一选
手先赢下ｎ局比赛时?该选手获胜?比赛结束).已知每局比赛甲获胜的概率为ｐ?
乙获胜的概率为１ － ｐ.
(１)若ｎ ＝ ２? ｐ ＝ １２ ?比赛结束时的局数为Ｘ?求Ｘ的分布列与数学期望?
(２)若ｎ ＝ ３比ｎ ＝ ２对甲更有利?求ｐ的取值范围.
２１. (本小题满分１２分)
已知椭圆Ｃ: ｘ
２
ａ２ ＋
ｙ２
ｂ２ ＝ １ ａ > ｂ > ０( )的左焦点为Ｆ１ － ３?? ０( ) ?且过点
Ａ ３?? １２?
è?
?
?÷
.
(１)求Ｃ的方程?
(２)不过原点Ｏ的直线ｌ与Ｃ交于Ｐ? Ｑ两点?且直线ＯＰ? ＰＱ? ＯＱ的斜率成
等比数列.
(ⅰ)求ｌ的斜率?
(ⅱ)求△ ＯＰＱ的面积的取值范围.
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２２. (本小题满分１２分)
已知函数ｆ ｘ( ) ＝ ａｅｘ ＋ ｘ ＋ １.
(１)讨论ｆ ｘ( )的单调性?
(２)当ｘ>１时? ｆ ｘ( )>ｌｎ ｘ － １ａ ＋ ｘ?求实数ａ的取值范围.
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