重庆市高 2024届高三第一次质量检测
数学试题
注意事项：
1.本试卷满分 150分，考试时间 120分钟。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求.
2
1.已知集合 A ? x ? Z x ? 5x ? 4 ? 0 ，集合 B ? x y ? x ? 2 ，则集合 A? B的子集的个数是（ ）
? ? ? ?
A.2 B.4 C.7 D.8
2
2.命题“?x ? 1， x ? 1的否定是（ ）
2 2
A.“ ?x ? 1， x ? 1” B.“ ?x ? 1， x ? 1”
2 2
C.“?x ? 1， x ? 1” D.“?x ? 1， x ? 1”
0.3
3.设 a ? log 0.3，b ? log 0.3， c ? 2 则（ ）
0.2 2 ，
A. a ? b ? c B.b ? c ? a C. a ? c ? b D. c ? a ? b
2
4.已知函数 f (x) ? kx ? 3x ? k 的定义域为 R，则实数 k的取值范围为（ ）
3 3 3 3 3
A. k ? 0或 k ? ? B. k ? C. ? ? k ? D. 0 ? k ?
2 2 2 2 2
5.某高铁动车检修基地库房内有 A～E 共 5条并行的停车轨道线，每条轨道线只能停一列车，现有动车 01、
02、高铁 01、02、03共五列车入库检修，若已知两列动车安排在相邻轨道，则动车 01停放在 A 道的概率为
（ ）
1 1 1 1
A. B. C. D.
4 5 8 10
1? x
6.已知函数 f (x) ? log ? sinx，则不等式 f x ? f 2x ?1 ? 0的解集为（ ）
? ? ? ?
2
1? x
1 1 1 1 1
? ? ? ? ? ? ? ?
A. ??, ? B. ?1, ? C. ? ,? D. ?1, ?
? ? ? ? ? ? ? ?
3 3 2 3 2
? ? ? ? ? ? ? ?
1 5
?
2
? x ? x, x ? 0
?
2 2
7.已知函数 f (x) ? ，若关于 x的方程 f x ? m有四个不同的根 x , x , x , x （ x ? x
? ?
?
1 2 3 4 1 2
x
?
e ? 2 , x ? 0
?
学科网（北京）股份有限公司x
3
? x ? x ），则 2e ? x x ? x x 的最大值是（ ）
3 4 1 4 2 4
5
A.5ln ? 3 B.5ln2 ? 4 C.5ln3 D.13 ? 2e
2
x
8.已知 a，b ? R，关于 x的不等式 e ? ax ? b在 R 上恒成立，则 ab的最大值为（ ）
e e
2 3
A. B. C. D.
e e
3 2
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求.全部选对得 5分，部分选对得 2分，有选错得 0分.
9.定义在 R上的偶函数 f x 满足 f x ? f 2 ? x ? 4，且 f x 在 0,1 单调递增，则以下说法一定正确的
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
是（ ）
A. f ? x?为周期函数 B. f ?1? ? 2 C. f ?2023? ? ?2 D. f ? x?在?3,4?单调递减
x , y x , y ??? x , y x, y
10.两个具有相关关系的变量 x，y的一组数据为? ?，? ? ? ?，求得样本中心点为 ，回
? ?
1 1 2 2 n n
2
?
x , y ?1 x , y ?1 ,???, x , y ?1
归直线方程为 y ? ? bx ? a ?，决定系数为 ；若将数据调整为? ?，? ? ? ?，
R
1 1 2 2 n n
2
?
? ?
x , y
求得新的样本中心点为 ，回归直线方程为 ?? ? ??，决定系数为 ，则以下说法正确的有（ ）
? ? y ? b x ? a ?
R
n n
2
x ? x y ? y (y ? y ? )
? ?? ?
? ? i i
i i
2
i?1 i?1
? ?
?
附b ? ， a ? y ? bx， R ? 1?
n n
2
2
(x ? x) y ? y
? ?
? i ? i
i?1 i?1
2 2
? ?
? ? ? ?? ?
A. y ? y B.b ? b C. a ? a D. R ? R
2 2
2 x y
11.已知离心率为 的椭圆C : ? ? 1(a ? b ? 0)的左，右焦点分别为 F ， F ，过点 F 且斜率为
1 2 1
2 2
2 a b
????? ????? ????
9
k k ? 0 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，A 在 x轴上方，M 为线段 AB 上一点，且满足 AM ? 3MF ? F B，
? ?
1 1
4
则（ ）
A. S ? 3S B.直线 l的斜率为 2
△AF F △BF F
1 2 1 2
1
C. AF ， AB ， BF 成等差数列 D.△AMF 的内切圆半径 r ? a
2 2 2
3
x ? x
12.已知实数 a，b满足 a ? b ? 0，函数 f x ? ae ? be ? cx（e为自然对数的底数）的极大值点和极小值
? ?
点分别为 x , x ，且 x ? x ，则下列说法正确的有（ ）
1 2 1 2
A. a ? 0 B. 2a ? c ? 0 C. x ? x ? 0 D. f (x ) ? f (x ) ? 0
1 2 1 2
学科网（北京）股份有限公司三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
13.已知随机变量 X 服从二项分布 B n, p 0 ? p ? 1 ，若 E X ? 2D X ，则 p ? ______.
? ?? ? ? ? ? ?
14.已知实数 a，b满足 log a ?1 ? log b ?1 a ? b ，则 2a ? b的最小值为______
? ? ? ? ? ?
2 2
15.随着全球的经济发展和人口增长，资源消耗和环境问题日益凸显，为了实现可持续发展，我国近年来不断
推出政策促进再生资源的回收利用.某家冶金厂生产的一种金属主要用于电子设备的制造，2023年起该厂新增
加了再生资源的回收生产，它每年的金属产量将由两部分构成：一部分是由采矿场新开采的矿石冶炼，每年可
冶炼 3万吨金属；另一部分是从回收的电子设备中提炼的再生资源，每年可生产的金属约占该厂截止到上一年
末的累计金属总产量的 10%.若截止 2022年末这家冶金厂该金属的累计总产量为 20万吨，则估计该厂 2024年
的金属产量为______万吨，预计到______年，这家厂当年的金属产量首次超过 15万吨.（参考数据：
lg1.1 ? 0.0414， lg 3 ? 0.4771）
2
2 2
16.已知抛物线 y ? 8x 焦点为 F，斜率为 k的直线过 F交抛物线于 A， B， AB 中点为 Q，若圆 x ? 4 ? y ? 9
? ?
1
上存在点 P 使得 PQ ? AB ，则 k的取值范围是______.
2
四、解答题：本题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分 10分）已知数列 a 是公差为 3的等差数列，数列{b }是公比为 2的等比数列，且
? ?
n n
a ? a ? b ? 2， a ? a ? b ? b .
2 4 4 1 3 2 3
（1）求数列?a ?、{b }的通项公式；
n n
? ?
1 1 1
（2）设数列 的前 n项和为 S ，求证： ? S ?
? ?
n n
a ? log b 6 3
? n 2 n?1 ? .
18.（本小题满分 12分）如图，多面体 EFABC中， FA ?平面 ABC ，且 FA//EB， EB ? BA ? BC ? 2，
FA ? 4，M是 FC的中点.
（1）求证：平面CEF ?平面CAF ；
（2）若 ME ? 3，求直线 ME 与平面CBE 所成角的大小.
2
19.（本小题满分 12分）已知函数 f x ? x ? lnx ? ax 在 x ? 1处的切线 l和直线 x ? y ? 0垂直.
? ?
（1）求实数 a的值；
学科网（北京）股份有限公司2 2
f (x ) ? f (x ) ? x ? x
1 2 1 2
（2）若对任意的 x ， x ? 0, 2 ， x ? x ，都有 ? m成立（其中 e为自然对数的
? ?
1 2 1 2
x x
1 2
e ? e
底数），求实数 m的取值范围.
20.（本小题满分 12分）为了带动节能减排的社会风尚，引导居民错峰用电，某地区下个月开始将实行分时电
价.过去居民用电实行的是阶梯电价，每月用电量不超过 180度的部分，按照每度电 0.45元收取，超过 180度
的部分，按照每度电 0.6元收取.而新的分时电价则是将每日 24小时分为峰段、谷段、平段三个时段，按照峰
段每度电 0.6元，谷段每度电 0.4元，平段每度电 0.5元收取.
该地区一位居民为了预估自己下个月的用电费用变化，他做了以下工作：
首先，为了估计开空调与不开空调的用电量，他统计了过去一些天自己家的日均用电情况后得出结论：开空调
时的每日用电量为 10度，不开空调时的每日用电量为 5度.
然后，他统计了一天中三个时段的用电量比例，在开和不开空调的情况下分别如下图：
假设下个月一共 30天，每天他开空调的概率均为 p（ 0 ? p ? 1）.
（1）根据他统计的每日用电量数据，若下个月的某一天用电量为 X 度，求 X的分布列和期望 E X （用 p表
? ?
示）.
（2）根据他统计的各时段用电量比例，使用分时电价计价时，若开空调时的每日平均用电费用为 a元，不开
空调的每日平均用电费用为 b元，分别求 a，b；若使用分时电价计价时下个月某一天他的用电费用为 Y元，
求 Y的分布列和期望 E Y （用 p表示）.
? ?
（3）如果用阶梯电价计算全月电费时，将每日用电量视为 E X ；用分时电价计算全月电费时，将每日用电
? ?
费用视为 E Y .要使该居民下个月使用分时电价计价的费用不超过使用阶梯电价的计价方式的费用，则 p的
? ?
取值范围为多少?
2 2
x y
21.（本小题满分 12分）已知双曲线C : ? ? 1(a ? 0,b ? 0)的左、右顶点分别为 A、B，渐近线方程为
2 2
a b
? ?
1 2 3m 2 3k
y ? ? x，焦点到渐近线距离为 1，直线l : y ? kx ? m与 C左右两支分别交于 P，Q，且点 ,
? ?
? ?
2 3 3
? ?
在双曲线 C上.记△APQ和△BPQ面积分别为 S ， S ， AP ， BQ的斜率分别为 k ， k
1 2 1 2
学科网（北京）股份有限公司（1）求双曲线 C的方程；
（2）若 S S ? 432，试问是否存在实数 ? ，使得 ?k ， ?k， k .成等比数列，若存在，求出 ? 的值，不存在
1 2 1 2
说明理由.
22.（本小题满分 12分）已知函数 f x ? sinx ? ln x ?1
? ? ? ?
?
? ?
（1）求证：当 x ? ?1, 时， f x ? 0；
? ?
? ?
2
? ?
1 1 1 1 1 1
?
（2）求证： ln(n ?1) ? sin ? sin ? sin ? ??? ? sin ? ln n ? ln 2 n ? N .
? ?
2 2 4 6 2n 2
学科网（北京）股份有限公司 |
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