重庆市第八中学 届高考适应性月考卷（二）
2024
数学参考答案
一 、 单 项 选 择 题 （ 本 大 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 4 0 分 ． 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要
求 的 ）
题 号
1 2 3 4 5 6 7 8
答 案
C A C B C B D B
【 解 析 】
? 1 ?
1 ． 【 山 城 学 术 圈 解 析 】 ， ， 所 以 ， 故 选 C ．
A ? x ? x ? 2 A ? B ? ( 1 ， 2)
B ? { x | x ? 0 或 x ? 1 }
? ?
2
? ?
2 ? 4 i ( 2 ? 4 i ) ( 1 ? 2 i ) 6 8
2 ． 【 山 城 学 术 圈 解 析 】 ， 则 ， 故 选 A ．
z ? ? ? ? ? i | z | ? 2
1 ? 2 i ( 1 ? 2 i ) ( 1 ? 2 i ) 5 5
． 【 山 城 学 术 圈 解 析 】 哈 雷 彗 星 回 到 近 日 点 的 年 份 为 a ? 1606 ? 76 n ， 奥 伯 斯 彗 星 回 到 近 日 点 的 年 份 为 b ? 1606 ? 70 n ，
3
n n
a b
则 与 的 公 共 项 构 成 以 1 6 0 6 为 首 项 ， 7 0 与 7 6 的 最 小 公 倍 数 为 公 差 的 等 差 数 列 ， 又 7 0 与 7 6 的 最 小 公 倍 数 为
n n
c ? 1606 ? 2660 n . c ? 4266
2 6 6 0 ， 则 哈 雷 彗 星 与 奥 伯 斯 彗 星 同 年 回 到 近 日 点 的 的 年 份 为 令 n ? 1 ， 则 ， 故 选 C ．
n 1
4 ． 【 山 城 学 术 圈 解 析 】 记 事 件 A 为 “ 从 1 2 的 正 因 数 中 ， 随 机 选 取 2 个 不 同 数 ， 这 两 个 数 和 为 素 数 ” ， 1 2 的 正 因 数
2
C ? 15 1 ? 2 ? 3 1 ? 4 ? 5 1 ? 6 ? 7
有 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 6 ， 1 2 ， 随 机 选 取 两 个 数 ， 总 样 本 量 为 ， 其 中 和 为 素 数 的 组 合 有 ， ， ，
6
6 2
P ( A ) ? ?
1 ? 12 ? 13 ， 2 ? 3 ? 5 ， 3 ? 4 ? 7 ， 因 此 ， 故 选 B ．
15 5
2 2 2
4 c ? r ? r
1 2
5 ． 【 山 城 学 术 圈 解 析 】 设 | M F | ? r ， | M F | ? r ， 则 r ? r ? 2 a ? 2 ① ， 又 由 余 弦 定 理 有 ： c os 30 ? ?
1 1 2 2 1 2
4 c r
1
12 ? 2( r ? r )
1
1 2
?
， 则 2 r ? r ? 6 ② ， 联 立 ① ② 得 ： r ? 4 ， 则△ M F F 的 面 积 为 S ? ? 2 3 ? 4 ? s i n 30 ? ? 2 3 ， 故
1 2 1 1 2
4 3 r
2
1
选 C ．
4
2 ? l og 3
2
f ( l og 3 ) ? f ( l og 3 ? 2) ? ? f ( 2 ? l og 3 ) ? ? 2 ? ? ，
6 ． 【 山 城 学 术 圈 解 析 】 由 条 件 ， 故 选 B ．
2 2 2
3
3 15 5 3 3
7 ． 【 山 城 学 术 圈 解 析 】 设 等 比 数 列 { a } 的 公 比 为 q ， 则 a ? a ? a ? a q ? ( a q ) ? a
n
1 5 12 1 1 6
11
n
a T { a } T ? ( a )
为 常 数 ， 即 为 常 数 ， 又 ∵ 为 数 列 的 前 项 积 ， 则 为 常 数 ， 故 选 D ．
6 n n
11 6
? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
2
?
8 ． 【 山 城 学 术 圈 解 析 】 由 ， 得 ( b ? e ) ? ( b ? 3 e ) ? 0 ， ∴ ( b ? e ) ? ( b ? 3 e ) ，
b ? 4 e ? b ? 3 ? 0
【 山 城 学 术 圈 解 析 】 参 考 答 案 · 第 1 页? ?
? ? π
e ? ( 1 ， 0) ( 2 ， 0)
如 图 1 ， 不 妨 设 ， 则 的 终 点 在 以 为 圆 心 ， 以 1 为 半 径 的 圆 周 上 ， 又 非 零 向 量 a 与 e 的 夹 角 为 ，
b
4
?
? ?
y ? x
y ? ? x ( x ? 0) ( 2 ， 0)
则 a 的 终 点 在 不 含 端 点 O 的 两 条 射 线 上 ． 不 妨 以 为 例 ， 则 | a ? b | 的 最 小 值 是 点 到 直 线
| 2 |
x ? y ? 0 ? 1 ? 2 ? 1
的 距 离 减 1 ， 即 ， 故 选 B ．
2
二 、 多 项 选 择 题 （ 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 2 0 分 ． 在 每 小 题 给 出 的 选 项 中 ， 有 多 项 是 符 合 题 目 要 求 的 ． 全
部 选 对 的 得 5 分 ， 部 分 选 对 的 得 2 分 ， 有 选 错 的 得 0 分 ）
题 号 9 1 0 1 1 1 2
答 案
B D A C D A B D B D
? π ? π π π
f ( x ) ? c os x ?
9 ． 【 山 城 学 术 圈 解 析 】 由 题 意 知 ， ， 令 x ? ? k π ， k ? Z ， 则 x ? ? k π ， k ? Z ， 当 k ? 0 时 ， x ?
? ?
6
6 6 6
? ?
π π 2 π π π
? ?
f ( x ) ? ， 0
x ? ? ? k π k ? Z x ? ? k π k ? Z k ? ? 1 x ? ?
为 函 数 的 一 条 对 称 轴 ； 令 ， ， 则 ， ， 当 时 ， ， 则
? ?
6 2 3 3 3
? ?
f ( x )
为 函 数 的 一 个 对 称 中 心 ； 对 比 选 项 ， 可 知 B 、 D 均 正 确 ， 故 选 B D ．
1 0 ． 【 山 城 学 术 圈 解 析 】 对 于 A ， 若 | z ? z | ? 0 ， 则 z ? z ? 0 ， z ? z ， 则 ， 故 A 正 确 ； 对 于 B ， 若 z ? 1 ? 2 i ，
z ? z
1 2 1 2 1 2 1
1 2
2 2
z ? 1 ? i ， 满 足 | z | ? | z | ， 但 z ? ? 3 ? 4 i ， z ? 2 i ， 两 者 不 能 用 大 于 、 小 于 号 连 接 ， 故 B 错 误 ； 对 于 C ， 结 合
2 1 2
1 2
( a c d ? R )
| z z | ? | z | | z | z ? a ? b i z ? c ? d i b
复 数 的 性 质 可 知 ， ， 故 C 正 确 ； 对 于 D ， 设 ， ， ， ， ， ，
1 2 1 2 1 2
? ( a ? c ) ? ( b ? d ) i
z ? a ? b i ， z ? c ? d i ， z ? z ，
1 2 1 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
∴ | z ? z | ? ( a ? c ) ? ( b ? d ) ? a ? b ? c ? d ? 2 ac ? 2 bd ? a ? b ? c ? d ? 2 | ac ? bd |
1 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
? a ? b ? c ? d ? 2 a c ? b d ? a d ? b c
? a ? b ? c ? d ? 2 a c ? b d ? 2 abc d
2 2 2 2 2 2
， ∴ ， 故 D 正 确 ， 故 选 A C D ．
? ( a ? b ? c ? d ) ? ( | z | ? | z | ) | z | ? | z | ≥ | z ? z |
1 2 1 2
1 2
x x
a ? 1 1 ? a
y ? f ( x ) y ? g ( x ) x
? f ( x ) ? ? ? ? g ( x )
1 1 ． 【 山 城 学 术 圈 解 析 】 选 项 A ： 因 为 ， 所 以 曲 线 与 曲 线 关 于 轴
x x
a ? 1 a ? 1
? x x
a ? 1 1 ? a
y
y ? f ( x ) y ? g ( x )
对 称 ， 故 A 正 确 ； 选 项 B ： 因 为 f ( ? x ) ? ? ? g ( x ) ， 所 以 曲 线 与 曲 线 关 于 轴 对
? x x
a ? 1 1 ? a
2
2
x
? ?
a ? 1 2 2
? ?
2
t ?
称 ， 故 B 正 确 ； 选 项 C 、 D ： y ? f ( x ) g ( x ) ? ? ? ? ? 1 ， 令 ， 则 y ? ? ( t ? 1 ) ． 当 a ? 1
? ? ? ?
x x x
a ? 1
a ? 1 a ? 1
? ?
? ?
2
2
t ? ( 0 ， ? ? ) t ? ( 0 ， 1 ) ( 0 ， 1 ) y ? f ( x ) g ( x )
时 ， 在 上 单 调 递 减 ， 且 ， 又 y ? ? ( t ? 1 ) 在 上 单 调 递 增 ， 此 时 在
x
a ? 1
2
2
( 0 ， ? ? ) t ? ( 0 ， ? ? ) t ? ( 1 ， 2)
上 单 调 递 减 ， 故 C 错 误 ； 当 0 ? a ? 1 时 ， 在 上 单 调 递 增 ， 且 ， 又 y ? ? ( t ? 1 )
x
a ? 1
( 1 ， 2) y ? f ( x ) g ( x ) ( 0 ， ? ? )
在 上 单 调 递 减 ， 此 时 在 上 单 调 递 减 ， 故 D 正 确 ， 故 选 A B D ．
n
4 n ? 3
1 2 ． 【 山 城 学 术 圈 解 析 】 对 于 A ， 由 题 意 可 得 ： 甲 报 数 字 的 个 数 依 次 为 1 ， 5 ， 9 ， … … ， 则 甲 第 轮 报 数 的 个 数 为 ，
【 山 城 学 术 圈 解 析 】 参 考 答 案 · 第 2 页则 甲 第 1 0 轮 报 了 4 ? 10 ? 3 ? 37 个 数 ， 故 A 错 误 ； 对 于 B ， 四 人 每 轮 报 的 个 数 构 成 一 个 首 项 为 1 ， 公 差 为 1 的
n ( n ? 1 ) 63 ? ( 63 ? 1 )
n n
? 2016 ? 2023
等 差 数 列 ， 由 等 差 数 列 的 前 项 和 可 知 ， 前 个 数 之 和 为 ， 当 n ? 63 时 ， ， 当
2 2
64 ? ( 64 ? 1 )
? 2080 ? 2023
n ? 64 时 ， ， 且 甲 在 第 1 6 轮 报 了 4 ? 16 ? 3 ? 61 个 数 ， 故 数 字 2 0 2 3 是 丁 报 的 ， 故 B 正
2
4( n ? 1 ) ? [ 4( n ? 1 ) ? 1 ]
2
n
? 1 ? 8 n ? 14 n ? 7
确 ； 对 于 C ， 甲 在 第 轮 报 的 第 一 个 数 字 为 ， 当 n ? 36 时 ，
2
2
， 且 甲 在 第 3 6 轮 要 报 4 ? 36 ? 3 ? 141 个 数 ， 而 9871 ? 141 ? 10012 ? 10000 ， 故
8 ? 36 ? 14 ? 36 ? 7 ? 9871 ? 10000
甲 共 报 了 3 6 轮 ， 故 C 错 误 ； 对 于 D ， 甲 在 前 四 轮 所 报 数 字 之 和 为
5 ( 11 ? 15 ) 9( 37 ? 45 )
1 ? ( 11 ? ? ? 15 ) ? ( 37 ? ? ? 45 ) ? ( 79 ? ? ? 91 ) ? 1 ? ? ?
2 2
13 ( 79 ? 91 )
? 1540
， 故 D 正 确 ， 故 选 B D ．
2
三 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 2 0 分 ）
题 号
1 3 1 4 1 5 1 6
? 13 ? 4 1 l n 2
或
?
答 案 0 . 6 5
? ?
? 4
20
5 2e 4
? ?
?
? ?
? ?
?
a ? ( ? 1 ， 2)
1 3 ． 【 山 城 学 术 圈 解 析 】 ， 2 b ? a ? ( 5 ， 2 m ? 2) ， ∵ a 与 平 行 ， ∴ 2 ? 2 m ? 10 ? 0 ， 解 得 m ? ? 4 ．
2 b ? a
1 4 ． 【 山 城 学 术 圈 解 析 】 在 2 0 组 随 机 数 中 表 示 打 3 局 比 赛 甲 获 胜 有 ： 3 3 4 ， 2 2 1 ， 4 3 3 ， 3 1 5 ， 1 4 2 ， 3 3 1 ， 4 2 3 ， 2 1 2 ，
13
1 2 1 ， 2 3 1 ， 3 1 2 ， 3 2 4 ， 1 1 5 共 1 3 组 随 机 数 ， ∴ 所 求 概 率 为 ? 0.65 ．
20
π
? ? ? ?
1 5 ． 【 山 城 学 术 圈 解 析 】 ∵ c os ? ? 3 c os ? ? 10 ， ， ∴ ， ∴ ，
c os ? ? 3 s i n ? ? 10 c os ? ? 10 ? 3 s i n ?
2
3 10 3 10
2 2
2 2
∵ ， ∴ s i n ? ? ( 10 ? 3 s i n ? ) ? 1 ， 解 得 s i n ? ? ， c os ? ? s i n ? ? ，
s i n ? ? c os ? ? 1
10 10
90 4
2
c os 2 ? ? 2 c os ? ? 1 ? 2 ? ? 1 ?
．
100 5
l n x
h ( x ) ? ax ? b g ( x ) [ 2 ， e ]
1 6 ． 【 山 城 学 术 圈 解 析 】 设 g ( x ) ? ， ， 易 知 在 上 单
x
1 l n 2
[ e ， 4]
g ( x ) ? g ( e ) ? g ( 2) ? g ( 4) ?
增 ， 在 上 单 减 ， 且 ， ． 如 图 2 ， M
m a x
e 2
g ( x ) h ( x )
的 几 何 意 义 ： 横 坐 标 相 同 时 ， 函 数 与 函 数 上 点 的 最 大 纵 向 距 离 ，
1 l n 2
h ( x )
若 要 使 最 小 ， 只 需 的 图 象 与 直 线 y ? ， y ? 平 行 ， 且 与 两 平
M
e 2
1 ? 1 l n 2 ? 1 ? 1 l n 2 ? 1 l n 2
图 2
h ( x ) ? ? ? ? ? ．
行 线 的 距 离 相 等 ， 此 时 ， M 的 最 小 值 为
? ? ? ?
2 e 2 2 e 2 2e 4
? ? ? ?
四 、 解 答 题 （ 共 7 0 分 ． 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 ）
1 7 ． （ 本 小 题 满 分 1 0 分 ）
【 山 城 学 术 圈 解 析 】 参 考 答 案 · 第 3 页C B B C ?
（ 1 ） 证 明 ： 由 平 面 平 面 A B C ， C A ? C B ，
1 1
且 B C 为 平 面 C B B C 与 平 面 A B C 的 交 线 ，
1 1
?
故 有 A C ? 平 面 C B B C ， 而 C C 平 面 C B B C ， 故 A C ? C C ，
1 1 1 1 1 1
A A ∥ C C A C ? A A
又 因 为 ， 所 以 ． … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … （ 4 分 ）
1 1 1
C B B C
（ 2 ） 解 ： 由 （ 1 ） 的 证 明 可 知 ， A C ? 平 面 ，
1 1
B C C B
故 点 A 到 平 面 的 距 离 为 A C ? 1 ， 则 B C ? A C ? 1 ，
1 1
又 因 为 B B ? A A ? 2 ， ? B B C ? 60 ? ，
1 1 1
2 2 2
故 B C ? B C ? B B ? 2 B C ? B B ? c os 60 ? ? 3 ， 即 ，
B C ? 3
1 1 1 1
B C ? B C
所 以 ，
1
C B B C B C ?
且 B C 为 平 面 与 平 面 A B C 的 交 线 ， 有 平 面 A B C ，
1 1 1
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … （ 5 分 ）
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
y
x
C A ? C B C z
而 ， 所 以 可 以 以 为 原 点 ， 分 别 以 C A ， C B ， C B 的 方 向 为 ， ， 轴 的 正 方 向 建 立 如 图 3 所 示 的 空
1
间 直 角 坐 标 系 ，
则 C ( 0 ， 0 ， 0) ， A ( 1 ， 0 ， 0) ， B ( 0 ， 1 ， 0) ， B ( 0 ， 0 ， 3 ) ，
1
B C ?
因 为 平 面 A B C ，
1
? ?
故 平 面 A B C 的 法 向 量 可 记 为 ，
m ? ( 0 ， 0 ， 1 )
? ? ? ? ? ? ? ? ?
因 为 故 ，
B C ? B C ? ( 0 ， ? 1 ， 0) ， C ( 0 ， ? 1 ， 3 )
1 1 1
图 3
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
B C ? ( 0 ， ? 2 ， 3 ) ， C A ? ( 1 ， 0 ， 0) ，
1 1 1
?
A C B
设 平 面 的 法 向 量 为 n ? ( x ， y ， z ) ，
1 1
? ? ? ? ? ?
?
n ? B C ? 0 ? ?
? 2 y ? 3 z ? 0 ，
? ?
1
?
则 有 ? ? ? ? ? ? 取 n ? ( 0 ， 3 ， 2) ， … … … … … … … … … … … （ 8 分 ）
? ?
x ? 0 ，
n ? C A ? 0 ?
? ?
? 1 1
?
A C B
设 平 面 与 平 面 A B C 的 夹 角 为 ， 则 有
1 1
? ? ?
? ? ?
| m ? n | 2 2 7
2 7
? ? ?
c os ? ? | c os ? m ， n ? | ? ? ?
， 故 c os ? ? ． … … … … … … … … … （ 1 0 分 ）
7
| m | ? | n | 7
7
【 山 城 学 术 圈 解 析 】 参 考 答 案 · 第 4 页1 8 ． （ 本 小 题 满 分 1 2 分 ）
s i n( C ? A ) ? ? 1 ? s i n B s i n B ? s i n( A ? C )
（ ） 证 明 ： 因 为 ， 且 ，
1
1
s i n A c os C ?
所 以 s i n C c os A ? c os C s i n A ? ? 1 ? s i n A c os C ? c os A s i n C ， 即 ① ，
2
1
2
由 正 弦 定 理 及 2 a c os C ? b s i n B ， 得 s i n A c os C ? s i n B ② ，
2
由 ① ② 得 s i n B ? 1 ， 所 以 B ? 90 ? ，
s i n( C ? A ) ? ? 1 ? s i n B s i n( C ? A ) ? 0
因 为 ， 所 以 ，
所 以 A ? C ， 即 △ A B C 为 等 腰 直 角 三 角 形 ． … … … … … … … … … … … … … … … … … （ 5 分 ）
a ? c ? 1
（ 2 ） 解 ： 如 图 4 ， 不 妨 设 ， 所 以 ，
b ? 2
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
因 为 ， 且 A N 为 中 线 ，
2 A M ? M C
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2 1 1
B M ? B A ? B C A N ? ? B A ? B C
则 ， ，
3 3 2
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2 1 1 1
? ? ? ?
B M ? A N ? B A ? B C ? B A ? B C ? ?
所 以 ，
? ? ? ?
3 3 2 2
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 图 4
2 2
4 1 4 5
2
| B M | ? B A ? B C ? B A ? B C ? ，
9 9 9 9
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2 2
1 5
2
| A N | ? B A ? B C ? B A ? B C ?
，
4 4
? ? ? ? ? ? ? ? ?
5 5
所 以 | B M | ? ， | A N | ? ， … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … （ 1 0 分 ）
3 2
1
? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
B M ? A N 3
2
c os ? B M ， A N ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
，
| B M | | A N | 5
5 5
?
3 2
3
所 以 c os ? M P N ? ? ． … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … （ 1 2 分 ）
5
1 9 ． （ 本 小 题 满 分 1 2 分 ）
解 ： （ 1 ） 由 频 率 分 布 直 方 图 得 ：
10( 2 a ? 3 a ? 7 a ? 6 a ? 2 a ) ? 1
a ? 0.005
， 解 得 ， … … … … … … … … … … … … … … … （ 1 分 ）
又 设 中 位 数 和 平 均 数 分 别 为 x ， ，
0 x
10( 2 a ? 3 a ? 7 a ) ? 0.6
又 因 为 前 三 个 矩 形 的 面 积 和 为 ，
10( 2 a ? 3 a ) ? 0.25 x ? ( 70 ， 80)
前 两 个 矩 形 的 面 积 和 为 ， 故 易 知 ，
0
540
0.25 ? ( x ? 70) ? 7 a ? 0.5 x ?
所 以 ， 解 得 ： ； … … … … … … … … … … … … … … （ 3 分 ）
0 0
7
又 x ? 10( 55 ? 2 a ? 65 ? 3 a ? 75 ? 7 a ? 85 ? 6 a ? 95 ? 2 a ) ? 76.5 ． … … … … … … … … … （ 5 分 ）
10( 2 a ? 6 a ) ? 100 ? 40
（ 2 ） 由 题 意 知 ， 诗 词 达 人 总 数 为 ，
【 山 城 学 术 圈 解 析 】 参 考 答 案 · 第 5 页设 样 本 中 男 生 人 数 为 m ， 则 列 联 表 如 下 ：
诗 词 达 人 非 诗 词 达 人 合 计
m m
男 生
m
2 2
m m
40 ? 60 ?
女 生
100 ? m
2 2
合 计 4 0 6 0 1 0 0
2
? m m m m ?
? ? ? ?
100 60 ? ? 40 ?
? ? ? ?
? ?
2 2 2 2 25 m
? ? ? ?
2 ? ?
? ? ? ? ≥ 3.841 ，
40 ? 60 ? m ? ( 100 ? m ) 6( 100 ? m )
m ≥ 47.97
解 得 ： ，
m m
又 易 知 为 偶 数 ， 所 以 的 最 小 值 为 4 8 ，
即 被 调 查 的 1 0 0 名 学 生 中 男 生 至 少 有 4 8 人 ． … … … … … … … … … … … … … … … … （ 1 2 分 ）
2 0 ． （ 本 小 题 满 分 1 2 分 ）
2 a ? 2 n ? S n ? 1 2 a ? 2 ? S ， a ? 2.
解 ： （ 1 ） 由 ， 令 得 从 而
n n 1 1 1
n ≥ 2 时 ， 有 2 a ? 2( n ? 1 ) ? S ，
n ? 1 n ? 1
2( a ? a ) ? 2 ? a ( n ≥ 2) .
则 两 式 相 减 得
n n ? 1 n
a ? 2 a ? 2 ，
整 理 得
n n ? 1
a ? 2 ? 2( a ? 2) ， a ? 2 ，
从 而 又
n n ? 1 1
{ b }
所 以 数 列 是 以 4 为 首 项 ， 2 为 公 比 的 等 比 数 列 ，
n
n ? 1
所 以 b ? 2 ． … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … （ 5 分 ）
n
n
? ? 1
? 3
n ? 1 2 ? 2 ， n ? 3 k ，
c ?
（ 2 ） 由 题 意 ， a ? 2 ? 2 ， ?
n
n
?
n ? 1 ， n ? 3 k ，
?
2 3 10
T ? ( 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? 2) ? ( 2 ? 3 ? ? ? ? ? 30) ? ( 4 ? 7 ? ? ? ? ? 28 ) ，
从 而
2 9
2 11
2 ? 2
2 3 10 2 3 10
( 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? 2) ? ( 2 ? 2 ? ? ? ? ? 2 ) ? 2 ? 9 ? ? 18 ? 2026 ，
1 ? 2
29( 2 ? 30) 9( 4 ? 28 )
( 2 ? 3 ? ? ? ? ? 30) ? ( 4 ? 7 ? ? ? ? ? 28 ) ? ? ? 320 ，
2 2
T ? 2026 ? 320 ? 2346.
从 而 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … （ 1 2 分 ）
30
2 1 ． （ 本 小 题 满 分 1 2 分 ）
A ( x ， y ) B ( x ， y ) x ? m y ? 2
解 ： （ 1 ） 设 ， ， 直 线 A B 的 方 程 为 ，
1 1 2 2
【 山 城 学 术 圈 解 析 】 参 考 答 案 · 第 6 页2
?
y ? 4 x ，
2
联 立 得 y ? 4 m y ? 8 ? 0 ，
?
x ? m y ? 2 ，
?
y ? y ? 4 m y y ? ? 8
则 ， ，
1 2 1 2
2
? ? ? ? ? ? ? ?
( y y )
1 2
所 以 O A ? O B ? x x ? y y ? ? y y ? 4 ? 8 ? ? 4 ，
1 2 1 2 1 2
16
? ? ? ? ? ? ? ?
所 以 O A ? O B 为 定 值 ? 4 ． … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … （ 5 分 ）
? y
1
y ? x ，
x
?
1
x ?
x
（ 2 ） 由 得 点 D 的 横 坐 标 ，
? 1 D
y ? x
1 1
?
y ? x ? 1 ，
?
x
2
x ?
同 理 ： 点 的 横 坐 标 为 ，
E E
y ? x
2 2
2 2
y y
1 2
x x y y
1 2 4 4 1 2
D E ? 2 | x ? x | ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ?
于 是
D E
2 2
y ? x y ? x y y 4 ? y 4 ? y
1 1 2 2 1 2 1 2
y ? y ?
1 2
4 4
2
y ? y m ? 2
1 2
? 4 2 ? 2 2
， … … … … … … … … … … … … … … … … （ 9 分 ）
16 ? 4( y ? y ) ? y y 2 m ? 1
1 2 1 2
t ? 1
m ?
令 t ? 2 m ? 1 （ t ? 0 ） ， 则 ，
2
2
2
t ? 2 t ? 9 1 1 8 4
? ?
所 以 D E ? 2 ? 2 9 ? ? ≥ .
? ?
| t | t 9 9 3
? ?
4
综 上 所 述 ： 当 t ? ? 9 ， 即 m ? ? 4 时 ， 的 最 小 值 为 ． … … … … … … … … … … （ 分 ）
D E 1 2
3
2 2 ． （ 本 小 题 满 分 1 2 分 ）
x
?
解 ： （ 1 ） 由 题 知 f ( x ) ? a e ? x 有 两 个 不 同 的 零 点 ，
x
?
设 g ( x ) ? f ( x ) ? a e ? x ，
? ?
f ( x ) f ( x )
当 a ≤ 0 时 ， 在 R 上 单 调 递 减 ， 至 多 有 一 个 零 点 ， 与 题 意 不 符 ；
1
x
?
? g ( x ) ? 0 x ? l n
当 a ? 0 时 ， g ( x ) ? a e ? 1 ， 令 得 ： ，
a
1 1
? ?
x ? l n g ( x ) ? 0 x ? l n g ( x ) ? 0
且 时 ， ， 时 ， ，
a a
1 1
? ? ? ?
g ( x ) ? ? ， l n l n ， ? ?
则 在 上 单 调 递 减 ， 在 上 单 调 递 增 ；
? ? ? ?
a a
? ? ? ?
1
1 l n
? ? 1
1 1
a
g l n ? 0 0 ? a ? .
由 题 ， 即 a e ? l n ? 1 ? l n ? 0 ， 解 得 ：
? ?
a
? ? e
a a
1
2
且 此 时 ， 当 x ? l n a ? l n 时 ， g ( x ) ? g ( l n a ) ? a ? l n a ? 0 ，
a
【 山 城 学 术 圈 解 析 】 参 考 答 案 · 第 7 页1 1 1
1 1 ? ?
x ? l n ? l n g ( x ) ? g l n ? ? l n ? 0
当 时 ， ，
? 2 ? 2
2
a a a a a
? ?
1 1
? ? ? ?
g ( x ) ? ? ， l n l n ， ? ?
因 此 ， 由 零 点 存 在 定 理 知 在 和 各 有 一 个 零 点 ， 符 合 题 意 ．
? ? ? ?
a a
? ? ? ?
1
0 ? a ?
综 上 ， ． … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … （ 5 分 ）
e
x x
1 2
（ 2 ） 由 （ 1 ） 可 知 ： a e ? x ① ， a e ? x ② ，
1 2
x x
1 2
x ? m x ? m ? 1
因 此 不 等 式 等 价 于 ．
a e ? m a e ? m ? 1
1 2
x ? x x ? x
x x
1 2 1 2
1 2
a ? ( e ? m e ) ? m ? 1
又 ① ? ② 得 ： ， 代 入 得 ，
x x x x
1 2 1 2
e ? e e ? e
x ? x
x ? x
1 2
1 2
( e ? m ) ? m ? 1 ( x ? x )
即 ，
1 2
x ? x
1 2
e ? 1
t
t
t ? x ? x ( e ? m ) ? m ? 1
设 ， 不 等 式 化 为 ，
1 2
t
e ? 1
t t
又 t ? 0 ， ∴ t ( e ? m ） ? ( m ? 1 ) ( e ? 1 ) ? 0 恒 成 立 ， … … … … … … … … … … … … … … … （ 8 分 ）
t t
设 h ( t ) ? t ( e ? m ） ? ( m ? 1 ) ( e ? 1 ) ， t ? 0 ，
t
h ? ( t ) ? e ( t ? m ) ? m ，
t
? ( t ) ? h ? ( t ) ? ? ( 0) ? ? m ? 1
设 ， ? ? ( t ) ? e ( t ? m ? 1 ) ， ．
t
? ( t )
当 m ≥ 1 时 ， ? ? ( t ) ? e ( t ? m ? 1 ) ? 0 ， 单 调 递 减 ，
h ? ( t ) h ? ( 0) ? 0
即 单 调 递 减 ， 而 ，
h ? ( t ) ? 0 h ( t ) ( ? ? ， 0) h ( 0) ? 0
∴ ， 在 上 单 调 递 增 ， 而 ，
h ( t ) ? 0 ( ? ? ， 0)
∴ 在 上 恒 成 立 ， 符 合 题 意 ．
t
当 0 ? m ? 1 时 ， 令 ? ? ( t ) ? e ( t ? m ? 1 ) ? 0 得 ： t ? m ? 1 ，
? ? ( t ) ? 0 ? ? ( t ) ? 0
且 当 t ? m ? 1 时 ， ， 当 m ? 1 ? t ? 0 时 ， ，
? ( t ) ( ? ? ， m ? 1 ) ( m ? 1 ， 0) ? ( 0) ? h ? ( 0) ? 0
则 在 上 单 调 递 减 ， 在 上 单 调 递 增 ， 而 ，
t ? ( m ? 1 ， 0) h ? ( t ) ? 0 h ( t ) ( m ? 1 ， 0)
∴ 当 时 ， ， 在 上 单 调 递 减 ，
h ( 0) ? 0 h ( t ) ? 0
而 ， ∴ ， 与 题 意 不 符 ．
m ≥ 1
综 上 所 述 ， ． … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … （ 1 2 分 ）
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