镜像法在电磁学中的应用

镜 像 法 在 电 磁 学 中 的 应 用
作 者 ： 鲍 祥 平
前 言 ：
本 文 注 重 了 逻 辑 推 导 和 数 理 方 法 ， 没 有 实 验 基 础 ， 着 重 理 论 分 析 ， 理 论 联 系 实 际 为 基 础
的 一 门 开 创 性 理 论 研 究 畅 想 方 法 。 只 有 理 论 正 确 了 方 能 指 导 实 验 ， 有 些 理 论 并 不 一 定 需 要 实
验 来 验 证 或 则 无 法 创 造 实 验 条 件 来 验 证 ， 比 如 宇 宙 有 多 大 ， 宇 宙 的 质 量 是 多 少 ， 我 们 无 法 创
造 那 么 大 的 尺 度 去 度 量 ， 又 比 如 原 子 中 电 子 的 轨 道 是 怎 么 样 的 ， 这 些 都 无 法 直 接 得 到 答 案 ，
我 们 只 能 按 照 逻 辑 和 宏 观 现 象 去 猜 想 。 所 以 数 理 逻 辑 方 法 是 探 索 宇 宙 奥 秘 的 一 种 必 要 的 好 方
法 。
一 、 镜 像 法 的 基 本 原 理
1 . 1 镜 像 法 的 定 义 和 来 源
在 一 定 条 件 下 ， 可 以 利 用 一 个 或 多 个 位 于 代 求 场 域 边 界 以 外 虚 设 的 假 想 电 荷 来 代 替 媒 质
边 界 上 感 应 电 荷 或 极 化 电 荷 的 作 用 ， 且 保 持 原 有 边 界 条 件 不 变 ， 则 根 据 唯 一 性 定 理 ， 所 研 究
的 场 域 中 的 电 磁 场 可 由 原 来 的 电 荷 或 电 流 和 假 想 的 电 荷 或 电 流 产 生 的 电 场 或 磁 场 叠 加 得 到 ，
这 假 想 的 电 荷 或 电 流 称 为 电 荷 或 电 流 等 的 镜 像 ， 我 们 把 这 种 方 法 叫 镜 像 法 。
镜 像 反 射 ：
在 平 静 的 水 面 我 们 可 以 看 到 水 中 月 亮 的 影 子 ， 这 是 因 为 水 波 面 反 射 了 月 亮 来 的 光 线 ， 反
射 光 到 达 人 的 眼 睛 成 像 ， 这 个 像 我 们 称 为 镜 像 。 由 于 分 子 不 是 无 穷 致 密 的 ， 两 种 媒 质 的 物 理
属 性 不 一 样 ， 于 是 在 分 界 面 上 物 理 属 性 的 突 变 ， 总 有 部 分 能 量 反 弹 回 来 形 成 反 射 ； 由 于 分 界
面 上 物 理 属 性 突 变 的 不 是 很 大 ， 还 有 部 分 光 子 入 射 到 水 中 形 成 折 射 还 伴 有 色 散 ， 这 里 不 讨 论
色 散 。 同 理 电 子 或 电 流 发 射 出 的 电 场 或 磁 场 也 可 以 通 过 媒 质 界 面 反 射 成 像 ， 只 不 过 人 的 眼 睛
没 有 这 个 观 察 机 制 而 已 ， 但 它 是 一 种 客 观 存 在 的 现 象 。
α β α = β
图 （ 一 ）
使 用 镜 像 法 的 三 个 基 本 规 则 ：
1 镜 像 位 于 像 源 外 边 界 之 外 。
2 将 有 边 界 的 狭 域 空 间 处 理 为 无 限 大 的 同 胚 空 间 ， 该 无 限 大 空 间 与 原 狭 域 的 媒 质 特 性 一 致 。
3 场 域 中 实 际 源 与 镜 像 源 共 同 作 用 保 持 边 界 条 件 不 变 。
1 . 2 镜 像 法 在 电 磁 学 中 的 重 要 性这 个 没 什 么 好 说 的 ， 重 要 性 是 不 言 而 喻 的 ！ 我 们 只 需 掌 握 其 原 理 和 使 用 方 法 就 可 以 了 。
二 、 电 磁 镜 像 法 的 应 用 实 例
2 . 1 静 电 场 问 题 的 应 用
无 限 大 介 质 平 面 的 镜 像 原 理 ：
图 （ 一 ）
? ? ? ?
1 1 3 1 1 3
''
q ? ? q ?
1 2 ? 1 2
? ?
1 1 1 1
图 （ 二 ） 图 （ 三 ）
图 （ 一 ） 是 两 种 不 同 介 质 的 平 面 ， 把 介 质 1 单 独 拿 出 来 研 究 ， 由 于 介 质 一 有 一 个 自 由 电
荷 q ， 于 是 使 介 质 1 极 化 在 边 界 上 产 生 正 电 荷 ， 图 （ 二 ） 图 （ 三 ） 中 红 色 箭 头 表 示 源 电 场 方
向 或 极 化 附 加 电 场 方 向 ， 蓝 色 箭 头 是 电 偶 矩 方 向 ， 对 于 图 （ 三 ） ， 附 加 电 场 等 效 于 极 化 体 电
荷 在 源 点 产 生 的 电 场 ， 用 蓝 圈 表 示 ， 极 化 体 电 荷 是 中 间 边 界 上 所 带 电 荷 的 两 倍 ，
对 于 介 质 2 ， 由 于 介 质 1 的 退 极 化 场 不 对 介 质 2 有 影 响 ， 所 以 介 质 二 的 极 化 如 下 图 ，
? ?
2 3 2 3
'' ''
q ? + ? ? ? ?
2 2 2 1 2
? q ?
2 2 2 2
? ?
2 1 2 1
图 （ 四 ） 图 （ 五 ） 图 （ 六 ）
图 （ 四 ） 中 红 色 箭 头 表 示 源 电 场 方 向 ， 红 色 圆 圈 表 示 点 电 荷 q 经 过 介 质 1 作 用 在 介 质 2 上
'' ''
时 用 来 产 生 附 加 电 场 的 等 效 电 荷 + ? ， 同 样 与 源 点 重 合 ， 是 正 电 荷 。 把 介 质 2 的 等 效 电 荷
2
与 介 质 1 的 体 电 荷 进 行 叠 加 ， 该 电 荷 叠 加 之 后 的 电 荷 是 分 界 面 上 的 电 荷 叠 加 的 两 倍 ， 电 性 相
反 。 于 是 我 们 得 到 了 图 （ 六 ） 的 电 荷 分 部 ， 绿 色 圈 表 示 该 电 荷 可 能 是 正 电 荷 也 可 能 是 负 电 荷 。
由 于 分 界 面 上 是 无 源 的 ， 所 以 不 能 积 累 电 荷 ， 那 么 只 有 通 过 反 射 回 去 使 介 质 一 的 场 得 到 加 强
或 减 弱 ， 使 分 界 面 上 的 电 荷 达 到 平 衡 满 足 边 界 条 件 为 止 ， 这 种 反 射 我 们 可 以 采 用 镜 像 电 荷 等
效 这 种 作 用 ， 于 是 形 成 了 镜 像 电 荷 。 对 于 介 质 1 来 说 等 效 于 在 中 间 边 界 的 对 称 处 放 了 一 个 与绿 圈 所 带 电 荷 等 值 电 性 相 反 的 镜 像 电 荷 ， 如 下 图 （ 七 ） 镜 像 区 域 视 为 真 空 ； 对 于 介 质 2 来 说 ，
绿 圈 所 带 电 荷 就 是 介 质 2 的 镜 像 电 荷 ， 如 下 图 （ 八 ） ， 镜 像 区 域 视 为 真 空 。
图 （ 七 ） 图 （ 八 ）
'' '' ''
下 面 我 们 来 计 算 ? ， ? 的 值 ：当 介 质 2 为 理 想 导 体 时 ， 我 们 认 为 介 电 常 数 为 无 穷 大 ? = ∞ ， 真 空 中 的 相 对 介 电 常 数 等 于 1 。
2
'' '' ''
? + ? ? + ?
=
? ? '' '' ''
1 2
? ? = ? = ?
? = ∞
2
'' '' ''
? ? ? = ? + ?
下 面 的 电 场 分 部 指 的 是 电 位 移 矢 量 的 分 部 ， 电 场 强 度 的 分 部 还 需 减 去 一 个 附 加 电 场 ， 即 等 于
电 位 移 矢 量 除 以 一 个 电 介 常 数 ε 。
2 . 2 静 磁 场 问 题 的 应 用静 磁 场 的 镜 像 分 析 同 上 面 一 样 , 这 里 具 体 分 析 过 程 就 略 掉 了 , 我 们 下 面 直 接 进 行 静 磁 场
的 镜 像 线 电 流 。
下 面 是 引 用 丁 君 老 师 的 课 堂 类 容 ：为 什 么 另 一 个 附 加 镜 像 电 荷 要 放 在 中 心 位 置 ， 因 为 导 体 在 电 场 的 作 用 下 是 等 位 体 ， 镜 像 电 荷
''
? 与 源 电 荷 q 作 用 在 求 面 的 电 势 为 零 ， 要 保 证 球 体 是 等 势 体 就 必 须 把 附 加 电 荷 放 在 球 心 ， 这
''
?
样 就 不 影 响 在 球 面 的 电 场 分 部 。为 什 么 只 能 等 于 常 数 呢 ？ 因 为 如 果 等 于 一 个 函 数 表 达 式 则 分 离 变 量 方 程 就 彼 此 相 关 了 ， 由 于
它 们 是 独 立 的 只 能 分 别 取 常 数 。
2.3 利 用 复 变 解 析 函 数 的 性 质 把 不 可 以 用 镜 像 法 解 决 的 问 题 转 化 成 可 以 利 用 镜 像 法 求 解 。
注 意 保 角 变 换 要 求 函 数 为 解 析 函 数 ， 这 样 能 保 证 变 换 过 后 的 图 形 与 原 图 形 相 比 只 是 发 生
了 伸 缩 变 换 和 角 度 放 大 相 同 倍 数 的 变 换 或 者 发 生 平 移 ， 但 是 我 们 主 要 是 利 用 伸 缩 变 换 和 角 度
放 大 同 一 倍 数 这 个 性 质 ， 这 点 尤 为 重 要 。 可 以 通 过 这 种 变 换 把 不 能 用 镜 像 方 法 解 决 的 问 题 转
化 为 用 镜 像 方 法 解 决!