2023-2024学年福建省泉州市南安市重点中学高二（上）质检数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选
项中，选出符合题目的一项）1.直线的倾斜角是(????)A. B. C. D. 2.直线的一个方向向量是(????)A. B. C
. D. 3.两条平行直线：与：之间的距离是(????)A. B. C. D. 4.已知三棱锥，点，分别为，的中点，且，用表示，则
等于(????)A. B. C. D. 5.已知直线：是圆：的对称轴，则的值为(????)A. B. C. D. 6.我国古代数学
名著九章算术中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则(????)A. B. C. D
. 7.若直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则(????)A. B. C. D. 8.棱长为的正方体中，点在棱上运动，点在侧面上运动
，满足平面，则线段的最小值为(????)A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要
求）9.已知直线，则下列选项中正确的有(????)A. 直线的倾斜角为B. 直线的斜率为C. 直线不经过第三象限D. 直线的一个方
向向量为10.下列直线中，与圆相切的有(????)A. B. C. D. 11.下列说法正确的是(????)A. 直线的倾斜角为B
. 若直线经过第三象限，则，C. 方程表示的直线都经过点D. 存在使得直线与直线垂直12.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达芬奇
方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片这样的达芬奇方砖拼成图的组合，这个组合再转换成图所示的几何体如图中每个正
方体的棱长为，则(????)A. B. 直线与平面所成角的正弦值为C. 点到直线的距离是D. 异面直线与所成角的余弦值为三、填空题
（本大题共4小题，共20.0分）13.已知点，，点在直线：上运动，则的最小值为______ ．14.在平面直角坐标系中，定义，为两
点、的“切比雪夫距离”若点到点的切比雪夫距离为，则点的轨迹长度之和为______ ．15.已知圆：，直线：，当圆被直线截得的弦长最
短时，直线的方程为______ ．16.如图，三棱柱的各条棱长均为是，侧棱与底面所成的角为，侧面底面，点在线段上，且平面平面，则
??．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.本小题分设直线的方程为．已知直线在轴
上的截距为，求的值；已知直线的斜率为，求的值．18.本小题分已知三条直线：，：，：．若，且过点，求、的值；若，求、的值．19.本小
题分圆的圆心为，且过点 求圆的标准方程；直线：与圆交，两点，且，求．20.本小题分已知点和，圆与圆关于直线对称．Ⅰ求圆的方程；Ⅱ点
是圆上任意一点，在轴上求出一点异于点使得点到点与的距离之比为定值，并求的最小值．21.本小题分四边形为菱形，平面，，，．设中点为，
证明：平面；求平面与平面的夹角的大小．22.本小题分如图，在三棱柱中，侧面是菱形，，是棱的中点，，点在线段上，且．求证：平面．若，
平面平面，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．答案和解析1.【答案】?【解析】解：直线的斜率为：倾斜角是，则，可得．故选：．求出直线
的斜率，然后求解倾斜角．本题考查直线的斜率与直线的倾斜角的关系，考查计算能力．2.【答案】?【解析】解：根据题意，直线的斜率，则直
线的一个方向向量为；分析选项，向量与共线，则直线的一个方向向量为，其他向量都与不共线，不是直线的方向向量．故选：．根据题意，求出直
线的斜率，由直线方向向量的定义分析可得答案．本题考查直线的方向向量，注意直线方向向量的定义，属于基础题．3.【答案】?【解析】解：
，即，故这两平行线：与：之间的距离为．故选：．由题意，利用平行线间距离公式进行求解即可．本题主要考查两条平行线间距离公式的应用，属
于基础题．4.【答案】?【解析】【分析】本题考查空间向量的加减法，解题的关键是在已知图形中尽量的应用几何体的已知棱表示要求的结果，
属于基础题．根据所给的图形，在图形中看出要求的向量可以怎么得到，用减法把向量先变化成已知向量的差的形式，再利用向量的加法法则，得到
结果．【解答】解：由题意知，，．故选D．5.【答案】?【解析】解：由圆：，得，圆心，直线：是圆：的对称轴，，，故选：．由已知可得直
线过圆心，可求．本题考查直线与圆的位置关系，属基础题．6.【答案】?【解析】【分析】本题考查空间向量基本定理，属于中档题．根据空间
向量线性运算法则计算可得．【解答】解：如图，四棱锥为阳马，平面，且，，因为，所以，所以，又，所以，则．故选：．7.【答案】?【解析
】解：依题意可得，则，，故．故选：．通过三角恒等变换的知识求得，从而求得正确答案．本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．8.【答案
】?【解析】解：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设，，，所以，，因为平面，所以，故，
，故，其中，故，故当时，取得最小值，此时满足要求，所以线段的最小值为．故选：．建立空间直角坐标系，求出点的坐标，设，，，根据线面垂
直得到方程组，求出，，从而求出，得到线段的最小值．本题考查两点间的距离的最小值的求法，考查运算求解能力，属中档题．9.【答案】?【
解析】解：因为，可以表示为，所以，倾斜角为，故选项A和B错误；因为直线，故斜率，截距，所以直线不经过第三象限，故选项C正确；取直线
上两点，，所以得到方向向量，得到直线的一个方向向量为，故选项D正确．故选：．由直线，可以得到直线的斜率和倾斜角，从而判断和的正误；
通过计算直线的斜率和截距，从而判断是否经过第三象限，判断选项的正误；取直线上两点，得到直线的一个方向向量，从而判断选项的正误．本题
考查了直线的倾斜角与斜率，涉及到直线的方向向量，属于基础题．10.【答案】?【解析】解：圆的圆心为，半径．对于选项A，圆心到直线的
距离，所以直线与圆相交；对于选项B，圆心到直线的距离，所以直线与圆相切；对于选项C，圆心到直线的距离，所以直线与圆相切；对于选项D
，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离．故选：．分别计算四个选项中圆心到直线的距离，与半径作比较可得直线与圆的位置关系，从而得出正确
选项．本题考查了直线与圆的位置关系的判断，属于基础题．11.【答案】?【解析】解：对于，直线的斜率，该直线的倾斜角为，A正确；对于
，当，时，直线经过第三象限，B错误；对于，直线方程可整理为，由得：，直线恒过定点，C正确；对于，若两直线垂直，则，解得：，D正确．
故选：．根据直线斜率和倾斜角关系可知A正确；通过反例可知B错误；由直线过定点的求法可求得C正确；根据两直线垂直可构造方程求得满足的
的取值，知D正确．本题考查直线的斜率与倾斜角关系的应用，属于基础题．12.【答案】?【解析】解：，故A错误，连接，直线与平面所成的
角和直线与平面所成的角相等．则就是所求的线面角，则，，，则，即直线与平面所成角的正弦值为，故B正确，如图以为坐标原点，建立空间直角
坐标系，则，，，，，，，则在向量上的投影向量长度为，则点到直线的距离，故C正确，，，，即异面直线与所成角的余弦值为，故D正确．故选
：．A.利用空间向量加法法则进行化简．B.根据线面角的定义进行求解即可．C.建立坐标系求出点的坐标，利用向量法进行求解．D.求出向
量坐标，利用向量法求异面直线所成的角．本题考查空间点和直线之间的夹角，距离的计算，建立坐标系求出点的坐标，利用向量法进行求解是解决
本题的关键，是中档题．13.【答案】?【解析】解：由题意如图：设点，关于直线的对称点为，则，解得，，则，则，．故答案为：．结合图象
，求出点关于直线的对称点为，的最小值即为，解出即可．本题考查点关于直线的对称点的坐标的求法及两点间的距离的求法，属于基础题．14.
【答案】?【解析】解：设，，由题意得，，等价于或．点的轨迹是以为中心，边长为的正方形，则轨迹长度之和为．故答案为：．由题意求得的轨
迹，再求正方形的周长得答案．本题是新定义题，考查轨迹方程的求法，考查运算求解能力，是中档题．15.【答案】?【解析】解：由题意，直
线的方程化为，由得直线过定点，显然点在圆内，要使直线被圆截得弦长最短，只需与圆心的连线垂直于直线，，解得，代入到直线的方程并化简得
．故答案为：．直线过的定点，当直线垂直于时，圆被直线截得的弦长最短，可求直线的方程．本查直线过定点的求法，考查直线方程的求法，考查
直线与圆的位置关系，属中档题．16.【答案】?【解析】【分析】本题考查空间几何体的性质，考查运算求解能力，属中档题．取中点，连接，
，由已知可得，，两两垂直，以为坐标原点，，，为坐标轴建立空间直角坐标系，设，求得平面与平面的一个法向量，可求得结论．【解答】解：侧
面底面，为直线与底面所成的角，，三棱柱的各条棱长均为，是等边三角形，取中点，连接，，可知，，又侧面底面，侧面底面，侧面，所以平面，
则，，两两垂直，以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，设，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，
，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，令，则，，平面的一个法向量为，平面平面，，，．故答案为：．17.【答案】解：令得，
，由题意得，解得．因为直线的斜率存在，所以直线的方程可化为．由题意得，解得．?【解析】根据一般式方程求出截距，结合条件可得答案；先
把一般式化为斜截式，根据斜率的值可求答案．本题考查直线的一般式方程，涉及直线的斜率和截距，属基础题．18.【答案】解：因为：，：，
且，所以，又直线过点，所以，所以，所以，所以或；若，则，解得，当时，，也即：，，也即：，满足，所以若，．?【解析】由直线垂直的特征
及直线过的点可得关于、的方程组，即可得解；由直线平行的特征求解，，再代入验证即可．本题考查的知识要点：直线平行和垂直的充要条件，主
要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．19.【答案】解：因为圆的圆心为，且过点，所以圆的半径为，所以圆的标准方程为．设圆心到
直线的距离为，则由得：，所以由圆心到直线的距离公式可得，解得或．?【解析】根据两点间的距离公式求得圆的半径，再求出其标准方程即可；
由题意可知圆心到直线的距离为，再结合点到直线的距离公式求解即可．本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查学生的逻辑思维
能力和运算能力，属中档题．20.【答案】解：Ⅰ设圆的圆心为，由题意可得，，解得．圆的方程为；Ⅱ设点，，则．，为定值，是的倍数关系，
且对任意的成立，，解得或舍去，，此时为定值，，当且仅当、、三点共线时，的最小值为．?【解析】Ⅰ设圆的圆心为，由题意可得关于，的方程
组，解得，的值，则圆的方程可求；Ⅱ设点，，则，由为定值，可得，解得，得到，再由，可得的最小值．本题考查圆关于直线的对称圆的求法，考
查两点间距离公式的应用，考查数学转化思想，是中档题．21.【答案】解：证明：四边形为菱形，且，所以．因为，所以， 因为平面，平面，
所以．又，，平面，所以平面；设交于点，取中点，连接，所以，底面以为原点，以，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，因为，所
以，所以，，，，，，所以，，设平面的一个法向量为，则，令，得，，，设平面的一个法向量为，则，令，得，所以，所以平面与平面的夹角的大
小为．?【解析】推导出，，由此能证明平面；建立空间直角坐标系，利用向量法求解．本题考查线面垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问
题，要明确的是二面角等于两个平面法向量所成角或所成角的补角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.【答案】解：证明：连接交于
点，连接， 因为∽，所以，又因为，所以，所以，又面，面，所以面．过作于，因为，所以是线段的中点．因为面面，面面，所以面连接，因为是等边三角形，是线段的中点，所以．如图以为原点，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，则，，，，，由，得，的中点，，，设面的一个法向量为，则，即，取，得方程的一组解为，即，面的一个法向量为，则，所以二面角的余弦值为．?【解析】连接交于点，连接，利用三角形相似证明，然后证明面．过作于，以为原点，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标，不妨设，求出面的一个法向量，面的一个法向量，然后利用空间向量的数量积求解即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．第1页，共1页 |
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