共 有 ( )
树 德 中 学 高 2 0 2 1 级 高 三 上 期 开 学 考 试 数 学 试 题 （ 理 ）
A . 2 4 种 B. 3 6 种 C. 4 8 种 D . 6 4 种
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
时 间 ： 1 2 0 分 钟 满 分 ： 1 5 0 分 命 题 人 ： 廖 游 宇 审 题 人 ： 唐 颖 君
8 . 已 知 、 是 椭 圆 的 两 个 焦 点 ， 满 足 的 点 M 总 在 椭 圆 内 部 ， 则 椭 圆 离 心 率 的 取
F F M F ? M F ? 0
1 2 1 2
值 范 围 是 ( )
一 、 选 择 题 ： 本 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60 分 ． 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项
2 1 2
A ． ( 0 , ) B． ( 0 , ] C ． [ , 1 ) D ． ( 0 , 1 )
符 合 题 目 要 求 的 ．
2 2 2
1
? ?
2 2
1 1
1 . 已 知 集 合 A ? x x ? 2 x ? 0 ， B ? a ? x ? R , x ? a x ? ? 0 ， 则 A ? B ? ( )
? ? ? ? 9 . ? ? ( )
? ?
4
? ?
2 t a n 20 2 c os 10
A . 1 , 2 B. ? 2 , ? 1 C. D . ? 2 , ? 1
? ? ? ? ? 2 , 1 ? ?
? ?
3
A . 2 B. C. 3 D . 2
2 i
2
z 2 , ? 1
2 . 复 数 在 复 平 面 内 对 应 的 点 为 ? ? ， 则 ? ( )
z ? 1
A C ? B D ? 2
1 0 . 已 知 四 面 体 A B CD 满 足 A B ? C D ? 3 ， A D ? B C ? 5 ， ， 且 该 四 面 体 A B CD 的 外
R
A ． ? 1 ? i B． 1 ? i C． 1 ? i D ． ? 1 ? i
1
R R
接 球 的 球 半 径 为 ， 四 面 体 的 内 切 球 的 球 半 径 为 ， 则 的 值 是 ( )
1 2
R
? ? ? 2
? ? ? r
a ? 1 , m b ? ? 1 , 0 a ? b ? a ? b ? 6 a ?
3 . 已 知 向 量 ? ? ， ? ? ， 且 ， 则 ( )
2 2
11 6
A ． B ． C ． D ．
11 6
3
3
A ． B ． C ． D ．
5 2 3 2 2
2 6
π 3 π
? ?
2
1 1 . 已 知 函 数 的 图 象 关 于 直 线 对 称 . 若 对 任 意
f ( x ) ? a c o s 2 x ? ? 6 s i n x c o s x ? 2 c o s x ? 1 x ?
? ?
4 8
? ?
4 . 部 分 与 整 体 以 某 种 相 似 方 式 呈 现 称 为 分 形 ， 一 个 数 学 意 义 上 分 形 的 生 成 是 基 于 一 个 不 断 迭 代 的
1
2
方 程 式 ， 即 一 种 基 于 递 归 的 反 馈 系 统 ， 分 形 几 何 学 不 仅 让 人 们 感 悟 到 科 学 与 艺 术 的 融 合 ， 数 学
m x ? x ?
2 2
π
? ?
2
， 存 在 x ? ( 0 , ? ? ) ， 使 成 立 ， 则 m 的 取 值 范 围 是 ( )
x ? 0 , f ? x ? ? 2
2 1
1
与 艺 术 审 美 的 统 一 ， 而 且 还 有 其 深 刻 的 科 学 方 法 论 意 义， 如 图 由 波 兰 数 学 家 谢 尔 宾 斯 基 1 9 1 5 年 ? ?
2
? ?
提 出 的 谢 尔 宾 斯 基 三 角 形 就 属 于 一 种 分 形 ， 具 体 作 法 是 取 一 个 实 心 三 角 形 ， 沿 三 角 形 的 三 边 中
1 1 1
点 连 线 . 将 它 分 成 4 个 小 三 角 形 ， 去 掉 中 间 的 那 一 个 小 三 角 形 后 ， 对 其 余 3 个 小 三 角 形 重 复 上 述
m ? ? m ? ? m ? ?
A . m ? ? 1 B. C. D .
2 4 8
3
过 程 逐 次 得 到 各 个 图 形 ， 若 记 图 ① 三 角 形 的 面 积 为 ， 则 第 n 个 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 ( )
l n x x
f x ? g x ?
4 1 2 . 已 知 函 数 ? ? ， ? ? 之 间 的 关 系 非 常 密 切 ， 号 称 函 数 中 的 双 子 座 ， 以 下 说 法 正 确 的
x
x e
个 数 为 ( )
① 函 数 在 x ? 0 处 的 切 线 与 函 数 在 x ? 1 处 的 切 线 平 行 ； ② 方 程 有 两 个 实 数
g x f x f x ? g x
? ? ? ? ? ? ? ?
根 ； ③ 若 直 线 y ? a 与 函 数 g x 交 于 点 ， B x , y ， 与 函 数 f x 交 于 点 B x , y ，
? ? A ? x , y ? ? ? ? ? ? ?
1 1 2 2 2 2
1
2
， 则 . ④ 若 ， 则 的 最 小 值 为 .
C x , y x x ? x f ( m ) ? g ( n ) ? 0 m n
? ? ?
3 3 1 3 2
e
3 3 3 3 3 3 3 3
n n n n ? 1
A . 1 B. 2 C. 3 D . 4
A . B. C. D .
? ( ) ? ( ) ? ( ) ? ( )
4 4 3 4 6 2 9 2
A B ? 2 B C
5 . 已 知 矩 形 A B C D 中 ， ， 现 向 矩 形 A B C D 内 随 机 投 掷 质 点 P ， 则 满 足 ? A P B 为 锐 角 的
二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 2 0 分 ． 答 案 填 在 答 题 卷 相 应 横 线 上 ．
概 率 是 ( )
y ? 0
?
? ?
4 ? ? ? 1 6 ? ?
x , y
x ? y ? 0 z ? 2 x ? y
1 3 . 设 满 足 约 束 条 件 ， 则 的 最 大 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
A ． B ． C ． D ． ?
1 6
4 16
4
?
x ? y ? 2
?
6 . 在 如 图 所 示 的 程 序 框 图 中 ， 程 序 运 行 的 结 果 S 为 3 8 4 0 ， 那 么 判 断 框
f ( x ? 2 )
中 可 以 填 入 的 关 于 的 判 断 条 件 是 ( )
k
1 4 . 已 知 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 ( 0 , ? ? ) ， 则 函 数 y ? 的 定 义 域 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
2
A . k ? 5 B. k ? 5 ? x ? 3 x ? 4
2
C. k ? 4 D . k ? 4 A , B
C : y ? 2 p x ( p ? 0 ) l : 2 x ? y ? 6 ? 0 C M
1 5 . 已 知 抛 物 线 的 焦 点 为 F ， 直 线 与 抛 物 线 交 于 两 点 ， 是
? ? ? ? ? ? ? ?
7 . 在 2 0 2 3 年 成 都 大 运 会 期 间 ， 组 委 会 派 遣 甲? 乙? 丙? 丁? 戊 五 名 志 愿 者
y
M N
线 段 A B 的 中 点 ， 过 作 轴 的 垂 线 交 抛 物 线 C 于 点 ， 若 ， 则 点 F 的 坐 标 为
N A ? N B ? 0
参 加 A ， B ， C 三 个 场 馆 的 翻 译 工 作 ， 每 人 只 去 1 个 场 馆 ， 每 个 场
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
馆 至 少 去 1 人 ， 且 甲? 乙 两 人 约 定 去 同 一 个 场 馆 ， 则 不 同 的 派 遗 方 案
1
2 0 2 3 -8 -3 0 高三数开学理 第 页 共 2 页
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? n ? 2 a ?
2 3 2 1 2 ? ?
n ? 1
1 9 . 已 知 数 列 a 中 ， a ? 1 ， . 且 数 列 是 公 差 为 1 的 等 差 数 列 .
? ? a ?
1 6 . 已 知 面 积 为 的 锐 角 ? A B C 其 内 角 A , B , C 所 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 且 ，
? ? n 1
2 ? ?
3
a
3 t a n A t a n B s i n A
? n ?
则 边 的 最 小 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
c
（ 1 ） 求 的 通 项 公 式 ；
a
? ?
n
三? 解 答 题 ： 共 70 分 . 解 答 应 写 出 文 字 说 明? 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 . 第 17~ 2 1 题 为 必 考 题 ， 每 个 试
（ 2 ） 设 _ _ _ _ _ _ ， 为 数 列 的 前 项 和 ， 若 对 任 意 ， 总 有 恒 成 立 ， 求 实 数
S b n n ? N S ? ? ? 1 ?
? ?
题 考 生 都 必 须 作 答 ； 第 22? 23 题 为 选 考 题 ， 考 生 根 据 要 求 作 答 . n n ? n
（ 一 ） 必 考 题 ， 共 60 分 .
的 取 值 范 围 .
1 7 . 某 新 能 源 汽 车 制 造 公 司 ， 为 鼓 励 消 费 者 购 买 其 生 产 的 汽 车 ， 约 定 从 今 年 元 月 开 始 ， 凡 购 买 一 辆
从 下 面 三 个 条 件 中 任 选 一 个 补 充 在 题 中 横 线 处 ， 并 解 答 问 题 .
该 品 牌 汽 车 ， 在 行 驶 三 年 后 ， 公 司 将 给 予 适 当 金 额 的 购 车 补 贴 . 某 调 研 机 构 对 已 购 买 该 品 牌 汽 车
2
2 a 2 n ? 1 a
? ?
n
n
的 消 费 者 ， 就 购 车 补 贴 金 额 的 心 理 预 期 值 进 行 了 抽 样 调 查 ， 得 其 样 本 频 率 分 布 直 方 图 如 图 所 示 . b ? b ? n ? 1 a a
① ； ② ? ? ； ③ .
n b ?
n n n ? 1
n
n ? 2
4
注 ： 如 果 选 择 多 个 条 件 分 别 解 答 ， 按 第 一 个 解 答 计 分 .
2 2
x y 2
2 0 . 已 知 椭 圆 的 离 心 率 为 ， 且 经 过 点 . P 为 椭 圆 C 在 第 一 象 限 内
C : ? ? 1 a ? b ? 0 e ? ? 1 , e ?
? ?
2 2
2
a b
部 分 上 的 一 点 .
（ 1 ） 若 A ( a , 0 ), B ( 0 , b ) ， 求 ? A B P 面 积 的 最 大 值 ;
2 2
（ 2 ） 是 否 存 在 点 P ， 使 得 过 点 P 作 圆 M : ( x ? 1 ) ? y ? 1 的 两 条 切 线 ， 分 别 交 y 轴 与 D , E 两
（ 1 ） 估 计 已 购 买 该 品 牌 汽 车 的 消 费 群 体 对 购 车 补 贴 金 额 的 心 理 预 期 值 的 平 均 数 ； 14
点 ， 且 | D E | ? . 若 存 在 ， 点 求 出 P 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 说 明 理 由 .
（ 2 ） 统 计 今 年 以 来 元 月 ~ 5 月 该 品 牌 汽 车 的 市 场 销 售 量 ， 得 其 频 数 分 布 表 如 下 ：
3
月 份 元 月 月 月 月 月
2 3 4 5
x 2
销 售 量 （ 万 辆 ） 0 . 5 0 . 6 1 . 0 1 . 4 1 . 7
?
2 1 . 已 知 f x ? e ? a x ， f x 是 f x 的 导 函 数 ， 其 中 a ? R
? ? ? ? ? ?
.
预 测 该 品 牌 汽 车 在 今 年 月 份 的 销 售 量 约 为 多 少 万 辆 ？
6
f ? x
（ 1 ） 讨 论 函 数 ? ? 的 单 调 性 ；
$ $ $
附 ： 对 于 一 组 样 本 数 据 ， ， … ， ， 其 回 归 直 线 的 斜 率 和 截 距 的 最 小 x 2
? x , y ? ? x , y ? ? x , y ? y ? b x ? a
1 1 2 2 n n
（ 2 ） 设 g ( x ) ? f ( x ) ? x ( e ? 1 ) ? ax ? 1 ， y ? g ( x ) 与 轴 负 半 轴 的 交 点 为 点 P ， y ? g ( x ) 在 点 P 处
x
n
的 切 线 方 程 为 y ? h ( x )
x y ? n x y
.
? i i
$ $
二 乘 估 计 值 分 别 为 ? i ? 1 ， .
a ? y ? b x
b ? ① 求 证 ： 对 于 任 意 的 实 数 x ， 都 有 g ( x ) ? h ( x ) ；
n
2
2
x ? n x
t ( 1 ? 2 e )
?
i
x
② 若 关 于 的 方 程 g ( x ) ? t ( t ? 0) 有 两 个 实 数 根 x ， x ， 且 x ? x ， 证 明 ： x ? x ? 1 ? ．
i ? 1 1 2 1 2 2 1
1 ? e
1 8 . 如 图 ， 梯 形 A B C D 中 ， A D ? 4 , E 为 A D 中 点 ， 且 C E ? A D , C E ? B C ? 1 , 将 ? D E C 沿 C E 翻
（ 二 ） 选 考 题 ： 共 10 分 ． 请 考 生 在 第 22 ， 23 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一
?
题 计 分 ．
折 到 ? P E C , 使 得 ? P E A ? . 连 接 P A , P B .
2 2
3
P 0 , 1
2 2 . 直 角 坐 标 系 x O y 中 ， 点 ? ? ， 动 圆 C ： x ? s i n ? ? y ? 3 s i n ? ? 1 ? 1 ( ? ? R ) .
? ? ? ?
（ 1 ） 求 证 ： B E ? P C ;
(1 )求 动 圆 圆 心 C 的 轨 迹 ；
（ 2 ） Q 为 线 段 P A 上 一 点 ， 若 A Q ? ? A P ， 若 二 面
以 坐 标 原 点 为 极 点 ， 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 的 极 坐 标 方 程 为 ：
(2 ) x M
2 4
2
2
? ? P A ? P B ?
， 过 点 P 的 直 线 l 与 曲 线 M 交 于 A ， B 两 点 ， 且 ， 求 直 线 l
角 Q ? B C ? A 的 平 面 角 的 余 弦 值 为 时 ， 求 实 数 ? 的 值 . 2 2
2 c o s ? ? s i n ? 7
2
的 斜 率 .
f x ? 2 x ? 3 ? 2 x ? 2 g ( x ) ? s i n 2 x
2 3 . 已 知 函 数 ? ? ， ．
f ( x ) ? g ( x )
(1 )求 函 数 的 最 小 值 ；
a , b ? ( ? 1 , 1 ) 2 a ? 1 ? 1 ? 2 b ? 2 a b ? 2
(2 )设 ， 求 证 ： ．
2
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