2023-2024学年北师大版九年级数学上册期末测试卷一、选择题：（共30分）1．已知3x＝2y，那么下列式子中一定成立的是（ ）A．B．
C．D．2．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（ ）A．测量对
角线是否相互平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量对角线是否相等D．测量其中三个角是否都为直角3．将两个长方体如图放置，则所构成
的几何体的左视图可能是（ ）A．B．C．D．4．如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线ab
c于点D，E，F，若＝，则等于（ ）A．B．C．D．5．已知点P1（﹣2，y1）、P2（﹣1，y2）、P3（3，y3）是反比例函
数y＝图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）A．y3＜y2＜y1B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y2＜y
3＜y16．如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）A．∠ADC＝∠ACBB．C．∠ACD＝∠BD．AC2＝AD?A
B7．在一个密闭不透明的袋子里有若干个白球．为估计白球个数，小何向其中投入8个黑球，搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入
袋中，不断重复摸球400次，其中88次摸到黑球，则估计袋中大约有白球（ ）A．18个B．28个C．36个D．42个8．如图，每个
小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与如图中的△ABC相似的是（ ）A．B．C．D．9．如图，已知E（﹣4，2）
，F（﹣2，﹣2），以O为位似中心，把△EFO缩小到原来的，则点E的对应点的坐标为是（ ）A．（2，﹣1）或（﹣2，1）B．（8
，﹣4）或（﹣8，4）C．（2，﹣1）D．（8，﹣4）10．九年级（5）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己
的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书，如果设全组共有x名同学，依题意，可列出的方程是（ ）A．x（x+1）＝1
32B．x（x﹣1）＝132C．2x（x+1）＝132D．x（x+1）＝132二、填空题：（共18分）11．已知线段AB＝10，C
为AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC＝ ．12．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是
．13．如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，反比例函数的图象经过顶点C，若菱形的面积为24．则k的值为 ．14．在
Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN的中点，则D
E的最小值是 ．15．在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树AB的高度．如图，数学小组发现大树离教学楼有5m，高1.4m的竹竿
在水平地面的影子长1m，此时大树的影子有一部分映在地面上，还有一部分映在教学楼的墙上，墙上的影子高CD为2m，那么这棵大树高 m
．16．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM＝3，点N是
线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是 ．三、解答题：（共72分）17．
解方程：2x（x+5）＝x+5．18．现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别标有数字﹣2，﹣1，0，2，把这四张卡片背面朝上洗匀
后放在桌面上．（1）随机抽取一张卡片，抽取的卡片上的数字为负数的概率为 ．（2）随机抽取两张卡片，其上的数字分别作为点A的横坐标
和点A的纵坐标．试用画树状图或列表的方法求出点A在第二象限的概率．19．如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，DA的长为半径画弧
，交BA于点F，作∠DAB的角平分线，交CD于点E，连接EF．（1）求证：四边形AFED是菱形；（2）若AD＝4，∠DAB＝60°
，求四边形AFED的面积．20．如图，在某工厂直角墙角处用60米长的建筑材料围成一个矩形堆货场地（BC＞AB）（靠墙部分不需要用建
筑材料），中间用同样的建筑材料分隔成两间．（1）若所围成的矩形堆货场地ABCD的面积为400平方米，则AB的长为多少米？（2）矩形
堆货场地ABCD面积的最大值为 平方米？21．如图所示，AD，BC为两路灯，身高相同的小明，小亮站在两路灯灯杆之间，两人相距6.
5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯C下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC高9m．（1）计算小亮在路灯D下的影长
；（2）直接写出建筑物AD的高 ．22．一次函数y＝k1x+b和反比例函数的图象的相交于A（2，3），B（﹣3，m），与x轴交于
点C，连接OA，OB．（1）请直接写出m的值为 ，反比例函数的表达式为 ；（2）利用（1）中的数值求△AOB的面积；（3）观察
图象，请直接写出的解集 ；（4）点P在x的正半轴上，当△PAO为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．23．如图，在平面直角坐标系中
，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，且B（4，2），E为直线AC上一动点，连OE，过E作GF⊥OE，交直线BC、直线OA
于点F、G，连OF．（1）求直线AC的解析式．（2）当E为AC中点时，求CF的长．（3）在点E的运动过程中，坐标平面内是否存在点P
，使得以P、O、G、F为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点P的横坐标，若不存在，请说明理由．24．已知正方形ABCD，在边DC所在
的直线上有一动点E，连接AE，一条与射线AE垂直的直线l沿射线AE方向，从点A开始向上平移，垂足为点P，交边AD所在直线于点F．（
1）如图1所示，当直线l经过正方形ABCD的顶点B时．求证：AF＝DE；（2）如图2所示，当直线l经过AE的中点时，与对角线BD交
于点G，连接EG，CG．求证：GE＝GC；（3）直线l继续向上平移，当点P恰好落在对角线BD所在的直线上时，交边CB所在的直线于点
H，当AB＝3，DE＝1，请直接写出BH的长．25．图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一．小华和小芳对等腰直角三角形的旋
转变换进行研究．如图（1），已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，点D，E分别在线段AB，AC上，且∠C＝∠AED＝90°．（
1）观察猜想小华将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD，CE，如图（2），当BD的延长线恰好经过点E时，①的值为 ；②∠BEC的度
数为 度；（2）类比探究如图（3），小芳在小华的基础上，继续旋转△ADE，连接BD，CE，设BD的延长线交CE于点F，请求出的值
及∠BFC的度数，并说明理由．（3）拓展延伸若AE＝DE＝，AC＝BC＝，当CE所在的直线垂直于AD时，请你直接写出BD的长．参考
答案一、选择题：（共30分）1．解：∵3x＝2y，∴＝或＝．故选：B．2．解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；B、两组对
边是否分别相等，能判定平行四边形；C、对角线相等的四边形不一定是矩形，不能判定形状；D、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．故
选：D．3．解：根据左视图的概念可知，从物体的左面看得到的视图是C，故选：C．4．解：∵＝，∴＝，∵a∥b∥c，∴＝＝，故选：A．
5．解：∵点P1（﹣2，y1）、P2（﹣1，y2）、P3（3，y3）是反比例函数y＝图象上的三点，∴y1＝＝﹣1，y2＝＝﹣2，y
3＝，∴y2＜y1＜y3，故选：C．6．解：A、由∠ADC＝∠ACB，∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；B、由不
能判定△ACD∽△ABC，此选项符合题意；C、由∠ACD＝∠B，∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；D、由AC2＝
AD?AB，即＝，且∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；故选：B．7．解：由题意可得，白球的个数大约为：8÷﹣8≈
28，故选：B．8．解：由勾股定理得：AC＝＝，BC＝2，AB＝＝，∴AB：BC：AC＝1：：，A、三边之比为1：：2，图中的三角
形（阴影部分）与△ABC不相似；B、三边之比：1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；C、三边之比为：：3，图中的三角形（
阴影部分）与△ABC不相似；D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．故选：B．9．解：E（﹣4，2）以O为
位似中心，把△EFO缩小到原来的，则点E的对应点的坐标为是（﹣4×，2×）（﹣4×（﹣），2×（﹣）），即（2，﹣1）或（﹣2，1
），故选：A．10．解：设全组共有x名同学，那么每名同学送出的图书是（x﹣1）本；则总共送出的图书为x（x﹣1）；又知实际互赠了1
32本图书，则x （x﹣1）＝132．故选：B．二、填空题：（共18分）11．解：由于C为线段AB＝10的黄金分割点，且AC＞BC
，AC为较长线段；则AC＝10×＝5﹣5．12．解：∵一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，∴k﹣1≠0，且b2﹣4a
c＝16﹣4（k﹣1）≥0，解得：k≤5且k≠1，故答案为：k≤5且k≠1．13．解：设菱形对角线交于点H，点C（a，b），∵S四
边形OABC＝24，∴S△BHA＝S△AHO＝S△BHC＝S△CHO＝6，∵C（a，b）在第二象限，∴，∴﹣ab＝12，又∵C点在
反比例函数上，∴，则k＝ab＝﹣12．故答案为：﹣12．14．解：如图，连接CM，∵点D、E分别为CN，MN的中点，∴DE＝CM．
当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小．由勾股定理得：AB＝＝＝13．∵S△ABC＝?AB?CM＝?AC?BC，∴CM＝
．∴DE＝CM＝．故答案为：．15．解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，则BE＝CD＝2（m），DE＝BC＝5（m）．∵同一时刻物
高和影长成正比，∴＝，∴AE＝7m，∴AB＝AE+BE＝7+2＝9（m），即：这棵大树高为9m．故答案为：9．16．解：如图作EF
⊥BC于F，DN′⊥BC于N′交EM于点O′，此时∠MN′O′＝90°，∵DE是△ABC中位线，∴DE∥BC，DE＝BC＝10，∵
DN′∥EF，∴四边形DEFN′是平行四边形，∵∠EFN′＝90°，∴四边形DEFN′是矩形，∴EF＝DN′，DE＝FN′＝10，
∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∴BN′＝DN′＝EF＝FC＝5，∴＝，∴＝，∴DO′＝．当∠MON＝90°时，
∵△DOE∽△EFM，∴＝，∵EM＝＝13，∴DO＝，故答案为或．三、解答题：（共72分）17．解：2x（x+5）＝x+5，变形得
，2x（x+5）﹣（x+5）＝0，因式分解得，（x+5）（2x﹣1）＝0，∴x+5＝0或2x﹣1＝0，解得x1＝﹣5，．18．解：
（1）一共有4种等可能性，负数有2种等可能性，根据公式计算如下：．故答案为：．（2）画树状图如下：一共有12种等可能性，落在第二象
限的有2种等可能性，所以点A在第二象限的概率为＝．19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠DEA＝∠FA
E，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠FAE，∴∠DEA＝∠DAE∴AD＝ED，∵AD＝AF，∴DE＝AF，∴四边形AFED是平行
四边形，又∵AD＝ED，∴平行四边形AFED是菱形；（2）解：过D作DG⊥AF于G，如图所示：∵∠DAB＝60°，∴∠ADG＝90
°﹣60°＝30°，∴AG＝AD＝2，∴DG＝＝＝2，由（1）得：四边形AFED是菱形，∵AF＝AD＝4，∴菱形AFED的面积＝A
F×DG＝4×2＝8．20．解：（1）设AB＝x米，∵四边形ABCD，四边形ABFE都是矩形，∴AB＝EF＝x米，∴BC＝（60﹣
2x）米，∴x（60﹣2x）＝400，整理，得x2﹣30x+200＝0，解得x1＝10，x2＝20，当x＝10时，BC＝60﹣2x
＝40，当x＝20时，BC＝60﹣2x）＝20，∵BC＞AB，∴AB＝10米．（2）设AB＝x米，矩形堆货场地ABCD的面积为y，
∵四边形ABCD，四边形ABFE都是矩形，∴AB＝EF＝x米，∴BC＝（60﹣2x）米，∴y＝x（60﹣2x）＝﹣2x2+60x＝
﹣2（x2﹣30x）＝﹣2（x﹣15）2+450，当x＝15时，BC＝60﹣2x＝30，满足BC＞AB，所以当x＝15时，矩形堆货
场地ABCD的面积有最大值，最大值为450平方米．故答案为：450．21．解：（1）∵EP⊥AB，CB⊥AB，∴∠EPA＝∠CBA
＝90，∵∠EAP＝∠CAB，∴△EAP∽△CAB，∴，∴，∴AB＝10m，∴BQ＝10﹣2﹣6.5＝1.5m，∴小亮在路灯D下的
影长为1.5m；（2）∵FQ⊥AB，DA⊥AB，∴∠FQB＝∠DAB＝90°∵∠FBQ＝∠DBA，∴△BFQ∽△BDA，∴，∴，∴
DA＝12m．故答案为：12m．22．解：（1）∵点A（2，3）在反比例函数上，∴，∴k2＝6，又因为点B（﹣3，m）在反比例函数
上，∴，将A、B坐标代入y＝k1x+b得，，解得，∴一次函数是y＝x+1；（2）由（1）可得点C（﹣1，0），∴OC＝1，∴；（3
）如图1所示：观察图象可知，不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围，∴不等式的解集是﹣3＜x＜0，或x
＞2；（4）设点P（x，0），且x＞0，如图2，当以OA、OP为腰时，，∴；如图3，当以OA、AP为腰时，，∴x＝2×2＝4，即P
（4，0）；如图4，当以OP、AP为腰时，过点A作AD⊥x轴，垂足为点D，连接AP，∴OP＝AP＝x，PD＝x﹣2，AD＝3，在R
t△PAD中，由勾股定理可得，PD2+AD2＝AP2，即（x﹣2）2+32＝x2，解得，即，综上所述，点P的坐标为，或（4，0），
或．23．解：（1）∵矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，且B（4，2），∴点A（4，0），点C（0，2），设直线AC的解
析式：y＝kx+b（k≠0），代入点A，C坐标，得，解得，∴直线AC解析式：y＝x+2；（2）∵E为AC的中点，∴CE＝AE，在矩
形OABC中，BC∥OA，∴∠FCE＝∠GAE，又∵∠CEF＝∠AEG，∴△CEF≌△AEG（ASA），∴EF＝EG，CF＝AG，
∵OE⊥FG，∴OE为线段FG的垂直平分线，∴OF＝OG，设CF＝x，则AG＝x，∵A（4，0），∴OA＝4，∴OG＝4﹣x，∴O
F＝4﹣x，在Rt△OCF中，根据勾股定理，得22+x2＝（4﹣x）2，解得x＝，∴CF＝；（3）存在以P、O、G、F为顶点的四边
形为菱形，分情况讨论：①以OG，OF为边，则OF＝OG，∵GF⊥OE，∴E为FG的中点，由（2）可知点F（，2），点G（，0），根
据平移的性质，可得点P的坐标为（4，2），∴点P的横坐标为4；②如图1，以OG，FG为边，OG＝FG，延长OF至P′，使P′F＝O
F，在OC的延长线上截取CQ＝OC＝2，连接P′Q，∴CF＝，CF∥P′Q，∴∠P′QO＝∠FCO＝90°，∵OG＝FG，∴∠GO
F＝∠GFO，∵BC∥OA，∴∠CFO＝∠FOG，∴∠CFO＝∠GFO，∵∠BCO＝∠OEF，∴OE＝OC＝2，同理可得：CF＝E
F，∴OF⊥CE，∴∠COF+∠ACO＝90°，∵∠ACO+∠CAO＝90°，∴∠COF＝∠CAO，∵∠P′QO＝∠AOC＝90°
，OQ＝OC＝4，∴△AOC≌△OQP′（ASA），∴P′Q＝OC＝2，∴CF＝1，设OG＝FG＝a，在Rt△EOG中，OE＝OC
＝2，EG＝FG﹣EF＝a﹣1，OG＝a，∴a2﹣（a﹣1）2＝22，∴a＝，∴G（，0），F（1，2），∵1﹣＝﹣，∴P点横坐标
为：﹣；如图2，以OF，FG为边，OF＝FG，作FH⊥OG于H，连接CH，作HQ⊥AC与Q，∵∠OCF＝∠OFE＝90°，∴∠OF
G＝∠ACO，∵四边形COFH是矩形，∴∠OCH＝∠OFH，∴CH平分∠ACO，∴OH＝HQ，CE＝OC＝2，设OH＝a，在Rt△
AHQ中，HQ＝x，AH＝4﹣x，AQ＝AC﹣CQ＝2﹣2，∴（4﹣x）2﹣x2＝（2﹣2）2，∴x＝﹣1，∴F（﹣1，2），∴P
（﹣1，﹣2），如图3，当点E在AC的延长线上时，当FG＝OF时，可得∠EFC＝∠OFC＝∠CEO＝∠COE＝∠ACB，∴OF∥A
C，∵BC∥OA，∴四边形ACFO是平行四边形，∴CF＝OA＝4，∴F（﹣4，2），∴P（﹣4，﹣2），即P点的横坐标是﹣4，综上
所述：P点横坐标为：4或﹣或﹣1或﹣4．24．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠BAD＝90°，∵AE⊥
BF，∴∠APB＝90°，∴∠PAD+∠PAB＝90°，∠PAB+∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠PAD＝∠DAE，∴△ABF≌△
DAE（ASA），∴AF＝DE；（2）证明：如图，连接AG，∵AE⊥FG，AP＝EP，∴GE＝GA，∵四边形ABCD是正方形，∴A
B＝BC，∠ABG＝∠CBG，∵BG＝BG，∴△ABG≌△CBG（SAS），∴GA＝GC，∴GE＝GC；（3）解：若点E在线段CD
上时，过点F作FT⊥BC于点T，则四边形DFTC是矩形，∴FT＝CD，∠ADE＝∠FTH＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB
＝CD＝BC＝FT，∵AE⊥FH，∴∠APF＝90°，∴∠DAE+∠AFP＝90°，∵∠AFT＝180°﹣90°＝90°，∴∠TF
H+∠AFP＝90°，∴∠DAE＝∠TFH，∵∠ADE＝∠FTH，AB＝FT，∴△ADE≌△FTH（ASA），∴DE＝TH，∵AB
∥CD，AD∥BC，∴＝＝＝＝3，∴CT＝DF＝BH，∵BC＝3，∴BH+1+BH＝3，∴BH＝，同理，若点E在线段CD的延长线上
时，BH＝6，综上，BH的长为或6．25．解：（1）如图（2）中，设AC交BE于点O．∵△AED，△ABC都是等腰直角三角形，∴∠EAD＝∠CAB＝45°，AD＝AE，AB＝AC，∴∠EAC＝∠DAB，＝＝，∴△DAB∽△EAC，∴＝＝，∠ABD＝∠ACE，∵∠AOB＝∠EOC，∴∠BAO＝∠CEO＝45°，故答案为：，45．（2）如图（3）中，设AC交BF于点O．∵△AED，△ABC都是等腰直角三角形，∴∠EAD＝∠CAB＝45°，AD＝AE，AB＝AC，∴∠EAC＝∠DAB，＝＝，∴△DAB∽△EAC，∴＝＝，∠ABD＝∠ACE，∵∠AOB＝∠FOC，∴∠BAO＝∠CFO＝45°，∴＝，∠BFC＝45°．（3）如图（4）﹣1中，当CE⊥AD于O时，∵AE＝DE＝，AC＝BC＝，∠AED＝∠ACB＝90°，∴AD＝AE＝2，∵EO⊥AD，∴OD＝OA＝OE＝1，∴OC＝＝3，∴EC＝OE+OC＝4，∵BD＝EC，∴BD＝4．如图（4）﹣2中，当EC⊥AD时，延长CE交AD于O．同法可得OD＝OA＝OE＝1，OC＝3，EC＝3﹣1＝2，∴BD＝EC＝2，综上所述，BD的长为4或2． |
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